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自主招生第一讲练习题


第一讲 平面向量的表示与运算

1.若 a, b是不共线的两个向量,已知 PQ ? 2a ? k b, QR ? a ? b, RS ? 2a ? 3b.
若P, Q, R三点共线,则k的值为?
A,?1 B?3 C? 4 3 D? 3 5

2.设 a1和a 2 为平面上两个长度为1的不共线向量,且它们和的模长满足

a1 ? a 2 ? 3 , 则( 2a1 ? 5a 2) ( ? 3a1 ? a 2)?
A, 1 2 B,? 1 2 C, 11 2 D,? 11 2

3.已知平面上三点A, B, C满足 AB ? 3, BC ? 4, CA ? 5, 则
AB ? BC ? BC ? CA ? CA ? AB ?

4.非零向量OA ? a, OB ? b, 若点B关于OA所在直线的对称点为B1 ,
则向量OB1为()

A.

2(a ? b)a a
2

?b
2

B 2a ? b
2(a ? b)a ? b a

C

2(a ? b)a ? b a
2

D

5.已知点P分有向线段 P1 P2的比为 - 3,则点P1分 P2 P所成的比是()
A? 4 3 B? 2 3 C? 1 2 D? 3 2

1 3 1 3 6.在直角坐标系xOy中,已知点A1 (1,0), A2 ( , ), A3 (? , ), A4 (?1,0) 2 2 2 2

1 3 1 3 A5 (? ,? ), A6 (? ,? ), 那么向量 Ai A j (i, j ? 1,2,3,4,5,6, i ? j )中,不同 2 2 2 2
向量的个数有()

A9

B 15

C 18

D 30

7.若OA ? a, OB ? b, 则?AOB平分线上的向量OM 为()
A a a ? b b B ? ? ?a b? ? ? ? ?, ?由OM决定 ?a b? ? ?

C

a?b a?b

D

ba ? ab a?b

8.在?ABC中,O为中线AM上的一个动点,若 AM ? 2, 则
OA ? (OB ? OC )的最小值是 _________

9.?ABC的外接圆的圆心为O,两条边上的高的交点为H,
OH ? m(OA ? OB ? OC ), 则实数m ? ______

10.如图所示,?ABC的重心为M,过M的直线分别交AB, AC于E , F . 1 1 若AE ? kAB, AF ? hAC , 利用向量证明: ? ? 3. k h

A E B M
D

F
C

11.已知 OA ? 1, OB ? 2, OP ? (1 ? t ) ? OA, OQ ? t ? OB,0 ? t ? 1, PQ 在
t ? t 0 时取得最小值.当 0 ? t 0 ? 1 时,求OA与OB夹角的取值范围。 5

12.现有五个向量,其中任意两个向量之和的模长都与其他三个向量之和的

模长相等, 证明 : 这五个向量的和为零向量。
13.某人在静水中游泳的速度为4km / h,水的流向是由西向东, 水流速度为

2 2km / h, 则此人必须朝与水流方向成 ___ 角度时, 才能沿正北方向前进。
14.如图所示,O是?ABC内任一点,正实数? , ? , ?使? OA ? ? OB ? ? OC ? 0,
试求S ?ABC : S ?BOC : S ?COA的值。

C

A

O

B


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