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安徽省合肥八中2015届高三上学期第二次段考数学试卷(理科)


安徽省合肥八中 2015 届高三上学期第二次段考数学试卷(理科)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1. (5 分)2014°是第()象限角. A.一 B. 二 C. 三 D.四 2. (5 分)已知集合 A={x|x ﹣5x﹣14≤0},B={x|m+1<x<2m﹣1},且 B≠?,

若 A∪B=A,则 () A.﹣3≤m≤4 B.﹣3<m<4 C.2<m<4 D.2<m≤4 3. (5 分)下列选项叙述错误的是() 2 2 A.命题“若 x≠l,则 x ﹣3x+2≠0”的逆否命题是“若 x ﹣3x+2=0,则 x=1” B. 若 p∨q 为真命题,则 p,q 均为真命题 C. 若命题 p:?x∈R,x +x+1≠0,则?p:?x∈R,x +x+1=0 2 D.“x>2”是“x ﹣3x+2>0”的充分不必要条件 4. (5 分)已知角 α 的终边上一点的坐标为( A. B. C. ) ,角 α 的最小正值为() D.
2 2 2

5. (5 分)设 2 =5 =m,且 A. B.10

a

b

,则 m=() C.20 D.100

6. (5 分)已知函数 y=Asin(ωx+φ)+m 的最大值为 4,最小值为 0,两个对称轴间的最短距 离为 A. C. ,直线 是其图象的一条对称轴,则符合条件的解析式是() B. D.

7. (5 分) A.π

(2cos

2

)dx 的值是() C.π﹣2 D.π+2

B. 2

8. (5 分)设函数 g(x)是二次函数,f(x)= +∞) ,则函数 g(x)的值域是() A.(﹣∞,﹣1]∪[1,+∞) +∞) D.
2

,若函数 f[g(x)]的值域是[0,

B.[0,+∞) [1,+∞)

C. (﹣∞,﹣1]∪[0,

9. (5 分)设函数 f(x)=ax +bx+c(a,b,c∈R) ,若 x=﹣1 为函数 y=f(x)e 的一个极值点, 则下列图象不可能为 y=f(x)的图象是()

x

A.

B.
x

C.
2

D.

10. (5 分)设函数 f(x)=e +x﹣2,g(x)=lnx+x ﹣3.若实数 a,b 满足 f(a)=0,g(b) =0,则() A.g(a)<0<f(b) B. f(b)<0<g(a) C. 0<g(a)<f(b) D.f(b)<g(a)<0

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,请将答案写在答题卷的相应位置上. 11. (5 分)函数 f(x)=2sin( ) ,x∈[﹣π,0]的单调递减区间为.
2

12. (5 分)设扇形的周长为 8cm,面积为 4cm ,则扇形的圆心角的弧度数是. 13. (5 分)已知 2sin2α=﹣sinα,α∈( ,π) ,则 tanα=.

14. (5 分)利民厂某产品的年产量在 100 吨至 300 吨之间,年生产的总成本 y(万元)与年 生产量 x(吨)之间的关系可近似第表示为 y= 为吨. 15. (5 分)设函数 f(x)的定义域为 D,若存在非零实数 l 使得对于任意 x∈M(M?D) ,有 x+l∈D,且 f(x+1)≥f(x) ,则称 f(x)为 M 上的高调函数.现给出下列三个命题: ①函数 为 R 上的 l 高调函数; ﹣30x+4000,则每吨的成本最低时的年产量

②函数 f(x)=sin2x 为 R 上的 π 高调函数; 2 ③如果定义域是[﹣1,+∞)的函数 f(x)=x 为[﹣1,+∞)上的 m 高调函数,那么实数 m 的取值范围[2,+∞) ; 其中正确的命题是(填序号)

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤. 16. (12 分)已知集合 A={x|x ﹣3x+2≤0},集合 B 为函数 y=x ﹣2x+a 的值域,集合 C={x|x ﹣ax﹣4≤0},命题 p:A∩B≠?;命题 q:A?C. (1)若命题 p 为假命题,求实数 a 的取值范围; (2)若命题 p∧q 为真命题,求实数 a 的取值范围. 17. (12 分)已知函数 f(x)=3﹣2log2x,g(x)=log2x. (1)当 x∈[1,4]时,求函数 h(x)=[f(x)+1]?g(x)的值域; (2)如果对任意的 x∈[1,4],不等式 取值范围. 18. (12 分) 设△ ABC 的内角 A、 B、 C 所对的边长分别为 a、 b、 c, 且 (2b﹣ (Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)若角 B= ,BC 边上的中线 AM 的长为
2 2 2 2

恒成立,求实数 k 的

c) cosA=

acosC.

