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知识梳理之11——直线和圆答案


高中数学复习系列之十一 高中数学复习系列之十一 数学复习系列之

《直线和圆》知识梳理 直线和圆》
《考试说明》对《直线和圆》这一章所涉及知识考点和方法技巧的具体要求主要有:① 直线方程的几种形式(点斜式、斜截式、两点式、截距式、参数式、一般式) ,注意设法及 各自的限制条件;②两条直线的位置关系(相交、垂直、平行、重合)的判断,注意充要条 件; ③

点到直线的距离公式, 能熟练应用; ④设圆的标准方程或一般方程解决有关问题; ⑤ 直线与圆的位置关系以及两圆位置关系的判断与应用; 另外, 注意建立在圆中应用平面几何 的有关性质简捷解决问题的意识。

一、重点知识
(一)直线有关问题 o 1.直线有关概念:直线的倾斜角 α 的取值范围为 [ 0, π ) 。当直线的倾斜角不是 90 时, 斜率 k = tan α ;当直线的倾斜角等于 90 时斜率不存在。
o

过两点 p1 ( x1 , y1 ), p 2 ( x 2 , y 2 )( x1 ≠ x 2 ) 的直线的斜率公式 k =

y2 ? y1 ; x2 ? x1

定比分点坐标公式: p1 ( x1 , y1 ), p2 ( x2 , y2 ) , 设 直线 P P2 上一点 P ( x, y ) 分有向线段 P P2 1 1 的比为 λ =

PP x + λ x2 y + λ y2 1 ,则 x = 1 ,y= 1 . PP2 1+ λ 1+ λ

2.直线方程的几种形式及适用范围: 直线形式 条件 点斜式 斜截式 两点式 截距式 一般式 向量式 参数式

方程

适用范围

图像

例 1

① 过 点 A(1, 2) 且 在 两 坐 标 轴 的 截 距 相 等 的 直 线 方 程 为 2 x ? y = 0 或

x+ y ?3= 0;
②过点 A( ?1, 3) 且与圆 x 2 + y 2 = 1 相切的直线方程为 x + 1 = 0 或 x + 3 y ? 2 = 0 。 3.两条直线的位置关系 ⑴若直线 l1 、 l 2 的斜率存在且不重合:① l1 // l 2 ? k1 = k2 且 b1 ≠ b2 ; ② l1 ⊥ l 2 ? k1k2 = ?1 。 。 ⑵若 l1:A1 x + B1 y + C1 = 0, l 2:A2 x + B 2 y + C 2 = 0 ( A2、B2、C 2 不为零)

1

① l1 // l 2 ? ② l1 ⊥ l 2 ? ③ l1 与 l 2 相交 ? ④ l1 与 l 2 重合 ? 为 为

; ; ;


4. 点 到 直 线 的 距 离 : 平 面 内 一 点 P ( x0 , y 0 ) 到l:Ax + By + C = 0 的 距 离 。平行线间距离:两条平行线 Ax + By + C1 = 0与Ax + By + C 2 = 0 间的距离 。 例 2 ①若圆 x + y ? 4 x ? 4 y ? 10 = 0 上至少有三个不同点到直线 l : ax + by = 0 的
2 2

距离为 2 2 ,则直线 l 的倾斜角的取值范围是



2 2 ,半径为 3 2 ; l : ax + by = 0 解析 配方得 ( x ? 2) + ( y ? 2) = 18 ,圆心为(2,2)

为过原点的任一条直线,若 l 过圆心(2,2)即倾斜角 α =

π
4

,此时 r = 3 2 > 2 2 ,圆上

存在 4 点到到直线 l 的距离为 2 2 ,适合题意;然后将 l 绕原点向上下旋转,检验:

d=

2k ? 2 1+ k 2

= 2 ? k = 2± 3 ?α =

,此时对于直线 l 恰好与圆的平行切线之 , 12 12

π 5π

间的距离为 2 2 ,是 l 的边界位置,故 [

, ]. 12 12

π 5π

这道试题明显改造于 1991 年全国高考试题: 圆 x 2 + y 2 + 2 x + 4 y ? 3 = 0 上到直线 x + y + 1 = 0 的距离等于 2 的点的个数是( C ) A.1 B.2 C.3 D.4 ②已知点 P 到两定点 M ( ?1,0), N (1,0) 的距离比为 2 ,点 N 到直线 PM 的距离为 1, 求直线 PN 的方程。 解析 本题常规做法为: 设 P ( a, b) ,则 PM 的方程为 y = 即 bx ? ( a + 1) y + b = 0 ,于是 1 = NH = 又 2=

