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18两角和与差的正弦、余弦正切公式(第16天)


两角和与差的正弦、余弦正切公式
例1.求值: (1) cos15? (2) cos80? cos20? ? sin 80? sin 20? (4)求cos75°cos105°+sin75°sin105°

(3) cos130? cos10? ? sin 130? sin 10?

(5)cos(A+B)cosB+sin(A+B)sinB.(6) cos91? cos29? ? sin 91? sin 29?

例 2. 已知 sinθ =

,且 θ 为第二象限角,求 cos(θ -

)的值.

例 3.已知 sin(30°+α )=

,60°<α <150°,求 cosα .

例 4.已知 sin ? ?

2 3 ?? ? ? 3? , ? ? ? , ? ? , cos ? ? ? , ? ? ? ? , 3 5 2 ?2 ? ?

? ? ,求 cos(? ? ? ) 的值. ?

例 5、 (1)求 tan105?,tan15?的值: (2)求

1 ? tan15 值。 1 ? tan15

(3)求 tan 70 ? tan50 ? 3 tan 70 tan50 值。 例6.(1)求 y ?

1 3 cos x ? sin x 的最大值和最小值? 2 2

(2)化简 3 sin x ? cos x

(3)

2 2 cos 2 x ? sin 2 x 2 2

1.Sin165? 等于 A.





1 2

B.

3 2

C.

6? 2 4

D.

6? 2 4

2.Sin14? cos16? +sin76? cos74? 的值是( A.



3 2

B.

1 2

C.

3 2

D.-

1 2
( )

3.sin A.0

? ? - 3 cos 的值是. 12 12
B. — 2 C.

2

D. 2 sin

5? 12

1

4.△ABC 中,若 2cosBsinA=sinC 则△ABC 的形状一定是( A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 ) D.1 5.函数 y=sinx+cosx+2 的最小值是 ( A.2- 2 B.2+

) D.等边三角形

2

C.0

6.

1 ? tan15? =__________________________. 1 ? tan15?
12 13 3 ? ? ? (? , ? ) ,那么 cos (? ? ) =________. 2 4

7.如果 cos ? = -

8.已知 ? , ? 为锐角,且 cos ? =

1 7

cos (? ? ? ) = -

11 , 则 cos ? =_________. 14

9.tan20? +tan40? + 3 tan20? tan40? 的值是____________. 10.函数 y=cosx+cos(x+ 11.已知 sin(α+β)=

? )的最大值是__________. 3

tan ? 2 3 ,sin(α-β)= ,求 的值. tan ? 3 4

12.化简

sin 7? ? cos15? sin8? . cos 7? ? sin15? sin 8?

13. 求 sin

7π 2π 2π π cos -sin sin 的值. 18 9 9 9

14. 已知

3π 12 3 π <α<β< ,cos(α-β)= ,sin(α+β)=- ,求 sin2α 的值. 4 13 5 2

15.在△ABC 中,已知 sinA=

3 5 ,cosB= ,求 cosC 的值. 5 13

16.已知 ? , ? ? ( ?

? ?

, ) ,且 tan ? , tan ? 是方程 x2 ? 3 3x ? 4 ? 0 的两个根,求 ? ? ? . 2 2

2

3

参考答案

一、选择题: 1.D 2.B 3.B 4.C 5.A 二、填空题: 6:

3 3

7: ?

7 2 26

8:

1 2

9: 3

10: 3

解答: 3.解:∵ ∴

π 3π <α< , 4 4

π π < +α<π. 2 4

又 cos( ∴sin(

π 3 +α)=- , 5 4

π 4 +α)= . 5 4 π , 4

∵0<β< ∴

3π 3π < +β<π. 4 4 3π 5 +β)= , 4 13 3π 12 +β)=- , 4 13

又 sin( ∴cos(

∴sin(α+β)=-sin[π+(α+β) ]=-sin[ ( =-[sin( =-[

π 3π +α)+( +β) ] 4 4

π π 3π 3π +α)cos( +β)+cos( +α)sin( + β) ] 4 4 4 4

4 12 3 5 63 × (- )- × ]= . 5 13 5 13 65 b 8π π ,用 、 的三角函数表 a 15 5

4.分析:这道题看起来复杂,但是只要能从式子中整理出 示出来,再利用两角和与差的正、余弦公式计算即可.

