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2012学案与测评物理鲁科版必修二 第四章机械能及其守恒定律(课件)


考纲点击 1. 功和功率Ⅱ 2. 动能和动能定理Ⅱ 3. 重力做功与重力势能Ⅱ 4. 功能关系、机械能守恒定律及其应用Ⅱ 实验五:探究动能定理 实验六:验证机械能守恒定律

备考导读 1. 本章涉及的是力学的主干知识,包括功和功率、重力势能、 机械能守恒、能的转化和守恒、动能定理等,是高考中的 核心内容. 2. 从近几年的高考看,对基本概念的考查主要针对功和

功率 的计算,对基本规律的考查主要针对动能定理、功能关系 及机械能守恒定律的应用.考查的题型较全面,难度从易 到难都有,而且本章内容可以结合牛顿运动定律、平抛运 动、圆周运动、电磁学等内容考查综合性较强、难度较大 的题目. 3. 在复习本章时注意在掌握动能定理、能量守恒的基础上, 加强与牛顿运动定律、运动的合成与分解、平抛运动、圆 周运动、万有引力定律,电磁学等核心内容的综合训练, 熟练地应用能量的观点求解问题,同时也要密切联合生活 、生产实际,联系现代科学技术和能源环保的问题.

第1节

功和功率

一、功
1. 做功的两个要素:力;物体在________发生位移 2. 公式W=________,α是力和位移方向的夹角,此公式只适 用于恒力做功. 3. 功的正负判断 主要根据力的方向和位移方向的夹角α判断. 夹角 α<90° α=90° α>90° 功的正负 力对物体做________ 力对物体________ 力对物体做________或物体____________

? 二、功率 ? 1. 定义:功与完成功所用时间的________. ? 2. 物理意义:描述力对物体______________. ? 3. 公式 ? (1)P=________,P为时间t内的平均功率. ? (2)P=Fvcos α(α为F与v的夹角) ? ①v为平均速度,则P为____________. ? ②v为瞬时速度,则P为____________. ? 4. 额定功率:机械________时输出的________功率. 5. 实际功率:机械________时输出的功率,要求________额 定功率. ? 自我校对 一、1. 力的方向上 2. Flcos α 3. 正功 不做功 负功 克服这 个力做了功 二、1. 比值 2. 做功快慢 3. (1) W/t (2)①平均功率 ②瞬 时功率 4. 正常工作 最大 5. 实际工作 不大于

? 考点1 判断正负功的方法
? 1. 根据力和位移的方向的夹角判断,此法常用于恒力做功 的判断.

? 2. 根据力和瞬时速度方向的夹角判断,此法常用于判断质 点做曲线运动时变力的功.夹角为锐角时力做正功,夹角 为钝角力时做负功,夹角为直角时力不做功. ? 3. 从能量的转化角度进行判断.若有能量转化,则应有力 做功,此法常用于判断两个相联系的物体.

? 如图所示,弧面体a放在光 ? 滑水平面上,弧面光滑,使

? 物体b自弧面的顶端自由下滑
? ,试判定a、b间弹力做功的 ? 情况.

? 从能量转化的角度看,当b沿
? 弧面由静止下滑时,a就由静止开始向右运动,即a的动能 增大了,因此b对a的弹力做正功.由于a和b组成的系统机 械能守恒,a的机械能增加,b的机械能一定减少,因此a对 b的支持力对b一定做了负功.

? 例1 如图所示,物体沿弧形轨道滑下后进入足够长的水平
传送带,传送带沿图示方向匀速运转,则传送带对物体做 功情况不可能是( )

? A. 始终不做功 B. 先做负功后做正功 ? C. 先做正功后不做功 D. 先做负功后不做功 ? 【点拨】 判断功的正负是根据力的方向和运动的方向的 关系,在皮带问题中摩擦力的方向根据运动状态进行判 断.