b ( x + 1) , a +1

2b b 2 + ( a + 1) 2

? a + 1 = ± 3b. ①

PM PN

=

(a + 1) 2 + b 2 (a ? 1) + b
2 2

? (a ? 3) 2 + b 2 = 8 ②
y
H

P

(注:满足上述条件 2 = 注 即图中的圆 C )

PM PN

的点 P 的轨迹为阿波罗尼圆,

x
M O
N C

将①代入②可得 a = 2 ± 3 , b = ± ( 3 ± 1).

b = ±1. a ?1 因此直线 PN 的方程为 y = ± ( x ? 1). 若能进一步观察题设条件:在 Rt?MNH 中斜边 MN = 2 ,直角边 NH = 1 , PM PN o = 可得 ∠HMN = 30 ,在 ?PMN 中应用正弦定理 sin ∠PNM sin ∠PMN
于是 k PN =
2

? sin ∠PNM =

PM PN

sin 30o =

2 ? ∠PNM = 45o 或135o. 2

于是 k PN = tan ∠PNM = ±1. 因此直线 PN 的方程为 y = ± ( x ? 1). 评注: 评注:本题为 2002 年全国高考文科第 21 题,分值为 14 分,重点考查学生通过联立① ②消参解方程组的运算能力, 对文科学生的运算能力提出了较高的要求; 通过上述通法与巧 法对比,读者容易看出:运用平面图形的有关几何性质来分析解决一些解析几何的问题,可 以有效地避免复杂的解几运算,以达简捷明快之目的。 ③已知 m ∈ R ,直线 l : mx ? ( m + 1) y = 4m 和圆 C : x + y ? 8 x + 4 y + 16 = 0 .
2 2 2

(Ⅰ)求直线 l 斜率的取值范围; (Ⅱ)直线 l 能否将圆 C 分割成弧长的比值为 解析: (Ⅰ) k =

1 的两段圆弧?为什么? 2

m 1 1 ∈ [? , ] ; m +1 2 2 (Ⅱ)法 1 通过观察可得直线 l 恒过定点 A(4, 0) ,而圆 C 的圆心坐标为(4,-2) ,半 1 o o 径为 2. 故若截得比值为 的两段圆弧必须使得圆心角为 120 ,此时直线倾斜角为 60 ,斜 2 率为 3 ,这由(Ⅰ)可知不可能! (具体步骤略)
2

(m 2 + 1) 2 1 1 法 2 l = 2 r ? d = 4 1? 4 =4 ≤4 ,于是 2 1 5 m + 3m + 1 m2 + 2 + 3 m 16 8? 5 = 3 > 1 ?θ < π . cos θ = 2× 4 5 2 3 2 m +1 θ d 1 法 3 cos = = = ? 3m 4 + 5m2 + 3 = 0 ? ? = ?9 < 0 ,无解。 2 r m 4 + 3m2 + 1 2
2 2

评注:1.直线系方程问题及直线恒过定点问题; 2. (Ⅱ)的多种解法。 (二)圆的有关问题 1. 圆的方程:①圆的标准方程: ;②圆的一般方程: ③圆的参数方程: 。 例 3 ① A = C ≠ 0 且 B = 0 是方程 Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 表示圆的 A.充分非必要 B.必要非充分 C.充要条件 D.既非充分也非必要条件 。2



②直线 l:3x+4y-12=0 与圆 C: ?

? x = ?1 + 2 cos θ ( θ 为参数 )公共点个数为 ? y = 2 + 2sin θ

提示: d =

?3 + 8 ? 12
32 + 4 2

=

7 < 2 = r ,故相交,有 2 个公共点。 5

2.直线与圆的位置关系的判定方法有两种: ①代数法:把直线方程代入圆的方程转化成二次方程利用判别式 ; ? = b ? 4ac = 0 ? ; ? = b ? 4ac < 0 ? ②几何法:利用圆心到直线的距离 d 与圆的半径 r 的大小关系:
2 2

? = b 2 ? 4ac > 0 ?

