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数列学案


§2.1 数列的概念与简单表示法(1)
学习目标
1. 理解数列及其有关概念,了解数列和函数之间的关系; 2. 了解数列的通项公式,并会用通项公式写出数列的任意一项; 3. 对于比较简单的数列,会根据其前几项写出它的个通项公式. 3. 了解数列的表示方法,体会数列和函数的关系。

学习重点
会求数列的通项公式,并能根据函数观点、方

法研究数列的增减性和最值问题。

学习过程 (预习教材,找出疑惑之处)
复习 1:函数 y ? 3x ,当 x 依次取 1,2,3,…时,其函数值有什么特点?

复习 2:函数 y=7x+9,当 x 依次取 1,2,3,…时,其函数值有什么特点?

※ 学习探究 数列的概念 ⒈ 数列的定义:

的一列数叫做数列.

⒉ 数列的项:数列中的 都叫做这个数列的项. 反思: ⑴ 如果组成两个数列的数相同而排列次序不同,那么它们是相同的数列?

⑵ 同一个数在数列中可以重复出现吗? 3. 数列的一般形式: a1 , a2 , a3 ,?, an ,? ,或简记为 ?an ? ,其中 a n 是数列的第 4. 数列的通项公式:如果数列 ?an ? 的第 n 项 a n 与 n 之间的关系可以用 示,那么 反思: ⑴所有数列都能写出其通项公式? 就叫做这个数列的通项公式.

项. 来表

⑵一个数列的通项公式是唯一?

⑶数列与函数有关系吗?如果有关,是什么关系?

5.数列的分类: 1)根据数列项数的多少分

数列和

数列; 数列, 数列和 数列.

2)根据数列中项的大小变化情况分为

※ 典型例题 例 1 写出下面数列的一个通项公式,使它的前 4 项分别是下列各数: 1 1 1 ⑴ 1,- , ,- ; 2 4 3 ⑵ 1, 0, 1, 0.

变式:写出下面数列的一个通项公式,使它的前 4 项分别是下列各数: 1 4 9 16 ⑴ , , , ; 2 5 10 17 ⑵ 1, -1, 1, -1;

例 2 已知数列 2,

an2 ? b 7 ,2,…的通项公式为 an ? ,求这个数列的第四项和第五项. 4 cn

变式:已知数列 5 , 11 , 17 , 23 , 29 ,…,则 5 5 是它的第

项.

动手试试 练 1. 写出下面数列的一个通项公式,使它的前 4 项分别是下列各数: 1 1 1 ⑴ 1, , , ; 7 3 5 ⑵ 1, 2 , 3 ,2 .

练 2. 写出数列 {n2 ? n} 的第 20 项,第 n+1 项.

数列可以看作是定义域为正整数集的特殊函数. 1 1 1 思考:设 f (n) =1+ + +…+ (n ? N * )那么 f (n ? 1) ? f (n) 等于( ) 2 3n ? 1 3 1 1 1 1 1 1 1 1 A. B. ? C. D. ? ? ? 3n 3n ? 1 3n ? 1 3n ? 2 3n 3n ? 1 3n ? 2 3n ? 2

知识拓展

学习评价
当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 下列说法正确的是( ). A. 数列中不能重复出现同一个数 B. 1,2,3,4 与 4,3,2,1 是同一数列 C. 1,1,1,1…不是数列 D. 两个数列的每一项相同,则数列相同 2. 下列四个数中,哪个是数列 {n(n ? 1)} 中的一项( A. 380 B. 392 C. 321 D. 232 3. 在横线上填上适当的数: 3,8,15, ,35,48.
4.数列 {(?1)
n ( n?1) 2

).

} 的第 4 项是 . 1 1 1 1 5. 写出数列 ? , ,? , 的一个通项公式 2 ?1 2 ? 2 2?3 2? 4

.

课后作业
1. 写出数列{ 2n }的前 5 项.

