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几何证明教师版


源于名校,成就所托

学科教师辅导讲义
学员姓名: 课时数:2 学科组长签名 课题 几何证明 1.理解演绎证明及其因果关系的表述;演绎证明的必要性;演绎证明的过程;体会演绎 证明是一种严格的证明过程 教学目标 2.知道定义、命题、真假命题、公理、定理等术语的含义‘ 3.了解命题的结构,会把一个命题写成“如果...那么...”的形式; 4.了解证明的表

达格式,会按规定格式证明简单问题。 1.了解命题的概念; 重点 2.理解演绎证明的过程; 3.证明的含义和表述格式。 难点 1.理解演绎证明因果关系的表述 2.按规定格式表述证明的过程 1.理解演绎证明因果关系的表述 2.按规定格式表述证明的过程 年 级: 初二 辅导科目: 数学 组长备注 授课时间: 学科教师:

考点

几何证明 【热身练习】
1、下列各数中,可以用来证明命题“任何偶数都是 8 的整数倍”是假命题的反例是 (D) A.32 2、下列命题是真命题的是 A.等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合 B.顶角相等的两个等腰三角形全等 C.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,则此直角三角形中必有一个锐角等于 30° D.在等腰直角三角形中,斜边上的高等于斜边的一半
-1-

B.16

C.8

D.4 (D)

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3、下列语句不属于定义的是 A 有一个角是直角的三角形,叫直角三角形 B 两直线平行,同位角相等 C 有六条边相等的多边形叫正六边形 D 两点确定一条直线 4、 下列语句中命题是 A 三角形的内角和是 180 度 B 画一条直线 C 平行四边形的对角线相等 D 你喜欢跳舞吗? 5、判断下列命题是真命题还是假命题,若是假命题,举一反例说明: (1) (2) (3) 一个角的补角必是钝角;

( BD )

( AC )

过已知直线上一点及直线外的一点的直线与已知直线必是相交直线; 两个正数的差仍是正数;

答案:(1) 假命题,直角(钝角); (2) 真命题; (3)假命题,1-2=-1; 6、指出下列命题的题设、结论: (1) 如果两条直线相交,那么它们只有一个交点; (2) 两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么这两条直线平行; (3) 两条平行线被第三条直线所截,内错角相等;
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(4) 如果∠1=∠2,∠2=∠3,那么,∠1=∠3; 答案(1) 假设:两条直线相交;结论:这两条直线只有一个交点; (2)假设:两条直线被第三条直线所截得的同旁内角互补;结论:这两条直线平行; (3)假设:两条平行线被第三条直线所截;结论:内错角相等; (4) 假设:∠1=∠2,∠2=∠3;结论:∠1=∠3。 7、已知:如图,点 D、E、F 分别是 AC、AB、BC 上的一点,DF∥AB,∠DFE=∠A. 求证:EF∥AC. 方法一:用∠BEF 作中间量; 方法二:用∠FDC 作中间量; 方法三:用∠AEF 作中间量. 证明:DF∥AB ∴∠OFE=∠BEF (两直线平行,内错角相等) ∵∠DFE=∠A. ∴∠A=∠BEF ∴EF∥AC(同位角相等,两直线平行)

A E

D B F C

【知识精要】
一、基本概念: 1、演绎证明(简称证明) :从已知的概念、条件出发,依据已被确认的事实和公认的逻辑规则,推导出 某结论为正确的过程。 2、定义:能界定某个对象含义的句子。 3、命题:判断一件事情的句子。 判断为正确的命题,叫做真命题; 判断为错误的命题,叫做假命题。 4、公理:人们从长期的实践中总结出来的真命题,可以作为判断其他命题真假的原始依据。 5、定理:从公理或其他真命题出发,用推理方法证明为正确的,并能进一步作为判断其他命题真假的依据 的 真命题。

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6、互逆命题:在两个命题中,如果第一个命题的题设是第二个命题的结论,而第一个命题的结论又是第二 个命题的题设,则这两个命题叫互逆命题。 其中一个命题叫原命题;另一个命题叫它的逆命题。 7、互逆定理:如果一个定理的逆命题经过证明也是定理,则这两个定理叫做互逆定理,其中一个叫另一个 的逆定理。

【名题精解】
例 1、 下列语句中,哪些是命题,哪些不是命题? (1)若 a<b,则 ? b ? ? a ; (2)三角形的三条高交于一点; (3)在ΔABC 中,若 AB>AC,则∠C>∠B 吗? (4)两点之间线段最短;
2 (5)解方程 x ? 2 x ? 3 ? 0 ;

