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2013年高考理科数学浙江卷试题与答案word解析版


2013 年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类 (浙江卷)
选择题部分(共 50 分) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的. 1.(2013 浙江,理 1)已知 i 是虚数单位,则(-1+i)(2-i)=( ). A.-3+i B.-1+3i C.-3+3i D.-1+i 2.(2013 浙江,理 2)设集合 S={x|x>-2},T={x|x +3x-4≤0},则( RS)∪T=( A.(-2,1] B.(-∞,-4] C.(-∞,1] D.[1,+∞) 3.(2013 浙江,理 3)已知 x,y 为正实数,则( ). A.2lg x+lg y=2lg x+2lg y B.2lg(x+y)=2lg x?2lg y C.2lg x?lg y=2lg x+2lg y D.2lg(xy)=2lg x?2lg y 4. (2013 浙江, 4)已知函数 f(x)=Acos(ω x+φ )(A>0, >0, ∈R), 理 ω φ 则“f(x) 是奇函数”是“ ? ?
2

).

π ”的( 2

). B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

A.充分不必要条件 C.充分必要条件

5. (2013 浙江, 5)某程序框图如图所示, 理 若该程序运行后输出的值是 A.a=4 B.a=5 C.a=6 D.a=7

9 , 则( 5

).

6.(2013 浙江,理 6)已知 α ∈R,sin α +2cos α =

10 ,则 tan 2α =( 2

).

4 A. 3

3 B. 4

3 C. 4 ?

4 D. 3 ?

7.(2013 浙江,理 7)设△ABC,P0 是边 AB 上一定点,满足 P0B= 上任一点 P,恒有 PB ? PC ≥ P B ? PC ,则( 0 0

??? ?

??? ?

????

????

1 AB,且对于边 AB 4

). ).

A.∠ABC=90° B.∠BAC=90° C.AB=AC D.AC=BC x k 8.(2013 浙江,理 8)已知 e 为自然对数的底数,设函数 f(x)=(e -1)(x-1) (k=1,2),则( A.当 k=1 时,f(x)在 x=1 处取到极小值 B.当 k=1 时,f(x)在 x=1 处取到极大值 C.当 k=2 时,f(x)在 x=1 处取到极小值 D.当 k=2 时,f(x)在 x=1 处取到极大值 9.(2013 浙江,理 9)如图,F1,F2 是椭圆 C1:

x2 2 +y =1 与双曲线 C2 的公 4

共焦点,A,B 分别是 C1,C2 在第二、四象限的公共点.若四边形 AF1BF2 为矩 形,则 C2 的离心率是( ). A. 2 B. 3 10.(2013 浙江,理 10)在空间中,过点 A 作平面 π 的垂线,垂足为 B,记 B=fπ (A).设 α ,β 是两个 不同的平面,对空间任意一点 P,Q1=fβ [fα (P)],Q2=fα [fβ (P)],恒有 PQ1=PQ2,则( ). A.平面 α 与平面 β 垂直 B.平面 α 与平面 β 所成的(锐)二面角为 45° C.平面 α 与平面 β 平行 D.平面 α 与平面 β 所成的(锐)二面角为 60°

3 C. 2

6 D. 2

非选择题部分(共 100 分)
二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分.
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11.(2013 浙江,理 11)设二项式 ? x ?

? ?

1 ? ? 的展开式中常数项为 A,则 A=__________. 3 x?
3

5

12.(2013 浙江,理 12)若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的体积等于__________cm .

? x ? y ? 2 ? 0, ? 13.(2013 浙江,理 13)设 z=kx+y,其中实数 x,y 满足 ? x ? 2 y ? 4 ? 0, 若 z 的最大值为 12,则实 ? 2 x ? y ? 4 ? 0. ?
数 k=__________. 14.(2013 浙江,理 14)将 A,B,C,D,E,F 六个字母排成一排,且 A,B 均在 C 的同侧,则不同的 排法共有__________种(用数字作答). 2 15.(2013 浙江,理 15)设 F 为抛物线 C:y =4x 的焦点,过点 P(-1,0)的直线 l 交抛物线 C 于 A,B 两点,点 Q 为线段 AB 的中点,若|FQ|=2,则直线 l 的斜率等于__________. 16.(2013 浙江,理 16)在△ABC 中,∠C=90°,M 是 BC 的中点.若 sin∠BAM= __________. 17.(2013 浙江,理 17)设 e1,e2 为单位向量,非零向量 b=xe1+ye2,x,y∈R.若 e1,e2 的夹角为

1 ,则 sin∠BAC= 3 π , 6

|x| 的最大值等于__________. |b| 三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
则 18.(2013 浙江,理 18)(本题满分 14 分)在公差为 d 的等差数列{an}中,已知 a1=10,且 a1,2a2+2,5a3 成 等比数列. (1)求 d,an; (2)若 d<0,求|a1|+|a2|+|a3|+?+|an|.

