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高三文科数学立体几何翻折问题


高三文科数学立体几何翻折问题
1.已知四边形 ABCD 是等腰梯形,AB=3,DC=1,∠BAD=45°,DE⊥AB(如图 1).现将△ADE 沿 DE 折起,使得 AE⊥ EB(如图 2),连结 AC,AB,设 M 是 AB 的中点. (1)求证:BC⊥平面 AEC; (2)判断直线 EM 是否平行于平面 ACD,并说明理由.

2. 如图 1

,在边长为 3 的正三角形 ABC 中, E , F , P 分别为 AB , AC , BC 上的点,且满足

EFB , AE ? FC ? CP ? 1 .将 ?AEF 沿 EF 折起到 ?A1EF 的位置, 使平面 A 连结 A 1 EF ? 平面 1B ,A 1P .
(如图 2 ) (1)若 Q 为 A 1B 中点,求证: PQ ∥平面 A 1EF ; (2)求证: A1E ? EP .

A E F B
图1

A1 Q

E F P C

P

C

B
图2

3.已知菱形 ABCD 中, AB ? 4 , ?BAD ? 60 (如图 1 所示) ,将菱形 ABCD 沿对角线 BD 翻折,使
?

点 C 翻折到点 C1 的位置(如图 2 所示) ,点 E , F , M 分别是 AB , DC1 , BC1 的中点. (1)证明: BD //平面 EMF ; (2)证明: AC1 ? BD ; (3)当 EF ? AB 时,求线段 AC1 的长.
A
图1

D

C

C1 F D M B

B

A

E
图2

4. 如图, 矩形 ABCD 中,AB ? 3 ,BC ? 4 .E ,F 分别在线段 BC 和 AD 上,EF ∥ AB , 将矩形 ABEF 沿 EF 折起.记折起后的矩形为 MNEF ,且平面 MNEF ? 平面 ECDF . (1)求证: NC ∥平面 MFD ; (2)若 EC ? 3 ,求证: ND ? FC ; A (3)求四面体 NFCE 体积的最大值.
F D
N F E C D M

A

B

E

C

B

立体几何中的翻折问题专题答案
1.【解析】(1)在图 1 中,过 C 作 CF⊥EB,垂足为 F. ∵DE⊥EB,∴四边形 CDEF 是矩形,∵CD=1,∴EF=1. ∵四边形 ABCD 是等腰梯形,AB=3,∴AE=BF=1. ∵∠BAD=45°,∴DE=CF=1.则 CE=CB= 2 ?. ∵EB=2,∴∠BCE=90°,则 BC⊥CE. 在图 2 中,∵AE⊥EB,AE⊥ED,EB∩ED=E,∴AE⊥平面 BCDE. ∵BC?平面 BCDE,∴AE⊥BC.∵AE∩CE=E,∴BC⊥平面 AEC. (2)假设 EM∥平面 ACD. ∵EB∥CD,CD?平面 ACD,EB?平面 ACD, ∴EB∥平面 ACD,∵EB∩EM=E,∴平面 AEB∥平面 ACD. 而 A∈平面 AEB,A∈平面 ACD,与平面 AEB∥平面 ACD 矛盾. ∴假设不成立,∴EM 与平面 ACD 不平行.

M ,连结 QM , MF . 2.证明: (1)取 A 1E 中点
在 ?A1BE 中, Q, M 分别为 A1B, A1E 的中点, ∴ QM ∥ BE ,且 QM ? ∴ PF ∥ BE ,且 PF ?

A1 M Q B E F P C

1 CF CP 1 BE . ∵ ? ? , 2 FA PB 2
∴ QM ∥ PF ,且 QM ? PF .

1 BE , 2

∴四边形 PQMF 为平行四边形,∴ PQ ∥ FM . 又∵ FM ? 平面 A 1EF ,且 PQ ? 平面 A 1EF , ∴ PQ ∥平面 A 1EF . (2) 取 BE 中点 D ,连结 DF .
? ∵ AE ? CF ? 1 , DE ? 1 ,∴ AF ? AD ? 2 ,而 ?A ? 60 ,

A E D B P F C

即 ?ADF 是正三角形. 又∵ AE ? ED ? 1 , ∴ EF ? AD . ∴在图 2 中有 A1E ? EF .

EFB ,平面 A1 EF ? 平面 EFB ? EF ,∴ A1E ⊥平面 BEF . ∵平面 A 1 EF ? 平面
又 EP ? 平面 BEF ,∴ A1E ⊥ EP . 3.证明: (1)∵点 F , M 分别是 C1D, C1B 的中点, ∴ FM / / BD . 又 FM ? 平面 EMF , BD ? 平面 EMF , ∴ BD / / 平面 EMF . (2)在菱形 ABCD 中,设 O 为 AC , BD 的交点,则 AC ? BD . ∴ 在三棱锥 C1 - ABD 中, C1O ? BD, AO ? BD .

C1 F D O M B

A
又 C1O ? AO ? O,

E

∴ BD ? 平面 AOC1 . 又 AC1 ? 平面 AOC1 ,∴ BD ? AC1 . (3)连结 DE , C1E . 在菱形 ABCD 中, DA ? AB, ?BAD ? 60 ,
?

C1 F D A E B M

∴ ∴ ∵ ∴ 又

?ABD 是等边三角形, DA ? DB . E 为 AB 中点, DE ? AB . EF ? AB , EF ? DE ? E

∴ AB ? 平面 DEF ,即 AB ? 平面 DEC1 . 又 C1E ? 平面 DEC1 ,∴ AB ? C1E . ∵ AE = EB, AB = 4 , BC1 = AB ,∴ AC1 ? BC1 ? 4 .

4.【解析】 (1)证明:∵四边形 MNEF , EFDC 都是矩形, ∴ MN ∥ EF ∥ CD , MN ? EF ? CD . ∴ 四边形 MNCD 是平行四边形, ∴ NC ∥ MD , ∵ NC ? 平面 MFD ,∴ NC ∥平面 MFD . (2)证明:设 ED ? FC ? O . ∵平面 MNEF ? 平面 ECDF ,且 NE ? EF , ∴ NE ? 平面 ECDF , ∴ FC ? NE . 又 EC ? CD , ∴四边形 ECDF 为正方形, ∴ FC ? ED . ∴ FC ? 平面 NED , ∴ ND ? FC . (3)设 NE ? x ,则 EC ? 4 ? x ,其中 0 ? x ? 4 . 由(1)得 NE ? 平面 FEC , ∴四面体 NFCE 的体积为
B A N F O E C D M

1 1 1 ? x ? ?4 - x ?? VNFEC ? S?EFC ? NE ? x(4 ? x) .∴ V四面体NFCE ? ? ? ?2 3 2 2? 2 ?
2

当且仅当 x ? 4 ? x ,即 x ? 2 时,取等号, ∴ x ? 2 时,四面体 NFCE 的体积最大.


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