,求△ ABC 的面积.

19. (13 分)已知函数 f(x)=x ﹣(1+2a)x+alnx(a 为常数) . (1)当 a=﹣1 时,求曲线 y=f(x)在 x=1 处切线的方程; (2)当 a>0 时,讨论函数 y=f(x)在区间(0,1)上的单调性,并写出相应的单调区间. 20. (13 分)已知函数 f(x)=sin cos + cos
2



(Ⅰ)将 f(x)写成 Asin(ωx+φ)+b 的形式,并求出该函数图象的对称中心; (Ⅱ)在△ ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且满足 b =ac,求 f(B)的取值 范围.
2

21. (13 分)已知函数 f(x)=﹣lnx+

+(1﹣a)x+2.

(Ⅰ)当 a>0 时,求函数 f(x)的单调区间; (Ⅱ)若 0<x<1,求证:f(1+x)<f(1﹣x) ; (Ⅲ)若 A(x1,y1) ,B(x2,y2)为函数 y=f(x)的图象上的两点,记 k 为直线 AB 的斜率, 若 x0= ,f′(x)为 f(x)的导函数,求证:f′(x0)>k.

安徽省合肥八中 2015 届高三上学期第二次段考数学试卷 (理科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1. (5 分)2014°是第()象限角. A.一 B. 二 C. 三 D.四 考点: 象限角、轴线角. 专题: 三角函数的求值. 分析: 要判断 2014°角的位置,我们要将其化为 k?360°+α 的形式,然后判断 α 角的终边所 在的象限,即可得到答案. 解答: 解:∵2014°=5×360°+214°, ∵180°<214°<270°, 故 2014°是第三象限角. 故选:C 点评: 本题考查的知识点是象限角与轴线角,判断角的位置关键是根据象限角的定义,判 断出角的终边落在哪个象限中. 2. (5 分)已知集合 A={x|x ﹣5x﹣14≤0},B={x|m+1<x<2m﹣1},且 B≠?,若 A∪B=A,则 () A.﹣3≤m≤4 B.﹣3<m<4 C.2<m<4 D.2<m≤4 考点: 集合关系中的参数取值问题. 专题: 计算题. 分析: 条件 A∪B=A 的理解在于:B 是 A 的子集,其中 B 也可能是空集.先化简集合 A, 根据 B 是 A 的子集列出不等关系,解之即得. 解答: 解:A={x|x ﹣5x﹣14≤0}={x|﹣2≤x≤7}, ∵A∪B=A,∴B?A.又 B≠?,
2 2



解得:2<m≤4 故选 D. 点评: 本题主要考查集合的运算性质 A∪B=A,一般 A∪B=A 转化成 B?A 来解决.若是 A∩B=A,一般 A∩B=A 转化成 A?B 来解决. 3. (5 分)下列选项叙述错误的是() 2 2 A.命题“若 x≠l,则 x ﹣3x+2≠0”的逆否命题是“若 x ﹣3x+2=0,则 x=1” B. 若 p∨q 为真命题,则 p,q 均为真命题 2 2 C. 若命题 p:?x∈R,x +x+1≠0,则?p:?x∈R,x +x+1=0 2 D.“x>2”是“x ﹣3x+2>0”的充分不必要条件 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 规律型.

分析: A“若 p 则 q,“的逆否命题为“若﹣p 则﹣q“.故 A 正确;B p∨q 为真命题说明 p 和 q 中至少有一个为真;C 是全称命题与存在性命题的转化;D 从充要条件方面判断. 解答: 解:A 原命题为“若 p 则 q,“,则它的逆否命题为“若﹣p 则﹣q“.故正确; B 当 p,q 中至少有一个为真命题时,则 p∨q 为真命题.故错误. C 正确. 2 D 由 x 一 3x+2>0 解得 x<1 或 x>2 显然 x>2?x<1 或 x>2 但 x<1 或 x>2 不能得到 x>2 2 故“x>2”是“x 一 3x+2>0”的充分不必要条件,故正确. 故选 B 点评: 本题主要考查了四种命题的关系、充要条件的转化、全称命题与存在性命题的相互 转化.

4. (5 分)已知角 α 的终边上一点的坐标为( A. B. C.

) ,角 α 的最小正值为() D.

考点: 终边相同的角. 专题: 计算题. 分析: 将点的坐标化简,据点的坐标的符号判断出点所在的象限,利用三角函数的定义求 出角 α 的正弦,求出角 α 的最小正值 解答: 解: ∴角 α 的终边在第四象限 ∵ ∴ ∴α 的最小正值为 故选 D 点评: 已知一个角的终边上的一个点求角的三角函数值,应该利用三角函数的定义来解决.
a b

=

到原点的距离为 1

5. (5 分)设 2 =5 =m,且 A. B.10

,则 m=() C.20 D.100

考点: 指数式与对数式的互化;对数的运算性质. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 直接化简,用 m 代替方程中的 a、b,然后求解即可. 解答: 解: 故选 A ,∴m =10,又∵m>0,∴
2



点评: 本题考查指数式和对数式的互化,对数的运算性质,是基础题. 6. (5 分)已知函数 y=Asin(ωx+φ)+m 的最大值为 4,最小值为 0,两个对称轴间的最短距 离为 A. C. ,直线 是其图象的一条对称轴,则符合条件的解析式是() B. D.

考点: 由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式. 专题: 计算题. 分析: 由题意可得 A+m=4,A﹣m=0,解得 A 和 m 的值,再根据周期求出 ω,根据函数图 象的对称轴及 φ 的范围求出 φ,从而得到符合条件的函数解析式. 解答: 解:由题意 m=2. A=±2, 再由两个对称轴间的最短距离为 ,可得函数的最小正周期为 π 可得 ,解得 ω=2,

∴函数 y=Asin(ωx+φ)+m=±2sin(2x+φ)+2. 再由 是其图象的一条对称轴,可得 +φ=kπ+ )+2, ,k∈z,即 φ=kπ ,故可取 φ= ,

故符合条件的函数解析式是 y=﹣2sin(2x+

故选 B 点评: 本题主要考查利用 y=Asin(ωx+?)的图象特征,由函数 y=Asin(ωx+?)的部分图 象求解析式,属于中档题.

7. (5 分) A.π

(2cos

2

)dx 的值是() C.π﹣2 D.π+2

B. 2

考点: 定积分. 专题: 导数的概念及应用. 分析: 根据函数的积分公式进行计算即可. 解答: 解: (2cos
2

)dx=

(1+cox) dx= (x+sinx)|

=

+1

+1=2+π.

故选:D 点评: 本题主要考查函数积分的计算,要求熟练掌握常见函数的积分公式.

8. (5 分)设函数 g(x)是二次函数,f(x)= +∞) ,则函数 g(x)的值域是()

,若函数 f[g(x)]的值域是[0,

A.(﹣∞,﹣1]∪[1,+∞) +∞) D. 考点: 函数的值域. 专题: 计算题;函数的性质及应用.

B.[0,+∞) [1,+∞)

C. (﹣∞,﹣1]∪[0,

分析: 由函数 f[g(x)]的值域是[0,+∞) ,f(x)=

求 f(x)的定义域,则

函数 g(x)的值域是 f(x)的定义域的子集,且又由 g(x)是二次函数得答案. 解答: 解:∵f(x)= ,又∵函数 f[g(x)]的值域是[0,+∞) ,

∴g(x)∈(﹣∞,﹣1]∪[0,+∞) , 又∵函数 g(x)是二次函数, ∴﹣∞与+∞不可能同时存在, 故排除 A、C; 又∵要取到 0; 故选 B. 点评: 本题考查了函数的定义域与值域,属于基础题. 9. (5 分)设函数 f(x)=ax +bx+c(a,b,c∈R) ,若 x=﹣1 为函数 y=f(x)e 的一个极值点, 则下列图象不可能为 y=f(x)的图象是()
2 x

A.

B.

C.

D.

考点: 利用导数研究函数的单调性;函数的图象与图象变化. 专题: 函数的性质及应用;导数的概念及应用. 分析: 先求出函数 f(x)e 的导函数,利用 x=﹣1 为函数 f(x)e 的一个极值点可得 a,b, 2 c 之间的关系,再代入函数 f(x)=ax +bx+c,对答案分别代入验证,看哪个答案不成立即可. x x 2 x x x 2 解答: 解:由 y=f(x)e =e (ax +bx+c)?y′=f′(x)e +e f(x)=e [ax +(b+2a)x+b+c], x 2 由 x=﹣1 为函数 f(x)e 的一个极值点可得,﹣1 是方程 ax +(b+2a)x+b+c=0 的一个根, 所以有 a﹣(b+2a)+b+c=0?c=a. 法一:所以函数 f(x)=ax +bx+a,对称轴为 x=﹣
2 x x

,且 f(﹣1)=2a﹣b,f(0)=a.

对于 A,由图得 a>0,f(0)>0,f(﹣1)=0,不矛盾, 对于 B,由图得 a<0,f(0)<0,f(﹣1)=0,不矛盾, 对于 C,由图得 a<0,f(0)<0,x=﹣ 对于 D,由图得 a>0,f(0)>0,x=﹣ 矛盾,D 不对. >0?b>0?f(﹣1)<0,不矛盾, <﹣1?b>2a?f(﹣1)<0 与原图中 f(﹣1)>0

法二:所以函数 f(x)=ax +bx+a,由此得函数相应方程的两根之积为 1,对照四个选项发现, D 不成立. 故选:D. 点评: 本题考查极值点与导函数之间的关系.一般在知道一个函数的极值点时,直接把极 值点代入导数令其等 0 即可. 可导函数的极值点一定是导数为 0 的点, 但导数为 0 的点不一定 是极值点. 10. (5 分)设函数 f(x)=e +x﹣2,g(x)=lnx+x ﹣3.若实数 a,b 满足 f(a)=0,g(b) =0,则() A.g(a)<0<f(b) B. f(b)<0<g(a) C. 0<g(a)<f(b) D.f(b)<g(a)<0 考点: 函数的值;不等关系与不等式. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 先判断函数 f(x) ,g(x)在 R 上的单调性,再利用 f(a)=0,g(b)=0 判断 a,b 的取值范围即可. 解答: 解:①由于 y=e 及 y=x﹣2 关于 x 是单调递增函数,∴函数 f(x)=e +x﹣2 在 R 上 单调递增, x 分别作出 y=e ,y=2﹣x 的图象,∵f(0)=1+0﹣2<0,f(1)=e﹣1>0,f(a)=0,∴0<a <1. 同理 g(x)=lnx+x ﹣3 在 R 上单调递增,g(1)=ln1+1﹣3=﹣2<0,g( =
2 2 + x x x 2

2



,g(b)=0,∴



∴g(a)=lna+a ﹣3<g(1)=ln1+1﹣3=﹣2<0, b f(b)=e +b﹣2>f(1)=e+1﹣2=e﹣1>0. ∴g(a)<0<f(b) . 故选 A.

点评: 熟练掌握函数的单调性、函数零点的判定定理是解题的关键. 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,请将答案写在答题卷的相应位置上. 11. (5 分)函数 f(x)=2sin( ) ,x∈[﹣π,0]的单调递减区间为 .

考点: 正弦函数的单调性.

专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 利用三角函数的图象和性质以及复合函数单调性之间的关系即可得到结论. 解答: 解:∵f(x)=2sin( ∴f(x)=﹣2sin(x ∴函数 f(x)=﹣2sin(x 由 得 ∴当 k=0,函数的递减区间为 ∴当 x∈[﹣π,0]的单调递减区间为 故答案为: . ) , )的递减期间即为 y=2sin(x , ,k∈Z, , , )递增区间, ) ,

点评: 本题主要考查三角函数的图象性质,利用复合函数单调性之间单调性的关系是解决 本题的关键. 12. (5 分)设扇形的周长为 8cm,面积为 4cm ,则扇形的圆心角的弧度数是 2. 考点: 扇形面积公式. 专题: 计算题. 分析: 设扇形的圆心角的弧度数为 α,半径为 r,弧长为 l,面积为 S,由面积公式和周长可 得到关于 l 和 r 的方程组, 求出 l 和 r,由弧度的定义求 α 即可. 解答: 解:S= (8﹣2r)r=4,r ﹣4r+4=0,r=2,l=4,|α|= =2. 故答案为:2. 点评: 本题考查弧度的定义、扇形的面积公式,属基本运算的考查. 13. (5 分)已知 2sin2α=﹣sinα,α∈(
2 2

,π) ,则 tanα=



考点: 专题: 分析: 解答:

二倍角的正弦;同角三角函数间的基本关系. 三角函数的求值. 把已知的等式左边展开二倍角的正弦,求出角 α 的余弦值,则正切值可求. 解:由 2sin2α=﹣sinα,得:4sinαcosα=﹣sinα, ,π) ,所以 sinα≠0, ,则 sinα=

因为 α∈( 所以 cosα=

所以



故答案为 点评: 本题考查了二倍角的正弦公式和同角三角函数基本关系式,求解时注意角的范围, 是基础题. 14. (5 分)利民厂某产品的年产量在 100 吨至 300 吨之间,年生产的总成本 y(万元)与年 生产量 x(吨)之间的关系可近似第表示为 y= 为 200 吨. 考点: 函数的值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 设每吨的平均成本为 W (万元/吨) , 则 W= = ≥2 , ﹣30x+4000,则每吨的成本最低时的年产量

由此利用均值不等式能求出 x=200 吨时,每吨平均成本最低,且最低成本为 10 万元. 解答: 解:设每吨的平均成本为 W(万元/吨) , 则 W= = 当且仅当 , ≥2 ,

即 x=200 吨时,每吨平均成本最低,且最低成本为 10 万元. 故答案为:200. 点评: 本题考查函数值的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意均值不等式的合理运 用. 15. (5 分)设函数 f(x)的定义域为 D,若存在非零实数 l 使得对于任意 x∈M(M?D) ,有 x+l∈D,且 f(x+1)≥f(x) ,则称 f(x)为 M 上的高调函数.现给出下列三个命题: ①函数 为 R 上的 l 高调函数;

②函数 f(x)=sin2x 为 R 上的 π 高调函数; 2 ③如果定义域是[﹣1,+∞)的函数 f(x)=x 为[﹣1,+∞)上的 m 高调函数,那么实数 m 的取值范围[2,+∞) ; 其中正确的命题是②③(填序号) 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据高调函数的定义证明条件 f(x+1)≥f(x)是否成立即可. 解答: 解:①∵函数 f(x)=( ) 为 R 上的递减函数,故①不正确, ②∵sin2(x+π)≥sin2x ∴函数 f(x)=sin2x 为 R 上的 π 高调函数,故②正确,
x

③如果定义域为[﹣1, +∞) 的函数 f (x) =x 为[﹣1, +∞) 上 m 高调函数, 则

2



解得 m≥2,即实数 m 的取值范围[2,+∞) ,∴③正确. 故答案为:②③. 点评: 本题主要考查与函数有关的新定义的应用,弄清新定义的本质,找到判断的标准是 解本题的关键. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤. 2 2 2 16. (12 分)已知集合 A={x|x ﹣3x+2≤0},集合 B 为函数 y=x ﹣2x+a 的值域,集合 C={x|x ﹣ax﹣4≤0},命题 p:A∩B≠?;命题 q:A?C. (1)若命题 p 为假命题,求实数 a 的取值范围; (2)若命题 p∧q 为真命题,求实数 a 的取值范围. 考点: 复合命题的真假;集合关系中的参数取值问题. 专题: 计算题. 分析: 由题意可得 A={x|1≤x≤2},B={y|y≥a﹣1},C={x|x ﹣ax﹣4≤0}, (1)由命题 p 为假命题可得 A∩B=?,可求 a (2)由题意可得 A∩B≠?且 A?C,结合集合之间的基本运算可求 a 的范围 2 2 解答: 解:∵y=x ﹣2x+a=(x﹣1) +a﹣1≥a﹣1 2 2 ∴A={x|x ﹣3x+2≤0}={x|1≤x≤2},B={y|y≥a﹣1},C={x|x ﹣ax﹣4≤0}, (1)由命题 p 为假命题可得 A∩B=? ∴a﹣1>2 ∴a>3 (2)∵命题 p∧q 为真命题命题 ∴p,q 都为真命题 即 A∩B≠?且 A?C.
2



