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人教版数学必修二全册课件合集


必修二

第一章
1.1 1.2 1.3

1.1

空间几何体的结构

主要内容
空间几何体导入 1.1.1棱、锥、台、球的结构特征 1.1.2简单组合体的结构特征

空间几何体导入

奥运场馆

鸟巢

/>
奥运场馆

水立方

世博场馆

中国馆 世博轴

演艺中心

观察实例,思考共性
观察下面的图片,这些图片中的物体具有什 么几何结构特征?你能对它们进行分类吗?分类 依据是什么?

观察实例,思考共性

观察实例,思考共性

观察实例,思考共性

归类分析

归类分析

多面体

我们把由若干个平面多边形围成的几何体叫 做多面体.

围成多面体的各个多边形叫做多面体的面
相邻两个面的公共边叫做多面体的棱

棱与棱的公共点叫做多面体的顶点

多面体

D1 A1 B1 C1


D C A B

顶点

面ADD1 A1 , 面 ABCD等 棱A1A, 棱AB等 顶点 A, 顶点B等

归类分析

归类分析

旋转体

一个矩形绕着它的一条边所在的一条直 线旋转所成的封闭几何体叫做圆柱,这条定 直线叫做圆柱的轴. 我们把一个平面图形绕着它所在平面内 的一条直线旋转所行成的封闭几何体叫做旋 转体,这条定直线叫做旋转体的轴.

探究问题
分别以直角三角形的不同的边所在的直线为 轴旋转三角形得到的旋转体形状相同吗? 如果不 同请你画出来。

1.1.1 柱、 锥、 台、 球

的结构特征

1. 棱柱的结构特征
什么叫棱柱? 有两个面互相平行, 其余各面都是四边形,并 且每相邻两个四边形的公 共边都互相平行,由这些 面围成的多面体叫做棱柱.
底面

侧面

侧棱

顶点

记为:棱柱ABCDEF-A'B'C'D'E'F'

棱柱的分类
??棱柱的底面可以是三角形、四边形、五边形、 ……把这样的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五 棱柱、……

三棱柱

四棱柱

五棱柱

棱柱的表示

三棱柱ABC-A'B'C' 四棱柱ABCD-A'B'C'D' 六棱柱ABCD-A'B'C'D'E'F

常见的棱柱

?

?

平行六面体

直平行六面体

长方体

正方体

?正方体?? ?长方体?? ?直平行六面体 ? ? ?平行六面体?

你能举出关于棱柱的生活实例吗?

2.棱锥的结构特征
什么是棱锥?

一般地,有一个面是 多边形,其余各面都是有 一个公共点的三角形,由 这些面围成的多面体叫做 棱锥.

符号表示:四棱锥S-ABCD

棱锥的分类
依据底面多边形的边数进行分类,底面是n 边形的棱锥叫做n棱锥. 常见的棱锥:三棱锥、四棱锥、五棱锥等

你能举出关于棱柱的生活实例吗?

思考 ?

这两个几何体与棱锥有什么关系?

S
截面A' B ' C ' D ' E '∽ 底面 ABCDE
E'
A' D' C' B'

S A'B 'C 'D'E ' S ' H '2 ? S ABCDE SH 2

D O

E A

C
B

3. 棱台的结构特征
什么是棱台? 一般地,用一个平行于棱锥底面的平面去截 棱锥,底面和截面中间的部分的多面体叫做棱台.

上底面 侧面

侧棱

下底面

顶点

三棱台

四棱台ABCD-A'B'C'D'

棱台的应用

4. 圆柱的结构特征
什么叫圆柱?

以矩形的一边所在直线为旋转轴,其余三 边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱.

侧面

底面
轴 母线

旋转轴叫做圆柱的轴

平行于轴的 边旋转而成 的曲面叫做 圆柱的侧面 无论旋转到什么 位置不垂直于轴 的边都叫做圆柱 侧面的母线 垂直于轴的边 旋转而成的面 叫圆柱的底面

棱柱和圆柱统称为柱体

5. 圆锥的结构特征
什么叫圆锥?
与圆柱一样,以直角三角形的一条直角边所 在直线为旋转轴,其余两边旋转形成的面所围成 的旋转体叫做圆锥.


侧面

母线 底面

探究圆锥的轴、底面、 侧面、母线的定义.
旋转轴叫做圆锥的轴 不垂直于轴的边旋 转而成的曲面叫做 圆锥的侧面

无论旋转到什么位置 不垂直于轴的边都叫 做圆锥侧面的母线

垂直于轴的边旋转而 成的面叫圆锥的底面

6. 圆台的结构特征
什么是圆台? 与棱台类似,用一个平行于圆锥底面的平 面去截圆锥,底面和截面中间的部分的旋转体 叫做棱台.

上底面

母线

下底面


侧面

探究:类比圆柱、圆锥, 圆台可以看成由什么平 面图形旋转得到?

棱台和圆台统称为台体

7. 球的结构特征
什么叫球?

以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆面旋转 一周形成的旋转体叫做球体,简称球.
球心

球的半径

探究
棱柱、棱锥与棱台都是多面体,它 们在结构上有哪些相同点和不同点?三 者关系如何?当底面发生变化时,它们 能否互相转化? 圆柱、圆锥与圆台呢?

探究 问题:侧面都是等边三角形的棱锥不可能是( D
A. 三棱锥 B. 四棱锥 C.五棱锥 D.六棱锥



小结
空间几何体的结构特征
1. 棱柱的结构特征 2. 棱锥的结构特征 3. 棱台的结构特征 4. 圆柱的结构特征

5. 圆锥的结构特征
6. 圆台的结构特征

7. 球的结构特征

作业
P8-p9习题1.1 1,2

1.1.2 简单组合体的 结构特征

问题1:有两个面互相平行, 其余各面都是四边形的几何体是 棱柱吗? 答:不一定是.如右图所 示,不是棱柱. 问题2:有两个面互相平行, 其余各面都是平行四边形的几 何体是棱柱吗? 答:不一定是.如右图所 示,不是棱柱.

凸多面体和凹多面体
V

C
D A B

E 把多面体的任何一个面伸展为平面,如果 所有其他各面都在这个平面的同侧,这样的多 面体叫做凸多面体。

正多面体

正四面体

正六面体

正八面体

正十二面体

正二十面体

多面体

正多面体的展开图

简单组合体
现实世界中的物体表示的几何体,除柱 体、锥体、台体和球体等简单几何体外,还 有大量的几何体是是由简单几何体组合而成 的,这些几何体叫做简单组合体.

探究

观察实物图形判断这些几何体是怎样由简单几 何体组成的?

简单组合体的构成
一、由简单几何体拼接而成 二、由简单几何体截取或挖 去一部分而成

观察两个实物几何体,你能说出它们各由哪 些简单几何体组合而成吗?

(1)

(2)

思考1

世博轴的曲面是如何构成的?

世博中国馆是外形如何构成的?
思考2

思考3 课后思考题 观察本地标志性建筑思考其外观几何体是如 何构成的?

小结
凸多面体

正多面体
简单的组合体

作业
P7 练习 1,2,3

P9习题1.1 A 3,4,5

1.2

空间几何体的三视 图和直观图

主要内容
1.2.1 中心投影与平行投影

1.2.2空间几何体的三视图 1.2.3空间几何体的直观图

1.2.1

中心投影与平行投影

投影
我们知道,光线是直线传播的,由于光的照射, 在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影 子,这种现象叫做投影。 其中,我们称光线叫投影线,把留下物体的屏 幕叫做投影面

投影线 投影面

中心投影
定义 把光由一点向外散射形成的投影,叫做中心 投影. 一个点光源把一个图形照射到一个平面上、 这个图形的影子就是它在这个平面上的中心投影. 中心投影后的图形与原 图形相比虽然改变较多、但 直观性强、看起来与人的视 觉效果一致、最像原来的物 体、所以在绘画时、经常使 用这种方法.

平行投影
定义

我们把一束平行 光线照射下形成的投 影,叫做平行投影.
平行投影的投影 线是平行的. 投影面 在平行投影中, 投影线正对着投影面 时,叫做正投影,否 则叫做斜投影.

光线
斜投影

投影线斜对 着投影面

正投影

对比三种投影
平行投影

(a)中心投影 (b)斜投影 (c)正投影

探究
问题1:一个三角形ABC在中心投影下,得到 三角形A’B’C’, 问这两个三角形是否相似?为什 么?

问题2:一个三角形ABC在平行投影投影下, 得到三角形A’B’C’, 问这两个三角形是否全等? 为什么?

小结
? 投影 ? 中心投影

? 平行投影

1.2.2
空间几何体的三视图

三视图概念
三个互相垂直的投影面
从前向后方 向的投影线 从左向右方 向的投影线

从上到下方 向的投影线

“视图”是将物体按正投影法向投影面投射时所得 到的投影图.

三视图的形成 光线从几何体的前面向后面正投影 所得的投影图称为“正视图” 侧视图 光线从几何 体的左面向 右面正投影 所得的投影 图称为“侧 视图”

正视图

俯视图

光线从几何体的上面向下面正投影所得的投 影图称为“俯视图”.

三视图的平面位置
正视图、侧视图、俯视图在平面图中的一般位置
正视图 侧视图

俯视图 正视图、侧视图、俯视图统称为三视图

三视图的关系
定义:长、宽、高 长:左、右方向的长度 宽:前、后方向的长度 高:上、下方向的长度
结论:


正视图

侧视图 高平齐 宽 相 等


1.一个几何体的正视图和侧视图 的高度一样,
2.正视图与俯视图的长度一样

长对正

3.侧视图与俯视图宽度一样

俯视图

举例画出三视图

正视图

侧视图

圆锥

俯视图

举例画出三视图

正视图

侧视图

正三棱锥
俯视图

举例画出三视图

正视图

侧视图

六棱柱
俯视图

举例画出三视图

根据三视图想象其表示的几何体

根据三视图想象它们表示的几何体的结构特征

正视图

侧视图

圆台
俯视图

根据三视图想象它们表示的几何体的结构特征

正视图

侧视图

正四棱台 俯视图

简单组合体的三视图

知识小结

小结
? 三视图的概念
? 三视图的形成

? 三视图的平面位置
? 三视图的关系

? 三视图的举例
? 简单组合体的三视图

作业
P15 练习1,2,3,4 P20-21 习题1.2 1,2,3.

1.2.3 1.2.3 空间几何体的直观图 空间几何体的直观图

斜二测画法
观察正方体的平面图

问:正方体的每个面都是正方形,但在 平面图中有几个面画成正方形?平行四边形?

水平直观图
正方形的水平直观图
y y

0 0

x

x

1. 水平方向线段长度不变;
变化 规则

2. 竖直方向的线段向右倾斜450,长度减半;
3. 平行线段仍然平行.

水平直观图
正三角形的水平直观图

C C A
0

y B x

B

A

o

M

水平直观图
直角梯形的水平直观图
y

D

C D′

y′ C′ B′ x′

A

B x
0

A′

1 ?x?o?y? ? 45 , A?D? ? AD , A?B? ? AB 2

水平直观图
正六边形的水平直观图的画法
y

F

M

E F′ M A′ D
x

y′ E′ D′ C′ x′

A

o′ B′

N

B

N

C

斜二测画法
定义:上述画水平放置的平面图形的直观图的
方法叫做斜二测画法,有如下步骤和规则
(1)在原图形中建立平面直角坐标系xoy,同 时建立直观图坐标系 x?o?y ?,确定水平面,?x?o?y? ? 450 (2)与坐标轴平行的线段保持平行; (3)水平线段等长,竖直线段减半.
y y' 0 x o

x'

空间几何体的直观图
例1.画长、宽、高分别为4cm、3cm、2cm的长 方体ABCD-A′B′C′D′的直观图?
D′ A′ D Q z y B′ C x B A

C′
A′

D′
B′ D B

C′

C

o
A P

水平方向的矩形画成平行四边形的直观 图竖直方向(z轴)的线段长度不变

斜二测画法
由几何体的三视图可以得到几何体的直观图
z
y′

正视图

侧视图

A′ o′

B′ y B x′

俯视图

A

o

x

反思提高
思考题:如图ΔA’B’C’是水平放置的ΔABC的直 观图,则在ΔABC的三边及中线AD中,最长的线段 是( AC )

小结
? 正方形的水平直观图 ? 正三角形的水平直观图

? 直角梯形的水平直观图
? 正六边形的水平直观图

? 斜二测画法
? 长方体的直观图

作业
P19-20 练习 1,2,3,4,5 P21 习题1.2 A.4,5 B组1,2,3

1.3 空间几何体的表面积 与体积

主要内容
1.3.1 柱体、椎体、台体的表面积与体积 1.3.2 球的表面积和体积

1.3.1 柱体、锥体、台体 的表面积与体积

什么是面积? 面积:平面图形所占平面的大小
a b a A c h a

S=ab
b

h

S?

1 ( a ? b) h 2

S?
C

1 ah ? 1 ac sin B 2 2

r

S ? ? ?r2
1 n S ? l ?r ? ? ?r2 360 2

B

b A a

S ? a ? ha ? b ? hb

l
r

? ab sin A

圆心角为n0

特殊平面图形的面积
正三角形的面积
a

1 3 s? ? a?a 2 2

正方形的面积
正六边形的面积

s?a

2

a

a

1 3 3 3 2 S ? 6? ? a?a ? a 2 2 2

多面体的表面积
正方体和长方体的表面积

h b a

长方体的表面展开图是六个矩形组成的 平面图形,其表面是这六个矩形面积的和. 设长方体的长宽高分别为a、b、h,则 S=2(ab+ah+bh) 其表面积为

特别地,正方体的表面积为S=6a2

多面体的表面积
一般地,由于多面体是由多个平面围成的空间 几何体,其表面积就是各个平面多边形的面积之和.
棱柱的表面积=2 ?底面积+侧面积 侧面积是各个侧面面积之和

棱锥的表面积=底面积+侧面积

棱台的表面积=上底面积+下底面积+侧面积

多面体的表面积
例1.已知棱长为a,底面为正方形,各侧面均 为等边三角形的四棱锥S-ABCD,求它的表面积. 解:四棱锥的底面积为a2, 每个侧面都是边长为a的正三 角形,所以棱锥的侧面积为
1 3 S侧 ? 4 ? ? a ? a ? 3a 2 2 2 所以这个四棱锥的 表面积为
S ? a 2 ? 3a 2 ? (1 ? 3)a 2

旋转体的表面积
一般地,对于圆柱、圆锥、圆台等旋转体,其 底面是平面图形(圆形),其侧面多是曲面,需要 按一定规则展开成平面图形进行面积的计算,最终 得到这些几何体的表面积. 圆柱 底面是圆形 圆柱的侧面展 开图是一个矩 形

S底 ? ?r

2

S侧 ? 2?r ? l

S表 ? 2?r (r ? l )

旋转体的表面积
圆锥 侧面展开图是 一个扇形

底面是圆形

S底 ? ?r

2

1 S侧 ? ? 2?r ? l 2 ? ?rl

S表 ? ?r (r ? l )

旋转体的表面积
圆台 侧面展开图是 一个扇状环形

底面是圆形

S上底 ? ?r?2

S下底 ? ?r

2

S侧 ? ? (r? ? r )l
2 2 ? S表 ? ? (r ? r ? r?l ? rl )

旋转体的表面积
例2.一个圆台形花盆盆口直径为 20cm,盆底直 径为 15cm ,底部渗水圆孔直径为 1.5cm ,盆壁长 15cm,为了美化花盆的外观,需要涂油漆. 已知每 平方米用100毫升油漆,涂100个这样的花盆需要多 少 油 漆 ( 精 确 到 1 毫 升 ) ?
20

解:由圆台的表面积公式得一 个花盆外壁的表面积
15 15 20 1.5 S 表 ? ? [( ) 2 ? ?15 ? ?15] ? ? ? ( ) 2 2 2 2 2 ? 1000(cm) 2 ? 0.1(m 2 )

15

所以涂100个花盆需油漆: 0.1?100?100=1000(毫升).