2. (1)写出数列

22 ? 1 32 ? 1 42 ? 1 52 ? 1 , , , 的一个通项公式为 2 3 4 5

.

(2)已知数列 3 , 7 , 11 , 15 , 19 ,… 那么 3 11 是这个数列的第
n ( n?1) 2

项.

3、数列 4、有下面四个命题

{( ?1)

} 的第 4 项是

.

①如果已知一个数列的通项公式,那么可以写出这个数列的任何一项 ②数列

2 3 4 5 n , , , , ?? 的一个通项公式为 a n ? 3 4 5 6 n ?1

③数列的各项可以重复 ① 数列 1,-1,-1,……与数列-1,1,-1,1,……是同一个数列 ( C. 3 ( D. 4 ) D. 常数列 项的值最大,最大值 )

其中正确的命题个数是 A.1 B. 2 5. 已知 an ? an?1 ? 3 ? 0 ,则数列 ?an ? 是 A. 递增数列 B. 递减数列

C. 摆动数列

6 、 数 列 ?an ? 中 , an ? ?n 2 ? 11n , 则 此 数 列 第 为 。 ② an ? ?? 1?
n

?1(n ? 1) ? 7、设数列 ?an ? 满足① an ? ? 1 1? ? a (n ? 2) n ?1 ?
写出这两个个数列的前五项.

n n ?1

§2.1 数列的概念与简单表示法(2)
学习目标
1. 了解数列的递推公式,明确递推公式与通项公式的异同; 2. 会由递推公式写出数列的前几项,并掌握求简单数列的通项公式的方法.

学习过程 (预习教材,找出疑惑之处)
复习 1:什么是数列?什么是数列的通项公式?

复习 2:数列如何分类?

※ 学习探究:

数列的表示方法 找每层的钢管数 a n 与层数

问题:观察钢管堆放示意图,寻 n 之间有何关系?

1. 通项公式法: 试试:上图中每层的钢管数 a n 与层数 n 之间关系的一个通项公式是 2. 图象法: 数列的图形是 都在 y 轴的 侧,而点的个数取决于数列的 随项数由小到大变化而变化的趋势.

.

,因为横坐标为 数,所以这些点 .从图象中可以直观地看到数列的项

3. 递推公式法: 递推公式:如果已知数列 ?an ? 的第 1 项(或前几项) ,且任一项 a n 与它的前一项 an ?1 (或前 n 项)间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的递推公式. 试试:上图中相邻两层的钢管数 a n 与 an ?1 之间关系的一个递推公式是 4. 列表法: 试试:上图中每层的钢管数 a n 与层数 n 之间关系的用列表法如何表示? .

反思:所有数列都能有四种表示方法吗? ※ 典型例题
a1 ? 1 ? ? 例 1 设数列 ?an ? 满足 ? 写出这个数列的前五项. 1 ?an ? 1 ? a (n ? 1). n ?1 ?

变式:已知 a1 ? 2 , an ?1 ? 2an ,写出前 5 项,并猜想通项公式 a n .

例 2 已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 0 , an ?1 ? an ? 2n , 那么 a2007 ? ( A. 2003×2004 B. 2004×2005 C. 2007×2006 变式:已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 0 , an ?1 ? an ? 2n ,求 a n .

). D. 2004 2

※ 动手试试
练 1. 已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 ,a2 ?
2 , an ?1 ?an ? an ?an1 ? 2a1 ? ?an ? ? 0 n ? 2 ) 求 a3 , a4 . 且 ( , ? n 1 3

练 2.(2005 年湖南)已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 0 ,
an ?1 ? an ? 3 3an ? 1

( n ? N* ) ,则 a20 ? ( C. 3 D.

).
3 2

A.0

B.- 3

练 3. 在数列 ?an ? 中, a1 ? 2 , a17 ? 66 ,通项公式是项数 n 的一次函数. ⑴ 求数列 ?an ? 的通项公式; ⑵ 88 是否是数列 ?an ? 中的项.

