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直线的倾斜角与斜率(一)


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直线的倾斜角与斜率(一)
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数学 人教版 直线的倾斜角和斜率的定义

适用年级 课时时长 (分钟)

高中二年级 60

知识点

已知直线的倾斜角,会求直线的斜率 已知直线的斜率,会求直线的倾斜角 1.了解“直线的方程”和“方程的直线”的概念 2.理解直线的倾斜角和斜率的定义

教学目标

3.已知直线的倾斜角,会求直线的斜率 4.已知直线的斜率,会求直线的倾斜角 5.认识事物之间的相互联系, 用联系的观点看问题

教学重点 教学难点

直线的倾斜角和斜率概念 斜率概念理解与斜率公式

教学过程
一、复习预习
在初中,我们已经学习过一次函数,并接触过一次函数的图象,现在,请同学们作一下 回顾: 1.一次函数的图象特点:一次函数形如 y ? kx ? b ,它的图象是一条直线. 2.对于一给定函数 y ? 2 x ? 1 ,作出它的图象的方法:由于两点确定一条直线,所以 在直线上任找两点即可. 3.这两点与函数式的关系:这两点就是满足函数式的两对 x, y 值. 因此,我们可以得到这样一个结论:一般地,一次函数 y ? kx ? b 的图象是一条直线, 它是以满足 y ? kx ? b 的每一对 x, y 的值为坐标的点构成的. 由于函数式 y ? kx ? b 也可以看作二元一次方程.所以我们可以说,这个方程的解和直

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线上的点也存在这样的对应关系. 有了上述基础,我们也就不难理解“直线的方程”和“方程的直线”的基本概念

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二、知识讲解
1.直线方程的概念:以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点,反过来,这条直 线上的点的坐标都是这个方程的解,这时,这个方程就叫做这条直线的方程,这条直线叫做 这个方程的直线 在平面直角坐标系中研究直线时, 就是利用直线与方程的这种关系, 建立直线的方程的 概念,并通过方程来研究直线的有关问题.为此,我们先研究直线的倾斜角和斜率 2.直线的倾斜角与斜率:在平面直角坐标系中,对于一条与 x 轴相交的直线,如果把 x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为 ? ,那么 ? 就叫做直线 的倾斜角. 当直线和 x 轴平行或重合时,我们规定直线的倾斜角为 0° 因此,根据定义,我们 可以得到倾斜角的取值范围是 0°≤ ? <180° 倾斜角不是 90°的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率,常用 k 表示. 倾斜 角是 90 ? 的直线没有斜率 3.概念辨析:为使大家巩固倾斜角和斜率的概念,我们来看下面的题. 关于直线的倾斜角和斜率,下列哪些说法是正确的: A.任一条直线都有倾斜角,也都有斜率; B.直线的倾斜角越大,它的斜率就越大; C.平行于 x 轴的直线的倾斜角是 0 或π ; D.两直线的倾斜角相等,它们的斜率也相等. E.直线斜率的范围是(-∞,+∞).
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辨析:上述说法中,E 正确,其余均错误,原因是:A.与 x 轴垂直的直线倾斜角为

? , 2

但斜率不存在;B.举反例说明,120°>30°,但 tan120 =- 3 < tan30 ?
0

0

3 ;C.平 3

行于 x 轴的直线的倾斜角为 0;D.如果两直线的倾斜角都是

? ,但斜率不存在,也就谈不上 2

相等. 说明:①当直线和 x 轴平行或重合时,我们规定直线的倾斜角为 0°;②直线倾斜角的 取值范围是 0 ? ? ? 180 ;③倾斜角是 90°的直线没有斜率.
0 0

4.已知直线的倾斜角的取值范围, 利用正切函数的性质, 讨论直线斜率及其绝对值的变 化情况: (1) 0 ? ? ? 90
0 0

0 0 0 0 作出 y ? tan ? 在 [0 ,90 ) 区间内的函数图象;由图象观察可知:当 ? ∈ [0 ,90 ) ,

y ? tan ? >0,并且随着 ? 的增大, y 不断增大, | y | 也不断增大.

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所以,当 ? ∈ [0 0 ,900 ) 时,随着倾斜角 ? 的不断增大,直 线斜率不断增大,直线斜率的绝对值也不断增大. (2) 90 ? ? ? 180
0 0

y

作出 y ? tan ? 在 (900 ,1800 ) 区间内的函数图象, 由图象观 察可知:当 ? ∈ (900 ,1800 ) , y ? tan ? <0,并且随着 ? 的增 大, y ? tan ? 不断增大, | y | 不断减小. 所以当 ? ∈ (900 ,1800 ) 时,随着倾斜角 ? 的不断增大,直 线的斜率不断增大,但直线斜率的绝对值不断减小. 针对以上结论,虽然有当 ? ∈ [0 0 ,900 ) ,随着 ? 增大直线斜率不断增大;当 ? ∈
O ? 2 ?

