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2011年高考北京卷数学(理)参考答案


试卷编号:1

2011 年高考北京卷数学(理)
班级:_____ 学号:_____ 姓名:_____ 成绩:_____ 一、选择题共 8 小题。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。 1. 已知集合 P = { x | x2 A. (?∞, ?1] 2. 复数 1}, M = {a}. 若 P ∪ M = P, 则 a 的取值范围是 (   ) B. [1, +∞) C. [?1, 1] D. (?∞, ?1] ∪ [1, +∞)

i?2 = (   ) 1 + 2i A. i B. ?i

4 3 C. ? ? i 5 5

4 3 D. ? + i 5 5 D. (1, π)

3. 在极坐标系中, 圆 ρ = ?2 sin θ 的圆心的极坐标是 (   ) π π A. (1, ) B. (1, ? ) C. (1, 0) 2 2 4. 执行如图所示的程序框图, 输出的 s 值为 (   )

A. ?3 1 B. ? 2 1 C. 3 D. 2

2011 年高考北京卷数学(理) 第 1 页(共 5 页)

5. 如图, AD, AE , BC 分别与圆 O 切于点 D, E , F , 延长 AF 与 圆 O 交于另一点 G. 给出下列三个结论: ① AD + AE = AB + BC + CA; ② AF · AG = AD · AE ; ③ △AFB ? △ADG. 其中正确结论的序号是 (   ) D. ①②③ ? c ? ? ? √ ,x < A ? ? ? x 6. 根据统计, 一名工人组装第 x 件某产品所用的时间 (单位: 分钟) 为 f ( x) = ? ( A, C c ? ? ? ? ? √ ,x A A 为常数). 已知工人组装第 4 件产品用时 30 分钟, 组装第 A 件产品用时 15 分钟, 那么 c 和 A 的值分别是 (   ) A. 75, 25 B. 75, 16 C. 60, 25 D. 60, 16 A. ①② B. ②③ C. ①③

7. 某四面体的三视图如图所示, 该四面体四个面的面积中 最大的是 (   )

A. 8

√ B. 6 2

C. 10

√ D. 8 2

8. 设 A(0, 0), B(4, 0), C (t + 4, 4), D(t, 4)(t ∈ R). 记 N (t) 为平行四边形 ABCD 内部 (不含边界) 的整点的个数, 其中整点是指横、纵坐标都是整数的点,则函数 N (t) 的值域为 (   ) A. {9, 10, 11} 二、填空题共 6 小题。 π , tan A = 2, 则 sin A = _____ ; a = _____ . 4 √ √ 10. 已知向量 a = ( 3, 1), b = (0, ?2), c = (k, 3). 若 a ? 2b 与 c 共线, 则 k = _____ . 9. 在 △ABC 中, 若 b = 5, ∠ B = 11. 在等比数列 {an } 中, a1 = 1 , a4 = ?4, 则公比 q = _____ ; |a1 |+|a2 |+· · ·+|an | = _____ . 2 B. {9, 10, 12} C. {9, 11, 12} D. {10, 11, 12}

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12. 用数字 2, 3 组成四位数, 且数字 2,3 至少都出现一次, 这样的四位数共有 _____ 个 ? ? 2 ? ? ? ? x , x 2, 13. 已知函数 f ( x) = ? 若关于 x 的方程 f ( x) = k 有两个不同的实根, 则数 k ? ? ? ? ( x ? 1)3 , x < 2. 的取值范围是 _____ . 14. 曲线 C 是平面内与两个定点 F1 (?1, 0) 和 F2 (1, 0) 的距离的积等于常数 a2 (a > 1) 的点的 轨迹. 给出下列三个结论: ①曲线 C 过坐标原点; ②曲线 C 关于坐标原点对称; 1 ③若点 P 在曲线 C 上, 则 △F1 PF2 的面积不大于 a2 . 2 其中, 所有正确结论的序号是 _____ . 三、解答题共 6 小题。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。 π 15. 已知函数 f ( x) = 4 cos x sin( x + ) ? 1. 6 (1) 求 f ( x) 的最小正周期; π π (2) 求 f ( x) 在区间 [? , ] 上的最大值和最小值. 6 4 (用数字作答).

16. 如图, 在四棱锥 P ? ABCD 中, PA ⊥ 平面 ABCD, 底面 ABCD 是菱形, AB = 2, ∠ BAD = 60? . (1) 求证: BD ⊥ 平面 PAC ; (2) 若 PA = AB, 求 PB 与 AC 所成角的余弦值; (3) 当平面 PBC 与平面 PDC 垂直时, 求 PA 的长.

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17. 以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵树. 乙组记录中有一个数据模糊, 无法 确认, 在图中以 X 表示.

(1) 如果 X = 8, 求乙组同学植树棵树的平均数和方差; (2) 如果 X = 9, 分别从甲、乙两组中随机选取一名同学, 求这两名同学的植树总棵树 Y 的 分布列和数学期望. 1 (注: 方差 s2 = [( x1 ? x)2 + ( x2 ? x)2 + · · · + ( xn ? x)2 ], 其中 x 为 x1 , x2 , · · · , xn 的平均数) n

18. 已知函数 f ( x) = ( x ? k)2 e k .
x

(1) 求 f ( x) 的单调区间; (2) 若对于任意的 x ∈ (0, +∞), 都有 f ( x) 1 , 求 k 的取值范围. e

19. 已知椭圆 G :

x2 + y2 = 1. 过点 (m, 0) 作圆 x2 + y2 = 1 的切线 l 交椭圆 G 于 A, B 两点. 4 (1) 求椭圆 G 的焦点坐标和离心率;
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(2) 将 |AB| 表示为 m 的函数, 并求 |AB| 的最大值.

20. 若数列 An : a1 , a2 , · · · , an (n

2) 满足 |ak+1 ? ak | = 1(k = 1, 2, · · · , n ? 1), 则称数列 An 为 E 数

列. 记 S (An ) = a1 + a2 + · · · + an . (1) 写出一个满足 a1 = a5 = 0, 且 S (A5 ) > 0 的 E 数列 A5 ; (2) 若 a1 = 12, n = 2000, 证明: E 数列 An 是递增数列的充要条件是 an = 2011; (3) 对任意给定的整数 n(n 2), 是否存在首项为 0 的 E 数列 An , 使得 S (An ) = 0? 如果存 在, 写出一个满足条件的 E 数列 An ; 如果不存在, 说明理由.

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