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【创新设计】2015-2016学年高中数学 3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)课时作业 新人教A版必修4


3.1.2

两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)

课时目标 1.能利用两角和与差的正、 余弦公式导出两角和与差的正切公式.2.掌握两角和 与差的正切公式及变形运用.

1.两角和与差的正切公式 (1)T(α +β ):tan(α +β )=_____________________________________________________. (2)T(α -β ):tan(α -β )=______________________________________________________. 2.两角和与差的正切公式的变形 (1)T(α +β )的变形: tan α +tan β =____________________________________________________________. tan α +tan β +tan α tan β tan(α +β )=____________. tan α ?tan β =______________________________________________________________. (2)T(α -β )的变形: tan α -tan β =______________________________. tan α -tan β -tan α tan β tan(α -β )=____________. tan α tan β =______________________________________________________________.

一、选择题 π? 3 ?π ? ? 1.已知 α ∈? ,π ?,sin α = ,则 tan?α + ?的值等于( ) 4? 5 ?2 ? ? 1 1 A. B.7 C.- D.-7 7 7 4 2.若 sin α = ,tan(α +β )=1,且 α 是第二象限角,则 tan β 的值是( ) 5 4 4 1 A. B.- C.-7 D.- 3 3 7 1 1 π 3π 3.已知 tan α = ,tan β = ,0<α < ,π <β < ,则 α +β 的值是( ) 2 3 2 2 π 3π 5π 7π A. B. C. D. 4 4 4 4 2 4.A,B,C 是△ABC 的三个内角,且 tan A,tan B 是方程 3x -5x+1=0 的两个实数根, 则△ABC 是( ) A.钝角三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.无法确定 5.化简 tan 10°tan 20°+tan 20°tan 60°+tan 60°tan 10°的值等于( ) A.1 B.2 C.tan 10° D. 3tan 20° 2 3 6.在△ABC 中,角 C=120°,tan A+tan B= ,则 tan Atan B 的值为( ) 3 1 1 1 5 A. B. C. D. 4 3 2 3 题 号 1 答 案 二、填空题 2 3 4 5 6

1

1+tan 75° 7. =________. 1-tan 75° 1 ?π ? 8.已知 tan? +α ?=2,则 的值为________. 2 2sin α cos α +cos α ?4 ? sin?α +β ? 2 9.如果 tan α ,tan β 是方程 x -3x-3=0 两根,则 =________. cos?α -β ? cos α -sin α 10.已知 α 、β 均为锐角,且 tan β = ,则 tan(α +β )=________. cos α +sin α 三、解答题 11.在△ABC 中,tan B+tan C+ 3tan Btan C= 3,且 3tan A+ 3tan B+1=tan Atan B,试判断△ABC 的形状.

12. 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,以 Ox 轴为始边作两个锐角 α ,β ,它们的终边分别 2 2 5 与单位圆相交于 A,B 两点,已知 A,B 的横坐标分别为 , . 10 5 求 tan(α +β )的值.

能力提升 1 1 13.已知 tan(α -β )= ,tan β =- ,且 α ,β ∈(0,π ),求 2α -β 的值. 2 7

3 1 14.已知锐角三角形 ABC 中,sin(A+B)= ,sin(A-B)= . 5 5 (1)求证:tan A=2tan B; (2)设 AB=3,求 AB 边上的高.

2

1.公式 T(α ±β )的适用范围 π 由正切函数的定义可知 α 、 β 、 α +β (或 α -β )的终边不能落在 y 轴上, 即不为 kπ + 2 (k∈Z). 2.公式 T(α ±β )的逆用 π π 3 π 一方面要熟记公式的结构,另一方面要注意常值代换如 tan =1,tan = ,tan = 4 6 3 3 3等. π 1+tan α π 1-tan α 要特别注意 tan( +α )= ,tan( -α )= . 4 1-tan α 4 1+tan α 3.公式 T(α ±β )的变形应用 只要见到 tan α ±tan β ,tan α tan β 时,有灵活应用公式 T(α ±β )的意识,就不难想到 解题思路. 3.1.2 知识梳理 tan α +tan β 1.(1) 1-tan α tan β 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二) 答案

tan α -tan β (2) 1+tan α tan β tan(α +β )