x

(900 ,1800 ) ,随着 ? 增大直线斜率不断增大. 但是当 ? ∈ [0 0 ,900 ) ∪ (900 ,1800 ) 时,随
着 ? 的增大直线斜率不断增大却是一错误结论 . 原因在于正切函数 y ? tan ? 在区间

[0 0 ,900 ) 内 为 单 调 增 函 数 , 在 区 间 (900 ,1800 ) 内 也 是 单 调 增 函 数 , 但 在 [0 0 ,900 ) ∪ (900 ,1800 ) 区间内,却不具有单调性
考点/易错点 1 直线的倾斜角和斜率的定义 考点/易错点 2 已知直线的倾斜角,会求直线的斜率 考点/易错点 3 已知直线的斜率,会求直线的倾斜角
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三、例题精析
【例题 1】 【题干】如图,直线 l1 的倾斜角 ?1 =30°,直线 l1 ⊥ l 2 ,求 l1 、 l 2 的斜率. 【答案】 l1 的斜率 k 1 =tan ?1 =tan30°= ∵ l 2 的倾斜角 ? 2 =90°+30°=120°, ∴ l 2 的斜率 k 2 =tan120°=tan(180°-60°)=-tan60°= ? 3 . 【解析】对于直线 l1 的斜率,可通过计算 tan30 直接获得,而直线 l 2 的斜率则需要先求 出倾斜角 ? 2 ,而根据平面几何知识,
0

3 , 3

? 2 ? ?1 ? 900 ,然后再求 tan? 2 即可.

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【例题 2】 【题干】已知直线的倾斜角,求直线的斜率: (1) (2) ? =60°;(3) ? =90°; (4) ? = ? =0°;

3? 4

【答案】0

3

不存在

-1

【解析】(1)∵tan0°=0 (2)∵tan60°= 3 (3)∵tan90°不存在 (4)∵ tan

∴倾斜角为 0°的直线斜率为 0; ∴倾斜角为 60°的直线斜率为 3 ; ∴倾斜角为 90°的直线斜率不存在;

? 3 ? ? = tan( ? ? ) =-tan =-1, 4 4 4 3 ∴倾斜角为 π 的直线斜率为-1. 4
【例题 3】 【题干】直线 l 经过原点和点(-1,-1),则它的倾斜角是( A. ) D.-

? 4

B.

5? 4

C.

? 5? 或 4 4

? 4

【答案】A 【解析】本题通过求原点与点(-1,-1)的连线的斜率求得直线的倾斜角

四、课堂运用
【基础】 1. 过点 P(-2,m)和 Q(m,4)的直线的斜率等于 1,则 m 的值为( A.1 B.4 C.1 或 3 【答案】A 【解析】本题主要考察利用两点所在直线的倾斜角的正切值与斜率之间的关系 【巩固】 1. 已知 A(2,3)、B(-1,4),则直线 AB 的斜率是 【答案】- . ) D.1 或 4

1 3

【解析】利用两点所在直线的倾斜角的正切值与斜率之间的关系解决以上问题 【拔高】 1. 已知 P 1 ( x1 , y1 ), P 2 ( x2 , y 2 ) ,当 x1 ? x 2 时,直线 P 1P 2 的斜率 k = ;当

x1 ? x 2 且 y1 ? y2 时,直线 P 1P 2 的斜率为

,倾斜角为

.

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【答案】

y 2 ? y1 ;0;0° x 2 ? x1

【解析】利用两点连线所在的直线的倾斜角的正切值与斜率之间的转换

课程小结
通过本节学习,要求大家掌握已知直线的倾斜角求斜率,理解斜率公式的推导,为下一 节斜率公式的应用打好基础
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课后作业
【基础】 1. 在同一坐标平面内,画出下列方程的直线:

l1 : y ? x ;

l2 : 2x ? 3 y ? 6 ;

l3 : 2 x ? 3 y ? 6 ? 0 ; l 4 : 2 x ? 3 y ? 6 ? 0
y

【答案】
l3 -3

l2 2
O

l4 l1 3 x

-2

【解析】本题可以利用取直线与 x 轴,y 轴的交点,通过连接交点将直线画出 【巩固】 1. 已知直线的倾斜角,求直线的斜率: (1) (2) ? =45°; (3) ? = ? =30°;

2? ; (5) ? =89°; (6) ? =2. 3 3 3 【答案】 1 ? ? 3 57.29 3 3
(4) ? = 【解析】(1)∵tan30°=

5? ; 6

-2.184

3 3 ,∴直线斜率为 ; 3 3

(2)∵tan45°=1,∴直线的斜率为 1; (3)∴tan

5? ? 3 3 =-tan = ? ,∴直线斜率为 ? ; 6 6 3 3 2? ? =-tan = ? 3 ,∴直线斜率为 ? 3 ; 3 3
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(4)∵tan

(5)∵tan89°=57.29,∴直线的斜率为 57.29. (6)∵tan2=-22.184,∴直线的斜率为-2.184 【拔高】

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1. 已知 M(a,b)、N(a,c)(b≠c),则直线 MN 的倾斜角是

.

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【答案】90 o 【解析】当两点的横坐标相同时,直线的斜率不存在,倾斜角为 90

o


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