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二次函数复习(2)


图象与性质

交点情况

解析式的确定

应 用

抛物线与坐标轴的交点情况

二次函数知识要点
1、对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0), Δ=b2-4ac。当Δ>0时,抛物线与x轴有 两 个 交点,这两个交点的横坐标是方程 ax2+bx+c=0的两个不

相等的实数根。当 Δ=0时,抛物线与x轴有 一 个交点。这时方 程ax2+bx+c=0有两个相等 的实数根。 当Δ<0时,抛物线与x轴 无 交点。这时方程 ax2+bx+c=0根的情况 没有实数根 。

2、若抛物线 y ? ax ? bx ? c 与x轴两交点为
2

A?x1,?,B?x2,? 0 0
则x1 、x2是方程ax2+bx+c=0的两个根 ;

AB ? x1 ? x2 ? ? x1 ? x2 ?

2

b ? 4ac ? ? ? x1 ? x2 ? ? 4 x1 x2 ? ? a a
2 2

练一练
1、抛物线y=x2-2x-3与x轴分别交于A、 4 B两点,则AB的长为 .
2、直线y=-3x+2与抛物线y=x2-x+3 的交点有 一 个,交点坐标 (-1,5) 为 。 3、抛物线y=x2+bx+4与x轴只有一个交点 则b= 4或-4。

练一练
4.二次函数y=x2-2(m+1)x+4m的图象与x轴 (D ) A、没有交点 B、只有一个交点 C、只有两个交点 D、至少有一个交点

练一练
5、已知二次函数 y=kx2-7x-7的图象与x轴
有交点,则k的取值范围是 ( B )

7 A、k≥ ? 4 7 C、k> ? 4

7 B、k≥ ? 且k ? 0 4 7 D、k> ? 且k ? 0 4

例 题
1、已知抛物线y=x2+ax+a-2. (1)证明:此抛物线与x轴总有两个不同的 交点; (2)求这两个交点间的距离(用关于a的表 达式来表达);

归纳小结:
抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点情况: △>0 抛物线与x轴有两个交点; △=0 抛物线与x轴有一个交点 △<0 抛物线与x轴无交点 ? 抛物线y=ax2+bx+c (a≠0)与x轴的两交点A、B的 横坐标x1、x2是一元二次方程ax2+bx+c=0的两个 实数根。
AB ? x1 ? x2 ?

? x1 ? x2 ?

2

?

? x1 ? x2 ?

2

b 2 ? 4ac ? ? 4 x1 x2 ? ? a a

课后练习:
1.若抛物线y=ax2+bx+c的所有点都在x轴下方, 则必有 ( )
A、a﹥0, b2-4ac﹥0;

B、a﹥0, b2-4ac ﹤0; D、a﹤0,
b2-4ac﹥0.

C、a﹤0, b2-4ac﹤0

课后练习:
2、设 x1, x2 是抛物线 y ? ? x ? 3x ? 1 2 2 与X轴的交点的横坐标,求 x1, ? x2 的 值。
2

3、二次函数 y ? x ? x ? 3 的图象与X 轴交于A、B两点,交Y轴于点C,顶点为D, 则S△ABC= , S△ABD= 。
2

三、解析式的确定

回顾
1、已知函数类型,求函数解析式的基本方法 是: 待定系数法 。 2、二次函数的表达式有三种: Y=ax2+bx+c(a≠0) (1)一般式: Y=a(x-h)2+k (a≠0) (2)顶点式: (3)交点式: Y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0)

; ; 。

例1. 选择最优解法,求下列二次函数解析式
1)

2)

3)

已知二次函数的图象过点(-1, -6)、 (1,-2) 和(2,3). 已知二次函数当x=1时,有最大值-6,且其图 象过点(2,-8). 已知抛物线与x轴交于点A(-1,0)、B(1,0)并 经过点M(0,1).

解题策略:
y ? ax2 ? bx ? c 1)设二次函数的解析式为 y ? a( x ? 1)2 ? 6 2)设二次函数的解析式为
3)设二次函数的解析式为 y ? a( x ? 1)( x ? 1)

例2、已知二次函数y=ax2+bx+c ,当x=3 时,函数取得最大值10,且它的图象在x 轴上截得的弦长为4,试求二次函数的关 系式.