.

3

d <r?

; d =r?

;d > r ?
2

.
2

如 P ( x 0 , y 0 ) 为平面任意一点,直线 x 0 x + y 0 y = r 圆 x
2 2 2 P( x0 , y0 ) 在 圆 x + y = r 上 , 直 线

+ y = r 2 的位置关系:点
2

2 2 2 2 P ( x0 , y 0 ) 在 圆 x 2 + y 2 = r 2 外 , 直 线 x0 x + y 0 y = r 与 圆 x + y = r

;点 ;点 . .

x0 x + y0 y = r
2 2

2

与圆 x2 + y 2 = r 2

2 2 2 2 P ( x 0 , y 0 ) 在圆 x 2 + y 2 = r 2 内,直线 x0 x + y 0 y = r 与圆 x + y = r

3 . 弦 长 公 式 : 设 直 线 l : y = kx + b 与 圆 x + y + Dx + Ey + F = 0 交 于 两 个 不 同 点

P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ) , 则所截得弦长为:PQ =

=

4.两圆位置关系:设两圆圆心分别为 O1,O2,半径分别为 r1,r2, O1O2 = d .

d > r1 + r2 ?

? 4 条公切线; d = r1 + r2 ? ?
; 0 < d < r1 ? r2 ?
2 2

? 3 条公切线;

r1 ? r2 < d < r1 + r2 ?
?
5. 两圆的公共弦与圆的切线长:

; d = r1 ? r2 ?

? 无公切线;

例 4: ①已知两圆 C1 :x + y ? 2 x + 10 y ? 24 = 0 ,C2 :x 2 + y 2 + 2 x + 2 y ? 8 = 0 , 则以两圆公共弦为直径的圆的方程是 x 2 + y 2 + 4 x ? 2 y = 0 . ②已知两个圆 x 2 + y 2 = 1 ①与 x 2 + ( y ? 3) 2 = 1 ②,则由①式减去②式可得上述两圆的 对称轴方程。将上述命题在曲线仍为圆的情况下加以推广,即要求得到更一般的命题,而已 知命题应成为所推广命题的一个特例。 推广的命题为 . 解析 命题组所给答案为: “ 设 两 圆 方 程 分 别 为 ( x ? a ) 2 + ( y ? b) 2 = r 2 ① 与 ( x ? c) 2 + ( y ? d ) 2 = r 2 ② , 则 由 ①-②可得两圆的对称轴方程。 ” 事实上,本题尚可进一步推广: 设两圆方程分别为 x 2 + y 2 + D1 x + E1 y + F1 = 0 ①与 x + y + D1 x + E1 y + F1 = 0 ②,
2 2

则由①-②可得方程 ( D1 ? D2 ) x + ( E1 ? E2 ) y + F1 ? F2 = 0 ( D1 ≠ D2 或 E1 ≠ E2 )③表 示两圆的根轴。 ” 特别地,若两圆半径相等,则为两圆的对称轴方程;若两圆半径不相等,则有以下几种 情况:外切时表示内公切线;相交时表示公共弦所在直线;内切时表示外公切线;内含或相 离时为根轴。 ③由直线 y = x + 1 上的点向圆 ( x ? 3) + ( y + 2) = 1 引切线,则切线长的最小值为
2 2



) A. 17

B. 3 2 ) (A)

C. 19 (B) 4π

D. 2 5 (C) 8π (D) 9π

④已知两定点 A( ?2, 0), B (1, 0), 如果动点 P 满足条件 PA = 2 PB , 则点 P 的轨迹所包围 的图形的面积等于( 提示:P 点轨迹为圆,半径为 2,故面积为 4π 。

π

2 2 ⑤已知直角坐标平面上点 Q (2, 和圆 C:x + y = 1, 动点 M 到圆 C 的切线长与 MQ 0)

的比等于常数 λ (λ > 0) .求动点 M 的轨迹方程,说明它表示什么曲线. 简析 此题为 1994 年全国高考文科试题, 是改造高中数学 (新教科书必修本) 第二册 (上) 1 P78 例 5,将常数 2 换成字母 λ ,再加上单位圆的切线长编制而成;本质上是阿波罗尼圆: 设 MN 切圆于 N,M(x,y),则 MN = λ MQ ,即

x 2 + y 2 ? 1 = λ ( x ? 2) + y 2 .