空间几何体的体积
体积:几何体所占空间的大小
正方体的体积=棱长3

长方体的体积=长×宽×高

棱柱和圆柱的体积
高h

底面积S 柱体的体积 V=Sh

棱锥和圆锥的体积
S 高h

D
E O

底面积S

C

A

B

1 体积 V ? Sh 3

棱台和圆台的体积

高h

1 V ? ( S ? ? S ?S ? S )h 3

例3.有一堆规格相同的铁制六角螺帽共重 5.8kg(铁的密度是7.8g/cm3),已知螺帽的底 面是正六边形,边长为12mm,内孔直径为10mm, 高为10mm,问这堆螺帽大约有多少个? 解答: V≈2956(mm3)=2.956 (cm3) 5.8×100÷7.8×2.956 ≈252(个)

小结
? 常见平面图形的面积 ? 多面体的表面积和体积 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 ? 旋转体的表面积和体积 圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积

作业
? P27 练习1,2 ? P28-29 习题1.3 A组 1,2,3,4,5,6

1.3.2

球的体积和表面积


球的表面积
球的体积 球面距离

球的体积和表面积
设球的半径为R,则有体积公式和表面积公式

4 3 V ? ?R 3

A

R
O

S ? 4?R

2
B

球的体积和表面积
例1 如图,圆柱的底面直径与高都等于球的直 2 径,求证:(1)球的体积等于圆柱体积的 3 ; (2)球的表面积等于圆柱的侧面积. 解:设球的半径为R,则圆柱的底面 半径为R,高为2R.
1)因为 V球 ? ?R 3, V圆柱 ? ?R ? 2R ? 2R
2

4 3

3

2 所以, V球 ? V圆柱 3

2)因为 S球 ? 4?R ,S圆柱侧 ? 2?R ? 2R ? 4R
2

2

所以,S球 ? S圆柱侧

球的体积和表面积
例2. 已知正方体的八个顶点都在球O的球面上, 且正方体的棱长为a,求球O的表面积和体积. 解答:正方体的一条对 角线是球的一条直径, 所以球的半径为
3a R? 2

C′

o
3a 2 ) ? 3?a 2 2

S球 ? 4?R ? 4?(
2

4 3 3 3 3 V球 ? ?( a) ? ?a 3 2 2

A

球的体积和表面积
例3 已知A、B、C为球面上三点,AC=BC=6, AB=4,球心O与△ABC的外心M的距离等于球半径的 一半,求这个球的表面积和体积.
3 6 解答:R ? , 2 S ? 54? ,V ? 27 6?

O A
M B C

球面距离
球面距离 即球面上两点间的最短距离, 是指经过这两点和球心的大圆的劣 弧的长度. 球心O
B

O
A

B

大圆劣弧的圆心角为α弧 度,半径为R,则弧长为

A

大圆圆弧

L=αR

球面距离
例4. 已知地球的半径为R,在地球的赤道上 经度差为1200的两点间距离.
2 答案:120 ? ? 3
0

o B A

2 球面距离为 d ? ?R 3

作业
P28 练习1,2,3 P29-30 习题 B组 1,2,3

第二章
2.1 2.2 2.3

2.1

空间点、直线、平 面之间的位置关系

主要内容
2.1.1 平面 2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系 2.1.3空间中直线与平面之间的位置关系

2.1.1 平 面

构成图形的基本元素
D′ A′ D A B 面无厚薄 点、线、面 B′ C′ 点无大小

C

线无粗细



直线

可无限延伸的

平面

平面是可无限延展的

平面的表示
平面的画法 一般来说,常用正方形或长方形表示平面,如 图一, 在画立体图时,为了增强立体感, 常常把平 面画成平行四边形,如图二是按照斜二测画法得到的 平面的水平直观图.

图一

图二

平面的表示
平面的符号表示 D C ? A B 1. 希腊字母: 平面?, 平面?,平面?

2. 一个或几个拉丁字母: 平面M, 平面AC,

平面ABCD等

平面的表示
两个相交平面的画法和表示 平面?和平面?相交于一条直线a ? a ? 平面??平面?=直线a 被遮住的部分画虚线

a

平面的表示
用集合符号表示 点与直线、点与平面、直线 与平面的关系 直线和平面都可以看成点的集合

P ? l, A ?? “点P在直线l上”,“点A在平面α内”
P ? l , A ?? “点P在直线l 外”,“点A在平面α外”
直线 l 在平面α内,或者说平面α经过直线 l 直线 l 在平面α外.

l ? ?,l ? ?

平面的基本性质
思考1:如何让一条直线在一个平面内?

公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内 ,那么这条直线在此平面内.

平面经过这条直线 集合符号表示

A .

B .

α

A ? l , B ? l , 且A ?? , B ?? ? l ? ?
作用:为判断直线与平面的位置关系提供依据

平面的基本性质
思考2:经过两点可以确定一条直线, 那么经过几个点可以确定一个平面呢?

公理2 过不在一条直线上的三点,有且只有一个 平面. “不共线的三点确定一个平面”
?

集合符号表示

. A . B . C

已知A、B、C三点不共线,则存在惟一平 面?,使得A、B、C?? 作用:判断几个点共面或直线在同一个平面内

平面的基本性质
思考3:如果两个平面有一个公共点, 那么还会有其它公共点吗?如果有这些 公共点有什么特征?

公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点, 那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
P ?? , 且P ? ? ? ? ? ? ? l , 且P ? l

?

作用:判断两个平面位 置关系的基本依据

?

P

l

例题
例1 如图,用符号表示下列图形中点、直线、 平面之间的位置关系.

a
α A l

α a l b β

B β

P

(1)

(2)

解:1) A??,B??,???=l,a??=A,a??=B 2) a??,b??,???=l,a?l=P, b?l=P, a?b=P

例2:已知直线a,和点P,P?a,求证 经过点P和直线a有且只有一个平面.
P a

探究问题
? 根据公理1探究直线与平面的各种位置关系. ? 根据公理2探究两条相交直线或平行直线确定一个

平面的合理性.
? 根据公理3探究平面与平面的各种位置关系.

小结
1.平面的表示:概念、图形、符号等 2.平面的基本性质

公理1
公理2

公理3
3.判断共面的方法

作业
P43 练习1,2,34

P51 习题A组 1,2

2.1.2

空间中直线与直线 之间的位置关系

两条直线的位置关系
思考1:同一平面内两条直线有几种位置关系? 空间中的两条直线呢?

b
C

a

1)教室内日光灯管所在直线与黑板左右两 侧所在直线的位置关系如何?

2)天安门广场上,旗杆所在直线与长安 街所在直线的位置关系如何?

两条直线的位置关系
观察 如图, 长方体ABCD-A′B′C′D′中,线段 A′B所在直线分别与线段CD′所在直线,线段 BC所在直线,线段CD所在直线的位置关系如何? D' A' B' C'

D A
B

C

两条直线的位置关系
定义 不同在任何一个平面内的两条直线 叫做异面直线.

a
b

a

b

异面直线的图示

两条直线的位置关系
问题 关于异面直线的定义,你认为下列哪个说法 最合适? A. 空间中既不平行又不相交的两条直线;

B. 平面内的一条直线和这平面外的一条直线;
C. 分别在不同平面内的两条直线;

D. 不在同一个平面内的两条直线;
E. 不同在任何一个平面内的两条直线.

两条直线的位置关系
空间中的直线与直线之间有三种位置关系: 相交直线: 同一平面内,有且只有一 个公共点; 平行直线: 同一平面内,没有公共点; 异面直线: 不同在任何一个平面内,没有公共点

共面直线

探究 如图是一个正方体的表面展开图,如果将它还原 为正方体,那么AB,CD,EF,GH这四条线段所在直线 是异面直线的有多少对? A D A C G D
H E F E 直线EF 和直线HG 直线AB 和直线CD

B

H

B

G
C

F

答:3对

直线AB 和直线HG

平行直线
观察 如图, 在长方体ABCD—A′B′C′D′中, BB′∥AA′,DD′∥AA′,那么BB′与DD′平行 吗 ? D' C'

A'
D A 答:平行

B'

C B

平行直线
公理4 平行于同一直线的两条直线互相平行.

如果a//b,b//c,那么a//c 空间中的平行线具有传递性 C F D F

D
A C

B

E

A

B

三条平行线共面

E 三条平行线不共面

平行直线
问题 已知三条直线两两平行,任取两条直线能确 定一个平面,问这三条直线能确定几个平面? D C

F

D
A C E
三条平行线不共面

F

B

E

A

B

三条平行线共面

平行直线
例2 如图,空间四边形ABCD中,E,F,G,H分 别是AB,BC,CD,DA的中点.
求证:四边形EFGH是平行四边形. 证明:连接BD,

因为
所以 同理

EH是 ?ABD 的中位线,
1 EH // BD ,且 EH ? BD 2 1 FG // BD ,且 FG ? BD 2

A E H

D
F

G C

因为 EH // FG ,且 EH ? FG B 所以 四边形EFGH 是平行四边形.

探究 在上例中,如果再加上条件AC=BD,那么四 边形EFGH 是什么图形? 答:四边形EFGH是菱形 A H

1 1 因为EF ? AC, EH ? BD 2 2 且AC ? BD 所以EF ? EH 所以平行四边形 EFGH是菱形
B

E
D F G C

等角定理 思考1 在平面上,我们容易证明“如果一个角的 两边和另一个角的两边分别平行, 那么这两个 角相等或互补”.空间中,结论是否仍然成立?

思考2: 如图,四棱柱ABCD--A′B′C′D′的底面是平行 四边形,∠ADC与∠A′D′C′, ∠ADC与∠B′A′D′ 的两边分别对应平行,这两组角的大小关系如何 ? C' C' B' B' A' A' D' D' C C B B

D

A
∠ADC=∠A′D′C′

D

A

∠ADC+∠B′A′D′=1800

思考3 如图,在空间中AB// A′B′,AC// A′C′, 你能证明∠BAC与∠B′A′C′ 相等吗?

E? A? E D? C

C?

B?

A

D

B

等角定理
定理 空间中如果两个角的两边分别对应 平行,那么这两个角相等或互补.
AC // A?C?, ? AB // A?B?
C
C

? A
C?

B

? A

B
C?

?

A?

B?

?

B?

A?

等角定理:空间中如果两个角的两边分别 对应平行且方向相同,那么这两个角相等.

异面直线所成的角
思考 在同一平面内两条相交直线形成四个角,常 取较小的一组角来度量这两条直线的位置关系,这 个角叫做两条直线的夹角.在空间中怎样度量两条 异面直线的位置关系呢?

a

a b b
平面内两条相交直线 空间中两条异面直线

已知两条异面直线a,b,经过空间任一点O作直 线 a? // a, ?b? // b ,把 a ? 与 b ? 所成的锐角(或直角)叫 做异面直线a与b所成的角.
b
b?

b
a?

?

a

O

?

O

a? a

异面直线所成的角
探究 我们规定两条平行直线的夹角为0°,那么 两条异面直线所成的角的取值范围是什么?
b
? ?? ? 0, ? ? 2?

?

a

如果两条异面直线所成角为900,那么这两 条直线垂直. 记直线a垂直于b为:a?b

异面直线所成的角
探究 (1)在长方体ABCD ? A?B?C ?D?中,有没有两条棱 所在的直线是相互垂直的异面直线? 如: AD与BB?, A?D?与BB? 等.
D?

C?
B?

(2)如果两条平行直线中的 D 一条与某一条直线垂直,那么, B 另一条直线是否也与这条直线 A 垂直? 垂直 (3)垂直于同一条直线的两条直线是否平行?

A?

C

不一定,如上图的立方体中 AB ? BB?, BC ? BB?, 直线AB与BC相交,

异面直线所成的角
例3 已知正方体 ABCD ? A?B?C ?D? . B A? (1)哪些棱所在直线与直线 是异面直线? BA? 和 CC ? 的夹角是多少? (2)直线 (3)哪些棱所在的直线与直线 AA? 垂直? 解:(1)由异面直线的定义可知, D? C? 棱 AD, ? A? DC , ? C C?, ? D D?, D?C?, ?B?C? 所在 B? 的直线分别与直线 BA?是异面直线. D C ?B?BA? 为 (2)由 BB? // CC ? 可知, A B ?B?BA? ? 45?, 异面直线 BA?与 CC ?的夹角, 所以 BA? 与 CC ? 的夹角为 45? . BC , ? CD , ? DA , ?A?B?, ?B?C?, ?C?D?, ?D?A? (3)直线 AB, ? 分别与直线 AA? 垂直.

练习1
在如图所示的长方体中,AB= 3 ,且

AA1=1,求直线BA1和CD所成角的度数.

D1

C1

A1
D
A

B1
C
B
O

30

练习2
如图,在四面体ABCD中,E,F分别是棱AD, BC上的点,且 EF ? 3 , 求异面直线AB和CD所成的角. A E
AE BF 1 ? ? ,已知AB=CD=3, ED FC 2

D
B F C

练习3

n直线相交最多有几个交点?

本节小结
基本知识 (1)空间直线的三种位置关系.
(2)平行线的传递性. (3)等角定理. (4)异面直线所成的角.

基本方法 把空间中问题通过平移转化为平面问题.

作业
P48 练习1,2 P51 -52习题2.1 A组 3,4(1)(2)(3)(6),5,6, B组1

2.1.3
空间中直线与平面之间 的位置关系

主要内容
直线与平面的位置关系 直线在平面内 直线与平面相交 直线与平面平行

直线与平面
思考?
1)一支铅笔所在的直线 与一个作业本所在的平面, 可能有几种关系?
2)如图,线段A’B所在直 线与长方体ABCD-A’B’C’D’的六 A' 个面所在平面有几种位置关 系? A D' B' C'

D
B

C

直线与平面
直线和平面的位置关系有且只有三种 (1)直线在平面内 有无数个公共点

a ?

记为:a??

直线与平面
(2)直线与平面相交 有且只有一个公共点

a

?

A

记为:a??=A

直线与平面

(3)直线与平面平行
a

没有公共点

?

记为:a//?

直线与平面
直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外 记为:a?? a//?
a a

a??=A 或

A ?

?

直线与平面
例1. 下列命题中正确的个数是 ( B ) 1)若直线 l 上有无数个点不在平面?内,则 l//? 2) 若直线 l 与平面?平行,则 l 与平面?内的任意 一条直线都平行 3)如果两条平行直线中的一条与一个平面平行,那 么另一条也与这个平面平行 4)若直线 l与平面?平行,则 l与平面?内的任意一 条直线都没有公共点.
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3

主要内容
直线与平面的位置关系 直线在平面内

直线与平面相交
直线与平面平行

作业
P49 练习

P51-53 习题2.1A组 4(4)(5) B 2,3

2.1.4

平面与平面之间的 位置关系

平面与平面之间的位置关系
思考 (1)拿出两本书,看作两个平面,上下、左 右移动和翻转,它们之间的位置关系有几种?