※ 知识拓展 n 刀最多能将比萨饼切成几块? 意大利一家比萨饼店的员工乔治喜 欢将比萨饼切成形状各异的小块, 以便 出售. 他发现一刀能将饼切成两块, 两刀最多能切成 4 块, 而三刀最多能切 成 7 块(如图).请你帮他算算看,四 刀最多能将饼切成多少块?n 刀呢? 解析:将比萨饼抽象成一个圆,每 一刀的切痕看成圆的一条弦. 因为任 意两条弦最多只能有一个交点, 所以第 n 刀最多与前 n-1 刀的切痕都各有一个不同的交点, 因此第 n 刀的切痕最多被前 n-1 刀分成 n 段,而每一段则将相应的一块饼分成两块. 也就 是说 n 刀切下去最多能使饼增加 n 块. 记刀数为 1 时,饼的块数最多为 a1 ,……,刀数为 n 时,饼的块数最多为 a n ,所以 a n = an ?1 ? n . 由此可求得 a n =1+ n( n ? 1) . 2

学习评价 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 已知数列 an ?1 ? an ? 3 ? 0 ,则数列 ?an ? 是( ). A. 递增数列 B. 递减数列 C. 摆动数列 D. 常数列 2 2. 数列 ?an ? 中, an ? ?2n ? 9n ? 3 ,则此数列最大项的值是( ).
1 D. 12 8 3. 数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 , an?1 ? an ? 2 (n≥1) ,则该数列的通项 an ? (

A. 3

B. 13

C. 13

).

A. n(n ? 1)

B. n(n ? 1)

C.

n(n ? 1) 2

D.

n(n ? 1) 2

1 4. 已知数列 ?an ? 满足 a1 ? , an ? (?1)n ?2an?1 (n≥2) ,则 a5 ? 3 1 1 5. 已知数列 ?an ? 满足 a1 ? , an ?1 ? 1 ? (n≥2) 则 a6 ? , an 2

. .

课后作业
1. 数列 ?an ? 中, a1 =0, an ?1 = a n +(2n-1) (n∈N),写出前五项,并归纳出通项公式.

2. 数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 , an ?1 ?

2an (n ? N ) ,写出前 5 项,并猜想通项公式 a n . an ? 2

3、 写出下列数列的一个通项公式; ① 3,5,7,9,11,13,15,17,19,21

②3,5,9,17,33,……

2 4 6 8 ③ , , , ,…… 3 15 35 63 4、数列 2 , 5 , 2 2 , 11 ,……,则 2 5 是该数列的第
5、已知数列 n 的通项公式为 n ,则该数列中 2 6、数列 an ? ?2n ? 9n ? 3 中的最大项的值为
?

项。 。

?a ?

a ? 2n ? 1

ak ?1 ?

1 1 1 1 ? 2 ?1 , 2 ? 2 , 2 ? 3 , 2 ? 4 的一个通项公式 7、写出数列

.

8、 在数列 ?an ? 中, 通项公式是 ?? 1?

n ?1

n 81 , 试写出该数列的前 5 项, 并判断 170 ?2n ? 1??n ? 1?

2

是否是该数列中的项?若是,是第几项?若不是,请说明理由?

9、 在数列 ?an ? 中,已知 a1 ? 1 ,且当 n ? 2 时, a1a2 a3 ?an ? n 2 ; ① 求 a3 ? a5 ; ②求 a4 ? a10

10、已知数列 3 , 7 , 11 , 15 , 19 ,… 那么 3 11 是这个数列的第几项?

11、在数列 ⑴ ⑵

?an ? 中, a1 ? 2 , a17 ? 66 ,通项公式是项数 n 的一次函数. ?a ? 求数列 n 的通项公式; ?a ? 88 是否是数列 n 中的项.


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