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19.(2013 浙江,理 19)(本题满分 14 分)设袋子中装有 a 个红球,b 个黄球,c 个蓝球,且规定:取出一 个红球得 1 分,取出一个黄球得 2 分,取出一个蓝球得 3 分. (1)当 a=3,b=2,c=1 时,从该袋子中任取(有放回,且每球取到的机会均等)2 个球,记随机变量 ξ 为 取出此 2 球所得分数之和,求 ξ 的分布列; (2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1 个球,记随机变量 η 为取出此球所得分数.若 Eη = =

5 ,Dη 3

5 ,求 a∶b∶c. 9

20.(2013 浙江,理 20)(本题满分 15 分)如图,在四面体 A-BCD 中,AD⊥平面 BCD,BC⊥CD,AD=2,BD = 2 2 .M 是 AD 的中点,P 是 BM 的中点,点 Q 在线段 AC 上,且 AQ=3QC. (1)证明:PQ∥平面 BCD; (2)若二面角 C-BM-D 的大小为 60°,求∠BDC 的大小.

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21.(2013 浙江,理 21)(本题满分 15 分)如图,点 P(0,-1)是椭圆 C1:
2 2

x2 y 2 ? ? 1 (a>b>0)的一个顶 a 2 b2

点,C1 的长轴是圆 C2:x +y =4 的直径,l1,l2 是过点 P 且互相垂直的两条直线,其中 l1 交圆 C2 于 A,B 两点,l2 交椭圆 C1 于另一点 D. (1)求椭圆 C1 的方程; (2)求△ABD 面积取最大值时直线 l1 的方程.

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22.(2013 浙江,理 22)(本题满分 14 分)已知 a∈R,函数 f(x)=x -3x +3ax-3a+3. (1)求曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程; (2)当 x∈[0,2]时,求|f(x)|的最大值.

3

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2013 年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类 (浙江卷)
选择题部分(共 50 分) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的. 1. 答案:B 2 解析:(-1+i)(2-i)=-2+i+2i-i =-1+3i,故选 B. 2. 答案:C 解析:由题意得 T={x|x +3x-4≤0}={x|-4≤x≤1}.又 S={x|x>-2},∴( {x|-4≤x≤1}={x|x≤1},故选 C. 3. 答案:D 解析:根据指数与对数的运算法则可知, lg x+lg y lg x lg y 2 =2 ?2 ,故 A 错,B 错,C 错; lg(xy) lg x+lg y lg x lg y D 中,2 =2 =2 ?2 ,故选 D. 4. 答案:B 解析:若 f(x)是奇函数,则 φ =kπ + 若? ?
2 R

S)∪T={x|x≤-2}∪

π ,k∈Z; 2

π ,则 f(x)=Acos(ω x+φ )=-Asin ω x,显然是奇函数. 2 π 所以“f(x)是奇函数”是“ ? ? ”的必要不充分条件. 2
5. 答案:A 解析:该程序框图的功能为计算 1+ 可知当 a=4 时 2- 6. 答案:C

1 1 1 9 1 + +?+ =2- 的值,由已知输出的值为 , a ?1 5 1? 2 2 ? 3 a? a ? 1?

1 9 = .故选 A. a ?1 5

10 10 得,sin α = -2cos α .① 2 2 10 3 10 2 2 把①式代入 sin α +cos α =1 中可解出 cos α = 或 , 10 10 10 3 10 当 cos α = 时,sin α = ; 10 10 3 10 10 当 cos α = 时,sin α = ? . 10 10 1 3 ∴tan α =3 或 tan α = ? ,∴tan 2α = ? . 3 4
解析:由 sin α +2cos α = 7. 答案:D