(6)1+2≠3. 答案:(1)(2)(4)(6)是命题。 例 2、 将下列命题改成“如果…,那么…”的形式 ,并指出题设和结论: (1) (2) 等边对等角; 互为邻补角的两个角的平分线互相垂直。

答案:(1) 如果在一个三角形中有两条边相等,那么这两条边所对的角相等。 题设:在一个三角形中有两条边相等;结论:这两条边所对的角相等; (2) 如果两个角互为邻补角,那么这两个角的平分线互相垂直。 题设:两个角互为邻补角;结论:这两个角的平分线互相垂直。

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例 3、如图: ?ABC 是等边三角形,P 为 BC 上的一点(P 点不与 B、C 两点重合) ,在 CA 和 BA 边上是否 存在点 Q 和 R,使 ?PQR 为等边三角形?若存在,求出点 Q 和点 P,并加以证明;若不存在,请说明理由。 解:在 AB 上取 AR=BP,在 AC 上取 AQ=CP,连接 PR,RQ,PQ,则△PQR 为等边三角形。 证明:∵△ABC 为等边三角形,AR=BP,AQ=CP, ∴BR=AQ=PC,∠A=∠B, ∴△BPR≌△ARQ ∴PR=RQ 同理可证 PR=PQ ∴PR=RQ=PQ ∴△PQR 为等边三角形

例 4、如图:在 ?ABC 中,AB=AC,D 为 AB 上的一点,E 为 AC 延长线上的一点,BD=CE,DE 交 BC 于 点 F。求证:DF=EF。 证明:过 D 点作 DG//AE 交 BC 于 G,则∠1=∠2,∠E=∠FDG ∵AB=AC,∴∠B=∠2 ∴∠B=∠1,∴BD=GD 又 BD=CE,∴CE=GD ∵∠GFD=∠CFE,∠FDG=∠E,CE=GD ∴△GFD≌△CFE ∴DF=EF

A B C 例 5、已知:如图所示, ? 中, ?C ? 90? ,AC ? BC,AD ? DB,AE ? CF 。
求证:DE=DF 证明:连结 CD
E D A

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C F

B

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?A C? B C ? ? A?? B ? ? A C B? 9 0 ?, A D? D B ? C D? B D? A D , ? D C B?? B?? A ?A E ?C F , ? A?? D C B , A D?C D
? ? A D E?? C D F ? D E?D F

0 例 6、如图:在 ?ABC 中,AB=AC, ?BAC ? 90 ,BD 平分 ?ABC 交 AC 于点 D, CE ? BD

交 BD 延长线于点 E。求证:BD=2CE。 证明:延长 BA、CE 交于点 F, ∵ BD 平分 ?ABC ∴∠FBE=∠CBE,又 BE=BE, BE⊥CF, ∴△FBE≌△CBE ∴FE=CE,即 FC=2CE; ∵∠ABD=∠ACF,∠BAD=∠CAF,AB=AC ∴△ABD≌△ACF ∴BD=CF,又 CF=2CE(已证) ∴BD=2CE

【巩固练习】
1、判断下列语句是不是命题: (1)∠A 的平分线。(2)我们是中学生。(3)直角都相等。(4)如果 a2 ==b2,那么 a=b。(5) a (a 错误!未找到引用源。)叫做二次根式。 答案:(2)(3)(4)(5)是命题。

2、已知:如图所示,AB=CD,AD=BC,AE=CF。 求证:∠E=∠F 证明:连结 AC
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在? 和? 中, A B C C D A

?AB ? CD , BC ? AD , AC ? CA ??ABC ? ?CD A (SSS) ?? B?? D ?AB ? CD , AE ? CF ?BE ? D F
在? 和? 中, B C E D A F
B C A E

D

? BE ? DF ? ? ?? B ? ? D ? BC ? DA ? ? ? BCE ? ? DAF ( SAS ) ? ?E ? ?F
3、已知:如图所示,AB=AC, ∠, 。 A ? 9 0 ? A E ? B F , B D ? D C 求证:FD⊥ED 证明 :连结 AD

F

?AB ? AC , BD ? D C ?∠ 1? ∠ 2 ? 90?, ∠ D AE ? ∠ D AB ?∠ BAC ? 90?, BD ? D C ?BD ? AD ?∠ B? ∠ D AB ? ∠ D AE
在? 和? 中, A D E B D F
B F 2 3 1 D C E A

