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12市2015届高三上学期期末考试数学试题分类汇编:三角函数


江苏省 12 市 2015 届高三上学期期末考试数学试题分类汇编 三角函数
一、填空题
x? x x? 1、 (常州市 2015 届高三)函数 f ( x) ? cos ? sin ? 3 cos ? 的最小正周期为 ▲ 2? 2 2?

2、 (连云港、徐州、淮安、宿迁四市 2015 届高三)将函数 y ? 2sin(? x ? )(? ? 0) 的图象 分别向左、 向右各平移

π 4

π 个单位长度后, 所得的两个图象对称轴重合, 则 ? 的最小值为 ▲ 4

3、 (南京市、盐城市 2015 届高三)若函数 f ( x ) ? sin(? x ? 称轴之间的距离为 ▲ .

?

? ? ,且该函数图象关于点 ( x0 , 0) 成中心对称, x0 ? [0, ] ,则 x0 ? 2 2
? ?

6

)(? ? 0) 图象的两条相邻的对

4、 (南通市 2015 届高三)已知函数 f ( x) ? sin ? 2 x ? 函数,则 ? ?

??

? ? .若 y ? f ( x ? ? )(0 ? ? ? 2 ) 是偶 6?
?
5

5、 (苏州市 2015 届高三上期末) 已知函数 f ( x) ? sin(kx ? 的值为 6、 (泰州市 2015 届高三上期末)函数 f ( x) ? sin(3 x ?

) 的最小正周期是

? , 则正数 k 3


?
6

) 的最小正周期为

7、 (无锡市 2015 届高三上期末)已知角 a 的终边经过点 P (x, - 6) ,且 t an a = 则 x 的值为 8、 (扬州市 2015 届高三上期末)已知 ? ? (0, ? ), cos ? ? ?

3 , 5

4 ? ,则 tan(? ? ) =____ 5 4

9、 (泰州市 2015 届高三上期末)在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,若

?B ? ?C 且 7a2 ? b2 ? c2 ? 4 3 ,则 ?ABC 面积的最大值为
10、 (无锡市 2015 届高三上期末)将函数 y =



3 cos x + sin x (x

? ) 的图像向左平移

个 m (m > 0) 单位长度后,所得的图像关于 y 轴对称,则 m 的最小值是

1

二、解答题 1、 (常州市 2015 届高三)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知
A ? 3C ? p .

b 2 3 ? , c 3

(1)求 cos C 的值; (2)求 sin B 的值; (3)若 b ? 3 3学科网 ,求△ABC 的面积. 2、 (南京市、盐城市 2015 届高三)在平面直角坐标系 xOy 中,设锐角 ? 的始边与 x 轴的非 负半轴重合, 终边与单位圆交于点 P( x1 , y1 ) , 将射线 OP 绕坐标原点 O 按逆时针方向旋转 后与单位圆交于点 Q( x2 , y2 ) . 记 f (? ) ? y1 ? y2 . (1)求函数 f (? ) 的值域; 若 f (C) ? 2 ,且 a ? (2)设 ?ABC 的角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,
Q α O P x y

? 2

2 , c ? 1 ,求 b .

第 15 题图

3、 ( 南 通 市 2015 届 高 三 ) 在 ? ABC 中 , 角 A, B, C 的 对 边 分 别 为 a, b ,c .已 知

b c o sC? c c o s B ?

2 a c oA s .

?1? 求角 A 的大小; ? 2 ? 若 AB ? AC ?
3, ,求? ABC 的面积.

4、 (泰州市 2015 届高三上期末)在平面直角坐标系 xOy 中,角 ? 的终边经过点 P(3, 4) . (1)求 sin(? ?

?
4

) 的值;

(2)若 P 关于 x 轴的对称点为 Q ,求 OP ? OQ 的值.

5、 (扬州市 2015 届高三上期末) 已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0, 0 ? ? ? 分图象如图所示。 (1)求函数 f(x)的解析式; (2)当 x ? [ , ] 时,求函数 y ? f ( x ? 1) ? f ( x) 的值域。

?
2

)部

1 5 2 2

2

6、 (南通市 2015 届高三)在长为 20 m,宽为 16 m 的长方形展厅正中央有一圆盘形展台 ( 圆 心为点 C ) ,展厅入口位于长方形的长边的中间,在展厅一角 B 点处安装监控摄像头,使点

B 与圆 C 在同一水平面上,且展台与入口都在摄像头水平监控范围内 ( 如图阴影所示 ) .

?1? 若圆盘半径为 2

5 m,求监控摄像头最小水平视角的正切值;
,求圆盘半径的最大值.