(2)如图,围成长方体ABCD-A′B′C′D′的六个面, 两两之间的位置关系有几种?
D' A' D A B B' C'

C

两个平面的位置关系
两个平面的位置关系有且只有两种 ①两个平面平行——没有公共点 ②两个平面相交——有一条公共直线. 分类的依据是什么?

公理3 如果两个不重合的平面有一个公共 点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线.

两个平面平行或相交的画法及表示
? ? ? ? m

?//?

???=m

探究1

? ,直线a、b,且?//?,a??,b??, 已知平面? 、 则直线a与直线b具有怎样的位置关系?

a ? b

?

答:平行或异面

探究2 如果三个平面两两相交,那么它们的交线 有多少条?画出图形表示你的结论.

b β γ
α
相交于一条交线

β

l

a

b

l a

γ

α

三条交线

三条交线

探究3

? 一个平面可以把空间分成几个部分? ? 两个平面可以把空间分成几个部分?

? 三个平面可以把空间分成几个部分?

小结
平面与平面的位置关系 平面与平面相交

平面与平面平行

作业
P50 练习 P52 习题2.1 A组7,8

2.2 直线、平面平行的 判定及其性质

主要内容
2.2.1 直线与平面平行的判定

2.2.2 平面与平面平行的判定

2.2.3 直线与平面平行的性质

2.2.4 平面与平面平行的性质

2.2.1 直线与平面平行的 判定

复习

直线和平面的位置关系 一条直线和一个平面的位置关系有且只有以下三种:

(1)直线在平面内——有无数个公共点. (2)直线和平面相交——有且只有一个公共点. (3)直线和平面平行——无公共点.

直线和平面相交或平行的情况统称为直线在平面外.

直线和平面的三种位置关系的画法

直线在平面内

直线与平面相交

直线与平面平行

观察 若将一本书平放在桌面上,翻动书的封面,观察封面边缘所在直线l与 桌面所在的平面具有怎样的位置关系?

l

直线和平面平行
思考 如图,设直线b在平面α内,直线a在平面α外,猜想在什么条件下 直线a与平面α平行.

a

a//b
α
b

直线和平面平行
判定定理 如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行,那么这条直 线和这个平面平行.

b

?

判定定理的证明

? a ?? b ? 已知: ,
求证: a // ?

a // b ,
b

证明:因为a // b
所以经过a、b确定一个平面?. 因为 a?? ,而a?? , 所以? 与?是两个不同的平面. 因为b??,b? ? 所以 ???=b

?

未完

判定定理的证明

下面用反证法证明a与?没有公共点:
假设a与?有公共点P??,而???=b,得P?b, 所以 点P是a、b的公共点,这与a//b矛盾.

所以a//?

例1 求证:空间四边形相邻两边中点的连线,平行于经过另外两边 的平面.

E、F 分别是 AB、AD 已知:空间四边形 ABCD 中, 的中点.

求证: EF //平面 BCD . 证明:连结 BD . AE ? EB ? ? AF ? FD? ? EF // BD ? ? 又EF ? 平面BCD? BD ? 平面BCD ? ?

? EF // 平面BCD

例2 在长方体ABCD—A1B1C1D1中. (1)作出过直线AC且与直线BD1平行的截面,并说明理由.

(2)设E、F分别是A1B和B1C的中点,求证直线EF//平面ABCD. D1

C1

M A1 D E H A G B B1 F C

小结
直线与平面平行的判定定理可简述为

“线线平行,则线面平行”

思想方法 通过直线间的平行,推证直线与平面平 行,即将直线与平面的平行关系(空间问题)转化为直线间的平行关 系(平面问题).

作业
P55-56练习1,2
P62 习题2.2 A组 3,4

2.2.2

平面与平面平行的判定

思考1: 我们知道,两个平面的位置关系是平行或相交.

? ?

问:对于两个平面α、β,你猜想在什么条件 下可保证平面α与平面β平行?

思考2

1.三角板的一条边所在直线 与桌面平行,这个三角板所在平 面与桌面平行吗?
2. 三角板的两条边所在直线分别与桌 面平行,三角板所在平面与桌面平行吗?

A

A

思考3

1.一般地,如果平面α内有一条直线平行 于平面β,那么平面α与平面β一定平行吗?

2. 如果平面α内有两条直线平行于平面β, 那么平面α与平面β一定平行吗?
α

β

两个平面平行的判定
判定定理:如果一个平面内有两条相交直线都 平行于另一个平面,那么这两个平面平行.

平面平行的判定定理的证明 已知:在平面?内,有两条直线 、 相交且和平面?a 平行. b
求证:

? // . ?
假设 .? c ? ??

证明:用反证法证明.

? a // ? , a ? ? ,

? a // c 同理 b // c, ? a // b 这与题设 和 a 是相交直线是矛盾的. b ?? // ?

例题分析
例1 已知:在正方体ABCD-A′B′C′D′中. 求证:平面AB′D′∥平面BC′D.

D′ B′ A′ D

C′

C

A

B

例2 心.

在三棱锥P-ABC中,点D、E、F分别是△PAB、△PBC、△PAC的重

求证:平面DEF//平面ABC.

P

F A M B D E C N

练习

已知:

交与点 O, AA'=A' O, 直线 AA'、BB '、CC ',

BB' ? B' O,

CC ' ? C ' O,求证:平面 ABC ??平面 A' B ' C '

小结
1. 知识小结

2. 思想方法
线线平行 线面平行 面面平行

作业
P58练习1,2,3 P62 习题2.2 A 组 7, 8

2.2.3

直线与平面平行的 性质

复习

直线与平面平行的判定定理是什么?
定理 若平面外一条直线与此平面内的 一条直线平行,则该直线与此平面平行.

问:其逆定理是否成立?

思考1

如果直线a与平面α平行,那么直线a与平 面α内的直线有哪些位置关系?

a
α

思考2

若直线a与平面α平行,那么在平面α内与直 线a平行的直线有多少条?这些直线的位置关系如 何?

a
α

思考3

教室内日光灯管所在的直线与地面平行,如 何在地面上作一条直线与灯管所在的直线平行?

a

α

直线与平面平行
性质定理及证明 如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这 条直线和交线平行.

已知: a // ? ,? ? ? ,? ? ? ? b a // b . 求证: 证 明:

? ?? ?b . ? b ??
a // ?

? ? ?

? a ? b ? ?? ? 又a ? ? ? ? a // b ? b?? ?

问题解决

教室内日光灯管所在的直线与地面平行,如 何在地面上作一条直线与灯管所在的直线平行?
灯管

地面

例1 在图中所示的一块木料中,棱BC平行于平面A’C’ . (1)要经过平面 内的一点P 和棱BC将木料据开,应怎样画线? (2)所画的线和平面AC 是什么位置关系?

A?C ?

D′ A′ D A B P C′

B′
C

例2 已知平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面,求证另一条 也平行于这个平面.

如图,已知直线a,b和平面α ,a∥b, a∥α , a,b都在平面α外 . 求证:b∥α .

b

a
α c

练习 如果三个平面两两相交,有三条交线,如果有两条交线平行,那么第 三条交线和这两条交线的位置关系如何?

b

β

?
l α a

三条交线两两平行

小结
直线与平面平行的性质定理可简述为
“线面平行,则线线平行”

思想方法 线面平行的性质定理不但提供了用线面平行来证明线线平行的方法, 也提供了作平行线的一种方法.

作业
P61-63习题2.2 A组1,2,5,6

2.2.4

平面与平面平行的性质

复习1: 两个平面的位置关系是

平行或相交 .

? ?

复习2:

两个平面平行的判定

判定定理:如果一个平面内有两条相交直线都 平行于另一个平面,那么这两个平面平行.

思考1 若

l与平面β的位置关系如何? ? // ? ,,则直线 l ??

?

l

?

两个平面平行的性质
结论1
如果两个平面平行,那么其中一个平面内的直线平行于另一个平 面.

?

a

? // ? , a ? ? ? a // ?
?

思考2 若 如何?

?,直线 // ?

l 与平面α相交,那么直线 l 与平面β的位置关系

l

α β

思考3

若 ?//? ,平面α、β分别与平面γ相交于直线a、b,那么直线a、b 的位置关系如何?为什么?

α β

a b
?

两个平面平行的性质定理 定理:如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线 平行.

即:

? // ? ? ? ? ? ? ? a ? ? a // b ? ? ? ? b? ?
这个定理判定两直线平行的依据之一

例1 求证:夹在两个平行平面间的平行线段相等.

A

C

β

α

B

?

D

例2 在正方体ABCD-A′B′C′D′中,点M在CD′上,试判断直线MB′与平面 BDA′的位置关系,并说明理由.

C′ A′

B′

D′

M

C

B

D

A

例3 如图,已知AB、CD是夹在两个平行平面α、β之间的线段,M、N分别为 AB、CD的中点,求证:MN∥平面β.

C A α N M E D β B

l

练习1

如果三个平面两两相交,那么它们的交线位置如何?

b γ

β

β α

l α

γ a b l a

相交于一条交线

三条交线两两平行

三条交线相交 于一点

应用举例
练习2 一条斜线和两个平行平面相交,求证它和两个平面所成的角相等.

小结
1. 知识小结 几个结论和性质的应用 2. 思想方法

面面平行

线面平行或线线平行

作业
P61 练习 P63习题2.2 B组2,3,4

2.3 直线、平面垂直的 判定及其性质

主要内容
2.3.1 直线与平面垂直的判定

2.3.2 平面与平面垂直的判定

2.3.3 直线与平面垂直的性质

2.3.4 平面与平面垂直的性质

2.3.1

直线与平面垂直的 判定

复习1 直线和平面的位置关系

直线在平面内

直线与平面相交

直线与平面平行

观察
旗杆与地面的位置关系

大桥的桥柱与水面的位置关系

线面垂直

直线和平面垂直
思考1 旗杆与地面中的直线的位置关系如何?

思考2

将一本书打开直立在桌面上, 观察书脊 (想象成一条直线)与桌面的位置关系呈什么 状态?此时书脊与每页书和桌面的交线的位置 关系如何?

思考3

一条直线与一平面垂直的特征是什么?

特征:直线垂直于平面内的任意一条直线.

A C

?

C?

B?

B

直线和平面垂直
定义 如果直线 l 与平面?内的任意一条直线都垂直,我们说直线 l 与平 面? 互相垂直.

记为l ? ?

平面 ? 的垂线 垂足

l
P

直线 l 的垂面

?
平面内任意一 条直线

思考4

如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线, 那么这条直线是否与这个平面垂直?

l α

探究 如图,准备一块三角形的纸片,做一个试验:

A

A
D

C
B
D

C

?

B

过?ABC的顶点A翻折纸片,得到折痕AD,将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(BD, DC于桌面接触). (1)折痕AD与桌面垂直吗? (2)如何翻折才能使折痕AD与桌面所在平面?垂直.

A

A

C
B
D

D

C

?

B

当且仅当折痕AD 是BC 边上的高时,AD 所在直线与桌面所在平面α垂直.

思考5
(1)有人说,折痕AD所在直线与桌面所在平面 上的一条直线垂直,就可以判断AD 垂直平面 ,你同意他的说法吗?

? ?

(2)如图,由折痕 变, ,

AD ? CD

,翻折之后垂直关系不 AD ? BC .由此你能得到什么结论?

AD ? BD
A

A
C
D

B

D

C

?

B

线面垂直的判定
判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线 与此平面垂直.

? ? ? a ?? ??l ?? ? b ?? a ?b ? A ? ?
作用: 判定直线与平面垂直. 思想: 直线与平面垂直

l?a l ?b

l

b

?

A

a

直线与直线垂直

例1. 如图,已知 证明:在平面 因为直线 内作

,求证

a // b, ? a ??
两条相交直线m,n.

b ? ?.
b
n

?

, a ??

a

根据直线与平面垂直的定义知

a ? m, a ? n.
又因为 所以

?
是两条相交直线,

m

b // a
b ? m, b ? n.


所以

m ? ? , n ? ? , m, n
b ? ?.

例2 已知:正方体中,AC是面对角线,BD' 是与AC 异面的体对角线. 求证:AC⊥BD'

D′ A′ D A B

C′

B′
C

证明:连接BD 因为正方体ABCD-A'B'C'D' 所以DD‘⊥平面ABCD
AC ? 平面ABCD
A′

D′
B′

C′

又因为 AC ? DD'
所以 因为AC、BD 为对角线 所以AC⊥BD 因为DD'∩BD=D
A B D C

所以AC⊥平面D'DB

例3 在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,AB⊥BC,PA=AB,D为PB的中点, 求证:AD⊥PC.

P D A B

C

探究 如图,直四棱柱 (侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱)中, A?B?C ?D? ? ABCD 底面四边形 满足什么条件时, ?

ABCD

A?C ? B?D?
B?

A?

D?

C?

A D B
答:底面四边形ABCD对角线相互垂直.

C

小结
直线与平面垂直的判定定理可简述为 “线线垂直,则线面垂直”

思想方法 通过直线间的垂直,推证直线与平面垂直,即将直线与平面的垂 直关系(空间问题)转化为直线间的垂直关系(平面问题).

问题提出

前面讨论了直线与平面垂直的问题,那么直 线与平面不垂直时情况怎么样呢?

第2课时

直线与平面所成的角

线面角相关概念
平面的斜线 平面的垂线

P
斜足A

l

垂足B

α
斜线PA在平面内的射影

A

B

斜线PA与平面?所成的角为?PAB

1.斜线与平面所成的角是指斜线和它在平面上的 射影所成的角 (0,900 )
2.平面的垂线与平面所成的角为直角
3. 一条直线与平面平行或在平面内,则这条直线与平面所成的角的 00角

一条直线与平面所成的角的取值范围是

[0,900 ]

例1 在正方体ABCD-A1B1C1D1中.

(1)求直线A1B和平面ABCD所成的角;
(2)求直线A1B和平面A1B1CD所成的角.
D1 C1 B1 A1

O C D A B

例2 如图,AB为平面?的一条斜线,B为斜足, AO⊥平面?,垂足为O,直线BC在平面?内,已知 ∠ABC=60°,?OBC=45°,求斜线AB和平面α所 成的角.
A

B D

O

α

C

思考1

如图,∠BAD为斜线AB与平面α所成的角,AC 为平面α内的一条直线,那么∠BAD与∠BAC的大小 关系如何?
B 解:作BO?AD于O,BE?AC于E, 则 BD<BE sin?BAD<sin?BAC o A

D ∠BAD >∠BAC

α

E

C

思考2

两条平行直线与同一个平面所成的角的大小 关系如何?反之成立吗?一条直线与两个平行平 面所成的角的大小关系如何?

思考3

1.两条平行直线在同一个平面内的射影可能 是哪些图形?
2.两条相交直线在同一个平面内的射影可能是哪些图形?

3.两条异面直线在同一个平面内的射影可能是哪些图形?

小结
1. 直线与平面的位置关系可以用直线与平面所成的 角来度量. 线面垂直和线面平行是特殊情况.

2. 斜线与平面所成的角是该斜线与平面内任意直线 所成角中最小的角.
3. 求一斜线与平面所成的角的关键是找出该斜线在 平面内的射影.

作业
P67练习1,2,3

2.3.2

平面与平面垂直的判定

地球赤道面 卫星轨道面

概念

直线上的一点将直线分割成两部分,每一部 分都叫做射线. 平面上的一条直线将平面分割成 两部分,每一部分叫半平面.

射线 射线

半平面

半平面

概念

A
从一点出发的两条射线,构成平面角.

O
记作?AOB 同样,从一条直线出发的两个半平面所组 成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的 棱,这两个半平面叫做二面角的面.