? 【解析】设传送带速度大小为v1,物体刚滑上传送带时的速 度大小为v2.①当v1=v2时,物体随传送带一起匀速运动,故 传送带与物体之间不存在摩擦力,即传送带对物体始终不做 功,A正确.②当v1 <v2时,物体相对传送带向右运动,物 体受到的滑动摩擦力方向向左,则物体先做匀减速运动直到 速度减为v1,再做匀速运动,故传送带对物体先做负功后不 做功,D正确.③当v1>v2时,物体相对传送带向左运动, 物体受到的滑动摩擦力方向向右,则物体先做匀加速运动直 到速度达到v1,再做匀速运动,故传送带对物体先做正功后 不做功,B错误,C正确. ? 【答案】B

? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

1.(2011· 宁德模拟)如图所示,质量为m 的物体置于倾角为θ的斜面上,物体 与斜面间的动摩擦因数为μ,在外力 作用下,斜面以加速度a沿水平方向向 左做匀加速运动,运动中的物体m与 斜面体相对静止.则关于斜面对m的 支持力和摩擦力的下列说法中错误的是( ) A. 支持力一定做正功 B. 摩擦力可能不做功 C. 摩擦力一定做正功 D. 摩擦力可能做负功 【解析】支持力方向垂直斜面向上,故支持力一定做正功.而 摩擦力是否存在需要讨论,当a=gtan θ时,摩擦力不存在, 不做功;当a>gtan θ,摩擦力沿斜面向下,做正功;当a<gtan θ,摩擦力沿斜面向上,做负功.综上可知C错误. ? 【答案】C

? 考点2 功的分析和计算
? ? ? ? 1. 恒力及合力做功的计算 (1)恒力的功:直接用W=Fscos α计算. (2)合外力的功 ①先求合外力F,再应用公式W=Fscos α求功,其中α为 合力F与位移的夹角.一般适用于过程中合力恒定不变的 情况. ? ②分别求出每个力的功W1、W2、W3…再应用W=W1+ W2+W3…求合外力的功.这种方法一般适用于在整个过 程中,某些力分阶段作用的情况. ? ③利用动能定理或功能关系求解.

? 2. 变力做功的计算 ? (1)当变力的功率P一定时,可用W=Pt求功,如机车恒功 率启动时. ? (2)将变力做功转化为恒力做功. ? ①当力的大小不变,而方向始终与运动方向相同或相反时, 这类力的功等于力和路程(不是位移)的乘积.如滑动摩擦 力做功、空气阻力做功等. ? ②当力的方向不变,大小随位移做线性变化时,可先求出 力对位移的平均值F=(F1+F2)/2,再由W=Fscos α计 算,如弹簧弹力做功.

? (3)作出变力F随位移s变化的图象,图象与位移轴所围的 “面积”即为变力做的功.如图所示阴影部分就表示力所 做的功.

? (4)用动能定理W=ΔEk或功能关系W=ΔE,即用能量的增 量等效代换变力所做的功. ? 特别提醒 在求功时要特别注意,分清是求哪个力对哪个 物体的功,还是求合力的功

? 例2

如图所示,质量为m的小球用长L

? 的细线悬挂而静止在竖直位置.在下 ? 列三种情况下,分别用水平拉力F将小 ? 球拉到细线与竖直方向成θ角的位置. ? 在此过程中,拉力F做的功各是多少?

? (填写对应序号)
? (1)用F缓慢地拉( ? (2)F为恒力( ) )

? A. FLcos θ
? C. FL(1-cos θ)

B. FLsin θ
D. mgL(1-cos θ)

? 【点拨】 首先明确拉力F为变力还是恒力,如果F是恒力, 可以直接利用公式进行求解;如果力F是变力,则只能利 用动能定理求解. ? 【解析】(1)若用F缓慢地拉,则显然F为变力,只能用动 能定理求解.力F做的功等于该过程克服重力做的功.选 D. ? (2)若F为恒力,则可以直接按定义求功.选B.

? 【答案】(1)D (2)B

? 2. 用力将重物竖直提起,先是从静止开始匀加速上升,紧 接着匀速上升.如果前后两过程的运动时间相同,不计空 气阻力,则( ) ? A. 加速过程中拉力做的功比匀速过程中拉力做的功大 ? B. 匀速过程中拉力做的功比加速过程中拉力做的功大 ? C. 两过程中拉力做的功一样大

? D. 上述三种情况都有可能

? 【解析】应先分别求出两过程中拉力做的功,再进行比 较.重物在竖直方向上仅受两个力作用,重力mg、拉力F. 匀加速提升重物时,设拉力为F1,物体向上的加速度为a, 根据牛顿第二定律得F1-mg=ma,拉力F1所做的功W1= F1s1=m(g+a)· 2/2=m(g+a)at2/2① at ? 匀速提升重物时,设拉力为F2,根据平衡条件得F2=mg, 匀速运动的位移s2=vt=at· t=at2,所以匀速提升重物时拉 力的功 ? W2=F2s2=mgat2② ? 比较①②式知:当a>g时,W1>W2;当a=g时,W1=W2; 当a<g时,W1<W2,故D选项正确. ? 【答案】D