4

整理得 (λ ? 1)( x + y ) ? 4λ x + (1 + 4λ ) = 0 .
2 2 2 2 2

讨论:当 λ = 1 时为直线 x = 当 λ ≠ 1 时为圆 ( x ?

5 ; 4

2λ 2 2 1 + 3λ 2 2 ) +y = 2 。 λ 2 ?1 (λ ? 1) 2
; 曲线 C : f ( x, y ) = 0 关 ;

(三)对称问题 ⑴点 P0 ( x0 , y 0 ) 关于定点 A( a, b) 的对称点坐标为 于定点 A( a, b) 的对称曲线方程为 。

⑵若求点 P0 ( x 0 , y 0 ) 关于直线 l:Ax + By + C = 0 的对称点 P ( x, y ) ,可得方程组

特别地,若对称轴为 l:x + y + C = 0 则 P 点坐标为 ( ? y0 ? C , ? x0 ? C ) ;若对称轴为

l:x ? y + C = 0 则 P 点坐标为 ( y0 ? C , x0 + C ) ;如:
已知点 P ( 2,1) 在圆 C:x + y + ax ? 2 y + b = 0 上, P 关于直线 x + y ? 1 = 0 的对 点 称点也在圆上,则圆心坐标为 (0,1) ,半径为 2 . ⑶圆 ( x ? a ) 2 + ( y ? b) 2 = r 2 关于 P ( x 0 , y 0 ) 的对称圆的方程为 ; 关于直线
2 2

l:Ax + By + C = 0 的对称圆的方程为
(4)关于对称问题的几个应用: 例 5 ① 光线从点 P (?3,5) 射到直线 l



: 3 x ? 4 y + 4 = 0 上,经过反射,其反射光线过 点 Q (3,5) ,则光线从 P 到 Q 所走过的路程为 8 ;一条光线从点 P ( 2, 3) 射出,经 x 轴
反 射 , 与 圆 ( x + 3) 2 + ( y ? 2) 2 = 1 相 切 , 则 反 射 光 线 所 在 直 线 的 方 程 为 3 x + 4 y + 6 = 0, 4 x + 3 y + 1 = 0 . 解析 设 Q (3,5) 关于直线 l 的对称点为 M ( x, y ) ,则有

117 y+5 ? ? x+3 ? x = 25 ?3 2 ? 4 2 + 4 = 0 ? ? ,解得 ? ? ? y = 69 ? y ? 5 3 = ?1 ? x?3 4 ? 25 ? ?
于是光线从 P 到 Q 所走过的路程为 PM =

117 69 ( + 3) 2 + ( ? 5) 2 = 8. 25 25

②若 ?ABC 的顶点 A(3, 4) , B (6, 0) , C (?5, ? 2) ,则 ∠A 的平分线 AT 所在直线方程为

7 x ? y ? 17 = 0 .在△ABC 中,BC 边上的高所在的直线的方程为 x-2y+1=0,∠A 的平分线所
在的直线方程为 y=0,若点 B 的坐标为(1,2) ,则点 A 和点 C 的坐标分别为 ( ?1, 0), (5, ?6) 。 ③ 设点 A( ?1,1), B (1, 2) ,试在 x 轴上找一点 P 使得: PA + PB 最小,则最小值为

1 13 ;此时 P 点坐标为 (? , 0) ;若使得 PA ? PB 最大,则最大值为 5 ;此时 P 点坐标 3 为 (?3, 0) ;
④函数 y = 函数 y =

x 2 + 2 x + 2 + x 2 ? 2 x + 5 的最小值为 13 ;
x 2 + 2 x + 5 ? x 2 ? 2 x + 2 的最大值为 5 ;
5

⑤设 P 是边长为 1 的正三角形 ABC 重心, M 1 , M 2 , M 3 分别为边上的任意点,则 设 重心, 分别为边上的任意点,

PM 1 + M 1 M 2 + M 2 M 3 + M 3 P 的最小值等于
如图所示选取坐标系, 解析 如图所示选取坐标系,则重心 P (0, 运用平几知识作如下示意图, 运用平几知识作如下示意图,可得

.