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??? ? ??? ? ? ??? ??? ??? ? ? ? ??? ??? ? ∴ PC = PB + BC =t AB + BC , ???? ? ??? ??? ? ? ? ? ??? ? ??? ??? ? ??? ??? ? 2 ∴ PB ? PC =(t AB )?(t AB + BC )=t AB 2 +t AB ? BC . ??? ??? ???? ???? ? ? 由题意 PB ? PC ≥ P B ? PC , 0 0 ???? ? ? ??? ??? 1 ??? ? 1 ??? ??? ? ? ? ? ? 2 即 t AB 2 +t AB ? BC ≥ AB ? AB ? BC ? 4 ?4 ? 2 ???? ? 1 ??? ??? ? ? ?1? = ? ? AB 2 + AB ? BC , 4 ?4? ??? ??? ? ? 1 即当 t ? 时 PB ? PC 取得最小值. 4 ??? ??? ? ? AB ? BC 1 ? 由二次函数的性质可知: ? ???? ? , 4 2 AB 2 ? ? ??? ??? 1 ????2 ? 即: ? AB ? BC = AB , 2 ??? ? 1 ??? ??? ? ? ? ? ∴ AB ? ? AB ? BC ? =0. ?2 ? ? ? ? ??? ??? ???? ??? ???? ? 1 取 AB 中点 M,则 AB + BC = MB + BC = MC , 2 ? ??? ???? ? ∴ AB ? MC =0,即 AB⊥MC.
解析:设 PB =t AB (0≤t≤1), ∴AC=BC.故选 D. 8. 答案:C x x 解析:当 k=1 时,f(x)=(e -1)(x-1),f′(x)=xe -1, ∵f′(1)=e-1≠0, ∴f(x)在 x=1 处不能取到极值; x 2 x x 当 k=2 时,f(x)=(e -1)(x-1) ,f′(x)=(x-1)(xe +e -2), x x 令 H(x)=xe +e -2, x x 则 H′(x)=xe +2e >0,x∈(0,+∞). 说明 H(x)在(0,+∞)上为增函数, 且 H(1)=2e-2>0,H(0)=-1<0, 因此当 x0<x<1(x0 为 H(x)的零点)时,f′(x)<0,f(x)在(x0,1)上为减函数. 当 x>1 时,f′(x)>0,f(x)在(1,+∞)上是增函数. ∴x=1 是 f(x)的极小值点,故选 C. 9. 答案:D 解析:椭圆 C1 中,|AF1|+|AF2|=4,|F1F2|= 2 3 . 又因为四边形 AF1BF2 为矩形, 所以∠F1AF2=90°. 2 2 2 所以|AF1| +|AF2| =|F1F2| , 所以|AF1|= 2 ? 2 ,|AF2|= 2 ? 2 . 所以在双曲线 C2 中,2c= 2 3 ,2a=|AF2|-|AF1|= 2 2 ,故 e ?
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3 6 ,故选 D. ? 2 2

10. 答案:A 非选择题部分(共 100 分) 二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分. 11.答案:-10
r 解析:Tr+1= C5 ( x )5?r ? ? ?
r = ( ? 1)r C5 x 5? r r ? 2 3

r 5? r ? 1 ? r r 3 2 ? ? C5 x ? ( ? 1) ? x ? 3x?

?
r

r

? ( ? 1) C x
r 5

15?5 r 6

.

令 15-5r=0,得 r=3,
2 所以 A=(-1) C3 = ?C5 =-10. 5
3

12. 答案:24 解析: 由三视图可知该几何体为如图所示的三棱柱割掉了一个三棱锥.VA1 EC1 ? ABC ? VA1B1C1 ? ABC ? VE ? A1B1C1 =

1 1 1 ?3?4?5- ? ?3?4?3=30-6=24. 2 3 2

13.答案:2 解析:画出可行域如图所示.

由可行域知,最优解可能在 A(0,2)或 C(4,4)处取得. 若在 A(0,2)处取得不符合题意; 若在 C(4,4)处取得,则 4k+4=12,解得 k=2,此时符合题意. 14.答案:480 解析:如图六个位置 .若 C 放在第一个位置,则满足条件的排法共有 A5 种情况;若 C 5

放在第 2 个位置, 则从 3,4,5,6 共 4 个位置中选 2 个位置排 A,, B 再在余下的 3 个位置排 D,,, A 2 ? A3 E F 共 4 3 种排法;若 C 放在第 3 个位置,则可在 1,2 两个位置排 A,B,其余位置排 D,E,F,则共有 A 2 ? A3 种排 2 3
2 法或在 4,5,6 共 3 个位置中选 2 个位置排 A,B,再在其余 3 个位置排 D,E,F,共有 A3 ? A3 种排法;若 3

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2 C 在第 4 个位置,则有 A 2 A3 + A3 A3 种排法;若 C 在第 5 个位置,则有 A 2 A3 种排法;若 C 在第 6 个位 2 3 3 4 3

置,则有 A5 种排法. 5
2 综上,共有 2( A5 + A 2 A3 + A3 A3 + A 2 A3 )=480(种)排法. 5 4 3 3 2 3

15.答案:±1 解析:设直线 l 的方程为 y=k(x+1),A(x1,y1),B(x2,y2).由 ?

? y 2 ? 4 x, ? y ? k ? x ? 1?

联立,得 k x +2(k -2)x

2 2

2

2? k 2 ? 2? , k2 y ? y2 2 x ? x2 k2 ? 2 2 ? , ? ? 2 ? ?1 ? 2 , 1 ∴ 1 2 k 2 k k 2 2? ? 即 Q ? ?1 ? 2 , ? . k k? ?
+k =0,∴x1+x2= ?
2

又|FQ|=2,F(1,0),

2 ? ? ?2? ∴ ? ?1 ? 2 ? 1? ? ? ? ? 4 ,解得 k=±1. k ? ? ?k? 6 16.答案: 3
解析:如图以 C 为原点建立平面直角坐标系,

2

2

设 A(0,b),B(a,0),

? ???? ? a ? ? a ? ??? ? , 0 ? , AB =(a,-b), AM = ? , ?b ? , ?2 ? ?2 ? ??? ???? ? ? AB ? AM cos∠MAB= ??? ???? ? ? AB AM
则 M?

a2 ? b2 2 = . a2 2 2 2 a ?b ? ?b 4 1 又 sin∠MAB= , 3
8 ?1? ∴cos∠MAB= 1 ? ? ? ? . 9 ?3?
2

? a2 2? ? ?b ? 8 ? 2 ? ? , ∴ 2 ?a ? 9 ? a 2 ? b2 ? ? ? b2 ? ? 4 ?
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2

整理得 a -4a b +4b =0, 2 2 2 2 即 a -2b =0,∴a =2b , sin∠CAB= 17.答案:2 解析:|b| =(xe1+ye2) =x +y +2xye1?e2=x +y + 3 xy. ∴
2 2 2 2 2 2

4

2 2

4

a a 2 ? b2

?

a 3b2

?

2b 6 . ? 3 3b

x ? y ? 3xy | x| 1 1 当 x≠0 时, ? ? ?2. 2 2 |b| y? 3y ? ?y 3? 1 ?1 ? ? ? ? ? ? ? x? x ? ?x 2 ? 4
2 2

| x| ? |b|

x

,当 x=0 时,

|x| ? 0; |b|

三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18. 2 解:(1)由题意得 5a3?a1=(2a2+2) , 2 即 d -3d-4=0, 故 d=-1 或 d=4. * * 所以 an=-n+11,n∈N 或 an=4n+6,n∈N . (2)设数列{an}的前 n 项和为 Sn. 因为 d<0,由(1)得 d=-1,an=-n+11.

1 2 21 n ? n. 2 2 1 2 21 n +110. 当 n≥12 时,|a1|+|a2|+|a3|+?+|an|=-Sn+2S11= n ? 2 2 ? 1 2 21 ?? 2 n ? 2 n, n ? 11, ? 综上所述,|a1|+|a2|+|a3|+?+|an|= ? ? 1 n 2 ? 21 n ? 110, n ? 12. ?2 ? 2
则当 n≤11 时,|a1|+|a2|+|a3|+?+|an|=Sn= ? 19. 解:(1)由题意得 ξ =2,3,4,5,6. 故 P(ξ =2)=

P(ξ P(ξ P(ξ P(ξ

3? 3 1 ? , 6?6 4 2 ? 3? 2 1 ? , =3)= 6?6 3 2 ? 3 ?1 ? 2 ? 2 5 ? , =4)= 6?6 18 2 ? 2 ?1 1 ? , =5)= 6?6 9 1? 1 1 ? =6)= , 6 ? 6 36
ξ 2 3 4 5 6

