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最新2014年石家庄质检一理科数学试题及答案


2014 年石家庄市高中毕业班教学质量检测(一)
高三数学(理科答案)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分. 1-5 DDCBB 6-10 DCAAD 11-12 CC

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.. 13 200 14

3 3

15

/>
3 ?1

16

n 2 ? 2n ? 3

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. 解:(Ⅰ) f ( x) ? sin(4 x ?

?

) ? cos( ? x) ? sin(4 x ? ) ? sin( ? 4 x) 4 4 4 4

?

?

?

? 2 sin(4 x ?
所以

?
4

) ……………3 分

f ( x) 的最大值是 2……………5 分

(Ⅱ)令 4 x ?

?
4

? k? ?

?
2

( k ?Z),……………7 分

则x?

k? ? ? (k ? z) ,……………9 分 4 16
y ? f ( x) 的对称轴,所以 m ?

而直线 x ? m 是函

k? ? ? ( k ?Z)………………10 分 4 16

18. 解: (Ⅰ)设等差数列 {an } 的公差为 d ? 0 . 因为 S3 = a4 + 6 ,所以 3a1 ?

3 ? 2d ? a1 ? 3d ? 6 . 2

① ② ……2 分

因为 a1 , a4 , a13 成等比数列,所以 a1 (a1 + 12d ) = (a1 + 3d ) 2 . 由①,②可得: a1 = 3, d = 2 . 所以 an = 2n + 1 . (Ⅱ)由题意 bn ? 2
2 n ?1

……………………………………4 分 ……………………………………6 分

? 1 ,设数列 {bn } 的前 n 项和为 Tn , cn ? 2 2 n ?1 ,

c n ?1 2 2( n ?1) ?1 ? 2 n ?1 ? 4 (n ? N * ) , 所以数列 {c n } 为以 8 为首项, 以 4 为公比的等比数列……9 cn 2

分 所以 Tn ?

8(1 ? 4n ) 22 n ?3 ? 8 ?n? ? n. ……………………………………12 分 1? 4 3

19. 解: (Ⅰ)各组的频率分别是 0.1,0.2,0.3,0.2,0.1,0.1 ……………2 分 所以图中各组的纵坐标分别是 0.01,0.02,0.03,0.02,0.01,0.01 ……………4 分
频率 组距

0.03 0.02 0.01 15 25 35 45 55 65 75 年龄

……………5 分

(Ⅱ) ? 的所有可能取值为:0,1,2,3

……………6 分

2 C62 C4 6 15 45 15 p ?? ? 0 ? ? 2 ? 2 ? ? ? = , C5 C10 10 45 225 75

p ?? ? 1? ?

1 1 1 2 C62 C4 C4 ? C6 C4 4 15 6 24 102 34 ? ? ? ? ? ? ? ? = , 2 2 2 2 C5 C10 C5 C10 10 45 10 45 225 75

1 1 1 2 2 C4 ? C6 C4 C4 C4 4 24 6 6 66 22 p ?? ? 2 ? ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ? = , 2 2 2 C5 C10 C5 C10 10 45 10 45 225 75

p ?? ? 3? ?

1 2 C4 C4 4 6 12 4 ? ? ? ? = , ……………10 分 2 2 C5 C10 10 45 225 75

所以 ? 的分布列是:

?
p

0
15 75

1
34 75

2
22 75

3
4 75
……………11 分

所以 ? 的数学期望 E? ?

6 …………………12 分 5

20.解法一: (Ⅰ)设 BD ? OC

? F ,连接 EF , / / PO ,……………1 分

E、F 分别是 PC 、 OC 的中点,则 EF

已知 CD ? 平面 PAD , CD ? 平面 ABCD ,所以平面 ABCD ? 平面 PAD ,

又 PA ? PD , O 为 AD 的中点,则 PO ? AD , 而平面 ABCD ? 平面PAFD ? AD ,所以 PO ? 平面 ABCD , 所以 EF

? 平面 ABCD , ? EF ; ……………3 分

又 AB ? 平面 ABCD ,所以 AB 在 ?ABD 中, AB
2

? BD 2 ? AD 2 , AB ? BD ;

又 EF ? BD ? F ,所以 AB ? 平面 BED , 又 DE ? 平面 BED ,所以 AB ? DE . (Ⅱ)在平面 ABCD 内过点 A 作 AH ……………6 分

? CO 交 CO 的延长线于 H ,连接 HE , AE ,
P

因为 PO ? 平面 ABCD ,所以 POC ? 平面 ABCD , 平面 POC ? 平面 ABCD ?

AH ,所以 AH ? 平面 POC ,
E

PC ? 平面 POC ,所以 AH ? PC ;
在 ?APC 中, AP ? 所以 PC

AC , E 是 PC 中点,故 AE ? PC ;

? 平面 AHE ,则 PC ? HE .
A H B O F C D

所以 ?AEH 是二面角 A ? PC ? O 的平面角……………10 分 设 PO ? AD ? 2BC ? 2CD ? 2 ,

2 7 14 AH ? 而 AE ? AC ? EC , AE ? ,则 sin ?AEH ? , 2 7 2
2 2 2

所以二面角 A ? PC ? O 的余弦值为 解法二:

42 .……………12 分 7

因为 CD ? 平面 PAD , CD ? 平面 ABCD ,所以平面 ABCD ? 平面 PAD , 又 PA ? PD , O 是 AD 的中点,则 PO ? AD ,且平面 ABCD ? 平面PAFD ? AD , 所以 PO ? 平面 ABCD ……………2 分 如图,以 O 为原点,以 OB, OD, OP 分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴的正方向建立空间直角坐标系.

??? ? ???? ??? ?

1 1 A(0, ?1,0) B(1, 0, 0) C (1,1, 0) D(0,1,0) E ( , ,1) P(0,0, 2) ……………4 分 2 2 ??? ? ???? ??? ? ???? 1 1 AB ? (1,1, 0) DE ? ( , ? ,1) , AB ? DE ? 0 ,所以 AC ? DE ……………6 分 2 2

(Ⅱ) AC ? (1, 2, 0) , PC ? (1,1, ?2) , 设平面 PAC 的法向量为 m ? ( x, y, z ) ,

????

??? ?

z P

???? ? ?m ? AC ? 0 ? x ? 2 y ? 0 则? ?? ??? ? ? ? m ? PC ? 0 ? x ? y ? 2 z ? 0
1 m ? (2, ?1, ) .……………8 分 2 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 又 BD ? PO ? 0 , BD ? OC ? 0 ,

令 x ? 2 ,得

E

??? ? 所以平面 POC 的法向量 BD ? ( ?1,1, 0) ,……………10 分

A B

O C

D y

??? ? ??? ? 42 m ? BD ??? ? ?? , cos m , BD ? 7 | m || BD |
所以二面角 A ? PC ? O 的余弦值为

x

42 .……………12 分 7

x2 y2 21.解: (Ⅰ)由已知,可设椭圆 C 的方程为 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) , a b
因为 | PF1 | ? | PF2 |?

(1 ? 1) 2 ? (

2 3 2 2 3 2 ) ? (1 ? 1) 2 ? ( ) ? 2 3 ? 2a ,所以 3 3

a 2 ? 3 , b2 ? 2 ,
所以,椭圆 C 的方程为

x 2 y2 ? ? 1 …………………4 分 3 2

(也可用待定系数法

b2 a2 ?1 2 3 1 12 ? ? ? ? 1 ,或用 ) a a 3 a 2 9(a 2 ? 1)

? x2 y 2 ?1 ? ? ( 2 ) 当 直 线 l 斜 率 存 在 时 , 设 直 线 l : y ? k ( x ? 1) , 由 ? 3 得 2 ? y ? k ( x ? 1) ?
(2 ? 3k 2 ) x 2 ? 6k 2 x ? 3k 2 ? 6 ? 0 ,

3k 2 ? 6 ?6k 2 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) , x1 x2 ? , x1 ? x2 ? ……………6 分 2 ? 3k 2 2 ? 3k 2
4 3( k 2 ? 1) 所以 | x1 ? x2 |? ( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2 ? , 2 ? 3k 2
2

设内切圆半径为 r ,因为 ?ABF2 的周长为 4a ? 4 3 (定值) , S? ABF2 ? 所以当 ?ABF2 的面积最大时,内切圆面积最大,又

1 ? 4a ? r ? 2 3r , 2

S# ABF2 ?

4 3k 2 (k 2 ? 1) 1 ,……………8 分 | F1 F2 || y1 ? y2 |?| y1 ? y2 | ?| k || x1 ? x2 | ? 2 ? 3k 2 2
2

令 t ? 2 ? 3k ? 2 ,则 k 2 ?

t ?2 ,所以 3

S? ABF2

4 3k 2 (k 2 ? 1) (t ? 2)(t ? 1) 4 2 1 4 ? ?4 ? ? 2 ? ?1 ? ……………10 分 2 2 2 ? 3k 3t t t 3 3

又当 k 不存在时, | y1 ? y2 | ?

4 S 2 4 ,此时 r ? ? , S圆 = ? 9 3 2 3 3

故当 k 不存在时圆面积最大, S圆 = ? ,此时直线方程为 x ? ?1 . …………………12 分 (也可以设直线 l:x ? my ? 1 ,避免对 k 的讨论,参照以上解法,按相应步骤给分) 22.解: (I) f ( x) 的定义域为 (0, ??) .其导数 f '( x) ?

