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(文章)正余弦定理的变式与活用


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定理活变,解题不难 在使用正余弦定理解决实际问题时, 不能只是从形式上套用公式, 而是把握公式的实质, 灵活使用公式变形求解。 使用公式恰当的变形可以快速解决问题, 本文探讨如何使用正余弦 定理的变式进行解题。 正弦定理变式: 1、 a ? 2 R sin

A , b ? 2 R sin B , c ? 2 R sin C (其中 R 为三角形外接圆半径) 例1. 在▲ABC 中,a、b、c 分别为角 A,B,C 的对边,且
2a ? c c 2a ? c c ? ? tan B tan c tan B tan c

,求 B 的大小。

解:根据正弦定理可知: a ? 2 R sin A , c ? 2 R sin C ,因为 所以
2 sin A ? sin c sin c ? tan B tan c ? sin B cos C sin C cos B

,所以 2 sin A cos B ? cos B sin C ? sin B cos C
1 2

所以 2 sin A cos B ? sin( B ? C ) ,又在▲ABC 中,sin(B+C)=sinA,所以 cos B ? 因为 0 ? B ? 180 ,所以 B=60 .
0 0



0

点评:利用正弦定理把边的关系转化为角的关系,再结合三角恒等变换求得结果,用正 弦定理转化边角关系时,注意边的次数相同才能实施转化。 2、 a : b : c ? sin A : sin B : sin C ;
2 例 2、 在▲ABC 中, 已知 a ? a ? 2 ( b ? c ), a ? 2 b ? 2 c ? 3 , sin C : sin A ? 4 : 13 , 若

求 a,b,c 解:因为 sin C : sin A ? 4 : 13 ,所以 c : a ? 4 : 13 ,设 c=4k, a ?
?13 k 2 ? 13 k ? 2 ( b ? 4 k ) ? 则? ? 13 k ? 2 b ? 8 k ? 3 ?
(1 ) (2) 5? 2

13 k ,

,得 13 k ? 16 k ? 3 ? 0 ,解得 k ?
2

3 13

或 k=1.

因为 k ?

3 13

时 b<0,故舍去,所以 k=1,此时 a ?

13 , b ?

13

, c ? 4.

点评:利用正弦定理,可以把角正弦的比值关系转化为边的比值关系,反之也行,由比 值而设参数 k,通过方程思想求出参数 k,从而解决解三角形的问题。 3、
a b ? sin A c sin C b sin B , ? , ? ; sin B a sin A c sin C c b

例 3、在 ABC 中,若 C=3B,求 解:
c b ? sin C sin B ? sin( B ? 2 B ) sin B

的取值范围。
2

? cos 2 B ? 2 cos

B ? 4 cos

2

B ?1,

0 因为 A ? B ? C ? 180 , C ? 3 B ,所以 0 ? 4 B ? 180 ,

0

2 2

? cos B ? 1 ,故 1 ?

c b

? 3.

点评: 角边比转化, 可考虑用正弦定理。 在▲ABC, 隐含条件 A ? B ? C ? ? 不可忽视, 本题若认为 cos
2

B ? [ 0 ,1] 则 4 cos

2

B ? 1 ? [ ? 1, 3 ] ,是不正确的。

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4、
a sin A ? a ?b sin A ? sin B ? a ?b?c sin A ? sin B ? sin C .
0

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例 4、在▲ABC 中, a ? b ? 6 ? 6 3 , ? A ? 30 , ? B ? 60 ,求边 c 的长。
0

解:显然 ? C ? 90 ,由正弦定理
0

a sin A

?

b sin B

?

c sin C

?

a ?b sin A ? sin B

?

6? 6 3 1 2 ? 3 2



所以 c ? 2 ?

(6 ? 6 3 ) 1? 3

? 12 .

点评: 碰到连等号的题意应联想到合、 分比定理, 三角形中含正弦的题目自然想到变式。 余弦定理变式: 1.由余弦定理,有 a ? b ? c ? 2 bc cos A , b ? a ? c ? 2 ac cos B ,两式相加
2 2 2 2 2 2

可得 2 c ? 2 bc cos A ? 2 ac cos B ? 0 , c ? b cos A ? a cos B , 即 这就是三角形中的射影定
2

理。 例 5、 (2008 浙江)在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a 、b、c ,若

?

3 b ? c cos A ? a cos C ,则 cos A ? _________.

?

分析:通过移项,发现结构 c cos A ? a cos C ,可用射影定理来解决。 解:由题意得 b cos A ? c cos A ? a cos C ,由射影定理知 c cos A ? a cos C =b, 即 3 b cos A ? b ,得 cos A ?
a
3 3 .

2.余弦定理的变形:( ) ? 1 ? ( ) ? 2 .
2 2

c

b

b

b 2 a 2 a cos A , ( ) ? 1 ? ( ) ? 2 . cos B , 若已 b c c c

c

知三角形两边之比及其夹角,用此变式往往快速求解; 例 6、已知 A、B、C 三角形是▲ABC 的三个内角,它们的对边分别是 a , b , c ,且
1 2

B=

(A ? C) ,

c a

?

3 ?1 2

,求此三角形三个内角的度数。
1 2
3 2

解 : 因 为 B=
b a c a c a

1 2

(A ? C) =

(180

0

? B) , 所 以

B=60
a b

0

, 所 以 由 结 论
sin A sin B

(

)

2

?1? (

) ? 2.
2

c o B ? s

,所以

b a

?

3 2

,又由正弦定理得

?

,即 sinA=

2 2

,所以 A=45 ,或 A=135 (不合题意舍去)所以 C=180 -45 -60 =75 。

0

0

0

0

0

0

故三角形的三个内角分别是 45 ,75 ,60 。

0

0

0

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正余弦定理的联袂推论及其应用

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在 ΔABC 中 , 若 a、 b、 c 分 别 是 A、 B、 C 的 对 边 , 由 正 弦 定 理 可 得 a= 2RsinA, b= 2RsinB, c= 2RsinC(R 为 Δ ABC 的 外 接 圆 半 径 ). 代 入 余 弦 定 理 中 , 可 得 推 论 : sin A= sin B+ sin C - 2 sinB sinCcosA;
2 2 2 2 2 2

sin B= sin A+ sin C - 2sinAsinCcosB;
2 2 2

sin C= sin B+ sin A - 2sinBsinAcosC. 例 7. 在 Δ ABC 中 , 若 sin A+ sin B= 2 sin C, 求 角 C 的 范 围 . 解 : 由 sin A+ sin B= sin C+ 2sinAsinBcosC 及 已 知 , 得
2 2 2 2 2 2

sin C= 2sinAsinBco sC,

2

即 1 - cos C= [co s(A - B) - cos(A - C)]co sC

2

∴ 2cos C+cosCcos(A-B)-1=0,又 cos(A-B) ? 1.
?
3

2

∴ 2cos C+cosC-1≥0,解得 cosC≥

2

1 2

,从而 0<C≤



点评:利用正余弦定理变式综合三角恒等变换是解决这类问题的常见策略。

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