π π π b π π b π a sin ? b cos sin ? cos sin ? cos 5 5 5 a 5 5 a 5 ? tan 8 π . 解:由于 ,则 ? π π π b π π b π 15 a cos ? b sin cos ? sin cos ? sin 5 5 5 a 5 5 a 5

4

8π π 8π π 8π π sin cos ? cos sin sin( ? ) b 15 5 15 5 15 5 =tan π = 3 . 整理,有 ? ? a cos 8 π cos π ? sin 8 π sin π cos(8 π ? π ) 3 15 5 15 5 15 5
5.分析:这道题的选题意图是考查两角和与差的正、余弦公式和诱导公式的综合运用以 及变角技巧.解题过程中,需要注意到( =2α. 解:cos(

π π π π π +α)+( -α)= ,并且( +α)-( -α) 2 4 4 4 4

π π π 5 π +α)=cos[ -( -α) ]=sin( -α)= , 13 2 4 4 4

又由于0<α< 则 0<

π , 4

π π π π π -α< , < +α< . 2 4 4 4 4

所以 cos(

π π 5 12 -α)= 1 ? sin2 ( ? ? ) ? 1 ? ( ) 2 ? , 4 13 13 4

π π 5 12 sin ( ? ? ) ? 1 ? cos2 ( ? ? ) ? 1 ? ( ) 2 ? . 4 4 13 13

cos 2? 因此 ? π cos( ? ? ) 4

π π cos[( ? a) ? ( ? ? )] 4 4 π cos( ? ? ) 4

π π π π cos( ? ? ) cos( ? ? ) ? sin( ? ? ) sin( ? ? ) 4 4 4 4 = π cos( ? ? ) 4
5 12 12 5 ? ? ? 24 = 13 13 13 13 ? . 5 13 13
6.分析:当题中有异角、异名时,常需化角、化名,有时将单角转化为复角(和或差) .本 题是将复角化成单角,正(余)切和正(余)弦常常互化. 欲求
tan ? tan ? sin? cos ? ? 的值,需化切为弦,即 ,可再求 sinαcosβ、cosαsinβ 的值. tan ? tan ? cos? sin ?

解:∵sin(α+β)= ∵sin(α-β)=

2 2 ,∴sinαcosβ+cosαsinβ= . 3 3

① ②

3 3 ,∴sinαcosβ-cosαsinβ= . 4 4

5

由(①+②)÷ (①-②)得

tan ? =-17. tan ?

7.分析:从角与角的关系探究三角函数间的关系;反之,利用三角函数间的关系去判断 角的大小及关系,这是常用的基本方法.可以先化去对数符号,将对数式转化为有理式,然后 再考察 A、B、C 的关系及大小,据此判明形状特征. 解:由于 lgsinA-lgsinB-lgcosC=lg2, 可得 lgsinA=lg2+lgsinB+lgcosC, 即 lgsinA=lg2sinBcosC, sinA=2sinBcosC. 根据内角和定理,A+B+C=π, ∴A=π-(B+C) . ∴sin(B+C)=2sinBcosC, 即 sinBcosC+cosBsinC=2sinBcosC. 移项化为 sinCcosB-sinBcosC=0, 即 sin(B-C)=0. ∴在△ABC 中,C=B. ∴△ABC 为等腰三角形. 8.分析:这道题要观察出 7° +8° =15° ,解题过程中还需要应用两角和与差的正弦、余弦 公式. 解: = = =

sin 7? ? cos15? sin8? cos 7? ? sin15? sin8?

sin( 15? ? 8?) ? cos15? sin 8? cos(15? ? 8?) ? sin15? sin 8?

sin15? cos 8? ? cos15? sin8? ? cos15? sin8? cos15? cos 8? ? sin15? sin8? ? sin15? sin8?

sin15? cos15?