tan α +tan β 1- tan?α +β ? tan α -tan β (2)tan(α -β )(1+tan α tan β ) tan(α -β ) -1 tan?α -β ? 作业设计 1.A 2.C 3.C 5 1 4.A [tan A+tan B= ,tan A?tan B= , 3 3 5 5 ∴tan(A+B)= ,∴tan C=-tan(A+B)=- , 2 2 ∴C 为钝角.] 5.A [原式=tan 10°tan 20°+ 3tan 20°+ 3 tan 10° 3 = 3(tan 10°+tan 20°+ tan 10°tan 20°) 3 2.(1)tan(α +β )(1-tan α tan β ) = 3tan 30°=1.] 6.B [tan(A+B)=-tan C=-tan 120°= 3, 2 3 3 tan A+tan B 1 ∴tan(A+B)= = 3,即 = 3,解得 tan A?tan B= .] 1-tan Atan B 1-tan Atan B 3 7.- 3 2 8. 3
3

1+tan α ?π ? 解析 ∵tan? +α ?=2,∴ =2, 1-tan α ?4 ? 1 +1 1 1 sin α +cos α tan α +1 9 解得 tan α = . ∴ = = = 2 2 3 2sin α cos α +cos α 2sin α cos α +cos α 2tan α +1 2 +1 3 2 = . 3 3 9.- 2 sin?α +β ? sin α cos β +cos α sin β tan α +tan β 3 解析 = = = = cos?α -β ? cos α cos β +sin α sin β 1+tan α tan β 1+?-3? 3 - . 2 10.1 cos α -sin α 1-tan α 解析 tan β = = . cos α +sin α 1+tan α ∴tan β +tan α tan β =1-tan α . ∴tan α +tan β +tan α tan β =1. ∴tan α +tan β =1-tan α tan β . tan α +tan β ∴ =1,∴tan(α +β )=1. 1-tan α tan β
2 2 2

11.解 由 tan B+tan C+ 3tan Btan C= 3, 得 tan B+tan C= 3(1-tan Btan C). tan B+tan C ∴tan(B+C)= = 3, 1-tan Btan C π 又∵B+C∈(0,π ),∴B+C= . 3 又 3tan A+ 3tan B+1=tan Atan B, 3 ∴tan A+tan B=- (1-tan Atan B), 3 tan A+tan B 3 ∴tan(A+B)= =- , 1-tan Atan B 3 5π 而 A+B∈(0,π ),∴A+B= ,又∵A+B+C=π , 6 2π π ∴A= ,B=C= .∴△ABC 为等腰三角形. 3 6 12.解 由条件得 cos α = 2 2 5 ,cos β = . 10 5
2

∵α ,β 为锐角,∴sin α = 1-cos α = sin β = 1-cos β =
2

7 2 , 10

5 . 5

sin α sin β 1 因此 tan α = =7,tan β = = . cos α cos β 2

4

tan α +tan β tan(α +β )= = =-3. 1-tan α ?tan β 1 1-7? 2 tan?α -β ?+tan β 1 13.解 tan α =tan[(α -β )+β ]= = >0. 1-tan?α -β ?tan β 3 π 而 α ∈(0,π ),故 α ∈(0, ). 2 1 π ∵tan β =- ,0<β <π ,∴ <β <π . 7 2 1 ∴-π <α -β <0.而 tan(α -β )= >0, 2 π ∴-π <α -β <- . 2 ∴2α -β =α +(α -β )∈(-π ,0). tan α +tan?α -β ? ∵tan(2α -β )=tan[α +(α -β )]= =1, 1-tan α tan?α -β ? 3π ∴2α -β =- . 4 3 1 14.(1)证明 ∵sin(A+B)= ,sin(A-B)= , 5 5 3 ? ?sin Acos B+cos Asin B=5 ∴? 1 ? ?sin Acos B-cos Asin B=5 2 ? ?sin Acos B=5 ?? 1 ? ?cos Asin B=5 tan A =2,所以 tan A tan B

1 7+ 2

?

=2tan B. π 3 3 tan A+tan B 3 (2)解 ∵ <A+B<π ,sin(A+B)= ,∴tan(A+B)=- ,即 =- . 2 5 4 1-tan Atan B 4 2 将 tan A=2tan B 代入上式并整理得,2tan B-4tan B-1=0. 2± 6 2+ 6 解得 tan B= ,舍去负值,得 tan B= . 2 2 ∴tan A=2tan B=2+ 6.设 AB 边上的高为 CD. CD CD 3CD 则 AB=AD+DB= + = . tan A tan B 2+ 6 由 AB=3,得 CD=2+ 6.∴AB 边上的高等于 2+ 6.

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