?A E?B F , ∠ B? ∠ D A E , A D? B D ? ? A D E ?? B D F ? ? 3?? 1 ? ? 3?? 2 ?9 0 ? ? F D ? E D
4、 如图:已知 AD//BC ,AE 平分∠DAB,EB 平分∠ABC,点 E 在 CD 上。 求证:AB=AD+BC 证明:在 AB 上取 AF=AD, ∵AE 平分∠DAB,∴∠DAE=∠FAE

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又 AE=AE,∴△AFE≌△ADE(SAS) ∴∠1=∠2 ∵ AD//BC ,∴∠DAB+∠CBA=180°; 又∵AE 平分∠DAB,EB 平分∠ABC, ∴∠EAB+∠EBA=90°,∴∠AEB=90°,即∠2+∠3=90° ∴∠1+∠4=90°,又∠1=∠2 ∴∠3=∠4 又∵EB 平分∠ABC, ∴△FBE≌△CBE(AAS) ∴BF=BC ∴AB=AF+BF=AD+BC 5、 如图:C 为 AB 上一点, ?ACD 和 ?BCE 都是等边三角形,AE 交 DC 于点 M,BD 交 EC 于点 N。 求证:(1)AE=BD;(2)CM=CN。 证明:(1) ∵ ?ACD 和 ?BCE 都是等边三角形 ∴∠DCE=60°; ∴∠ACE=∠DCB,又 AC=DC,EC=BC; ∴△ACE≌△DCB(SAS) ∴AE=DB,∠1=∠2; (2)△ACM 与△DCN 中, ∠1=∠2,AC=DC,∠ACM=∠DCN, ∴△ACM≌△DCN ∴ CM=CN
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【课堂总结】 (本节重点内容小结)

【自我测试】
1、如图所示,已知 ? 为等边三角形,延长 BC 到 D,延长 BA 到 E,并且使 AE=BD,连结 CE、DE。 A B C 求证:EC=ED 证明:作 DF//AC 交 BE 于 F

? ?ABC 是正三角形
是正三角形 ? ? B F D 又 AE=BD
E F A B

? A E?F D ?B F ? B A ?A F?E F
即 EF=AC

? AC / / FD ??EAC ? ?EFD ??EAC ? ?DFE (SAS) ?EC ? ED

C

D

2、将下列命题改成“如果…,那么…”的形式,并指出题设和结论: (1) 同角的余角相等; 如果两个角均和同一个角互为余角(题设),那么这两个角相等(结论)。 (2) 三角形的内角和等于 180°;

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如果“三个角是一个三角形的三个内角(题设),那么这三个角的和等于 180°(结论)。 (3) 角平分线上的点到角的两边距离相等。 如果角平分线上有一点(题设),那么该点到这个角的两边的距离相等(结论)。

3、 如图: ?ABC 是等边三角形,D 为 AC 上的一点,E 为 AB 的延长线上的一点,CD=BE,DE 交 BC 于 点 P。 (1) (2) 解(1) DP=EP, 证明:过 D 作 DF//AB 交 CB 于 F, 则∠FDP=∠BEP,△CDF 为等边三角形, ∴DF=CD=BE 又∠DPF=∠EPB ∴△DFP≌△EBP ∴DP=EP,PF=PB (2) 当 D 为 AC 的中点时,CD= ∴BF=a判断线段 DP 于 EP 有怎样的数量关系,并证明你的判断; 设等边 ?ABC 的边长为 a,当 D 为 AC 的中点时,求 BP 的长。

1 a =CF 2

1 1 a= a 2 2

又 PF=PB ∴BP=

1 1 BF= a 2 4
0

4、如图:在 ?ABC 中,AB=AC,D 是 CB 延长线上的一点, ?D ? 60 , 是 AD 上的一点,DE=DB,求证:AE=BE+BC。 证明:过 A 点作 AG⊥ DC 交 DC 于 G,则 BG=CG, △BDE 中,∠D=60°, DE=DB,∴△BDE 为等边三角形,

E

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Rt△ADG 中,∠DAG=30° ∴AD=2DG=2BD+2BG =DE+BE+BC ∴AE=BE+BC

5、如图:在 ?ABC 中,AB=2AC,AD 平分 ?BAC ,AD=BD。求证: CD ? AC 。 证明:过 D 点作 DE⊥AB 交 AB 于 E, ∵AD=BD,DE⊥AB ∴AB=2AE,又 AB=2AC, ∴AE=AC ∵AD 平分 ?BAC ∴∠EAD=∠CAD,又 AD=AD ∴△EAD≌△CAD, ∴∠AED=∠ACD,又 DE⊥AB ∴CD⊥BC.

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