B

?

m

?

记为:二面角?-m-?

二面角的图示

二面角的记号
(1)以直线 为棱,以 l 为半平面的二面角记为:

?, ?

(2)以直线AB为棱,以 为半平面的二面角记为:

?, ?

? ?l ? ?
?
l

? ? AB ? ?
?
B

?

?

A

思考3

两个相交平面有几个二面角?

探究

如何用平面角来表示二面角的大小?
β B l

二面角?-l-?
O A β B l O α A α

二面角的平面角
以二面角的棱上任意一点为顶点,在两个 面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线 所成的角叫做二面角的平面角.

∠AOB即为二面角α-AB-β的

平面角

注意:二面角的平面角必须满足: (1)角的顶点在棱上. (2)角的两边分别在两个面内. (3)角的边都要垂直于二面角的棱.

二面角的取值范围

?0 ,180 ?或 [0,? ]
0 0

β

l

α

0度角

00~1800

180度角

例1.在正方体中,找出二面角C1-AB-C的平 面角,并指出大小.
D1 B1 C1

A1

N M D C

A

B

端点

例2 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,求二面角B1-AC-B的正切值.

C1 B1 C
O

D1 A1 D A

B

例3 如图所示,河堤斜面与水平面所成二面角 为300,堤面上有一条直道CD,它与堤角的水平线AB 的夹角为450 ,沿这条直道从堤脚C向上行走10m到 达E处,此时人升高了多少m?

D E
O

A C

F

B

小结二面角的平面角的作法:

1.定义法: 根据定义作出来.

?
A o

l

?
B

2.作垂面: 作与棱垂直的平面与两半平面 的交线得到.
3.应用三垂线定理: 应用三垂线定理或其逆定理作 出来.

o

?
A
l

?
B

l

A
o

?
?

l

B

第2课时

平面与平面垂直的判定

平面与平面垂直的判定
定义 一般地,两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平 面互相垂直.

记为??? β a A α b ? ?

判定定理:如果一个平面经过另一个平面的 垂线,则这两个平面垂直.
β

a?? a ? 面?

?? ? ?
α

a

A

线线垂直

线面垂直

面面垂直

例1 如图,⊙O在平面α内,AB是⊙O的直径, 同于A、B的任意一点,求证:平面PAC⊥平面PBC.

PA⊥α,C为圆周上不

P

C A O B

证明: ? PA ? 面? , BC ? 面?
又? AB为圆的直径

? PA ? BC ? AC ? BC

? AC ? BC ? ? PA ? AC ? A ? ? PA ? 面PAC ? ? AC ? 面PAC ?
BC ? 面PAC ? ? ? 面PAC ? 面PBC BC ? 面PBC ?

PA ? BC

例2 在四面体ABCD中,已知AC⊥BD,∠ BAC= ∠CAD=45°,∠BAD=60°, 求证:平面ABC⊥平面ACD.

D

C E

B

A

例3 如图,四棱锥P-ABCD的底面为矩形,PA⊥底面ABCD,PA=AD,M为AB的中 点,求证:平面PMC⊥平面PCD.

P
F E

D A M

C

B

探究: 已知AB ? 面BCD, BC ? CD
请问哪些平面互相垂直的,为什么?

AB ? 面BCD ? 面ABC ? 面BCD AB ? 面BCD ? 面ABD ? 面BCD CD ? 面ABC ? 面ABC ? 面ACD
B

A

D C

小结
1. 知识小结 1)二面角及其平面角 2)两个平面互相垂直 2. 思想方法
线线垂直 线面垂直 面面垂直

作业
P69练习 P73习题2.3 A,1,2,3,4.

2.3.3

直线与平面垂直的 性质

复习

a??

直线与平面垂直的定义是什么?

直线与平面垂直的判定定理是什么?

a

α

思考1 如图,长方体ABCD—A1B1C1D1中,棱AA1,BB1,CC1,DD1所在直线与底面ABCD 的位置关系如何?它们彼此之间具有什么位置关系?

C1 A1

D1

B1

C B A

D

思考2

如果直线a,b都垂直于同一条直线l,那么直线a,b的位置关系如何?

l
a b a b

l

b

l
a

相交

平行

异面

思考3 如果直线a,b都垂直于平面α,那么a与b一定平行吗?

a

b

?

直线与平面垂直的性质定理

垂直于同一个平面的两条直线平行
a b

?
a ??? ? ? a // b b ???

直线与平面垂直
性质定理的证明

反证法证明:
a b’

b

α

O

c

例1
求证:

如图,已知
.

CB ?于点 ? B,

? ? ? 于点 ? lA ,, CA ? ? , a ? ? , a ? AB,
C
β

a // l

B α l A a

小结
直线与平面垂直的性质定理可简述为
“线面垂直,则线线垂直” “线面垂直,则线线平行” 思想方法 线面垂直的性质定理不但提供了用线面垂直来证明线线平行的方 法,也提供了作平行线的一种方法.

作业
P71练习1,2 P73习题2.3 A组,5,6. B组1,2

2.3.4

平面与平面垂直的性质

复习1

两个平面相互垂直

三个平面两两垂直

α
β

α

β

l γ

l

复习2

两个平面垂直的判定

判定定理:如果一个平面经过另一个平面的垂线, 那么这两个平面互相垂直.
α

β

l

1.黑板所在平面与地面所在平面垂直,在黑板上是否存在直线与地面垂直? 若存在,怎样画线?

α

β

2.如图,长方体ABCD—A1B1C1D1中,平面A1ADD1与平面ABCD垂直,其交线为 AD,直线A1A,D1D都在平面A1ADD1内,且都与交线AD垂直,这两条直线与平面 ABCD垂直吗?

C1

D1

B1

A1

C

D

B

A

3. 设 ? , , ? ? CD , AB ? ? , AB ? CD 垂足为B,那么直线AB与平面?的位置关系如何?为什么?

?

? ?

?

β E D

B α C

A

两个平面垂直的性质
性质定理:两个平面垂直,则一个平面内垂 直于交线的直线与另一个平面垂直.
β
a l α A
面面垂直?线面垂直

? ?? ? ? ? ? ? ? l? ? a ? ? ? a?? ?
a?l ? ?

若α⊥β,过平面α内一点A作平面β的垂线a,那么垂线a与平面?具有什么样 的位置关系?

α

A

反证法证明点B在两个平面的交线 上

B
β

B’

注意:过一点只能作一条直线垂直于 已知平面.

结论
如果两个平面互相垂直,那么经过一个平面内一点且垂直于另一个平 面的直线,必在这个平面内.

α

A

B β

例1.如图,已知α⊥β,a⊥β,a??,试判断直线l与平面α的位置关系, 并说明理由.

α b l β A a

例2 如图,四棱锥P-ABCD的底面是矩形,AB=2, ,侧面PAB是等边三角形,且侧面PAB⊥底面ABCD. (1? )证明:侧面PAB⊥侧面 PBC; BC 2 (2)求侧棱PC与底面ABCD所成的角.

P

A
E B

D

C

对于三个平面?、?、?,如果???,???,β??,???= l ,那么直线l与平面? 的位置关系如何?为什么?

β

l
α a b ?

解答:在?内分别作平面的垂 线a、b,则a? l,b? l, a与b 必相交. 所以l⊥?

小结
1. 知识小结 几个结论和性质的应用 2. 思想方法

面面垂直

线面垂直或线线垂直

作业
P73练习:1,2.

P73习题2.3A组:7,8,9
P74习题2.3B组:3,4

第三章
3.1 3.2 3.3

3.1

直线的 倾斜角和斜率

主要内容
3.1.1 倾斜角与斜率 3.1.2 两条直线平行与垂直的判定

3.1.1 倾斜角与斜率

倾斜角与斜率
y

对于平面直角坐标系 内的一条直线l,它的位 置由哪些条件确定呢? o x 两点确定一条直线. 还有其他方法吗?或 者说如果只给出一点,要 确定这条直线还应增加什 么条件? 在直角坐标系中,图中的四条红色直线在位置上有 什么联系和区别? 经过同一点 倾斜程度不同

倾斜角与斜率
直线的倾斜角 当直线l与x轴相交时, 我们取x轴作为基准,x轴 正向与直线l向上方向所成 的角?叫做直线l 的倾斜角. 0 ??<180
o o

y

y

y
l

l4
y o

y o

l3

l2

l1
o

l

x
o

P
l

? x
x

y o

o?x
l

? xx

l1的倾斜角为锐角 l2的倾斜角为直角 l3的倾斜角为钝角

规定:当直线与x轴平行或重合时,它的倾斜角为0o

平面直角坐标系内,任何一条直线都有倾斜角, 倾斜角表示平面坐标系内一条直线的倾斜程度.

在平面直角坐标系中,已知直线上一点不能 3x 的图象是直线,在坐标 一次函数 y ? x, y ? 确定一条直线的位置 . 同样已知直线的倾斜角, 系中画出这两条直线,并求这两条直线的倾斜角分 也不能确定一条直线的位置. 别是多少? y y 已知直线上一点和其倾斜角可以惟一确定一 y y=x A y ? 3x 条直线. C A 问:不同的直线其倾斜角一定不相同吗? y=x+1
o B x o C o
D B x x

取点A(1,1) B(1,0) 取点 取点 A(1 C( ,1 2) , B(1 ,0) D( C(-1 1,0 , ) 0) 3 )

?AOB=450

00 ? ? ACB=45 COD=60

思考:日常生活中,还有没有表示倾斜程度的量呢? 下列各图中标出的角α是直线的倾斜角吗?
y α
o y y x y o升 α

y

升高量 坡度(比) o? α x x 前进量

o
o

α

?



x
x

前进

直线的斜率 一条直线倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率。 斜率通常用k 表示,即: (? ? 90o ) 0 0 (1)当 ? ?[0 ,90 ) 时,k随? 增大而增大,且k ? 0 0 0 (2)当 ? ? (90 ,180 ) 时,k随? 增大而增大,且k<0

k ? tan ?
0

注意: ? ? 90 时,k不存在

y

o

x

关于直线的倾斜角和斜率,其中DEF __说法是正确的. A.任一条直线都有倾斜角,也都有斜率; B.直线的倾斜角越大,它的斜率就越大; C.平行于x轴的直线的倾斜角是0或π; D.两直线的斜率相等,它们的倾斜角相等 E.直线斜率的范围是(-∞,+∞).. F. 一定点和一倾斜角可以唯一确定一条直线

1.当倾斜角α =0 ,30 ,45 ,60 时,这条直线 的斜率分别等于多少? 2.当倾斜角α =120 ,135 ,150 时,这条直线的
o o o

o

o

o

o

斜率分别等于多少?
3.当直线的倾斜角在什么范围时,其斜率k>0? 当直线的倾斜角在什么范围时,其斜率k<0? 倾斜角为锐角时,k>0; 倾斜角为钝角时,k<0; o 倾斜角为0 时,k=0.

4.指出下列直线的倾斜角和斜率: (1) y ? ? 3x; (2) y ? x tan60?;  (3) y ? x tan( ?30?).  5.结合图形,观察倾斜角变化时,斜率的变化情况.
y o x y o x y o x y o x

如果给定直线的倾斜角,我们当然可以根据斜率 的定义 k =tanα求出直线的斜率; 如果给定直线上两点坐标,直线是确定的,倾斜 角也是确定的,斜率就是确定的,那么又怎么求出直

线的斜率呢?

探究: 经过两点 p1 ( x1 , y1 ), p2 ( x2 , y2 ) ,且 x1 ? x2 的直线的斜率k
y y

P1 ( x1 , y1 )
o
?

P2 ( x2 , y2 )
?

P2 ( x2 , y2 )
?

y

y

Q( x2 , y1 ) Q( x2 , y1 )
x

P 1 ( x1 , y1 ) ?

P2
?

P1
?

P1
Q
?

Q

P2

o

x

o

x

?

o

x

(1)

(2)

(3)

(4)

1.当直线 PP 1 2 的方向向上时:

k 图(1)在 Rt ?PP 1 2Q 中,

? tan ?

0 Q ? tan(180 ? ? ) ? ? tan ? k ? tan ? 图(2)在 Rt ?PP 中, 1 2 y2 ? y1 | QP2 | y2 ? y1 tan ? ? | QP | ? x ? x ? ? x ? x 2 1 1 1 2 y2 ? y1 y1 ? y2 ? k ? tan ? ? ? x2 ? x1 x1 ? x2 y2 ? y1 y1 ? y2 ? 同理也有k ? tan ? ? 2.当直线 PP 1 2 的方向向下时, x2 ? x1 x1 ? x2

| QP2 | y2 ? y1 ? tan ?QPP ? 1 2 ? x2 ? x1 | QP 1|

斜率公式 经过两点 P 1 ( x1 , y1 ), P 2 ( x2 , y2 ) 的直线的斜率公式

公式的特点: (1) 与两点的顺序无关; (2) 公式表明,直线的斜率可以通过直线上任意两 点的坐标来表示,而不需要求出直线的倾斜角 o (3) 当x1=x2时,公式不适用,此时α=90 1.当直线P1P2平行于x轴或与x轴重合时,用上述公 式求斜率. 由y1=y2,得 k=0 2.当直线P1P2平行于y轴或与y轴重合时,上述公式 由x1=x2,分母为零,斜率k不存在 还适用吗?为什么?

y2 ? y1 k? ( x1 ? x2 ) x2 ? x1

例1 、如图,已知A(4,2)、B(-8,2)、C(0,-2), 求直线AB、BC、CA的斜率,并判断这 些直线的 倾斜角是什么角? y. B . A 解: . . . . . . . o x 2?2 . ?0 直线AB的斜率 k ?
AB

直线BC的斜率 kBC 直线CA的斜率 kCA

?2?2 ?4 1 ? ? ?? 0 ? (?8) 8 2

?8? 4

C

∵ k AB ? 0 ∴直线AB的倾斜角为零度角。 ∵ k BC ? 0 ∴直线BC的倾斜角为钝角。 ∵ kCA ? 0 ∴直线CA的倾斜角为锐角

2 ? ( ?2 ) 4 ? ? ?1 4?0 4

例2 . 已知点A(3,2),B(-4,1),C(0,-l),求 直线AB,BC,CA的斜率,并判断这些直线的倾斜角是 锐角还是钝角.

例3 在平面直角坐标系中,画出经过原点且 斜率分别为1,-1,2及-3的直线l1,l2,l3及l4.
l4 l2

y

l3

l1

思考:斜率随倾斜角 逐渐变大是怎样的变 化?

o

x

y

o
0 0 45 ? ? ? 60 ? 例4、(1)直线的倾斜角为 ,且

x

[1, 3] 则直线的斜率k的取值范围是______ 。

(2)直线的倾斜角为 ? ,且 450 ? ? ? 1350 [1, ??) ? (??, ?1] 。 则直线的斜率k的取值范围是_______
(3)设直线的斜率为k,且 ?1 ? k ? 1 ,则直线
0 0 0 0 [0 , 45 ) ? [135 ,180 的倾斜角?的取值范围是_______。 )

小结:1.由()( 1 2)得出:若?的范围不含900,则k范围取中间 若?的范围含900,则k范围取两边 2.由(3)得:负 ? k ? 正,应将k值分为正负两部分,

再求角范围

(3,2),( B -4,1),C(0, ?1 ), 例5:已知点 A

(1).求直线AB,BC,CA的斜率,并判断这 些直线的倾斜角是锐角还是钝角 (2).过点C的直线 l 与线段AB有公共点, 求 l 的斜率k的取值范围
y

A B

o
C

1? 2 1 解:(1)k AB ? ? 锐角 ?4 ? 3 7 ?1 ? 1 1 k BC ? ?? 钝角 0 ? ( ?4) 2 x ?1 ? 2 锐角 kCA ? ?1 0?3 1 (2)k ?[1,+?)?(-?,- ] 2

一半

3 例6:已知直线AB的斜率为 4 ,直线
解:kl ? 2k AB 3 3 ? 2? ? 2 4 tan 2?
错解 2?

l 的倾斜角是 直线AB的倾斜角 ?的两倍,求直线 l 的斜率.