? 2 ? 过监控摄像头最大水平视角为 60

( 注:水平摄像视角指镜头中心点水平观察物体边缘的实现的夹角. )

7、 (扬州市 2015 届高三上期末)如图,某商业中心 O 有通往正东方向和北偏东 30?方向的

tan ? ? 3 3 两条街道,某公园 P 位于商业中心北偏东 ? 角( 0<? < , 2

?

) ,且与商业中心 O

的距离为 21 公里处,现要经过公园 P 修一条直路分别与两条街道交汇于 A,B 两处。 (1)当 AB 沿正北方向时,试求商业中心到 A,B 两处的距离和; (2)若要使商业中心 O 到 A,B 两处的距离和最短,请确定 A,B 的最佳位置。

3

参考答案
一、填空题 1、 2p 2、2 3、

5? 12

4、

? 3

5、6 6、

2? 3

7、10 8、

1 7

9、

5 5

10、

? 6

二、解答题 1、解: (1)因为 A ? B ? C ? p , A ? 3C ? p , 所以 B ? 2C . 又由正弦定理,得 ………………………2 分

2 3 2sin C cos C b c b sin B ? , ? , , ? 3 sin C sin B sin C c sin C 3 化简得, cos C ? . ………………………5 分 3

(2)因为 C ? ? 0, p ? ,所以 sin C ? 1 ? cos 2 C ? 1 ? 所以 sin B ? sin 2C ? 2sin C cos C ? 2 ? (3)因为 B ? 2C ,

1 6 ? . 3 3

6 3 2 2 ? ? . 3 3 3

………………………8 分

1 1 所以 cos B ? cos 2C ? 2cos2 C ? 1 ? 2 ? ? 1 ? ? . 3 3
因为 A ? B ? C ? p , 所以 sin A ? sin( B ? C ) ? sin B cos C ? cos B sin C ?

……………………10 分

2 2 3 1 6 6 ? ? (? ) ? ? . 3 3 3 3 9

………………………12 分 因为
b 2 3 9 ? , b ? 3 3 ,所以 c ? . c 3 2

1 1 9 6 9 2 ? 所以△ABC 的面积 S ? bc sin A ? ? 3 3 ? ? . ………………………14 分 2 2 2 9 4

2、解: (1)由题意,得 y1 ? sin ? , y2 ? sin(? ? 所以 f (? ) ? sin ? ? cos ? ?

?
2

) ? cos ? ,

………4 分

2 sin(? ? ) , ………………6 分 4 ? ? ? 3? ), 因为 ? ? (0, ) , 所以 ? ? ? ( , 故 f (? . ……………… ) ? 1 ( , 2 ] 2 4 4 4
8分 (2) 因为 f (C ) ?

?

2 sin( ? C ) ? 2 , 0 , ) , 又C ?( 所以 C ? , ……… 4 2 4
4

?

?

?

10 分
2 2 2 在 ?ABC 中 , 由 余 弦 定 理 得 c ? a ? b ? 2ab cos C

, 即

1? 2 ? b2 ?

2 2? 2 b , 2
解得 b ? 1 . ………………14 分

3、

4、解: (1)∵角 ? 的终边经过点 P(3, 4) ,∴ sin ? ? ∴ sin(? ?

4 3 , cos ? ? ,……………4 分 5 5

?
4

) ? sin ? cos

?
4

? cos ? sin

?

4 2 3 2 7 ? ? ? ? ? 2 .……………7 分 4 5 2 5 2 10

(2)∵ P(3, 4) 关于 x 轴的对称点为 Q ,∴ Q(3, ?4) .………………………………9 分 ∴ OP ? (3, 4), OQ ? (3, ?4) ,∴ OP ? OQ ? 3? 3 ? 4 ? (?4) ? ?7 . 5、⑴由图, A ? 2, 分 由 f ( ) ? 2sin( ……………14分

T 2 1 ? ? ? ? ? (? ) ? 1 ,得 T ? 4 , ? ? ,则 f ( x) ? 2sin( x ? ) ,…3 2 4 3 3 2 6

2 3

? 2

? ? ? ) ? 2 ,得 sin( ? ? ) ? 1 ,所以 ? ? ? 2k? ? (k ? Z ) , 3 2 3 3 2

?

?

?

5

又0 ?? ? ⑵

?
2

,得 ? ?

?
6

,所以 f ( x ) ? 2sin(

?
2

x?

?
6

);

……7 分

y ? f ( x ? 1) ? f ( x) ? 2sin(


?

x ? ) ? 2 cos( x ? ) ? 2 2 sin( x ? ) , 2 6 2 6 2 12

?