? 考点2

功率的分析与计算

? 1. 对公式P=Fv的认识: 公式适用于力F和速度v方向一致 的情况. ? (1)当力F与速度v不在一条直线上时,可以将力F分解为沿v 方向上的力F1和垂直v方向上的力F2,由于F2不做功,故力 F的功率与分力F1的功率相同,可得P=P1=F1v. ? (2)从P=Fv可知: ? ①当P一定时,要增加F,必须减小v,故汽车爬坡时,司 机常换低挡降低速度来增大牵引力. ? ②当F一定时,v增加(如匀加速运动),则P也会增加,但这 样的过程是有限度的. ? ③当v一定时,P越大F就越大.如功率越大的起重机可吊 起的重物的质量越大.

2. 平均功率和瞬时功率的计算 含义 平均功 率 瞬时功 率 计算在时间t 内的平均功率 计算某一时刻 的功率 所用公式 P=W/t,P=Fv(速度v为这 一段时间的平均速度) P=Fv(速度v为瞬时速度) P=(时间t无限小)

? 例3 水平地面上有一木箱,木箱与地面之间的动摩擦因数

为μ(0<μ<1).现对木箱施加一拉力F,使木箱做匀速直线 运动.设F的方向与水平面夹角θ,如图所示,在θ从0逐渐 增大到90°的过程中,木箱的速度保持不变,则( )

? A. F先增大后减小 ? C. F的功率减小

B. F一直增大 D. F的功率不变

【解析】木箱受竖直向下的重力、拉力 F、竖直向上 的弹力、 水平向左的滑动摩擦力作用, 由平衡条件可得 Fcos μmg θ=μN,Fsin θ+N=mg,整理得 F= ,由数学 cos θ+μsin θ 知识可知 A 错误;由 P=Fvcos θ,Fcos θ=μN,可得 P 逐 渐减小,故 C 正确. 【答案】C

点睛笔记 (1)区分所求功率是平均功率还是瞬时功率是 分析解答功率问题的首要问题;

(2)对应某一过程的功率是平均功率,对应某一时刻的 功率是瞬时功率;
(3)瞬时功率等于力与物体在沿力的方向上的分速度的 乘积.

? 3. (2011· 文昌模拟)飞行员进行素质训练时,抓住秋千杆 由水平状态开始下摆,到达竖直状态的过程中如图所示, 飞行员受重力的瞬时功率变化情况为( ) ? A. 一直增大 ? B. 一直减小 ? C. 先增大后减小 ? D. 先减小后增大 ? 【解析】由于PG=mgv竖直,在摆到竖直位置的过程中, v竖直先由零逐渐增加,后逐渐减小到零,故PG先增大后 减小. ? 【答案】 C

? 考点4 汽车启动的两种方式
? 1. 汽车在平直路面上保持发动机功率不变,即以恒定功率 启动,其加速过程如下所示:

? 由动态分析可知: ? ①只有当汽车的牵引力与所受的阻力大小相等时,才达到最 大速度. ? ②在加速过程中,如果知道某时刻的速度,可求得此时刻的 加速度. ? ③运动中v与t关系如图所示.

? 2. 汽车以恒定加速度启动,汽车的功率逐渐增大,当功率 增大到额定功率时,匀加速运动结束,此时汽车的速度为 匀加速运动的末速度,但并不是汽车所能达到的最大速度, 此后汽车还可以保持功率不变做加速度逐渐减小的加速运 动,直到加速度减小到零时速度才达到最大,具体变化过 程及运动中v与t关系如图所示.

a=(F牵-f)/m,a一定, 则F牵一定

P=F牵v,P随v增大而增大

F牵=P额/v,v增大,F牵减小, a=(F牵-f)/m减小

P=P额时a=(F牵-f)/m≠0, v还要增大

当a=0时,v达到最大值vmax

此后保持vmax匀速运动

特别提醒 解决机车启动问题,首先要弄清楚是哪种启动 方式,然后采用分段处理法,在匀加速运动阶段常用牛顿 运动定律和运动学公式结合分析,在非匀加速阶段一般用 动能定理求解