? ? 2 tan 2 tan 3 2k 2 2 解:由 tan ? ? 得: ? ? ,即 2 4 1 ? k 2? 2? 1 ? tan 1 ? tan 2 2 1 2 3k ? 8k ? 3 ? 0, 解得:k1 ? 或k2 ? ?3 (舍) 3

3 24 4 解:k ? tan 2? ? ? ? 2 1 ? tan ? 1 ? ( 3 ) 2 7 4

小 结

1 直线倾斜角的概念 2 直线的倾斜角与斜率的对应关系 ?a ? 0? ? k ? tan0? ? 0 ? ? ? 0 ? a ? 90 ? k ? tan a ? 0 ? ? ? a ? 90 ? tan a(不存在) ? k不存在 ? ?90? ? a ? 180? ? k ? t ana ? 0 ? 3 已知两点坐标,如何求直线的斜率? 斜率公式中脚标1和2有顺序吗?
y2 ? y1 y1 ? y2 k? ? ( x1 ? x2 ) x2 ? x1 x1 ? x2

作业

P86练习:1,2,3,4. P89习题3.1A组:1,2,3,4,5

y

y

o

x

o

x

3.1.2
两条直线的 平行与垂直的判定

在平面直角坐标系下,倾斜角可以表示直线的 倾斜程度, 斜率也可以表示直线相对于x轴的倾斜 程度。我们能否通过直线斜率来判断两条直线的位 置关系? y

l1

l2

y2 ? y1 k? ( x1 ? x2 ) x2 ? x1

o

?1

?2

x

设两条直线l1,l2的斜率分别为k1,k2
若l1// l2, 则k1,k2满足什么关系? l1 // l2 k=tan?

? ?1 ? ? 2

l1 // l2且斜率都存在? k1 ? k2

反之, 若k1=k2, ,则易得 l1// l2

两条直线平行的条件
对于两条不重合的直线,平行的充要条件

l1 // l2 ? k1 ? k2或斜率都不存在
如果两直线垂直,这两条直线的倾斜角有什么 关系?斜率呢? 如图,设直线l1与l2的倾斜角 y 分别为α1与α2,且α1<α2,

l2
α
1

l1 α
2

因为l1⊥l2 ,所以α2=90 +α1 1 tan? 2 ? ? cot?1 ? ? tan?1
1 所以k 2 ? ? k1

o

O

x

两条直线的垂直判定
当 k 1· k2 =-1时,直线l1与l2一定垂直吗? 是 对于两条互相垂直的直线l1和l2,若一条直 线的斜率不存在,那么另一条直线的斜率如何? y l1 y l1 l2 l
2
o x

对于直线l1和l2,其斜率 分别为k1,k2,根据上述分析 可得什么结论?

O

α

1

α

2

x

l1 ? l2 ? k1k2 ? ?1

例1 下列说法正确的是( ③ ) ①若两条直线斜率相等,则两直线平行。 ②若l1//l2, 则k1=k2 ③若两条直线中有一条直线的斜率不存在, 另一条直线的斜率存在,则两直线相交。 ④若两条直线的斜率都不存在,则两直线平行。
例2 已知A、B、C、D四点的坐标,试判断直线 AB与CD的位置关系. (1)A(2,3),B(-4,0) C(-3,l),D(-l,2); (2)A(-6,0),B(3,6) C(0,3),D(6,-6); (3)A(-6,0),B(3,6) C(0,3),D(6,-6); (4)A(3,4),B(3,100) C(-10,40),D(10,40).

例3.已知四边形ABCD的四个顶点分别为A(0,0), B(2,-1),C(4,2),D(2,3),试判断四边形ABCD的形状, 并给出证明.
y D C A o B
P Q y A

x

B

o

x

例4.已知A(2,3),B(-4,0), P(-3,1),Q(-1,2), 试判断直线BA与PQ的位置关系,并证明你的结论。 例5 已知过A(-2,m)和B(m,4)的直线与斜率为-2 的直线平行,则m 的值是( ) A、-8 B 、0 C 、2 D、10

例6、已知A(-6,0),B(3,6),P(0,3),Q(6,-6), 判断直线AB与PQ的位置关系。 例7 已知A(5,-1),B(1,1),C(2,3),试判断△ABC y C 的形状.
B o A x

例8 已知点A(m,1),B(-3,4),C(1,m),D(-1,m+1), 分别在下列条件下求实数m的值: (1)直线AB与CD平行; (2)直线AB与CD垂直.

练习:
1.下列命题中正确命题的个数是( A ) ①若两条直线的斜率相等,则这两条直线平行; ②若两条直线平行,则这两条直线的斜率相等; ③若两直线垂直,则这两条直线的斜率之积为-1; ④若两条直线平行,则这两条直线的倾斜角相等; ⑤若两直线的斜率不存在,则这两条直线平行. A.1 B.2 C.3 D.4 2.直线 l1 的倾斜角为 30°,直线 l1⊥l2,则直线 l2 的斜率为( B ) 3 3 B .- 3 D .- 3 A. 3 C. 3 3.直线 l 平行于经过两点 A(-4,1),B(0,-3)的直线,则 直线的倾斜角为( D ) A.30° D.135° 2 4.原点在直线 l 上的射影是 P(-2,1),则 l 的斜率为___. B.45° C.120°

重难点 1 两直线平行

1.已知直线 l1:y=k1x+b1 , l2:y=k2x+b2,
如果 l1∥l2,则 k1=k2 且 b1≠b2; 如果 k1=k2 且 b1≠b2,则 l1∥l2. 2.当 l1 与 l2 的斜率都不存在且 l1 与 l2 不重合时,则 l1 与 l2 平行. 重难点 2 两条直线垂直 (1)当 l1⊥l2 时,它们的斜率之间的关系有两种情况: ①它们的斜率都存在且 k1k2=-1; ②一条直线的斜率不存在,而另一条直线的斜率为 0. (2)使用 l1⊥l2?k1k2=-1 的前提是 l1 和 l2 都有斜率且不等于 0. 注意:在立体几何中,两直线的位置关系有平行、相交和异面 (没有重合关系);而在本章中,在同一平面内,两直线有重合、平行、 相交三种位置关系.

两条直线平行的判定 例 1:已知直线 l1 过点 A(3,a),B(a-1,4),直线 l2 过点 C(1,2), D(-2,a+2). (1)若 l1∥l2,求 a 的值; (2)若 l1⊥l2,求 a 的值. 思维突破:由 C、D 两点的横坐标可知 l2 的斜率一定存在,由 A、B 两点的横坐标可知 l1 的斜率可能存在也可能不存在,因此应 对 a 的取值进行讨论. 2 - (a+ 2 ) a l k k 解:设直线 2 的斜率为 2,则 2= =-3, 1 - (- 2 ) a- 4 a (1)若 l1∥l2,则 k1= (a≠4)=-1=k2=-3, 3 - (a- 1 ) ∴a=3. (2)若 l1⊥l2, 当 k2=0 时,此时 a=0,k1=-1,显然不符合题意; 当 k2≠0 时,l1 的斜率存在,此时 k1=-1, 由于 l1⊥l2,∴k1· k2=-1,解得 a=-3.

判断两条直线平行( 或垂直) 并寻求平行( 或垂直)的条件时,特 别注意结论成立的前提条件.对特殊情形要数形结合作出判断.

变式训练:试确定 m 的值,使过点 A(m+1,0)和点 B(-5,
m)的直线与过点 C(-4,3)和点 D(0,5)的直线平行. 5 -3 1 m-0 m = ,kCD= =2 解:由题意得:kAB= ( ) 0 4 - - -5-(m+1) -6-m m 1 由于AB∥CD,即 kAB=kCD,所以 =2,所以 m=-2. 6 m - - 两条直线垂直的判定 例 2:已知 A(1,-1),B(2,2),C(4,1),求点 D,使直线 AB⊥CD 且直线 AD∥BC. 解:设 D(x,y),∵AB⊥CD, 2- ( - 1) 1- y 1- y kAB= =3,kCD= , ∴ 3× =-1 ①. 2- 1 4- x 4- x y-(-1) y+1 1- 2 1 y+1 1 ∴ =- ②. = =- , 又AD∥BC,kAD= ,kBC= 2 x- 1 x- 1 x- 1 4- 2 2 由①②,则 x=-17,y=8,则 D(-17,8).

变式训练:已知三点 A(m-1,2),B(1,1),C(3,m2-m-1),
若 AB⊥BC,求 m 的值. 解:设 AB、BC 的斜率分别为 k1、k2, m2-m-1-1 m2-m-2 = , 则 k 2= 3- 1 3- 1 又知 xA-xB=m-2, ①当m-2=0,即m=2时,k1不存在,此时k2=0,则AB⊥BC; 1 m 2 0 m 2 k . ②当 - ≠ ,即 ≠ 时, 1= m-2 2 m -m-2 1 · 由 k1k2= =- 1,得 m=- 3, 2 m-2 故若 AB⊥BC,则 m=2 或 m=-3.

平行和垂直关系的综合应用 ?14 23? 例 3:已知 A(0,1),B(2,5),C? 5 , 5 ?,D(-1,-3),试判 ? ? 断四边形 ABCD 是否为梯形?如果是梯形,是否是直角梯形? 5- 1 解:∵直线 AB 的斜率 kAB= = 2, 2- 0 23 ( 3) 5- - 直线 CD 的斜率 kCD=14 =2,∴kAB=kCD. ( 1) 5- - 又∵直线 AB 和直线 CD 不重合,∴AB∥CD. 23 -5 - 3- 1 1 5 ∵直线 AD的斜率kAD= , 直线 的斜率 BC =-2 =4 kBC= - 1- 0 14 -2 5 ∴k ≠k
AD BC

即直线 AD 与直线 BC 不平行.∴四边形 ABCD 是梯形. 1 kBC=-2×2=-1, 又∵kAB· ∴AB⊥BC. ∴梯形 ABCD 是直角梯形.

(1)判断一个四边形为梯形,需要两个条件:①有一对相互平行的 边;②另有一对不平行的边.(2)判断一个四边形为直角梯形,首先需 要判断它是一个梯形,然后证明它有一个角为直角. ? 7? ? 变式训练:求证:顺次连接 A(2,-3),B?5,- 2÷ ,C(2,3), ? D(-4,4)四点所得的四边形是梯形. 7 -2-(-3) 4- 3 1 1 证明:∵kAB= =-6,kCD= =-6,∴kAB 5- 2 -4-2

=kCD,从而 AB∥CD.

-3-4 13 7 又∵kBC= =- 6 ,kDA= =-6,∴kBC≠kDA. 2-5 2-(-4)
从而直线 BC 与 DA 不平行, ∴四边形 ABCD 是梯形.

? 7? 3-?-2? ? ?

注意陷阱:在直角△ABC 中,∠C 是直角,A(-1,3),B(4,2),
点 C 在坐标轴上,求点 C 的坐标. 错因剖析:没有分类讨论,主观认为点 C 在 x 轴上导致漏解. 正解:(1)当点 C 在 x 轴上时,设 C(x,0), -3 -2 , 则 kAC= ,kBC= x+ 1 x- 4 6 ∵AC⊥BC,∴kAC· kBC=-1,即 =-1, (x+1)(x-4) ∴x=1 或 x=2,故所求点为 C(1,0)或 C(2,0). (2)当点 C 在 y 轴上时,设 C(0,y),由 AC⊥BC, y- 3 y- 2 kBC=-1,故 · 知 kAC· =-1, 0+ 1 0- 4 5+ 17 5- 17 ∴ y = 2 或 y= 2 . 5- 17? 5+ 17? ? ? ? ? 或 C ?0 , . 故 C ?0 , 2 ? 2 ? 5- 17? 5+ 17? ? ? ? ? 为所求. C(1,0) 或 C(2,0) 或 C?0, 综上所述: 或 C ?0 , ? ? 2 2

变式训练:已知点 A(-2,-5),B(6,6),点 P 在 y 轴上,且
∠APB=90°,试求点 P 的坐标. 解:设点 P 的坐标为(0,b),则 kAP· kBP=-1, b- ( - 5) b- 6 即 · =-1,解得 b=7 或 b=-6. 0- ( - 2) 0- 6 所以点 P 的坐标为(0,7)或(0,-6).

小结 1.两条直线平行的判定
2.两条直线垂直的判定 3.思想方法 倾斜角、平行是几何概念, 坐标、 斜率是代数概念,解析几何的本质是用 代数方法来研究几何问题.

作业 P89练习:1,2.
P90习题3.1 A组:8. B组:3,4.

3.2

直线的方程

主要内容
3.2.1 直线的点斜式方程 3.2.2 直线的两点式方程 3.2.3 直线的一般式方程

3.2.1

直线的点斜式方程

在平面直角坐标系内,如果给定一条直线 l 经 过的一个点 P (x , y ) 和斜率 k ,能否将直线上所

有的点的坐标 ( x, y )满足的关系表示出来呢?
y

0

0

0

l

P0
O x

点斜式方程
直线 l 经过点 P0 (x0 , y0 ),且斜率为 k ,设点 P(x, y ) 是直线上不同于点 P 的任意一点,因为直线 l 的斜率
0

为 k ,由斜率公式得:

y ? y0 k? , x ? x0
即: 点斜式方程

y

P

l

P0
O x

y ? y0 ? k (x ? x0 )

点斜式方程
(1)过点 P ,斜率是 k 的直线 l 上的 0 (x0 , y0 ) 点,其坐标都满足方程 y ? y0 ? k (x ? x0 ) 吗?

在过点 P 斜率为 k 的直线 l 上吗? 0 (x0 , y0 )
上述两条都成立,所以这个方程

(2)坐标满足方程 y ? y0 ? k (x ? x0 ) 的点都

就是过点 P 斜率为 k 的直线 l 的方程. 0 (x0 , y0 )

y ? y0 ? k (x ? x0 )

(1)x 轴所在直线的方程是什么? 当直线 l的倾斜角为 0? 时,即 tan 0? ? 0.

这时直线 l 与

x 轴平行或重合,
y

l 的方程就是
y ? y0 ? 0 ,或 y ? y0

P0 l
O x

(2) y 轴所在直线的方程是什么?

当直线 l 的倾斜角为 90? 时,直线没有斜率,这 时,直线 l 与 y 轴平行或重合,它的方程不能用点斜 式表示.这时,直线 l 上每一点的横坐标都等于 x0,
所以它的方程就是 y l

x ? x0 ? 0 ,或 x ? x0
O

P0
x

例1 直线 l 经过点P0(-2,3),且倾斜角为 600,求直线l的点斜式方程,并画出直线 l.

y P P0 o x

直线的斜截式方程
如果直线 l 的斜率为 k ,且与 y 轴的交点为 (0, b )

得直线的点斜式方程,
也就是: y ? kx ? b

y ? b ? k ( x ? 0)
y

l
b

我们把直线与 y 轴交点的纵坐标 叫做直线在y轴上的截距。

P0
O

x

该方程由直线的斜率与它在 y 轴上的截距确定, 所以该方程叫做直线的斜截式方程,简称斜截式.