例3、已知:抛物线 y=ax? +bx+c(a≠0)与x轴交于点A (1,0)和点B,点B 在点A的右侧, 与y轴交于点C (0,2),如图。 (1)请说明abc是正数还是负数。 (2)若∠OCA=∠CBO,求此抛物线的解析式。

C

O

A

B

例4、 已知抛物线C1 抛物线C2与抛 物线C1关于y轴对称。 (1)求抛物线C2的解析式;

的解析式是y=-x2-2x+m, y

想议 一一 想议

(-1,1+m) (1,1+m) C2的解析式为: y=-(x-1)2+1+m =-x2+2x+m . C1

O
C2

x

例4 已知抛物线C1 抛物线C2与抛 物线C1关于y轴对称。 (1)求抛物线C2的解析式; (2)当m为何值时,抛物线C1、C2与x轴有四个不同的交点; 由抛物线C1与x轴有两个交点, 得△1>0, 即(-2)2-4×(-1)m>0, 得m>-1 由抛物线C2与x轴有两个交点, 得△2>0, 即(-2)2-4×(-1)m>0, 得m>-1 当m=0时,C1、C2与x轴有一公共交点(0,0), 因此m≠0 综上所述 m>-1且m≠0。 y

的解析式是y=-x2-2x+m,

想议 一一 想议

O

x

例4 已知抛物线C1 抛物线C2与抛 物线C1关于y轴对称。 (1)求抛物线C2的解析式; (2)当m为何值时,抛物线C1、C2与x轴有四个不同的交点; (3)若抛物线C1与x轴两交点为A、B(点A在点B的左侧), 抛物线C2与x轴的两交点为C、D(点C在点D的左侧), 请你猜想AC+BD的值,并验证你的结论。 y

的解析式是y=-x2-2x+m,

想议 一一 想议

解:设抛物线C1、C2与x轴的交点分别
A (x1,0) 、B (x2,0) 、C (x3,0) 、D (x4,0)

于是 AC=x3-x1,BD=x4-x2,
则 AC+BD= x3-x1+ x4-x2 =(x3+x4)-(x1+x2), ∵x1+x2=-2, x3+x4=2, ∴AC+BD= 4。

A

C

O B

D

x

议一议
有一个二次函数的图象,三位学生分别说出 了它的一些特点: 甲:对称轴是直线x=4; 乙:与x轴两个交点的横坐标都是整数; 丙:与y轴交点的纵坐标也是整数,且以这三 个交点为顶点的三角形面积为3. 请写出满足上述全部特点的一个二次函数的 关系式.

例5、某工厂大门是一抛物线型水泥建筑物, 如图所示,大门地面宽AB=4m,顶部C离地面 高度为4.4m.现有一辆满载货物的汽车欲通 过大门,货物顶部距地面2.8m,装货宽度为 2.4m.请判断这辆汽车能否顺利通过大门.

练 习
y ? ax 2 ? bx ? c 1、已知二次函数
的 图象经过点(1,0),(0,-2),(2, 3)。求解析式。 2、二次函数当x=3时,y有最大值-1,且图 象过(0,-3)点,求此二次函数解析式。 3、已知二次函数y=ax2+bx+c的图象的对称轴 是直线x=2,图象与x轴的两个交点间的距离 等于2,且图象经过点(4,3)。求这个二次 函数解析式。

练 习
4、二次函数的图象与x轴交于A、B两点,与y轴交于 点C,如图所示,AC=2 5 ,BC= 5 ,∠ACB=90°,求 二次函数图象的关系式.
y

A

O C

B

x

5、如图,某大学的校门是一抛物线形水泥 建筑物,大门的地面宽度为8m,两侧距 地面4m高处各有一个挂校名横匾用的铁 环,两铁环的水平距离为6m,则校门的 高为多少m?(精确到0.1m,水泥建筑 物厚度忽略不计).
y

x

归纳小结:
1、用待定系数法求二次函数解析式的一般步骤: (1)根据条件设出合理的表达式; (2)将已知条件转化为方程或方程组,求出待定系数 的值; (3)写出函数解析式。 2、二次函数的三种表达式: Y=ax2+bx+c(a≠0) (1)一般式: Y=a(x-h)2+k (a≠0) (2)顶点式: (3)交点式: Y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0) ; ; 。

课后训练:
1、求出下列对应的二次函数的关系式 (1)已知抛物线的对称轴为直线x=2,且通过点(1,4) 和(5,0) (2)已知抛物线的顶点为(3,-2),且与x轴两交点 间的距离为4.

2、已知二次函数的图象与一次函数的图象有两个公共点P (2,m)、Q(n,-8),如果抛物线的对称轴是x= -1, 求该二次函数的关系式.

