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12.1相似三角形的判定及其有关性质


第十二章 第一节

几何证明选讲

相似三角形的判定及其有关性质

强化训练当堂巩固 1.如图所示,在 ? ABCD 中,BC=24,E、F 为 BD 的三等分点,则 BM=

,DN=

.

答案:12 6 解析:∵AD∥BC, ∴△AED∽△MEB, △DFN∽△BFM. ∴ BM ? BE ? 1 ? DN ? DF ? 1 .

AD

ED

2 BM

FB

2

∴ BM ? 1 AD ? 12?

2

DN ? 1 BM ? 6 . 2
2.如图,在△ABC 中,AD 是 ?BAC 的角平分线,AB=5 cm,AC=4 cm,BC=7 cm,则 BD= cm.

答案: 35

9

解析:∵ AB ? BD ? 5 ?

AC 9

DC

4

∴ BD ? 35 cm. 3.如图,BD、CE 是△ABC 的中线,P、Q 分别是 BD、CE 的中点,则 PQ∶BC= .

答案:1∶4 解析:如图,连结 DE,则 BC∥DE.

又 BD、EC 为△ABC 的中线, ∴ ED ? 1 BC .

2

延长 PQ 交 AB 于 F,交 AC 于 G. ∵P 为 BD 的中点, ∴ PG ? 1 BC ? ED .

2

又 QG ? 1 ED?

2

∴ QG ? 1 PG ? PQ .

2

∴ PQ ? 1 PG ? 1 BC ?

2

4



PQ 1 ? . BC 4

4.如图,圆 O 的直径 AB=6,C 为圆周上一点,BC=3,过 C 作圆的切线 l,过 A 作 l 的垂线 AD, 垂足为 D,则线段 CD 的长为? ?.

答案:

3 3 2

解析:易知 AC 2 ? AB 2 ? BC 2 ? 27? 即 AC ? 3 3 .

由题可知,Rt△ABC∽Rt△ACD,

3 3. ∴ CD ? AC ? CD ? CB AB 2
5.在△ABC 中 ? ?C ? 90 ? ,在 AB 边上取一点 D,使 BD=BC,作 DE ? AB 交 AC 于 E,AC=8,BC=6.求 DE 的长. 解:在△ABC 中 ? ?C ? 90 ? ,AC=8,BC=6, ∴ AB ?

AC 2 ? BC 2 ? 10 .

又∵BD=BC=6, ∴AD=AB-BD=4. ∵ DE ? AB? ∴ ?ADE ? ?C ? 90 ? . 又∵ ?A ? ?A? ∴△AED∽△ABC. ∴ DE ? AD .

BC

AC

∴ DE ? AD ? BC ? 4 ? 6 ? 3 .

AC

8

课后作业巩固提升 见课后作业 A

题组一 平行线分线段成比例定理 1.如图,AB∥EF∥CD,已知 AB=20,CD=80,BC=100,则 EF 等于(

)

A.10 B.12 C.16 D.18 答案:C 解析:∵AB∥EF∥CD, ∴ EF ? CF ? EF ? BF .

AB

BC CD

BC

∴ EF ? EF ? CF ? BF ? 1?

AB 20

CD 80

BC

即 EF ? EF ? 1 . ∴EF=16. 2.如图,在△ABC 中,DE∥BC,DF∥AC,AE∶AC=3∶5,DE=6,则 BF=

.

答案:4 解析: DE ? AE ? 6 ? 3 ? BC ? 10?

BC

AC

BC

5

∴BF=10-6=4. 3.若一个梯形的中位线长为 15,一条对角线把中位线分成两条线段,这两条线段的比 是 3∶2,则梯形的上、下底长分别是 . 答案:12、18 解析:梯形的中位线被一条对角线分成的两段分别是 6 和 9,由三角形的中位线定理可 知,该梯形的上底长为 12,下底长为 18. 题组二 相似三角形的判定和性质 4.如图,已知 DE∥BC,△ADE 的面积是 2 cm 2 ? 梯形 DBCE 的面积为 6 cm 2 ,则 DE∶BC 的 值是? .

答案:1∶2 解析:∵DE∥BC, ∴△ADE∽△ABC. ∴

S? ADE DE 2 ? ? 2 ? 1 ? 即 DE∶BC=1∶2. S? ABC BC 2 2 ? 6 4
,AB 的长

5.如图,在△ABC 中,DE∥BC,EF∥CD,若 BC=3,DE=2,DF=1,则 BD 的长为 为? ?.

答案: 3

2

9 2 DB BC 2

解析:易知△FDE∽△ DBC ? FD ? DE ? BD ? 3 . 由 AE ? DE ? 2 ? AE ? 2 ? AF ? AF ? 2?

AC

BC 2

3

EC

FD

所以 AB ? 9 . 6.如图,D 是△ABC 的边 AB 上的一点,过 D 点作 DE∥BC 交 AC 于 E,已知 AD∶DB=2∶3, 则

S? ADE S四边形BCED

?

.

答案: 4

21

解析:由 AD∶DB=2∶3, 知 AD∶AB=2∶5, ∴

S? ADE ? 4 . S? ABC 25
S? ADE S四边形BCED ? 4 . 21



7.如图,四边形 ABCD 是圆 O 的内接四边形,延长 AB 和 DC 相交于点 P,若

PB ? 1 ? PC ? 1 ? 求 BC 的值. AD PA 2 PD 3

解:因为 A,B,C,D 四点共圆, 所以 ?DAB ? ?PCB? ?CDA ? ?PBC ? 因为 ?P 为公共角,所以△PBC∽△PDA. 所以 PB ? PC ? BC .

PD

PA

AD

y 设 PB=x,PC=y,则有 x ? ?x? 3y 2x

6y ? 2

所以 BC ? x ?

AD

3y

6. 6

题组三 直角三角形的射影定理 8.如图所示,已知直角三角形 ACB 中,BC=4,AC=3,以 AC 为直径作圆 O 交 AB 于 D,则 AD= .

答案: 9

5

解析:∵直角三角形 ABC,且 BC=4,AC=3, ∴AB=5. 根据射影定理知 ? AC 2 ? AD ? AB?
2 ∴ AD ? AC ? 9 .

AB

5

9.在直角三角形中,斜边上的高为 6,斜边上的高把斜边分成两部分,这两部分的比为 3∶2,则斜边上的中线长为 . 答案:

5 6 2

解析:设斜边上的两段的长分别为 3t,2t, 由直角三角形中的射影定理知: 62 ? 3t ? 2t ? 解之得 t ? 6 . ?∴斜边长为 5 6? 故斜边上的中线长为

5 6. 2

10.如图所示,圆 O 上一点 C 在直径 AB 上的射影为 D,CD=4,BD=8,求线段 DO 的长.

解:由射影定理可得

CD 2 ? AD ? BD?
即 16=8AD,∴AD=2. 又∵AB=AD+BD=10, ∴AO=OB=5, 即 OD=AO-AD=3.??


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