=2- 3 .

9.解: (1)原式=sin(30° +45° )= sin30° cos45° +cos30° sin45° =
2? 6 . 4

2 3 2 1 · + · = 2 2 2 2

(2)原式= sin(13° +17° )=sin30° =

1 . 2 7π π π = - . 18 9 2

10.解:观察分析这些角的联系,会发现 sin

7π 2π 2π π cos -sin sin 18 9 9 9

6

=sin =sin

7π 2π 7π 2π π cos -sin( - )sin 18 9 18 9 2 7π 2π 7π 2π cos -cos sin 18 9 18 9 7π 2π - ) 18 9

=sin( =sin =

π 6

1 . 2
π ) , 2

11.解:设边锋为 C,C 到足球门 AB 所在的直线的距离为 CO=x,OB=b,OA=a(a>b >0,a、b 为定值) ,∠ACO=α,∠BCO=β,∠ACB=α-β=γ(0<γ< 则 tanα=
a b ab ,tanβ= (x>0, >0) . x x x

a b ? tan? ? tan ? a ? b ab a ? b 所以 tanγ=tan(α-β)= ≤ . ? x x ? ? 1 ? tan? tan ? 1 ? ab x x 2 ab x2
ab π , 即 x= ab 时, 上述等式成立. 又 0<γ< , tanγ 为增函数, 所以当 x= ab x 2 a?b 时,tanγ 达到最大,从而∠ACB 达到最大值 arctan . 2 ab

当且仅当 x=

所以边锋 C 距球门 AB 所在的直线距离为 ab 时,射门可以命中球门的可能性最大.

12.解:此题考查“变角”的技巧.由分析可知 2α=(α-β)+(α+β) . 由于

3π π π π <α<β< ,可得到 π<α+β< ,0<α-β< . 4 2 2 4 4 5 ,sin(α-β)= . 5 13

∴cos(α+β)=-

∴sin2α=sin[ (α+β)+(α-β) ] =sin(α+β)cos(α-β)+cos(α+β)sin(α-β) =(- =-

3 12 4 5 )· +(- )· 5 13 5 13

56 . 65

13.证明:sin(α+β)sin(α-β)=(sinαcosβ+cosαsinβ) (sinαcosβ-cosαsinβ) =sin2αcos2β-cos2αsin2β =sin2α(1-sin2β)-(1-sin2α)sin2β

7

=sin2α-sin2αsin2β-sin2β+sin2αsin2β =sin2α-sin2β, 所以左边=右边,原题得证. 计算 sin220° +sin80° · sin40° ,需要先观察角之间的关系.经观察可知 80° =60° + 40° =60° -20° , 所以 sin220° +sin80° · sin40° =sin220° +sin(60° +20° )· sin(60° -20° ) =sin220° +sin260° -sin220° =sin260° = 20° ,

3 . 4

分析: 此题目要灵活运用“化切为弦”的方法, 再利用两角和与差的三角函数关系式整理化 简. 14.解:原式=[2sin50° +sin10° (1+ 3 tan10° ) ]· 2 sin2 80? =[2sin50° +sin10° (1+ 3 =[2sin50° +sin10° (

sin10? ) ]· 2 cos2 10? cos10?

cos10? ? 3 sin10? ) ]· 2 cos2 10? cos10?

cos 50? =(2sin50° +2sin10° · )· 2 cos10° cos10?
=2 2 (sin50° cos10° +sin10° · cos50° ) =2 2 sin60° = 6. 15.解: (1)设 t=sinx+cosx= 2 sin(x+ 则 t2=1+2sinxcosx. ∴2sinxcosx=t2-1. ∴y=t2+t+1=(t+

π )∈[- 2 , 2 ] , 4

1 2 3 3 ) + ∈[ ,3+ 2 ] 2 4 4 3 . 4

∴ymax=3+ 2 ,ymin= (2)若 x∈[0,

π ] ,则 t∈[1, 2 ] . 2

∴y∈[3,3+ 2 ] , 即 ymax=3+ 2 ymin=3.

8


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