解可得 0≤a≤3

点评: 本题考查解决二次不等式的求解,二次函数值域的求解,集合的基本运算及复合命 题的真假与构成其简单命题真假的关系. 17. (12 分)已知函数 f(x)=3﹣2log2x,g(x)=log2x. (1)当 x∈[1, 4]时,求函数 h(x)=[f(x)+1]?g(x)的值域; (2)如果对任意的 x∈[1,4],不等式 取值范围. 考点: 函数恒成立问题;函数的值域. 专题: 综合题. 分析: (1)利用配方法化简函数,根据函数的定义域,即确定函数的值域; 恒成立,求实数 k 的

(2)利用换元法化简函数,再对新变元分类讨论,同时结合分离参数法,利用基本不等式, 即可求得结论. 解答: 解: (1) 因为 x∈[1,4],所以 log2x∈[0,2],…(4 分) 故函数 h(x)的值域为[0,2]…(6 分) (2)由 得(3﹣4log2x) (3﹣log2x)>k?log2x …(2 分)

令 t=log2x,因为 x∈[1,4],所以 t=log2x∈[0,2] 所以(3﹣4t) (3﹣t)>k?t 对一切的 t∈[0,2]恒成立…(8 分) 1°当 t=0 时,k∈R;…(9 分) 2°当 t∈(0,2]时, 因为 所以 ,当且仅当 ,即 恒成立,即 时取等号…(12 分) …(11 分)

的最小值为﹣3…(13 分)

综上,k∈(﹣∞,﹣3)…(14 分) 点评: 本题考查函数的值域,考查恒成立问题,解题的关键是分离参数,利用基本不等式 求最值. 18. (12 分) 设△ ABC 的内角 A、 B、 C 所对的边长分别为 a、 b、 c, 且 (2b﹣ (Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)若角 B= ,BC 边上的中线 AM 的长为 ,求△ ABC 的面积. c) cosA= acosC.

考点: 正弦定理;余弦定理. 专题: 计算题. 分析: (1)利用正弦定理把 用两角和公式进行化简整理求得 cosA,进而求得 A. (2)由(1)知 中的边换成角的正弦,进而利

,进而可知三角形为等腰三角形和 C 的值,设 AC=x,进而用余弦定

理建立等式求得 x,进而用三角形面积公式求得答案. 解答: 解: (1)因为 所以 , 则 所以 ,于是 , ,

(2)由(1)知 而 ,

所以 AC=BC, 设 AC=x,则 又 . 2 2 2 在△ AMC 中由余弦定理得 AC +MC ﹣2AC?MCcosC=AM , 即 解得 x=2, 故 . ,

点评: 本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用.在解三角形问题中,常需要用正弦定 理和余弦定理完成边角互化,来解决问题. 19. (13 分)已知函数 f(x)=x ﹣(1+2a)x+alnx(a 为常数) . (1)当 a=﹣1 时,求曲线 y=f(x)在 x=1 处切线的方程; (2)当 a>0 时,讨论函数 y=f(x)在区间(0,1)上的单调性,并写出相应的单调区间. 考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数研究函数的单调性. 专题: 综合题. 分析: (1)求导函数,确定切线的斜率,从而可求曲线 y=f(x)在 x=1 处切线的方程; (2)求导函数,求出函数的零点,再进行分类讨论,从而可确定函数 y=f(x)在区间(0,1) 上的单调性与单调区间. 解答: 解: (1)当 a=﹣1 时,f(x)=x +x﹣lnx,则 ∴f(1)=2,f′(1)=2 ∴曲线 y=f(x)在 x=1 处切线的方程为 y﹣2=2(x﹣1) 即 y=2x; (2)由题意得, 由 f′(x)=0,得 ①当 时,令 f′(x)>0,x>0,可得 0<x<a 或 ;
2 2