例2 已知直线 l1 : y ? k1 x ? b1,l2 : y ? k2 x ? b2 ,

试讨论:(1) l1 // l2 的条件是什么?(2) l ? l 1 2 的条件是什么?
解: l1 : y ? k1 x ? b1,l2 : y ? k2 x ? b2

l1 // l2

k1 ? k2 ,且 b1 ? b2 ; k1k2 ? ?1.

l1 ? l2

? ?

例3 求下列直线的斜截式方程: (1)经过点A(-1,2),且与直线 y=3x+1垂直; (2)斜率为-2,且在x轴上的截距为5.

例4 已知直线 l 的斜率为 1 ,且与两坐标轴围
2

成的三角形的面积为4,求直线l的方程.

小结
1. 直线的点斜式方程:
2. 直线的斜截式方程:

y ? y0 ? k (x ? x0 )
y ? kx ? b

3. 特殊情况 ①直线和x轴平行时,倾斜角α=0°

y ? y0 ? 0或y ? y0
②直线与x轴垂直时,倾斜角α=90°

x ? x0 ? 0或x ? x0

作业
P95练习:1,2,3,4 P100习题3.2 A组:1,5,6,10.

3.2.2 直线的两点式方程

已知直线经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2), (x1?x2 ,y1?y2),如何求出这两个点的直线方程呢? 经过一点,且已知斜率的直线,可以写出它 的点斜式方程.

可以先求出斜率,再选择一点,得到点斜式 方程.

两点式方程
根据两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),
y2 ? y1 斜率 k ? x2 ? x1

y
P1(x1,y1)

l

代入y ? y0 ? k ( x ? x0 )得
y2 ? y1 y ? y1 ? ( x ? x1 ) x2 ? x1
P2(x2,y2)

x

两点式

y ? y1 x ? x1 ? y2 ? y1 x2 ? x1

截距式方程
例1. 已知直线经过点A(a,0),B(0,b), a?0,b?0,求直线方程 y
B(0,b)

解:代入两点式方程得

y?0 x?a ? b?0 0?a
化简得
A(a,0)

l

x
截距式

x y ? ?1 a b

横截距

纵截距

中点坐标公式
已知两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)则线段P1P2的中 点P0的坐标是什么? y
A(x1,y1)

B(x2,y2)

中点
x

x1 ? x2 ? x? ? ? 2 ? ? y ? y1 ? y 2 ? ? 2
x1 ? x2 y1 ? y2 , ) 2 2

P0的坐标为 (

例2 已知三角形的三个顶点 A(-5,0),B (3,-3),C(0,2),求BC边所在直线的方程, 以及该边上中线所在直线的方程.

y
C A o

M x B

例3.求经过点P(-5,4),且在两坐标轴上的截 距相等的直线方程.

y

P o
x

例4 求经过点P(0,3),且在两坐标轴上的截距 之和为2的直线方程.

例5. 已知直线 l 经过点P(1,2),并且点 A(2,3)和点 B(4,-5)到直线l 的距离相等,求 直线l 的方程.

y

A

P
o x B

直线方程小结
y ? y1 x ? x1 ? y2 ? y1 x2 ? x1

两点式 两点坐标 点斜式 两个截距 截距式

y ? y0 ? k ( x ? x0 )

x y ? ?1 a b

作业
P97练习:1,2. P100习题3.2A组:3,4,8,9,11.

3.2.3

直线的一般式方程

1. 平面直角坐标系中的每一条直线都可以 用一个关于x,y的二元一次方程表示吗?

2. 每一个关于x,y的二元一次方程都表示 一条直线吗?

讨论
1. 直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式 都是关于X,y的二元一次方程

2. 经过点P(x0,y0)且斜率不存在的直线的方 程: x-x0=0 可以看成y的系数为0的二元一次方程.

3.对于二元一次方程
1)当B?0时可化为

Ax+By+C=0(A,B不全为零)
y??
?

A C x? B B

表示经过点(0, 的直线. 2)

A B

),斜率k为

?

C B

C 当B=0时,A?0,方程可化为 x ? ? A

表示垂直于x轴的直线.

直线的一般式方程
1. 所有的直线都可以用二元一次方程表示
2. 所有二元一次方程都表示直线

Ax ? By ? C ? 0
(其中A,B不同时为0)

此方程叫做直线的一般式方程

4 例1 已知直线经过点A(6,-4),斜率为 ? , 3

求直线的点斜式和一般式方程.

例2 把直线l 的一般式方程 x-2y+6=0化成斜 截式,求出直线l 的斜率以及它在x轴与y轴上的截 距,并画出图形.

两条直线平行和垂直的条件

l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0
重合

l2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0

A1 B1 C1 ? ? A2 B2 C2

平行

A1 B1 C1 l1 // l2 ? ? ? A2 B2 C2

垂直

l1 ? l2 ? A1 A2 ? B1B2 ? 0

例3 已知直线
l1:ax+(a+1)y-a=0



l2:(a+2)x+2(a+1)y-4=0,

若l1//l2,求a的值.

例4 已知直线l1:x-ay-1=0和l2:a2x+y+2=0, 若l1⊥l2,求a的值.

小结
斜率和一点坐标 斜率k和截距b 点斜式 斜截式 两点式 两点坐标

y ? y0 ? k ( x ? x0 )

y ? kx ? b
y ? y1 x ? x1 ? y2 ? y1 x2 ? x1

点斜式
两个截距

y ? y0 ? k ( x ? x0 )
x y ? ?1 a b

截距式
一般式

Ax ? By ? C ? 0

小结
1.直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式都可以 化成一般式. 反之不一定. 2. 特殊的直线方程 如x+2=0, 2y-3=0. 有时不存在点斜式或斜截式、两点式、截距式. 3. 根据一般方程也能很快判断两条直线的位置关系 .

4. 一般不特别指明时直线方程的结果都要化成一般 式.

作业
P99-100练习:1,2. P101习题3.2B组:1,2,5.

3.3 直线的交点坐标与 距离公式

主要内容
3.3.1 两条直线的交点坐标
3.3.2 两点间的距离

3.3.3 点到直线的距离
3.3.4两条平行直线间的距离

3.3.1
两条直线的交点坐标

一般地,若直线l1:A1x+B1y+C1=0和 l2:A2x+B2y+C2=0相交,如何求其交点坐标?

用代数方法求两条直线的交点坐标,只需写 出这两条直线的方程,然后联立求解.

几何概念与代数表示
几何元素及关系
点A 直线l 点A在直线l上 代数表示
A(a, b) l : Ax ? By ? C ? 0
A的坐标满足方程 l : Aa ? Bb ? C ? 0 A的坐标是方程组的解

直线l1与l2的交点是A

? A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 ? ? A2 x ? B2 y ? C2 ? 0

对于两条直线 l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 和 l2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 ,

若方程组

? A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 ? ? A2 x ? B2 y ? C2 ? 0

有唯一解,有无数组解,无解,则两直线的 位置关系如何?
两直线有一个交点, 重合、平行

例1. 求下列两条直线的交点坐标

l1 : 3x ? 4 y ? 2 ? 0 l2 : 2x ? y ? 2 ? 0

当?变化时,方程

3x ? 4 y ? 2 ? ? (2 x ? y ? 2) ? 0
表示什么图形?图形有何特点? 表示的直线包括过交点M(-2,2)的一族直线

例2 判断下列各对直线的位置关系,如果相交, 求出其交点的坐标.

(1)l1:x ? y ? 0,
3x ? 4y ? 5 ? 0, (3)l1:

l2: 3x ? 3y ?10 ? 0 ;
l2: 6x ? 8y ?10 ? 0.

6x ? 2y ?1 ? 0; 3x ? y ? 4 ? 0, l2: (2) l1:

例3 求经过两直线3x+2y+1=0 和 2x-3y+5=0的交 点,且斜率为3的直线方程.

例4.设直线y=k(x+3)-2和x+4y-4=0相交,且交点 P在第一象限,求k的取值范围.

y B o P A x

小结
1.求两条直线的交点坐标 2.任意两条直线可能只有一个公共点,也可能 没有公共点(平行) 3.任意给两个直线方程,其对应的方程组得解 有三种可能可能: 1)有惟一解 2)无解 3)无数多解

4.直线族方程的应用

作业
P109 习题3.3A组:1,3,5. P110 习题3.3B组:1.

3.3.2

两点间的距离

已知平面上两点P1(x1,y1)和P2(x2,y2),如何
点P1和P2的距离|P1P2|? y P2(x2,y2)

P1(x1,y1)

O

x

两点间距离公式推导
y y2

P2(x2, y2)

| P2Q |?| y2 ? y1 |
y1
P1(x1,y1) x1

Q(x2,y1)
x2 x

O

| PQ 1 |?| x2 ? x1 |

两点间距离公式
一般地,已知平面上两点P1(x1, y1 )和P2(x2,y2), 利用上述方法求点P1和P2的距离为

| PP ( x2 ? x1 ) ? ( y2 ? y 1 ) 1 2 |?
2

2

特别地,点P(x,y)到原点(0,0)的距离为

| OP |?

x ?y
2

2

例1 已知点 A(?1,2) 和 B(2, 7 ) , 在x轴上 求一点P,使|PA|=|PB|,并求|PA|的值.

例2 证明平行四边形四条边的平方和等于两条对 角线的平方和.

证明:以A为原点,AB为x轴建立直角坐标系.
则四个顶点坐标为A(0,0),B(a,0),D(b,c),C(a+b,c)

y
D (b,c) C (a+b,c)
建立坐标系, 用坐标表示有 关的量。

A(0,0)

B(a,0 )

x

例2题解
y | CD | ? a 2 2 2 2 2 2 | BC | ? b ? c | AD | ? b ? c
2 2 2 2

| AB | ? a

D (b,c)

C (a+b,c)

| AC |2 ? (a ? b)2 ? c2 | BD |2 ? (b ? a)2 ? c2
2 2 2 2

A (0,0)
2 2

B (a,0)
2

x

| AB | ? | CD | ? | AD | ? | BC | ? 2(a ? b ? c ) | AC |2 ? | BD |2 ? 2(a2 ? b2 ? c2 ) | AB | ? | CD | ? | AD | ? | BC | ?| AC | ? | BD |
2 2 2 2 2 2

因此,平行四边形四条边的平方和等于两条对角 线的平方和.

用“坐标法”解决有关几何问题的基本步骤: 第一步;建立坐标系, 用坐标系表示有关的量

第二步:进行 有关代数运算

第三步:把代数运算结果 “翻译”成几何关系

小结
1.两点间距离公式

| PP ( x2 ? x1 ) ? ( y2 ? y 1 ) 1 2 |?
2

2

2.坐标法 第一步:建立坐标系,用坐标表示有关的量 第二步:进行有关代数运算

第三步:把代数运算结果翻译成几何关系

拓展
已知平面上两点P1(x1,y1)和P2(x2,y2),直线 P1P2的斜率为k,则 y2-y1可怎样表示?从而点P1和P2 的距离公式可作怎样的变形?

y2 ? y1 ? k ( x2 ? x1 )
2 |P P | ? | x ? x | 1 ? k 1 2 2 1

1 ?| y2 ? y1 | 1 ? 2 k

例3 设直线2x-y+1=0与抛物线

y ? x ? 3x ? 4
2

相交于A、B两点,求|AB|的值.

作业
P106练习:1,2. P110习题3.3 A组:6,7,8.

3.3.3

点到直线的距离

已知点P0(x0,y0)和直线l:Ax +By +C=0,如 何求点P到直线 l 的距离?
点P到直线 l 的距离,是指从点P0到直线 l 的 垂线段P0Q的长度,其中Q是垂足. y

Q
P0 o

l

x

分析思路一:直接法

y
Q

直线 l 的方程 直线 l 的斜率

O

P 0

l
x

l ? P0Q
点P 的坐标 0 直线P 的斜率 0Q

直线 l 的方程 点P 的坐标 0
0

直线P 的方程 0Q

点Q 的坐标

点P 、Q之间的距离

P0Q

(点

P0



l 的距离)

分析思路二:用直角三角形的面积间接求法
求出点R 的坐标 求出点S 的坐标
P0Q ? P0 S ? P0 R SR

y
求出P0R 求出P0S

S

利用勾股定理求出SR

d

Q
R

P 0
面积法求出P0Q

l
x

O

y

Ax0 ? C ? ? S ? x0, ? B ? ? ?

Q l : Ax ? By ? C ? 0 d

y0
O

P0 (x0,y0)

? By0 ? C ? ? , y R? 0? A ? ?

x0

x

1 | P0 S || P0 R | 2

?

1 d | SR | 2

点到直线的距离公式
点P(x0,y0)到直线 l :Ax +By +C=0的距离为: | Ax0 ? By0 ? C | d? A2 ? B 2

特别地,当A=0,B?0时, 直线By+C=0
| By0 ? C | C d? ?| y0 ? | |B| B

特别地,当B=0,A?0时, 直线Ax+C=0
d? | Ax0 ? C | C ?| x0 ? | | A| A

y

|y1-y0|
y ? y1

y1 y0 O

|x1-x0|
x ? x1

P0 (x0,y0)
x0 x1 x

点到坐标轴的距离
y y0

|x0|
P0 (x0,y0)

|y0|
O x0 x

, 2)到直线 l : 3 x ? 2 的距离. 例1.求点P 0 (? 1
解: d ?
3 ? (? 1) ? 2 32 ? 02 5 ? 3

思考:还有其他解法吗?

例2 已知点 A(1 , 3),B(3, 1),C(- 1, 0),求 ?ABC 的面积. 分析:如图,设 AB 边上的高为 h ,则 y 1 S ?ABC ? AB ? h . 4 A 2
AB ?
的距离.

(3 ? 1) ? (1 ? 3)
2

2

?2 2.

3 2 1

h
1 2 3

B

AB 边上的高 h 就是点 C 到 AB

C

-1 O

x

y ? 3 x ?1 ? , 解:AB 边所在直线的方程为: 1? 3 3 ?1
即:x ? y ? 4 ? 0 . 点 C (? 1 , 0) 到 x ? y ? 4 ? 0 的距离

y
4 3 2 h 1

A B
3

h?
因此

?1 ? 0 ? 4

12 ? 12 C 1 5 -1 O S ?ABC ? ? 2 2 ? ? 5. 2 2

5 ? . 2

1 2

x

小结
点到直线的距离公式的推导及其应用 点P(x0,y0)到直线l:Ax +By +C=0的距离为:
d? | Ax0 ? By0 ? C | A2 ? B 2

作业
P110习题3.3A组:8,9. 3.3B组:2,4

3.3.4 两条平行直线间的 距离

两条平行直线间的距离是指夹在两 条平行线间公垂线段的长
两平行线间的距离处处相等

1. 怎样判断两条直线是否平行?

2.设l1//l2,如何求l1和l2间的距离? 1)能否将平行直线间的距离转化为点到直线 的距离? 2) 如何取点,可使计算简单?

例1 已知直线 l : 2x ? 7 y ? 8 ? 0 和 l2 : 6 x ? 21y ? 1 ? 0 1 l1 与l2 是否平行?若平行,求 l1与 l2的距离.

例2 求平行线2x-7y+8=0与2x-7y-6=0的距离.
解: 在l2上任取一点,如P(3,0) P到l1的距离等于l1与l2的距离

两平行线间的 距离处处相等

? d?