例 4 (2010· 福州模拟)一汽车的额定功率 P0=6×104 W, 质量 m=5×103 kg,在平直路面上行驶时阻力是车重的 0.1 倍. 若汽车从静止开始以加速度 a=0.5 m/s2 做匀加速直线运动, (g 取 10 N/kg)求: (1)汽车保持加速度不变的时间. (2)汽车实际功率随时间变化的关系. (3)此后汽车运动所能达到的最大速度. 【点拨】 → 找出临界问题和条件 建立汽车运动 利用牛顿运动 → 的物理模型 定律分析

【解析】(1)设汽车做匀加速直线运动时的牵引力为 F,阻力为 f,匀加 速过程中的最大速度为 vt,有 F-f=ma,f=μmg,P0=Fvt, 6×104 P0 由以上各式可求得 vt= = m/s= m?μg+a? 5×103×?0.1×10+0.5? 8.0 m/s, vt 8 匀加速过程持续的时间 t= = s=16 s. a 0.5 (2)汽车在匀加速直线运动过程中的实际功率与时间的关系是 P1=Fv =m(μg+a)at. (3)汽车达到额定功率后,将保持额定功率不变,随着速度的增加,牵 引力减小,但只要牵引力大于阻力,汽车就做加速运动,只是加速度要减 小,汽车做加速度逐渐减小的加速直线运动.直到牵引力 F=f,加速度变 6×104 P0 为零,汽车所能达到的最大速度 vmax= = m/s=12 m/s. f 0.1×5×103×10 【答案】(1)16 s (2)P1=m(μg+a)at (3)12 m/s

点睛笔记 对于物理问题的解决,重点在于物理过程的分析,过 程的分析是建立在物体受力分析上,所以受力分析时关键,利 用牛顿运动定律分析运动性质,找出规律进行分析求解

? 4. 汽车由静止开始做匀加速直线运动,速度达到v0的过程中 的平均速度为v1;若汽车由静止开始以额定功率行驶,速度 达到v0的过程中的平均速度为v2,且两次历时相同,则( ) ? A. v1>v2 B. v1<v2 ? C. v1=v2 D. 条件不足,无法判断 ? 【解析】两种运动的v-t图象如图所示. ? a表示匀加速的过程,b表示满功率行 ? 驶过程,由v-t图象与横轴构成面积 ? 为位移的大小可知sb>sa,据平均速 ? 度的定义v=s/t知v1<v2. ? 【答案】B

? 恒力做功的计算一般根据公式W=Fscos α,注意s严格的 讲是力的作用点的位移.有时候并不是物体的位移,所以 容易产生错误. ? 例 如图所示,用恒力F通过光滑的定滑轮把静止在水平 面上的物体从位置A拉到位置B,物体的质量为m,定滑轮 离水平地面的高度为h,物体在水平位置A、B时细绳与水 平方向的夹角分别为θ1和θ2,求绳的拉力对物体做的功.

h h 【错解】 物体发生的位移:s= - , tan θ1 tan θ2 h h 绳的拉力对物体做的功:W=Fs=F( - ). tan θ1 tan θ2 【正解】 绳子的拉力是恒力,但是作用在物体上时,由于夹角的 变化, 对物体的作用力成为变力, 所以不能用力和物体位移的乘积进行 求解.人拉绳的力是恒力,但绳拉物体的力的方向不断变化,故绳拉物 体的力 F′是变力, 但此力对物体所做的功与恒力 F 所做的功相等, 力 1 1 F 作用的位移与物体的位移相关连,即 s=h( - ),则细绳对 sin θ1 sin θ2 1 1 物体的拉力 F′所做的功为:W=WF′=Fh( - ). sin θ1 sin θ2 1 1 【答案】 Fh( - ) sin θ1 sin θ2

第2节
? 一、动能
项目

动能定理及其应用

内容

定义 公式
矢标性

物体由于运动而具有的能 Ek=________ 动能是________,只有大小,没有方向,与速度 的方向无关

? 二、动能定理
? 1. 内容:________在一个过程中对物体所做的功等于物体在 这个过程中________. ? 2. 表达式:W=______________________. ? 3. 物理意义:动能定理指出了外力对物体所做的总功与物体 ________之间的关系,即合外力的功是物体________的量 度. ? 4.动能定理的适用条件 ? (1)动能定理既适用于直线运动,也适用于________运动. ? (2)既适用于恒力做功,也适用于变力做功. ? (3)力可以是各种性质的力,既可以同时作用,也可以 ________. ? 注意:动能具有相对性,其数值与参考系的选取有关,一般取 地面为参考标系. ? 自我校对 一、mv2/2 标量 ? 二、1. 合外力 动能的变化 2. Ek2-Ek1 ? 3. 动能变化 动能变化 4. (1)曲线 (3)不同时作用