4 9

1 ? a .………1 分 x

①当 a ? 0 时, f '( x) ? 0 ,函数在 (0, ??) 上是增函数;…………2 分 ②当 a ? 0 时,在区间 (0, ) 上, f '( x) ? 0 ;在区间 ( , ??) 上, f '( x) ? 0 . 所以 f ( x) 在 (0, ) 是增函数,在 ( , ??) 是减函数.……………4 分 (II)①由(I)知,当 a ? 0 时,函数 f ( x) 在 (0, ??) 上是增函数,不可能有两个零点 当 a ? 0 时, f ( x) 在 (0, ) 是增函数, 在 ( , ??) 是减函数, 此时 f ( ) 为函数 f ( x) 的 最大值, 当 f ( ) ? 0 时, f ( x) 最多有一个零点,所以 f ( ) ? ln 分 此时,

1 a

1 a

1 a

1 a

1 a

1 a

1 a

1 a

1 a

1 ? 0 ,解得 0 ? a ? 1 ,…6 a

1 1 e2 1 a a ? ? 2 ,且 f ( ) ? ?1 ? ? 1 ? ? ? 0 , e a a e e e

e2 e2 e2 f ( 2 ) ? 2 ? 2 ln a ? ? 1 ? 3 ? 2 ln a ? (0 ? a ? 1) a a a
令 F (a) ? 3 ? 2 ln a ?

e2 2 e 2 e 2 ? 2a ? 0 ,所以 F (a) 在 (0 ,1) ,则 F ?( x) ? ? ? 2 ? a a a a2

上单调递增, 所以 F (a) ? F (1) ? 3 ? e ? 0 ,即 f (
2

e2 )?0 a2

所以 a 的取值范围是 (0 , 1) …………………8 分 ②证法一:

a?

1 ? ln x1 1 ? ln x2 1 ? ln x ln x .设 g ( x ) ? ? ( x ? 0) . g '( x) ? ? 2 . x1 x2 x x

当 0 ? x ? 1 时, g '( x) ? 0 ;当 x ? 1 时, g '( x) ? 0 ; 所以 g ( x) 在 (0,1) 上是增函数,在 (1, ??) 上是减函数. g ( x) 最大值为 g (1) ? 1 . 由于 g ( x1 ) ? g ( x2 ) ,且 0 ? a ? 1 ,所以 0 ?

1 ? ln x1 1 ? ln x2 1 ? ? 1 ,所以 ? x1 ? 1 . x1 x2 e

x2 ?1 x2 ?1 下面证明:当 0 ? x ? 1 时, ln x ? 2 .设 h(x) ? ln x ? 2 ( x ? 0) , x ?1 x ?1
则 h '( x) ?

( x 2 ? 1) 2 ? 0 . h( x) 在 (0,1] 上是增函数,所以当 0 ? x ? 1 时, x( x 2 ? 1) 2

h( x) ? h(1) ? 0 .即当 0 ? x ? 1 时, ln x ?

x2 ?1 .. x2 ? 1

由 0 ? x1 ? 1 得 h( x1 ) ? 0 .所以 ln x1 ?

x1 2 ? 1 . x1 2 ? 1

所以

1 ? ln x1 2x 2x 2 2 ? 2 1 ,即 a ? 2 1 , x1 ( ? x1 ) ? 1, ln x1 ? ln( ? x1 ) ? 0 . x1 x1 ? 1 x1 ? 1 a a

又 ax1 ? 1 ? ln x1 ,所以 ax1 ? 1 ? ln( ? x1 ) ? 0 , ax1 ? ln( ? x1 ) ? 1 . 所以 f ( ? x1 ) ? ln( ? x1 ) ? a( ? x1 ) ? 1 ? ln( ? x1 ) ? ax1 ? 1 ? 0 . 即 f ( ? x1 ) ? f ( x2 ) . 由 0 ? x1 ? 分 ②证法二:

2 a

2 a

2 a

2 a

2 a

2 a

2 a

1 2 1 2 2 ? x2 ,得 ? x1 ? .所以 ? x1 ? x2 ,x1 ? x2 ? ? 2 . …………………12 a a a a a

由(II)①可知函数 f ( x) 在 (0, ) 是增函数,在 ( , ??) 是减函数. f ( x) ? ln x ? ax ? 1.

1 a

1 a

a a 1 ? 1 ? ? ? 0, f (1) ? 1 ? a ? 0 .故 ? x1 ? 1 e e e 1 2 1 2 第二部分:分析:因为 0 ? x1 ? ,所以 ? x1 ? .只要证明: f ( ? x1 ) ? 0 就可以得出结论 a a a a
所以 f ( ) ? ?1 ? 下面给出证明:构造函数:

1 e

2 2 2 1 g ( x) ? f ( ? x) ? f ( x) ? ln( ? x) ? a( ? x) ? (ln x ? ax).( 0 ? x ? ) a a a a 1 2a ( x ? ) 2 1 1 a ?0 则: g ?( x) ? ? ? 2a ? 2 x 2 x? x( x ? ) a a 1 1 1 所以函数 g ( x) 在区间 (0, ] 上为减函数. 0 ? x1 ? ,则 g ( x1 ) ? g ( ) ? 0 ,又 f ( x1 ) ? 0 a a a 2 2 2 于是 f ( ? x1 ) ? ln( ? x1 ) ? a( ? x1 ) ? 1 ? f ( x1 ) ? g ( x1 ) ? 0 . 又 f ( x2 ) ? 0 由(1)可知 a a a 2 2 x 2 ? ? x1 .即 x1 ? x2 ? ? 2 …………………12 分 a a


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