2?3 ? 7?0 ? 8 2 ? ( ?7 )
2 2

14 14 53 ? ? 53 53

直线到直线的距离转化为点到直线的距离

例3. 求证:两条平行直线Ax+By+C1=0和 Ax+By+C2=0间的距离为

d?

| c1 ? c2 | A ?B
2

2

例4 已知P在x 轴上, P到直线l1: x- 3 y +7=0 与直线 l2:12x-5y+40=0 的距离相等, 求P点坐标。 解:设P(x,0), 根据P到l1、 l2距离相等,列式为
x ? 3 ?0 ? 7 1 ? (? 3 )
2 2

?

12 x ? 5 ? 0 ? 40 12 2 ? ( ?5) 2

171 x ?1 或 x ? ? 37 171 ,0) 所以P点坐标为:(1,0) 或 ( ? 37

小结
1. 两条平行直线间距离的求法 转化为点到直线的距离 2. 两条平行直线间距离公式

作业
P110习题3.3A组: 10.

习题3.3B组:3,6,9

第四章
4.1 4.2 4.3

4.1

圆的方程

主要内容
4.1.1 圆的标准方程 4.1.2 圆的一般方程

4.1.1

圆的标准方程

在平面直角坐标系中,两点确定一条直线, 一点和倾斜角也能确定一条直线.

在平面直角坐标系中,如何确定一个圆呢?

平面内到定点的距离等于定长的点的集合.

C

·

r

定点 定长

圆心 半径

当圆心位置与半径大小确定后,圆就唯一确 定了.因此一个圆最基本要素是圆心和半径.

如图,在直角坐标系中,圆心(点)A的位置 用坐标(a,b)表示,半径 r 的大小等于圆上任意 点M(x, y)与圆心A (a,b)的距离.

y

M(x,y)

O

C

x

圆心C(a,b),半径r

y

M(x,y) O C x

( x ? a) ? ( y ? b) ? r
2 2

2

标准方程
特别地,若圆心为O(0,0),则圆的方程为:

x ?y ?r
2 2

2

圆的标准方程
已知圆的圆心为C(a,b),半径为r,求圆的方程. 解:设点M (x,y)为圆C上任一点, 圆上所有点的集合

y

M(x,y)

P = { M | |MC| = r }

( x ? a ) ? ( y ? b) ? r
2 2

O

C

x

( x ? a) ? ( y ? b) ? r
2 2

2

在直角坐标系中,已知点M(x0,y0)和圆C: ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2,如何判断点M在圆外、圆上、 圆内?

y 1.点M在圆外,|MC|>r (x0-a)2+(y0-b)2>r2时,点M在圆C外;
2.点M在圆上,|MC|=r

M

(x0-a)2+(y0-b)2=r2时,点M在圆C上;
3.点M在圆内,|MC|<r (x0-a)2+(y0-b)2<r2时,点M在圆C内.

O

C

x

例1 写出圆心为 A(2,?3) ,半径长等于5的圆的 方程,并判断点 M1 (5,?7) ,M 2 (? 5 ,?1) 是否在这个圆上. 解 圆心是 A(2,?3) ,半径长等于5的圆的标 : 准方程是 ( x ? 2) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 25 把 M1 (5,?7) 的坐标代入圆的方程,左右两边相 等,点 M 1 的坐标适合圆的方程,所以点 M 1 在这 个圆上; 把点 M 2 (? 5 ,?1) 的坐标代入方程,左右两边不 相等, 点 M 2 的坐标不适合圆的方程,所以点 M2 不在这个 圆上.

例2 ?ABC 的三个顶点的坐标分别为 A(5,1), B(7,-3),C(2, -8) ,求它的外接圆的 方程. 分析:不在同一条直线上的三个点可以确定一 个圆,三角形有唯一的外接圆.

解:设所求圆的方程是 ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 因为A(5,1), B(7,-3),C(2, -8) 都在圆 上,所以它们的坐标都满足圆的方程,于是
?(5 ? a) 2 ? (1 ? b) 2 ? r 2 ? 2 2 2 ( 7 ? a ) ? ( ? 3 ? b ) ? r ? ?(2 ? a) 2 ? (?8 ? b) 2 ? r 2 ?

解此方程组,得
?a ? 2, ? ?b ? 3, ?r 2 ? 25. ?

?ABC 的外接圆的方程是 所以,

( x ? 2) ? ( y ? 3) ? 25
2 2

结论:在平面直角坐标系中,已知三个点的 坐标可以确定一个圆的方程

例3 已知圆心为C 的圆经过点A(1,1)和B(2,-2), 且圆心C 在直线上l:x - y+1=0,求圆心为C 的圆的标 准方程. 分析:如图,确定一个圆只需确定圆心位置与半 径大小.圆心为C 的圆经过点A(1,1)和B(2,-2),由 于圆心C 与A,B 两点的距离相等,所以圆心C 在线段 AB 的垂直平分线 l '上.又圆心C 在直线l 上,因此圆 心C 是直线 l 与直线 l ' 的交点,半径长等于|CA|或 |CB|.

解:因为A(1, 1)和B(2, -2),所以线段AB的中点 3 1 D的坐标 ( ,? ) ,直线AB的斜率
2 2

k AB

? 2 ?1 ? ? ?3 2 ?1
'

y

l A

因此线段AB 的垂直平分线 l 的方程是

1 1 3 y ? ? (x ? ) 2 3 2
即 x ? 3y ? 3 ? 0

C

o B

x

圆心C 的坐标是方程组
?x ? 3 y ? 3 ? 0 ? ?x ? y ? 1 ? 0

? x ? ?3, 的解.解此方程组,得 ? ? y ? ?2. 所以圆心C 的坐标是(?3,?2) 圆心为C 的圆的半径长
r ?| AC |? (1 ? 3) 2 ? (1 ? 2) 2 ? 5

所以,圆心为C 的圆的标准方程是

( x ? 3) ? ( y ? 2) ? 25
2 2

小结
1.圆的标准方程的结构特点.

2.点与圆的位置关系的判定.
3.求圆的标准方程的方法: ①待定系数法;②代入法.

作业
P120-121练习:1,2,3,4

4.1.2

圆的一般方程

1. 圆的标准方程 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 展开 可得到一个什么式子?

2. 方程 x2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? 1 ? 0 与x2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? 6 ? 0 都表示的图形是圆吗? 解:分别配方得

( x ?1)2 ? ( y ? 2)2 ? 4
( x ?1)2 ? ( y ? 2)2 ? ?1
第一个方程表示以(1,-2)为圆心,2为半径 长的圆. 第二个方程没有实数解,不存在点的坐标 (x,y)满足这个方程,它不表示任何图形.

方程 x ? y 下表示圆?
2

2

? Dx ? Ey ? F ? 0 在什么条件

x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0
2 2
2 2 D E D ? E ? 4F ? ? ? ? ? x? ? ?? y ? ? ? 2? ? 2? 4 ? 2 2

(1)当

D2 ? E 2 ? 4F ? 0

时,表示圆,
D2 ? E 2 ? 4F 2
? D E? ?- ,? ? ? 2 2?

? D E? 圆心 ? - , ? ? ? 2 2?

r?

(2)当 (3)当

D ? E ? 4F ? 0
2 2

时,表示点

D2 ? E 2 ? 4F ? 0

时,不表示任何图形

圆的一般方程

x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0
2 2

其中 D2 ? E 2 ? 4F ? 0
? D E? 圆心 ? - , ? ? ? 2 2?

r?

D2 ? E 2 ? 4F 2

练习
判断下列方程是不是表示圆

(1) x ? y ? 4x ? 6 y ? 4 ? 0
2 2

( x ? 2) ? ( y ? 3) ? 9
2 2

表示以(2,3)为圆心,以3为半径的圆

(2) x ? y ? 4x ? 6 y ? 13 ? 0
2 2
2 2

( x ? 2) ? ( y ? 3) ? 0 x ? 2, y ? 3
2 2

表示点(2,3)

(3) x ? y ? 4x ? 6 y ? 15 ? 0
( x ? 2) ? ( y ? 3) ? ?2 不表示任何图形
2 2

比较
圆的一般方程和圆的标准方程各有什么特点? 圆的一般方程的特点 : (1)x2、y2 的系数相同,都不为0.

(2)没有形如xy的二次项.
圆的一般方程与圆的标准方程各有特点: (1)圆的标准方程带有明显的几何的影 子,圆心和半径一目了然. (2)圆的一般方程表现出明显的代数的 形式与结构,更适合方程理论的运用.

例1 求过三点O(0,0),A(1,1),B(4, 2)的圆的方程,并求出这个圆的半径长和圆心坐标 . 解:设所求圆的方程为:

x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0
2 2

因为A(5,1),B (7,-3),C(2,8)都在圆上

? 52 ? 12 ? 5D ? E ? F ? 0 ? D ? ?4 ? ? 2 2 ? 7 ? (?1) ? 7 D ? E ? F ? 0 ? ? E ? 6 ? F ? 12 ? 2 2 ? 82 ? 2 D ? 8 E ? F ? 0 ? ?

所求圆的方程为

x ? y ? 4x ? 6 y ? 12 ? 0
2 2

即 ( x ? 2)2 ? ( y ? 3)2 ? 25

上述解法用了一般方程,请你比较上节课 的标准方程的解法.

用标准方程解答
解:设所求圆的方程为:

( x ? a) ? ( y ? b) ? r
2 2

2

因为A(5,1),B (7,-3),C(2,8)都在圆上

? (5 ? a ) 2 ? (1 ? b) 2 ? r 2 ?a?2 ? ? 2 2 2 ?(7 ? a ) ? (?3 ? b) ? r ? ?b ? ?3 ?(2 ? a) 2 ? (?8 ? b) 2 ? r 2 ? r ?5 ? ?
所求圆的方程为

( x ? 2) ? ( y ? 3) ? 25
2 2

待定系数法

例2 已知线段AB的端点B的坐标是(4,3), 端点A在圆(x+1)2+y2=4 上运动,求线段AB的中点M 的轨迹方程.
y B

A
o

M x

例2 方程 x2 ? y 2 ? ax ? 2ay ? 2a2 ? a ?1 ? 0 表示的图形是一个圆,求a 的取值范围.

小结
1.圆的一般方程的结构特点. 2.用配方法化一般方程为标准方程.

3.求圆的一般方程的方法: ①待定系数法;②代入法.

小结:求圆的方程
几何方法
求圆心坐标 (两条直线的交点) (常用弦的中垂线)

待定系数法
设方程为 ( x ? a ) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 (或x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0)
列关于a,b,r(或D,E,F) 的方程组

求半径 (圆心到圆上一点的距离)

写出圆的标准方程

解出a,b,r(或D,E,F), 写出标准方程(或一般方程)

作业
P123练习:1,2,3. P124习题4.1A组:1,2,3,4

4.2

直线、圆的位置关系

主要内容
4.2.1 直线与圆的位置关系 4.2.2 圆与圆的位置关系 4.2.3 直线与圆的方程的应用

4.2.1

直线与圆的位置关系

一艘轮船在沿直线返回港口的途中,接到气象 台的台风预报:台风中心位于轮船正西70km处,受 影响的范围是半径长为30km的圆形区域.已知港口 位于台风中心正北40km处,如果这艘轮船不改变航 线,那么它是否会受到台风的影响? 为解决这个问题,我们 以台风中心为原点O,东西 方向为x 轴,建立如图所 示的直角坐标系,其中, 取10km为单位长度.
港口

O

轮船

这样,受台风影响的圆区域 所对应的圆心为O 的圆的方程为

港口

x ? y ?9
2 2

O

轮船

轮船航线所在直线 l 的方程为

4 x ? 7 y ? 28 ? 0
问题归结为圆心为O 的圆与直线 l 有无公共点.

想一想,平面几何中,直线与圆有哪几种位置关系?
平面几何中,直线与圆有三种位置关系: (1)直线与圆相交,有两个公共点; (2)直线与圆相切,只有一个公共点; (3)直线与圆相离,没有公共点.

d<r

d=r

d>r

例1 如下图,已知直线l:3x ? y ? 6 ? 0和圆心 为C 的圆 x 2 ? y 2 ? 2 y ? 4 ? 0 ,判断直线l与圆的位 置关系;如果相交,求它们交点的坐标. 分析:方法一代数法:判断直线l与圆的位置关 系,就是看由它们的方程组成的方程组有无实数解; 方法二几何法:可以依据圆心到直线的距离与半 径长的关系,判断直线与圆的位置关系. 解法一:由直线l与圆的方程,得
① ?3x ? y ? 6 ? 0 ? 2 2 ② x ? y ? 2 y ? 4 ? 0 ?

由①得

y ? ?3x ? 6



代入②消去y,得

x ? 3x ? 2 ? 0
2

因为

? ? (?3) ? 4 ? 1? 2 =1>0
2

所以,直线 l 与圆相交,有两个公共点.
2 2 2 2 x ? ( y ? 1 ) ?5 x ? y ? 2 y ? 4 ? 0 解法二:圆 可化为

其圆心C 的坐标为(0,1),半径长为 5 ,点C (0, 1)到直线 l 的距离 | 3? 0 ?1? 6 | 5 d? ? ? 5 2 10 3 ? 12

所以,直线l与圆相交,有两个公共点.

2 由 x ? 3x ? 2 ? 0 ,解得 判断直线与圆的位置关系常 x1 ? 2, x2 ? 1 用几何法(方法二),但如 y1 ? 0 ; x2 ? 1 果求交点坐标就最好用代数 把 x1 ? 2, 代入方程①,得 方法(方法一)了 x1 ? 把 2, x2 ? 1代入方程① ,得 y2 ? 3.

所以,直线 l 与圆有两个交点,它们的坐标分别是
A(2,0),B(1,3)

已知过点 M (?3,?3)的直线被圆 2 2 所截得的弦长为 4 5 , x ? y ? 4 y ? 21 ? 0 求直线的方程.
解:将圆的方程写成标准形式,得

例2

x 2 ? ( y ? 2) 2 ? 25
如图,因为直线l 被圆所截得的弦长是 4 5,所以弦心距为
4 5 2 5 ?( ) ? 5 2
2

即圆心到所求直线的距离为 5 因为直线l 过点 M (?3,?3) ,所以可设所求直线l 的方程为
y ? 3 ? k ( x ? 3)

即 kx ? y ? 3k ? 3 ? 0 根据点到直线的距离公式,得到圆心到直线 l 的 距离 | 2 ? 3k ? 3 | d? k2 ?1 因此
| 2 ? 3k ? 3 | k ?1
2

? 5



| 3k ? 1 |? 5 ? 5k
2

2

两边平方,并整理得到

2k ? 3k ? 2 ? 0
解得
1 k ? ? ,或k ? 2 2

所以,所求直线l有两条,它们的方程分别为

1 y ? 3 ? ? ( x ? 3) 或 y ? 3 ? 2( x ? 3) 2
即 x ? 2 y ? 9 ? 0, 或2x ? y ? 3 ? 0

1.设点M(x0,y0)为圆x2+y2=r2上一点,如何求 过点 M 的圆的切线方程?

y

M
o x

x0x+y0y=r2

2.设点M(x0,y0)为圆 x2+y2 = r2 外一点,如何 求过点M的圆的切线方程?

y

M

o

x

小结
1.直线和圆的位置关系的判断 代数法 几何法 解直线和圆方程联立的方程组 圆心到直线的距离和半径的关系

2.会求弦长和圆的切线

判断直线和圆的位置关系
几何方法 代数方法
?( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 ? ? Ax ? By ? C ? 0
消去y(或x)

求圆心坐标及半 径r(配方法) 圆心到直线的距离d (点到直线距离公式)
?d ? r : 相交 ? ? d ? r : 相切 ?d ? r : 相离 ?

px2 ? qx ? t ? 0

?? ? 0 : 相交 ? ? ? ? 0 : 相切 ? ? ? 0 : 相离 ?

