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用向量法证明空间中的平行垂直关系-讲义


用向量法证明空间中的平行垂直关系
新知新讲
点、直线和平面位置的向量表示 用空间向量解决立体几何问题的“三部曲” (1)建立立体图形与空间向量的联系, 用空间向量表示问题中涉及的点、 直线、 平面, 把立体几何问题 转化为向量问题; (2)通过向量运算, 研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题; (3)把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义.

金题精讲
? ? 题一:设 a , b 分别是直线 l1,l2 的方向向量,根据下列条件判断直线 l1,l2 的位置关系: ? ? (1) a =(2,-1,-2), b =(6,-3,-6) ? ? (2) a =(1,2,-2), b =(-2,3,2) ? ? 题二:设 u , v 分别是平面 α,β 的法向量,根据下列条件判断平面 α,β 的位置关系: ? ? (1) u =(-2,2,5), v =(6,-4,4) ? ? (2) u =(1,2,-2), v =(-2,-4,4)

题三:如图,已知直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AC⊥BC,D 为 AB 的中点,AC=BC=BB1. (1)求证:BC1⊥AB1; (2)求证:BC1∥平面 CA1D.

用向量法证明空间中的平行垂直关系
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讲义参考答案
题一:(1)平行 (2)垂直

????? ????? ???? ? 题三:以 C1 为原点,以 C1 A 1 , C1 B 1 , C1C 为 x 轴、y 轴、z 轴建系如图
设 AC=BC=BB1=1,则 A(1,0,1),B(0,1,1), B1(0,1,0),C1(0,0,0) → → (1)∵BC1= (0,-1,-1),AB1= (-1,1,-1) → → ∴BC1· AB1=0-1+1=0 → → ∴BC1⊥AB1 ∴BC1⊥AB1 (2)C(0,0,1),A1(1,0,0),D(

题二:(1)垂直 (2)平行

1 1 , ,1) 2 2

设平面 CA1D 的法向量为 m = (x,y,z)

??

???? ? ??? ? 1 1 CA 1 ? (1,0, ?1) , CD ? ( , ,0) 2 2

? x?z?0 ? ?1 1 x? y?0 ? ?2 2 ????? ?? ?? 取 m ? (1, ?1,1) ,则 BC 1 ? m ? 0 ? 1 ? 1 ? 0 ????? ?? ∴ BC 1 ? m
又 BC1 ? ∥平面 CA1D ∴BC1∥平面 CA1D

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