1 2 3

),

y

1 1 ), P 关于直线 AC 的对称点为 G ( , 2 3 1 1 ), P 关于直线 AB 的对称点为 E (? , 2 3 1 1 ). G 关于直线 BC 的对称点为 F ( ,? 2 3
对于满足题意的任意一条闭路径

A E M1 P
B
G M3

x

O M2

C

F

PM 1 + M 1 M 2 + M 2 M 3 + M 3 P
= ( EM 1 + M 1 M 2 ) + (GM 3 + M 2 M 3 ) ≥ EM 2 + GM 2 = EM 2 + M 2 F ≥ EF . 因此, 的长度就是所求的最小值即 因此, EF 的长度就是所求的最小值即 EF = 12 + (

2 3

)2 =

21 . 3
E

A

本题运用平面几何方法也可以得到解决: 本题运用平面几何方法也可以得到解决: 如图, 如图,作点 P 关于直线 AB, AC 的对称点 E, G ,点 G 关于直线

D
P
M3

G

M1 BC 的对称点 F ,可以证明 EF 的长度就是所求最小值(见上) 的长度就是所求最小值(见上) 。 中点。 设 PG 与 AC 交于 D 点,由 ?APD ~ ?AOC 得 D 为 AC 中点。 2 为菱形; 3, B 因此 APCG 为菱形;在 Rt?EGF 中 EG = 1, FG = 2 AP = 3 2 21 2 2 2 3) 2 = . 故 EF = EG + FG = 1 + ( 3 3 的确切位置(如图) 还可以确定取得最小值时三点 M 1 , M 2 , M 3 的确切位置(如图) ;
可用上述解析法求得坐标: 可用上述解析法求得坐标:

O(M2 )

C

F

M 2 (0,0), M 1 (3 ? 2 3 ,4 ? 2 3 ), M 3 (2 3 ? 3,4 ? 2 3 )
⑥折叠问题:在平面直角坐标系中,已知矩形 ABCD 的长为 2,宽为 1,AB、AD 边分 别在 x 轴、y 轴的正半轴上,A 点与坐标原点重合(如图 1 所示).将矩形折叠,使 A 点落 在线段 DC 上, (Ⅰ)若折痕所在直线的斜率为 k,试写出折痕所在直线的方程; (Ⅱ)求折痕的长的最大值. 由于点 E 在线段 DC 上, 故可设点 E 的坐标为 (t, 解析 设点 A 关于折痕的对称点为 E, 1) 0 ≤ t ≤ 2 ) ( .
y D E M A B x C

y D E M A B x C

(图 2)

(图 3)

图 1
6

y D M A B x E C

y D M A B x E C

(图 4) (图 5) ( Ⅰ ) 若 t = 0 , 则 “ 拆 痕 ” 所 在 的 直 线 为 线 段 AD 的 中 垂 线 , 它 的 方 程 为

y=

1 1 ;若 0 < t ≤ 2 ,由 K AE ? k = ?1 ,则 ? k = ?1 ? t = ? k ,从而线段 AE 的中点 M t 2

的坐标为 ( ?

k 1 , ) ,故“折痕”所在直线的方程为 y ? 1 = k ( x + k ) . 2 2 2 2
1 k = k(x + ) ( ? 2 ≤ k ≤ 0 ) . 2 2

综上所述, “折痕”所在直线的方程为 y ?

(Ⅱ)设“折痕”的长为 l . (1)当“折痕”过 AD 的中点时(如图 2) k = 0 ;当“折痕”过点 B 时(如图 3) , , 由于 ?1 < k < 0, 求得 k =
2

3 ? 2 .所以,当 3 ? 2 ≤ k ≤ 0 时, “折痕”与 y 轴及 x = 2 均有

交点,分别求得为 (0,

k +1 k 2 + 4k + 1 2 2 ) 、 (2, ) .此时 l = 4 + (2k ) = 2 1 + k . 2 2

由 于 l 是 关于 k 的函数 , 它在 [ 3 ? 2, 0] 上 是 减函 数,所 以 ,当 k = 3 ? 2 时 ,

lmax = 2 1 + ( 3 ? 2) 2 = 2( 6 ? 2) .
(2)当“折痕”过点 D 时(如图 4) k = ?1 .所以,当 ?1 ≤ k ≤ 3 ? 2 时, , “折痕” 与 y 轴及 x 轴均有交点,分别求得为 (0,