作业
P128练习:2,3,4. P132习题4.2A组:1,2,3,5.

4.2.2

圆与圆的位置关系

圆与圆的位置关系有哪几种? 如何根据 圆的方程,判断它们之间的位置关系?

圆与圆的位置关系
R O1 r O2 R O1 r O2 R O1 r O2

外离
O1O2>R+r
R

外切
O1O2=R+r
R

相交
R-r<O1O2<R+r
R

O1 O r 2

O1 O

r

2

O 1O 2r

内切
O1O2=R-r

内含
0≤O1O2<R-r

同心圆(内含)
O1O2=0

如果两个圆相切,那么切点一定在连心线上。

外切

内切

几何方法
两圆心坐标及半 径(配方法) 圆心距d
(两点间距离公式) 比较d和r1,r2的大小, 下结论

代数方法
两个圆的方程联立解方程组,根据解的个数判 定两圆的位置关系.

? ( x ? a1 )2 ? ( y ? b1 )2 ? r12 ? 2 2 2 ( x ? a ) ? ( y ? b ) ? r ? 2 2 2

2(a2 ? a1 ) x ? 2(b2 ? b1 ) y ? r12 ? r22

消去y(或x)

px2 ? qx ? r ? 0
? ? ? 0 : 相交 ? ? ? ? 0 :内切或外切 ? ? ? 0 : 相离或内含 ?

例1 已知圆C1:x2+y2+2x+8y-8=0,圆C2: x2+y2-4x-4y-2=0,判断圆C1与圆C2的位置关系 . 分析:方法一 圆C1圆C2有几个公共点,由它们 的方程组成的方程组有几组实数解确定; 方法二,可以依据连心线的长与两个半径长的 和r1+r2或两半径长的差的绝对值|r1-r2|的大小关系, 判断两圆的位置关系.
R O1 r O2

比较上述两种解法的优劣?如果例1中要求公 共点的坐标,用哪求法比较合适?
显然上述例子中只要判断两圆的位置关系,用 几何方法比较简单,但如果要求公共点的坐标,必 须用代数方法求解方程组.

2 2 例2.求经过点M(3,-1) ,且与圆 x ? y ? 2x ? 6 y ? 5 ? 0

切于点N(1,2)的圆的方程.
分析:求圆的方程主 要找到圆心C(a,b)和半 径r即可.r=CM 显然,圆心C在已知圆圆心 C1和切点N的连线上,同时圆 心C又在MN的垂直平分线上. 所以只要写出直线C1N方程和 MN的垂直平分线方程即可联立 求得圆心.
C1

y

N

D
O

C
x M

例3 已知一个圆的圆心为M(2,1),且与圆C: x2+y2-3x=0 相交于A、B两点,若圆心M到直线AB的 距离为 5 ,求圆M的方程. A DC B M

x2+y2-4x-2y-1=0

例4. 求圆 C : x 2 ? y 2 ? x ? 2 y ? 0 关于直线

l : x ? y ? 1 ? 0 对称的圆的方程.
1 2 5 2 解: C : ( x ? ) ? ( y ? 1) ? 2 4

l : y ? x ?1

D (a,b)
E

设对称圆圆心为D(a,b) 半径同圆C. C b ?1 kl ? 1 kCD ? a ? 0 .5 b ?1 ? ?1 k1 ? k2 ? ?1 ? 1? a ? 0 .5

? a ? 0.5 b ? 1 ? CD的中点E ? , ? 满足 2 ? ? 2 a ? 0. 5 b ? 1 ? ?1 ? 0 2 2

l : x ? y ?1 ? 0

2 ? ?a ? ? 3 解方程组得? b? ? 2 ?

3 2 5 对称圆 D的方程 : ( x ? 2) ? ( y ? ) ? 2 4
2

1.若两圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0和

C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0
相交,则其公共弦所在直线的方程是

(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0,
那么过交点的圆系方程是什么?

m(x2+y2+D1x+E1y+F1)+n(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0

2.若两圆 C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0和 C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0 相切,则方程(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0 表示的直线是什么?若两圆相离呢?

小结
1.圆和圆的位置关系的判断 代数法 几何法 解直线和圆方程联立的方程组 圆心到直线的距离和半径的关系

2.会求相交圆的公共交点坐标.

作业
P132习题4.2A组:4,6,9,11

4.2.3 直线与圆的方程的 应用

1.平面几何、立体几何和解析几何在研究 问题时的本质区别是什么? 2. 坐标在几何学和代数学之间的联系起了 什么作用?

在平面直角坐标系下,与坐标有关的问题
1.两点间距离公式

2.直线的方程
点到直线的距离,平行直线间距离

3.圆的方程
点、直线、圆和圆的位置关系

4. 解决问题的出发点

1) 代数方法
譬如,用解方程组的方法判断直线与圆 的位置关系,圆与圆的位置关系 2)几何方法

譬如,用平面几何相切的意义来判断直 线与圆的位置关系,圆与圆的位置关系

5.用建立坐标系的方法 解决实际问题或平面 几何中问题.

例1.如图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图. 这 个圆的圆拱跨度AB=20m,拱高OP=4m,建造时每间隔 4m需要用一根支柱支撑,求支柱A2P2的高度(精确到 0.01m)

P2 P

A

A1

A2 O A3

A4

B

分析:如图所示,建立直角坐标系,求出圆弧 所在的圆的方程,那么只要知道点P2的坐标,就可 得出支柱A2P2的高度,化几何问题为代数问题. y P2 P x A A1 A2 O A3 A4 B

例2.已知内接于圆的四边形的对角线互相垂 直,求证:圆心到一边的距离等于这条边所对边 长的一半.

分析:许多平面几何问题常利用“坐标法”来 解决,首先选择合适的位置建立适当的直角坐标系, 由于四边形的对角线互相垂直,以对角线为坐标轴 较好,进而设定四个顶点坐标,随后用坐标法验证 本题的结论. y B
C A

o

O’

X

D

例3 如图,在Rt△AOB中,|OA|=4,|OB|=3, ∠AOB=90°,点P是△AOB内切圆上任意一点,求点P 到顶点A、O、B的距离的平方和的最大值和最小值. yB P C X O A 分析:建立适当的坐 标系,求出点 P所在 的圆的方程,再写出 点 P到顶点的距离的 平方和,用代数方法 求出最值.

例4 如图,圆O1和圆O2的半径都等于1,圆心距 为4,过动点P分别作圆O1和圆O2的切线,切点为M、N, 且使得|PM|= |PN| 2 ,试求点P的运动轨迹是什么曲线?

y
M
O1

P

N

分析:建立适当的坐 标系, 求出点P的轨 迹方程,在依据方程 判断点P的运动轨迹.

o

O2

x

思想方法小结
用坐标法解决几何问题时,先用坐标和方程 表示相应的几何元素:点、直线、圆,将几何问 题转化为代数问题;然后通过代数运算解决代数 问题;最后解释代数运算结果的几何含义,得到 几何问题的结论,这就是用坐标法解决平面几何 问题的“三步曲”.

“坐标法“三步曲
第一步:建立适当的平面直角坐标系.用坐标 和方程表示问题中的几何元素,将平面几何问题 转化为代数问题;
第二步:通过代数运算,解决代数问题; 第三步:把代数运算结果“翻译”成几何结论.

作业
P132练习:1,2,3,4.

P133习题4.2B组:1,2,3.

4.3

空间直角坐标系

主要内容
4.3.1 空间直角坐标系

4.3.2 空间两点间的距离公式

4.3.1

空间直角坐标系

问题引入
1.数轴Ox上的点M,用代数的方法怎样表示呢? 数轴Ox上的点M,可用与它对应的实数x表示; x 2.直角坐标平面上的点M,怎样表示呢?
O M x

直角坐标平面上的点M,可用 一对有序实数(x,y)表示.

y

y O

A(x,y) x x

3.怎样确切的表示室内灯泡的位置?

4.空间中的点M用代数的方法又怎样表示呢? 当建立空间直角坐标系后,空间中的点M,可以 用有序实数(x,y,z)表示.

z
z M (x,y,z)

O
x

y

y

x

空间直角坐标系
OABC ? D A B C 是单位正方体.以O为原点,分 如图, 别以射线OA,OC, OD ' 的方向为正方向,以线段OA,OC,OD '
' ' ' '

的长为单位长,建立三条数轴:x轴、y 轴、z 轴.这时我们 说建立了一个空间直角坐标系O ? xyz ,其中点O 叫做坐标 原点, x轴、y 轴、z 轴叫做坐标轴.通过每两个坐标轴的平 面叫做坐标平面,分别称为xOy 平面、yOz平面、zOx平面.

z

D'

C'

A'

B'

O
A B

C

y

x

右手直角坐标系:在空间直角坐标系中,让右手 拇指指向 x 轴的正方向,食指指向 y 轴的正方向,如 果中指指向 z 轴的正方向,则称这个坐标系为右手直 角坐标系.

设点M是空间的一个定点,过点M分别作垂直 于x 轴、y 轴和z 轴的平面,依次交x 轴、y 轴和z 轴 于点P、Q和R. 设点P、Q和R在x 轴、y 轴和z 轴上的坐标分别 是x,y和z,那么点M就对应唯一确定的有序实数组 z (x,y,z).
R

M
P

O
M’

Q

y

x

反过来,给定有序实数组(x,y,z),我们可以 在x 轴、y 轴和z 轴上依次取坐标为x,y和z的点P、Q 和R,分别过P、Q和R各作一个平面,分别垂直于x 轴、 y 轴和z 轴,这三个平面的唯一交点就是有序实数组 (x,y,z)确定的点M. z
R

M
P

O
M’

Q

y

x

这样空间一点M的坐标可以用有序实数组(x,y, z)来表示,有序实数组(x,y,z)叫做点M 在此空 间直角坐标系中的坐标,记作M(x,y,z).其中x 叫做点M的横坐标,y叫做点M的纵坐标,z叫做点M的 竖坐标. z
R M P

O
M’

Q

y

x

OABC—A’B’C’D’是单位正方体.以O为原点,分别以射 线OA,OC, OD’的方向为正方向,以线段OA,OC, OD’的长为单 位长,建立空间直角坐标系O—xyz.试说出正方体的各个顶点 的坐标.并指出哪些点在坐标轴上,哪些点在坐标平面上.

z
(0,0,1) (1,0,1)

D'

C '(0,1,1)

A

'

B

' (1,1,1)

O(0,0,0) C(0,1,0) y
A (1,0,0) B(1,1,0)

x

OABC ? D?A?B?C ?中, OA ? 3, OC ? 4, OD? ? 2, 例1 在长方体 写出D?, C , A?, B?四点的坐标。
z

D
A'

'

B'
O B

C'
C y

x
'
'

A

解:D 在z 轴上,且 OD ? 2 ,它的竖坐标是2;它的横坐 ' 标x与纵坐标y都是零,所以点 D 的坐标是(0,0,2). 点C 在y 轴上,且 OC ? 4 ,它的纵坐标是4;它的横 坐标x与竖坐标z 都是零,所以点C的坐标是(0,4,0).
'

同理,点 A 的坐标是(3,0,2).·

'

OABC ? D?A?B?C ?中, OA ? 3, OC ? 4, OD? ? 2, 例1 在长方体 写出D?, C , A?, B?四点的坐标。
z

D
A'

'

B'
O B

C'
C y

x

A

解:点B’在平面上的射影是B,因此它的横坐标x与纵坐 标y同点B的横坐标x与纵坐标y 相同.在xOy平面上,点B 横 坐标x=3,纵坐标y=4;点B’在z轴上的射影是D’,它的竖坐标 与点D’的竖坐标相同,点D’的竖坐标z=2. 所以点B’的坐标是(3,4,2).

1 图(可看成是八个棱长为 的小正方体堆积成的正方体),其 2

例2 结晶体的基本单位称为晶胞,如图是食盐晶胞的示意

中色点代表钠原子,黑点代表氯原子.

解:把图中的钠原子分成上、中、下三层来写它们所在 位置的坐标.

z
下层的原子全部在平面上,它们所 在位置的竖坐标全是0,所以这五个钠 原子所在位置的坐标分别是(0,0,0), O (1,0,0),(1,1,0),(0,1,0), y 1 1 ( , ,0). x 2 2 中层的原子所在的平面平行于平面,与轴交点的竖坐标为, 所以,这四个钠原子所在位置的坐标分别是

1 1 1 1 1 1 1 1 ( ,0, ),(1, , ),( ,1, ),(0, , ); 2 2 2 2 2 2 2 2

上层的原子所在的平面平行于平面,与轴交点的竖坐标为 1,所以,这五个钠原子所在位置的坐标分别是:(0,0,1), (1,0,1),(1,1,1),(0,1,1),

1 ,1). (1 ,
2

2

归纳总结
在空间直角坐标系中,x轴上的点、 y轴上的点、z轴 上的点,xOy坐标平面内的点、xOz坐标平面内的点、 yOz坐标平面内的点的坐标各具有什么特点?

x轴上的点的坐标的特点:
y轴上的点的坐标的特点: z轴上的点的坐标的特点: xOy坐标平面内的点的特点: xOz坐标平面内的点的特点: yOz坐标平面内的点的特点:

P(x,0,0)

P(0,y,0) P(0,0,z)
P(x,y,0)

P(x,0,z) P(0,y,z)

知识小结
空间直角坐标系

点在空间直角坐标系中的坐标 1.学会建立空间直角坐标系

2.学会用空间直角坐标系表示空间点的坐标

4.3.2

空间两点间的距离公式

问题提出 1.在平面直角坐标系中两点间的距离公式是什么?

P1 P2 ?

( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 )
2

2

2.类比平面两点间距离公式的推导,你能猜想 一下空间两点 P1 ( x1, y1, z1 )、P2 ( x2 , y2 , z2 )间的距离公式 吗?

在长方体 ABCD ? A1B1C1 D1中,对角线 AC1 的长为多少?
D1 C1

AC1 ?

AB ? AD ? AA1
2 2

2

A1

B1

D

C
B

A

探究1:与坐标原点的距离公式

思考1:在空间直角坐标系中,设点 P(x,y,z) 在xOy平面上的射影为M,则点M的坐标是什么? |PM|,|OM|的值分别是什么?

M(x,y,0)

z O x P

|PM|=|z|
OM ? x ?y
2 2

y M

思考2:基于上述分析,你能得到点 P(x,y,z) 与坐标原点O的距离公式吗?
z O x

P
y M

OP ?

x ? y ?z
2 2

2

思考3:在空间直角坐标系中,方程

x2+y2+z2=r2
什么?

(r>0为常数)表示什么图形是
z

P
O y

x

探究2:空间两点间的距离公式 思考1: 设点 P1 ( x1 , y1 , z1 ), P2 ( x2 , y2 , z2 ) 是空间中任意两 点,而且P1、P2在xOy平面上的射影分别为 M、N.则点M、N的坐标及它们之间的距离是 多少? P2
z

M ( x1 , y1 ,0), N ( x 2 , y2 ,0)
2

O
x

P1 N y

M
2

MN ? ( x1 ? x 2 ) ? ( y1 ? y 2 )

思考2:点P1、P2的距离如何计算?
z P1 O x M N P2

A
y

P1 P2 ? ( x1 ? x 2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2 ? ( z1 ? z 2 ) 2


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