所以 ξ 的分布列为

P
(2)由题意知 η 的分布列为 η

1 4
1

1 3

5 18
2

1 9

1 36
3

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a b a?b?c a?b?c a 2b 3c 5 ? ? ? , 所以 E(η )= a?b?c a?b?c a ?b?c 3
P
2 2 2

c a?b?c

a 5? b c 5 ? 5? ? ? 5? ??2? ? ? ? ?3? ? ? ? , 3? a?b?c ? 3? a?b?c 9 ? 3? a ?b?c ? ?2a ? b ? 4c ? 0, 化简得 ? ?a ? 4b ? 11c ? 0.
D(η )= ?1 ? ? ?
解得 a=3c,b=2c,故 a∶b∶c=3∶2∶1. 20. 方法一:(1)证明:取 BD 的中点 O,在线段 CD 上取点 F,使得 DF=3FC,连结 OP,OF,FQ,因为 AQ=3QC, 所以 QF∥AD,且 QF=

1 AD. 4

因为 O,P 分别为 BD,BM 的中点, 所以 OP 是△BDM 的中位线, 所以 OP∥DM,且 OP=

1 DM. 2

又点 M 为 AD 的中点,所以 OP∥AD,且 OP=

1 AD. 4

从而 OP∥FQ,且 OP=FQ, 所以四边形 OPQF 为平行四边形,故 PQ∥OF. 又 PQ ? 平面 BCD,OF ? 平面 BCD, 所以 PQ∥平面 BCD. (2)解:作 CG⊥BD 于点 G,作 CH⊥BM 于点 H,连结 CH. 因为 AD⊥平面 BCD,CG ? 平面 BCD, 所以 AD⊥CG, 又 CG⊥BD,AD∩BD=D, 故 CG⊥平面 ABD,又 BM ? 平面 ABD, 所以 CG⊥BM. 又 GH⊥BM,CG∩GH=G,故 BM⊥平面 CGH, 所以 GH⊥BM,CH⊥BM. 所以∠CHG 为二面角 C-BM-D 的平面角,即∠CHG=60°. 设∠BDC=θ . 在 Rt△BCD 中,CD=BDcos θ = 2 2 cos θ ,

CG=CDsin θ = 2 2 cos θ sin θ , BG=BCsin θ = 2 2 sin2θ .
在 Rt△BDM 中, HG ?

BG ? DM 2 2sin 2? ? . BM 3
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在 Rt△CHG 中,tan∠CHG=

CG 3cos? ? ? 3. HG sin?

所以 tan θ = 3 . 从而 θ =60°.即∠BDC=60°. 方法二:(1)证明:如图,取 BD 的中点 O,以 O 为原点,OD,OP 所在射线为 y,z 轴的正半轴,建立空间 直角坐标系 Oxyz.

由题意知 A(0, 2 ,2),B(0, ? 2 ,0),D(0, 2 ,0). 设点 C 的坐标为(x0,y0,0). 因为 AQ ? 3QC ,所以 Q ?

????

??? ?

?3 2 3 1? x0 , ? y0 , ? . ?4 4 4 2? ? ?

因为 M 为 AD 的中点,故 M(0, 2 ,1). 又 P 为 BM 的中点,故 P ? 0, 0, 所以 PQ = ?

? ?

1? ?, 2?

??? ?

?3 ? 2 3 x0 , ? y0 , 0 ? . ?4 ? 4 4 ? ?

又平面 BCD 的一个法向量为 u=(0,0,1),故 PQ ?u=0. 又 PQ ? 平面 BCD,所以 PQ∥平面 BCD. (2)解:设 m=(x,y,z)为平面 BMC 的一个法向量. 由 CM =(-x0, 2 ? y0 ,1), BM =(0, 2 2 ,1), 知?

??? ?

???? ?

???? ?

?? x0 x ? ? 2 ? y0 ? y ? z ? 0, ? ?2 2 y ? z ? 0. ?
? y0 ? 2 ? , ?1, 2 2 ? . ? x ? 0 ? ?

取 y=-1,得 m= ?

又平面 BDM 的一个法向量为 n=(1,0,0),

| m ?n | ? 于是|cos〈m,n〉|= | m || n |

y0 ? 2 x0 ? 9?? ?

又 BC⊥CD,所以 CB ? CD =0, 故(-x0, ? 2 ? y0 ,0)?(-x0, 2 ? y0 ,0)=0, 即 x0 +y0 =2.②
2 2

??? ?

??? ?

?y ? 2? 1 ? ,即 ? 0 ? ? 3 .① ? x ? 2 2 0 ? ? y0 ? 2 ? ? x0 ?