?

?

?

?

……10

因 为 x ?[ , ] , 故

1 5 2 2

?
6

?

?

? 7 x ? ? 2 1 2

?

, 则 ?

6

1 ? ? ?s i n x (? ? ), 1 即 2 2 1 2

? 2? f x ( ? )

2, 2
……14 分

所以函数 y ? f ( x ? 1) ? f ( x) 的值域为 [? 2, 2 2] . 6.

6

7

7、⑴以 O 为原点,OA 所在直线为 x 轴建立坐标系.设 P(m, n) ,

8

∵0 ?? ?

?
2

, tan ? ? 3 3 ∴ cos ? ?

7 3 21 , sin ? ? , 14 14
……4 分

则 m ? OP ? sin ? ?

9 3 , n ? OP ? cos ? ? , 2 2
2

依题意,AB⊥OA,则 OA= 9 ,OB=2OA=9,商业中心到 A、B 两处的距离和为 13.5km. ⑵ 方法 1:当 AB 与 x 轴不垂直时,设 AB: y ? 3 ? k ( x ? 9 ) ,① 2 2 令 y ? 0 ,得 x A ? ? 3 ? 9 ;由题意,直线 OB 的方程为 y ? 3x ,② 2k 2 解①②联立的方程组,得 xB ?

9k ? 3 9k ? 3 ,∴ 2 2 , OB ? xB ? yB ? 2 xB ? k? 3 2(k ? 3)

∴ y ? OA ? OB ? ?

3 9 9k ? 3 , 由 xA ? 0 , xB ? 0 , 得 k ? 3 , 或 ? ? 2k 2 k ? 3

k ? 0.
y' ? ?8 3

……11 分

(k ? 3)

2

?

3 ? 3(3k ? 3)(5k ? 3) 3 ,令 y ' ? 0 ,得 k ? ? , ? 2 2 2k 2 3 2k (k ? 3)

3 当 k ? ? 3 时, y ' ? 0 , y 是减函数;当 ? ? k ? 0 时, y ' ? 0 , y 是增函数, 3 3
∴当 k ? ? 3 时, y 有极小值为 9km;当 k ?
3

3 时, y ' ? 0 , y 是减函数,结合⑴知

y ? 13.5 km.
综上所述,商业中心到 A、B 两处的距离和最短为 9km,此时 OA=6km,OB=3km, 方法 2: 如图, 过 P 作 PM//OA 交 OB 于 M, PN//OB 交 OA 于 N, 设∠BAO= ? , △OPN 中

PN ON OP ,得 PN=1,ON=4=PM, ? ? sin(90 ? ? ) sin(? ? 30 ) sin120?


B

△PNA 中∠NPA=120°- ? ∴ 同理在△PMB 中,

PN NA sin(120 ? ? ) 得 NA ? ? ? sin ? sin ? sin(120 ? ? )
?

M O N

P A

BM PM 4sin ? ,得 MB ? , ? sin ? sin(120? ? ? ) sin(120 ? ? ?)

y ? OA ? OB ?
分 当且仅当

s i n ( 1 ?2? 0? ) 4 ?s i n ? ? 1 ? 4? 2 4 ? ? 5 , 9 ? sin ? s i n ( 1 2? 0? )

……13

3 sin(120? ? ? ) 4sin ? ? 即 sin(120 ? ? ) ? 2sin ? 即 tan ? ? 时取 ? ? 3 sin ? sin(120 ? ? )
9

等号.
9 4 ? 4, 0) , 2 ,得 A( 方法 3:若设点 B(m, 3m) ,则 AB: ? 2m ? 1 3 m? 9 3m ? 2 2 y? x? 3 2

∴ OA ? OB ? 2m ? 13 分 当且仅当 2m ? 1 ?

4 4 ? 4 ? 2m ? 1 ? 1 ? ?4?9, 2m ? 1 2m ? 1

……

4 3 即 m ? 时取等号. 2m ? 1 2

2 1 ? , 方法 4:设 A(n, 0) ,AB: y ? 0 ? x ? n ,得 xB ? n?4 2 9 3 ?n ?0 2 2

OA ? OB ? n ? 2 xB ? n ? 4 ? 4 ?
……13 分 当且仅当 n ? 4 ? 答 : A 置.

4 4 ? 1 ? (n ? 4) ? ?5? 9 n?4 n?4



4 即 n ? 6 时取等号. n?4
6km , B ……15 分 离 商 业 中 心 3km 为 最 佳 位

选 地 址 离 商 业 中 心

10


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