当前位置:首页 >> 学科竞赛 >>

高中数学竞赛


第九章 不等式 一、基础知识 不等式的基本性质: (1)a>b ? a-b>0; (2)a>b, b>c ? a>c; (3)a>b ? a+c>b+c; (4)a>b, c>0 ? ac>bc; (5)a>b, c<0 ? ac<bc; (6)a>b>0, c>d>0 ?

ac>bd; (7)a>b>0, n∈N+ ? an>bn; (8)a>b>0, n∈N+ ? (9)a>0, |x|<a ? -a<x<a, |x|>a ? x>a 或 x<-a; (10)a, b∈R,则|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|; (11)a, b∈R,则(a-b)2≥0 ? a2+b2≥2ab; (12)x, y, z∈R+,则 x+y≥2 n a ?n b; xy , x+y+z ? 33 xyz. 前五条是显然的,以下从第六条开始给出证明。 (6)因为 a>b>0, c>d>0,所以 ac>bc, bc>bd,所以 ac>bd;重复利用性质(6) ,可得性质(7) ;再证 性质(8) ,用反证法,若 n n n a ? n b ,由性质(7)得 (n a ) n ? ( n b ) n ,即 a≤b,与 a>b 矛盾,所以假 设不成立,所以 a ? b ;由绝对值的意义知(9)成立;-|a|≤a≤|a|, -|b|≤b≤|b|,所以-(|a|+|b|)≤a+b≤|a|+|b|, 所以|a+b|≤|a|+|b|;下面再证(10)的左边,因为|a|=|a+b-b|≤|a+b|+|b|,所以|a|-|b|≤|a+b|,所以(10)成立; (11) 显然成立;下证(12) ,因为 x+y-2 成立,再证另一不等式,令 3 3 xy ? ( x ? y ) 2 ≥0,所以 x+y≥ 2 xy ,当且仅当 x=y 时,等号 x3+b3+c3-3abc =(a+b)3+c3-3a2b-3ab2-3abc 2 2 3 x ? a, 3 y ? b, 3 z ? c ,因为 =(a+b) +c -3ab(a+b+c)=(a+b+c)[(a+b) -(a+b)c+c ]-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)= 1 (a+b+c)[(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2] ≥0,所以 a3+b3+c3≥3abc,即 x+y+z≥ 33 xyz ,等号当且仅当 x=y=z 时成立。 2 二、方法与例题 1.不等式证明的基本方法。 (1)比较法,在证明 A>B 或 A<B 时利用 A-B 与 0 比较大小,或把 后得出结论。 例 1 x2+y2+z2 ? A (A,B>0)与 1 比较大小,最 B 意 实 数 x, y, z, 有 设 a, b, c∈R+ , 试 证 : 对 任 2 ? a?b abc b?c c?a ? ? xy ? yz ? xz ?. ? ? (a ? b)(b ? c)(c ? a ) ? c a b ? 左边-右边= x2+y2+z2 ? 2 【证明】 ab bc xy ? 2 yz (b ? c)(c ? a ) (a ? b)(c ? a ) ?2 2 ca b ab a c xz ? x2 ? 2 xy ? y2 ? y2 ? (a ? b)(b ? c) b?c (b ? c)(c ? a ) c?a c?a bc b a ca c yz ? z2 ? z2 ? 2 xz ? x2 ? (a ? b)(c ? a) a?b a?b (a ?

相关文章:
2015年全国高中数学联赛试题
2015年全国高中数学联赛试题_数学_高中教育_教育专区。2015 年全国高中数学联合竞赛一试试题 (A 卷)一、填空题:本大题共 8 小题,每小题 8 分,满分 64 分 ...
全国高中数学竞赛专题-三角函数
全国高中数学竞赛专题-三角函数_学科竞赛_高中教育_教育专区。三角恒等式与三角不等式一、基础知识 定义 1 角:一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。角的大...
2017年高中数学联赛初赛复习讲义
2017年高中数学联赛初赛复习讲义_学科竞赛_高中教育_教育专区。联赛 2016 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷考生注意:1.本试卷共两大题(14 小题) ,全卷满分 ...
2014—2015学年度高一数学竞赛试题(含答案)
2014—2015 学年度高一数学竞赛试题 【本试题满分 100 分,考试时间 120 分钟】 一.选择题:本大题共 5 小题,每小题 6 分,共 30 分.在每个小题给出的四...
【高中数学(竞赛)知识点提纲】
高中数学(竞赛)知识点提纲】_学科竞赛_高中教育_教育专区。【高中数学(竞赛)知识点提纲】 1.集.合(set) 1.1 集.合的阶,集.合之间的关系。 1.2 集.合...
2017年全国高中数学联赛模拟试题19
2017年全国高中数学联赛模拟试题19_学科竞赛_高中教育_教育专区。2017年全国高中数学联赛模拟试题19 2017 年全国高中数学联赛模拟试题 19 第一试 (时间:8:00-9:...
2015全国高中数学联赛试题答案_图文
2015全国高中数学联赛试题答案_学科竞赛_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档2015全国高中数学联赛试题答案_学科竞赛_高中教育_教育专区。 ...
全国高中数学竞赛专题-不等式
全国高中数学竞赛专题-不等式_高三数学_数学_高中教育_教育专区。全国高中数学竞赛专题-不等式证明不等式就是对不等式的左右两边或条件与结论进行代数变形和化归,而...
高中数学竞赛试题
高中数学竞赛试题_学科竞赛_高中教育_教育专区。1. 高中数学竞赛试题 ◇1986 年上海高中数学竞赛试题 ◇1987 年上海高中数学竞赛试题 ◇1987 年上海市黄埔区高中...
高中数学竞赛——数论
高中数学竞赛——数论_学科竞赛_高中教育_教育专区。高中数学竞赛——数论知识点及习题讲解 高中数学竞赛 数论 剩余类与剩余系 1.剩余类的定义与性质 (1)定义 1...
更多相关标签: