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2006年苍南县高一数学竞赛试题


2006 年苍南县高一数学竞赛试题
一、选择题(每小题 5 分, 共 40 分, 每题仅有一个正确答案) 1.已知函数 f(x)满足 f( A.2?x B.log2 x

2 )=log2 x | x | , 则 f(x)的解析式是( x? | x |
C. ?log2 x D.x?2

)

2.已

知 f(x)=1- 1 ? x 2 (-1≤x≤0), 函数 y=f(x+1)与 y=f(3-x)的图象关于直线 l 对称, 则直线 l 的方程为( ) A.x=2 B.x=1 C.x=

1 2

D.x=0

3.设 f(x)是 R 上的奇函数, 且在(0, +∞)上递增, 若 f( 取值范围是( A.x>2 或 ) B.x>2 C.

1 )=0, f(log4x)>0, 那么 x 的 2
D.

1 <x<1 2

1 <x<1 2

1 <x<2 2
)

4.已知定义域为 R 的函数 y=f(x)在(0, 4)上是减函数, 又 y=f(x+4)是偶函数, 则( A. f(5)<f(2)<f(7) B. f(2)<f(5)<f(7) C. f(7)<f(2)<f(5) D. f(7)<f(5)<f(2) 5.若不等式 2x2+ax+2≥0 对一切 x∈(0,

1 ]成立, 则 a 的最小值为( 2

)

A.0 B. ?4 C.?5 D. ?6 6.已知定义域为 R 的函数 f(x)满足 f(-x)= -f(x+2), 且当 x>1 时, f(x)单调递增. 如果 x1+x2<2, 且(x1-1)(x2-1)<0, 则 f(x1)+f(x2)的值( ) A.恒大于 0 B.恒小于 0 C.可能为 0 D.可正可负 7.若函数 f(x)=25?|x+5| -4×5?|x+5| +m 的图象与 x 轴有交点, 则实数 m 的取值范围是( ) A.m>0 B.m≤4 C.0<m≤4 D.0<m≤3 8. 对 定 义 在 区 间 [a, b] 上 的 函 数 f(x), 若 存 在 常 数 c, 对 于 任 意 的 x1 ∈ [a, b] 有 唯 一 的 x2 ∈ [a, b], 使 得

f ( x1 ) ? f ( x2 ) =c 成立, 则称函数 f(x)在区间[a, b]上的“均值”为 c. 那么, 2
)

函数 f(x)=lgx 在[10, 100]上的“均值”为( A.

1 10

B.10

C.

3 4

D.

3 2

二、填空题(每小题 5 分, 共 30 分) 9.已知集合 A={x | 4?2k<x<2k?8}, B={x | ?k<x<k}, 若A ? ≠B, 则实数 k 的取值范围是____________________ 10.若函数 y=loga(2x2+ax+2)没有最小值, 则 a 的所有值的集合是_________________ 11.集合 P={x|x=2n?2k, 其中 n, k∈N, 且 n>k}, Q={x|1912≤x≤2006, 且 x∈N}, 那么, 集合 P∩Q 中所有元素的和等于_________ 12.已知方程组 ?

?log 81 x ? log 64 y ? 4 ? x ? x1 ? x ? x2 的解为 ? 和? , ? y ? y1 ? y ? y2 ?log x 81 ? log y 64 ? 1

则 log18(x1 x2 y1 y2)=________ x x 13.若关于 x 的方程 4 +2 m +5=0 至少有一个实根在区间[1, 2]内, 则实数 m 的取值范围是_________________ 14.设 card(P)表示有限集合 P 的元素的个数. 设 a=card(A), b=card(B), c=card(A∩B), 且满足 a≠b, (a+1)(b+1)=2006, 2 +2 =2 三、解答题(每题 10 分, 共 30 分) 15.设函数 f(x)=|x+1|+|ax+1|. (1)当 a=2 时, 求 f(x)的最小值; (2)若 f(-1)=f(1), f(a b a+b?c

+2 , 则 max{a, b}的最小值是______

c

1 1 )=f( )(a∈R, 且 a≠1), 求 a 的值 a a

16.设函数 f(x)的定义域是(0, +∞), 且对任意的正实数 x, y 都有 f(xy)=f(x)+f(y)恒成立. 已知 f(2)=1, 且 x>1 时, f(x)>0. (1)求 f(

1 )的值; 2

(2)判断 y=f(x)在(0, +∞)上的单调性, 并给出你的证明;

(3)解不等式 f(x2)>f(8x?6) ?1. 17.已知函数 f(x)=loga (ax2?x+

1 )在[1, 2]上恒为正数, 求实数 a 的取值范围. 2

(洪一平命题, 后附参考答案)

参考答案
1.C 2.B 3.A 4.A 9.(0, 4] 10.(0,1)∪[4,+∞) 12. 12 13. [ ? 5.C 6.B 7.D 11.3904 14.58 8.D

21 , ?2 5 ] 4

? ?? 3x ? 2, x ? ?1 ? 1 ? 15.(1)当 a=2 时, f(x)=|x+1|+|2x+1|= ?? x, ? 1 ? x ? ? 2 ? 1 ? 3x ? 2, x ? ? ? 2 ?
1 1 1 时, f(x)递减, 故 f(x)>f(? )= , 2 2 2 1 1 1 1 当 x≥? 时, f(x)递增, 故 f(x)≥f(? )= , 因此, f(x)的最小值为 2 2 2 2
∴当 x≤?1 时, f(x)递减, 故 f(x)≥f(?1)=1, 当?1<x<? (2)由 f(?1)=f(1)得 2+|a+1|=|1?a| (*), ∴ a≤?1 ① 同理, 由 f(两边平方后整理得|a+1|= ?(a+1)

1 1 1 1 )=f( )得 2+| +1|=|1? |, 对比(*)式可得 a a a a


1 ≤?1 ∴ ?1≤a<0 a
由①②得 a= ?1

1 1 1 , 得 f(1)=f(2)+f( ), 故 f( )= ?1 2 2 2 x2 x2 (2)设 0<x1<x2, 则 f(x1) +f( )=f(x2) 即 f(x2) ?f(x1)=f( ), x1 x1 x x ∵ 2 >1, 故 f( 2 )>0, 即 f(x2)>f(x1) 故 f(x)在(0, +∞)上为增函数 x1 x1 1 1 (3)由 f(x2)>f(8x?6) ?1 得 f(x2)>f(8x?6) +f( )=f [ (8x?6)], 2 2 3 故得 x2>4x?3 且 8x?6>0, 解得解集为{x| <x<1 或 x>3} 4 1 17.题设条件等价于(1) 当 a>1 时, ax2?x+ >1 对 x∈[1, 2]恒成立; (2)当 0<a<1 时, 2 1 0<ax2?x+ <1 对 x∈[1, 2]恒成立. 2 1 1 1 1 1 3 由(1)得 a> 2 ? ? ( ? 1) 2 ? 对 x∈[1, 2]恒成立, 故得 a> . x 2 x 2 2x 2 1 1 1 ? a ? ( ? 1) 2 ? ? 1 5 ? 2 x 2 由(2)得 ? 对 x∈[1, 2]恒成立, 故得 <a< . 2 8 ?a ? ? 1 ( 1 ? 1) 2 ? 1 ? 2 x 2 ? 3 1 5 因此, a 的取值范围是 a> 或 <a< 2 2 8
16.(1)令 x=y=1, 则可得 f(1)=0, 再令 x=2, y=


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