2

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? 6 , ? x0 ? ? ? x0 ? 0, ? ? 2 联立①,②,解得 ? (舍去)或 ? ? y0 ? ? 2, ? ?y ? 2 . ? 0 ? 2
所以 tan∠BDC=

x0 ? 3. 2 ? y0

又∠BDC 是锐角,所以∠BDC=60°. 21. 解:(1)由题意得 ?

?b ? 1, ? a ? 2.
x2 2 +y =1. 4

所以椭圆 C 的方程为

(2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),D(x0,y0). 由题意知直线 l1 的斜率存在,不妨设其为 k, 则直线 l1 的方程为 y=kx-1. 又圆 C2:x +y =4,故点 O 到直线 l1 的距离 d ?
2 2

1 k 2 ?1



所以 |AB| ? 2 4 ? d 2 ? 2

4k 2 ? 3 . k 2 ?1

又 l2⊥l1,故直线 l2 的方程为 x+ky+k=0. 由?

? x ? ky ? k ? 0, 2 2 ? x ? 4 y ? 4,
2 2

消去 y,整理得(4+k )x +8kx=0, 故 x0 ? ?

8k . 4 ? k2

所以|PD|=

8 k 2 ?1 . 4 ? k2

设△ABD 的面积为 S,

1 8 4k 2 ? 3 |AB|?|PD|= , 2 4 ? k2 32 所以 S= 13 4k 2 ? 3 ? 4k 2 ? 3
则 S= ≤

32 2 4k 2 ? 3 ? 13 4k 2 ? 3

?

16 13 , 13

当且仅当 k ? ?

10 时取等号. 2 10 x -1. 2

所以所求直线 l1 的方程为 y= ?

22. 2 解:(1)由题意 f′(x)=3x -6x+3a, 故 f′(1)=3a-3. 又 f(1)=1,所以所求的切线方程为 y=(3a-3)x-3a+4.
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(2)由于 f′(x)=3(x-1) +3(a-1),0≤x≤2, 故①当 a≤0 时,有 f′(x)≤0,此时 f(x)在[0,2]上单调递减, 故|f(x)|max=max{|f(0)|,|f(2)|}=3-3a. ②当 a≥1 时,有 f′(x)≥0,此时 f(x)在[0,2]上单调递增, 故|f(x)|max=max{|f(0)|,|f(2)|}=3a-1. ③当 0<a<1 时,设 x1=1- 1 ? a ,x2=1+ 1 ? a , 则 0<x1<x2<2,f′(x)=3(x-x1)(x-x2). 列表如下:

2

x f′( x) f(x)

0

(0,x1) +

x1
0 极大值 f(x1)

(x1,x2) - 单调递 减

x2
0 极小值 f(x2)

(x2,2 ) + 单调 递增

2

3-3a

单调递增

3a-1

由于 f(x1)=1+2(1-a) 1 ? a ,f(x2)=1-2(1-a) 1 ? a , 故 f(x1)+f(x2)=2>0,f(x1)-f(x2)=4(1-a) 1 ? a >0, 从而 f(x1)>|f(x2)|. 所以|f(x)|max=max{f(0),|f(2)|,f(x1)}. 当 0<a<

2 时,f(0)>|f(2)|. 3

又 f(x1)-f(0)=2(1-a) 1 ? a -(2-3a)= 故|f(x)|max=f(x1)=1+2(1-a) 1 ? a . 当

a 2 ?3 ? 4a ? >0, 2?1 ? a ? 1 ? a ? 2 ? 3a

2 ≤a<1 时,|f(2)|=f(2),且 f(2)≥f(0). 3

又 f(x1)-|f(2)|=2(1-a) 1 ? a -(3a-2)=

a 2 ?3 ? 4a ? , 2?1 ? a ? 1 ? a ? 3a ? 2

2 3 ≤a< 时,f(x1)>|f(2)|. 3 4 故 f(x)max=f(x1)=1+2(1-a) 1 ? a . 3 当 ≤a<1 时,f(x1)≤|f(2)|. 4
所以当 故 f(x)max=|f(2)|=3a-1. 综上所述,

? ?3 ? 3a, a ? 0, ? 3 ? |f(x)|max= ?1 ? 2?1 ? a ? 1 ? a , 0 ? a ? , 4 ? 3 ? ?3a ? 1, a ? 4 . ?

2013

浙江理科数学

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