课后训练:
3.已知二次函数,当x=3时,函数取得最大值10,且它的 图象在x轴上截得的弦长为4,试求二次函数的关系式.

4.抛物线y=x2+2mx+n过点(2,4),且其顶点在直线 y=2x+1上,求此二次函数的关系式。

课后训练: 5、如图抛物线与直线都经过坐标轴的正半轴上 A(4,0),B两点,该抛物线的对称轴x=—1,与x轴 交于点C,且∠ABC=90°,求: (1)直线AB的解析式;

(2)抛物线的解析式。

课后训练:

6、已知二次函数y=(m2-2)x2-4mx+n的图象关于直 线x=2对称,且它的最高点在直线y=x+1上.
(1)求此二次函数的解析式; (2)若此抛物线的开口方向不变,顶点在直线 y=x+1上移动到点M时,图象与x轴交于A 、B两点, 且S△ABM=8,求此时的二次函数的解析式.

课后训练: 7、如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原 点,A点坐标为(-8, 0),B点坐标为(2, 0),以 AB的中点P为圆心,AB为直径作⊙P与y轴的 负半轴交于点C. (1)求图象经过A、B、C三点的抛物线的解析 式; (2)设M点为(1)中抛物线的顶点,求出顶点M的 坐标和直线MC的解析式; y (3)判定(2)中的直线MC与⊙P的 位置关系,并说明理由.
A

·
P 0

B x C

四、二次函数的应用

引例
某市近年来经济发展速度很快,根据统计:该市国内 生产总值1990年为8.6亿元人民币,1995年为10.4亿 元人民币,2000年为12.9亿元人民币.经论证:上述 数据适合一个二次函数关系,请你根据这个函数关系, 预测2005年该市国内生产总值将达到多少?

?函数应用题的解题模型
实际问题 解答数学问题
分析、抽象、转化

数学模型

例1、如图所示,某建筑工地准备利用一面旧 墙建一个长方形储料场,新建墙的总长为30 米。 (1)如图,设长方形的一条边长为x米,则 另一条边长为多少米? (2)设长方形的面积为y平方米,写出 y与x 之间的关系式。 (3)若要使长方形的面积为72平方米,x应 取多少米?
x

例2、国家对某种产品的税收标准原定每销售100 元需缴税8元(即税率为8%),台洲经济开发 区某工厂计划销售这种产品m吨,每吨2000 元。国家为了减轻工人负担,将税收调整为每1 00元缴税(8-x)元(即税率为(8-x) %),这样工厂扩大了生产,实际销售比原计划 增加2x%。 (1)写出调整后税款y(元)与x的函数关系式,指出 x的取值范围; (2)要使调整后税款等于原计划税款(销售m吨,税率 为8%)的78%,求x的值.

练习1 某旅社有100张床位,每床每晚收费10元时, 客床可全部租出.若每床每晚收费提高2元, 则减少10张床位租出;若每床每晚收费再 提高2元,则再减少10张床位租出.以每次 提高2元的这种方法变化下去.为了投资少 而获利大,每床每晚应提高 ( ) A、4元或6元 B、4元 C、6元 D、8元

练习2

某商场销售一批名牌衬衫,平均每天可售出 20件,每件盈利40元。为了扩大销售,商场 决定采取适当的降价措施。经调查发现,如 果每件衬衫每降价一元,商场平均每天可多 售出2件。问每件衬衫降价多少元时,商场平 均每天盈利最多?最大盈利为多少?

例3、有一个抛物线形的拱形桥,建立如图所示的直 角坐标系后,抛物线的解析式为 y=- 1 x2-1。
75

(1)求拱顶离桥面的高度。 (2)若拱顶离水面的高度为27米,求桥的 跨度。
y o x

A

B

例4.改革开放后,不少农村用上自动喷灌设备,如图所示,
设水管AB高出地面1.5m,在B处有一个自动旋转的喷头。 一瞬间,喷出水流呈抛物线状,喷头B与水流最高点C 的连线与水平面成45°角,水流最高点C比喷头高出2m, 在所建的坐标系中,求水流的落地点D到A点的距离是 多少米。 作CF⊥AD于F,作BE⊥CF于E,连结BC,易知 C OF=BE=CE=2,EF=OB=1.5,CF=2+1.5=3.5, ∴B(0, 1.5),C(2, 3.5). 设所求抛物线的解析式为:y=a(x-2)2+3.5 E 当x=0时,y=1.5,即a(0-2)2+3.5=1.5

y

B

1 1 , 即y ? ? ( x ? 2) 2 ? 3.5 A O F D x 解得a ? ? 2 2 1 x 当y ? 0时,? ( x ? 2)2 ? 3.5 ? 0, 则得x1 ? 2 ? 7 (舍),2 ? 2 ? 7 2

? D(2 ? 7 ,0).即D到A点的距离是(2 ? 7 )m.