令 f′(x)<0,x>0,可得 ∴函数 f(x)的单调增区间是(0,a)和 ,单调减区间是 ;

②当

时,

,当且仅当 x= 时,f′(x)=0,

所以函数 f(x)在区间(0,1)上是单调增函数; ③当 时,令 f′(x)>0,x>0,可得 0<x<a 或 a<x<1;

令 f′(x)<0,x>0,可得 ∴函数 f(x)的单调增区间是(0, )和(a,1) ,单调减区间是 ④当 a≥1 时,令 f′(x)>0,x>0,可得 0<x< ; 令 f′(x)<0,x>0,可得 ∴函数 f(x)的单调增区间是(0, ) ,单调减区间是 . ;

点评: 本题重点考查导数知识的运用,考查导数的几何意义,考查函数的单调性,利用导 数的正负确定函数的单调性是关键.
2

20. (13 分)已知函数 f(x)=sin cos +

cos



(Ⅰ)将 f(x)写成 Asin(ωx+φ)+b 的形式,并求出该函数图象的对称中心; (Ⅱ)在△ ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且满足 b =ac,求 f(B)的取值 范围. 考点: 三角函数中的恒等变换应用;余弦定理. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: (Ⅰ)首先,化简函数解析式,然后,利用 f(x)=0,求解其对称中心; (Ⅱ)结合余弦定理和基本不等式,然后,根据 B 的范围求解 f(B)的取值范围. 解答: 解: (Ⅰ)
2

由 即

=0,

即对称中心的横坐标为 …(6 分) (Ⅱ)由已知 b =ac, ,
2

∴ ∴ 即 f(x)的值域为





综上所述,

,f(x)值域为

.…(13 分)

点评: 本题重点考查了三角恒等变换公式及其灵活运用、三角函数的图象与性质等知识, 属于中档题.

21. (13 分)已知函数 f(x)=﹣lnx+

+(1﹣a)x+2.

(Ⅰ)当 a>0 时,求函数 f(x)的单调区间; (Ⅱ)若 0<x<1,求证:f(1+x)<f(1﹣x) ; (Ⅲ)若 A(x1,y1) ,B(x2,y2)为函数 y=f(x)的图象上的两点,记 k 为直线 AB 的斜率, 若 x0= ,f′(x)为 f(x)的导函数,求证:f′(x0)>k.

考点: 利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函数的最值. 专题: 导数的综合应用. 分析: (Ⅰ)利用导数判断函数的单调性即可; (Ⅱ)构造函数 g(x)=ln(1﹣x)﹣ln(1+x)+2x,利用导数求其最大值为 0,即得结论; (Ⅲ)利用斜率公式及导数的几何意义及(Ⅱ)的结论即可得证. 解答: 解: (Ⅰ)f′(x)=﹣ +ax+(1﹣a)= ∴当 0<x<1 时,f′(x)<0,f(x)单调递减, 当 x>1 时,f′(x)>0,f(x)单调递增; (Ⅱ)f(1+x)﹣f(1﹣x)=ln(1﹣x)﹣ln(1+x)+2x, 令 g(x)=ln(1﹣x)﹣ln(1+x)+2x, ∴g′(x)= , ,

∵0<x<1,g′(x)<0,g(x)单调递减,∴g(x)<g(0)=0. ∴f(1+x)<f(1﹣x) . (Ⅲ)k= = + a(x2﹣x1)+1﹣a,

f′(x0)=﹣

+ax0+1﹣a>

+ a(x2﹣x1)+1﹣a,?



?ln

>2



令 x2>x1>0,

=t, (0<t<1) ,∴

=



ln

>2

?ln

>2t?ln(1+t)﹣ln(1﹣t)+2t<0,

由(Ⅱ)可知上式成立. ∴f′(x0)>k 成立. 点评: 本题主要考查利用导数研究函数的单调性、求函数的最值等知识,考查学生分析问 题,解决问题的能力,注意构造法的合理应用,逻辑性强,属于难题.


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