1 k k 2 +1 ? , 0) . ) 、 (? 2k 2 2

1 k 2 k 2 + 1 2 1 (k 2 + 1)3 ? ) +( ) = 此时 l = (? . 2k 2 2 2 k2 (k 2 + 1)3 2( k 2 + 1) 2 (2k 2 ? 1) ,则 f ′(k ) = ,由此得: 设 f (k ) = k2 k3
当 ?1 ≤ k < ? 当k = ? 当?

2 时, f ′( k ) < 0 ; 2

2 时, f ′( k ) = 0 ; 2

2 < k ≤ 3 ? 2 时, f ′(k ) > 0 . 2 所以, f ( k ) max = f ( ?1) ,或 f ( k ) max = f ( 3 ? 2) .
由于 f ( 3 ? 2) ? f ( ?1) = 120 ? 64 3 > 0 , 所以 lmax =

(3)当“折痕”过 AC 的中点时(如图 5) ,求得 k = ?2 .所以,当 ?2 ≤ k ≤ ?1 时,

1 2

f ( k ) max =

1 2

f ( 3 ? 2) = 2( 6 ? 2) .

1 k 1? k 2 ? , 0) , 此 时 ,1) 、 ( ? “折痕”与 y =1 及 x 轴均有交点,可求得为 ( 2k 2 2k

7

1 1 l = ( )2 + 1 = +1 . k k2
由于 l 是关于 k 的函数,它在 [ ?2, ?1] 上是增函数,所以,当 k = ?1 时, lmax = 由于 2( 6 ? 2) >

2.

2 ,所以“拆痕”的长的最大值为 2( 6 ? 2) .

注:本题作为动手操作性问题,可体现研究性学习的特色。并能作进一步探究: 探究一 若一个矩形纸片 ABCD 的长 AD 为 a,宽 AB 为 b(<a),将矩形折叠,使折叠后 B ,过 B ′ 作 B ′H ⊥ AD 交 EF 于点 T,试 点始终落在线段 AD 上,此时记 B 为 B ′ (EF 为折痕) 求点 T 的轨迹。 (为抛物线弧 x = ?2by (0 ≤ y ≤ b) ) 若把探究一的条件改成“交 EF 或 EF 的延长线于点 T”呢?
2

(抛物线弧 x = ?2by (0 ≤ y ≤ a ) ) 若进一步扩大已知条件: “当折叠后 B 点始终落在直线 AD 上”呢?
2

(完整抛物线 x = ?2by , 此时轨迹即抛物线 x = ?2by 的形状只与点 B 到 AD 的距 离(即焦参数)有关) 。 若改方为圆,可得 2003 年全国高中联赛第一试第 15 题: 探究二 一张纸上画有半径为 R 的圆 O 和圆内一定点 P,且 OP=a(a<R),折叠纸片,使圆 周上某一点 P ′ 恰好与 P 重合,这样的每一次折法都留下一条直线折痕 EF,设折痕 EF 与 OP 的交点为 T,当 P ′ 取遍圆周上所有的点时,求点 T 的轨迹。
2
2

(提示:由 TP = TP ′ 知 OT + TP = OP ′ = R ,故为椭圆

a (x ? )2 y2 2 + = 1) R 2 R 2 a 2 ( ) ( ) ?( ) 2 2 2
若改条件“圆内一定点 P,且 OP=a(a<R)”为“圆外一定点 P,且 OP=a(a>R)”呢?

a ( x ? )2 y2 2 ? (轨迹为双曲线 = 1 ,折痕 EF 就是过此双曲线上点 T 的切线) R 2 a 2 R 2 ( ) ( ) ?( ) 2 2 2

8


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直线与圆习题 答案_数学_高中教育_教育专区。第十一单元 第二节 直线与圆 圆...5.会判断圆与圆的位置关系。 二【知识梳理】 1.圆的方程 圆的标准方程为__...
2015年高二数学专题训练【11】直线与圆(含答案解析)
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