练习3
某幢建筑物,从10米高的窗口A用水管向外喷水,喷 出的水呈抛物线状(抛物线所在平面与墙面垂直,如 图建立平面直角坐标系)如果抛物线的最高点M离墙 1米,离地面 40 米,求水流落地点B离墙的距离OB 是多少米? 3
y M

40 顶点坐标(1, ) 3
过点(0,10)
解析式: y ? ? 10 ( x ? 1) 2 ? 40 3 3

A

x

令y=0,x=-1,x=3

∴OB=3米

O

B

练习4
某跳水运动员进行10米跳台跳水训练时,身体(看成一 点)在空中的运动路线是如图所示坐标系下经过原点O 的一条抛物线,在跳某个规定动作时,正常情况下,该 运动员在空中的最高处距水面米,入水处距池边的距离 为5米,同时,运动员在距水面5米以前,必须完成规定 的翻腾动作并调整好入水姿势,否则就会出现失误。 (1)求这条抛物线的解析式; (2在某次试跳中,测得 运动员在空中的运动路 y A 线是(1)中的抛物线, 3m 且运动员在空中调整好 x 入水姿势时,距池边的 跳 O 水平距离为米,问此次 台 跳水会不会失误?并能 10m 支 柱 B 过计算说明理由?

练习5 某瓜果基地市场部为指导该基地某种蔬菜的生产 和销售,对今年这种蔬菜上市后的市场售价和生 产成本进行了预测,提供了两方面的信息(如甲 乙两图)。其中生产成本六月份最低。甲图的图 象是线段,乙图的图象是抛物线。

5 3

售 价

成 本

4 月 份
1 3 6 月 份

3

6

请根据图象提供的信息说明解决下列问题: (1)在三月份出售这种蔬菜,每千克的收益是多 少? (2)哪个月出售这种蔬菜,每千克的收益最大? 最大收益是多少?

5

售 价 4 1 3 6 月 份

成 本

3
3 6 月 份

解题

欣赏

例5、 如图,在矩形ABCD的边上,截取AH=AG=CE=CF= x,已 知: AB=8,BC=6。求:(1)四边形EHGF的面积S关于x的函数 表 达式和X的取值范围;(2)当x为何值时,S的数值等于x的4倍。 分析:① △AGH≌ △CEF 吗? E D C (1) ② △DHE≌ △BFG吗? F

SΔDHE=SΔBFG ,SAHEG=SΔECF
所以,S= S矩形=2SΔDHE-2SΔAGH

H A G B

自变量x的取值范围是:

解得,0<x<6

(2)令S=4x,得,4x=-2x2+14x

积累就是知识
练习1:如图,已知正方形ABCD的边长为4,E是BC上的 点,F是CD上的点,且EC=AF,EC=x,ΔAEF的

面积为y。
(1)求y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围 ; (2)画出函数的图象。
A D

F B E C

例6、 把长为20㎝的铁丝弯成半径为R的一个扇形, (1)试写出扇形面积S与半径R的函数关系式; (2)求扇形的半径R的取值范围; (3)当R为

多长时,扇形的面积最大,其最大面积是多少?
L

分析:(1)S=

S=

RL, L=20-2R
R R

(2)根据实际意义,扇形 的半径和弧长必须是正数。

R>0
20-2R>0 当R= —

解得,0<R<10

(3)因为a=–1<0,所以S有最大值。

= 5时,S 最大值 =

= 25

例7、 如图,在梯形ABCD中,AB//DC,ADAB,已知 AB=6,CD=4,AD=2,现在梯形内作一内接矩形 AEFG,使E在AB上,F在BC上,G在AD上。 (1)设EF=x,试求矩形AEFG的面积S关于x的函数

关系式; (2)画出函数S的图象;

(3)当x为

何值时, S有最大值?并求出S的最大值。
D G C F

A E

B

能力源于运用
练习2:在ABC中AB=4,AC=6,BC=2,P是AC上与A,C不重合的 一动点,过P,B,C的⊙O交AB于D, ① 设PA=x,PC+PD=y,求y与x的函数关系式,并确定x的范围; ②P在AC上何处时函数y有最小值,最小值是多少?

③求当y取最小值时⊙Ο的面积。
B D C P A


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