? 考点1

动能定理的理解

? 1. 一个物体的动能变化ΔEk与合外力对物体所做功W具有 等量代换关系. ? (1)若ΔEk>0,表示物体的动能增加,其增加量等于合外力 对物体所做的正功. ? (2)若ΔEk<0,表示物体的动能减少,其减少量等于合外 力对物体所做的负功的绝对值. ? (3)若ΔEk=0,表示合外力对物体所做的功等于零,反之 亦然.这种等量代换关系提供了一种计算变力做功的简便 方法.

2. 动能定理公式中等号的意义 表明合力做功与物体动能的变化间的三个关系

?数量关系:即合外力所做的功与物体动能的 ? 变化具有等量代换关系 ? ? ?单位相同:国际单位都是焦耳 ?因果关系:合外力的功是物体动能变化的原因 ?
3.动能定理中涉及的物理量有 F、s、m、v、W、Ek 等,在处 理含有上述物理量的力学问题时,可以考虑使用动能定理.由于只 需要从力在整个位移内所做的功和这段位移始末两状态的动能变化 去考虑,不必注意其中运动状态变化的细节,同时动能和功都是标 量,无方向性,所以无论是直线运动还是曲线运动都适用.

? 4.动能定理中的位移和速度必须是相对于同一个参考系 的,一般以地面为参考系. ? 特别提醒 功和动能都是标量,动能定理表达式是一个标 量式,不能在某一个方向上应用动能定理,但牛顿第二定 律是矢量方程,可以在互相垂直的方向上分别使用分量方 程. ? 例1 如图所示,质量为m的小物体 ? 静止于长l的木板边缘.现使板由水 ? 平放置绕其另一端O沿逆时针方向 ? 缓缓转过α角,转动过程中,小物 ? 体相对板始终静止,求板对物体的 ? 支持力对物体做的功.

? 【点拨】 (1)分析物体受力情况,确定哪些力是恒力哪些力 是变力. ? (2)找出恒力的功及变力的功. ? (3)分析物体初末状态,求出动能变化量. ? (4)运用动能定理求解. ? 【解析】由力的平衡条件可知,支持力N=mgcos α,随板 的转动(α增大)而减少,而方向始终与物体的速度方向同向, 是一个变力. ? 对物体的运动过程应用动能定理,有WN+WG+Wf=0,其 中Wf为静摩擦力做的功,且Wf=0,WG=-mglsin α,所以 WN=mglsin α. ? 【答案】mglsin α ? 点睛笔记 动能定理说明外力对物体所做的功和动能变化间 的一种因果关系和数量关系,不能理解为功变成了物体的动 能

1. 一个质量为 0.3 kg 的弹性小球,在光滑水平面上以 6 m/s 的速 度垂直撞到墙上,碰撞后小球沿相反方向运动,反弹后速度大小与碰 撞前相同,则碰撞前后小球速度变化量 Δv 的大小和碰撞过程中墙对 小球的做功的大小 W 为( ) A. Δv=0 B. Δv=12 m/s C. W=1.8 J D. W=10.8 J

【解析】以末速度方向为正方向,则v2=6 m/s,v1=-6 m/s, 则Δv=v2-v1=12 m/s,故A错误,B正确;小球与墙碰撞过 程中只有墙对小球的作用力做功,由动能定理W=mv2/2- mv2/2=0,故C、D错误. 【答案】B

? 考点2 动能定理的应用
? 1. 应用动能定理解题的步骤 ? (1)选取研究对象,明确并分析运动过程. ? (2)分析受力及各力做功的情况. ? 受哪些力→做功情况→正功还是负功→总功如何 ? (3)明确过程始末状态的动能Ek1及Ek2. ? (4)列方程W总=Ek2-Ek1,必要时注意分析题目潜在的条 件,列出方程进行求解.

? 2. 应用动能定理应注意的问题 ? (1)在研究某一物体受到力的持续作用而发生状态改变时, 若涉及位移和速度而不涉及时间时应首先考虑应用动能定 理,然后考虑牛顿定律、运动学公式,若涉及加速度和时 间时先考虑牛顿第二定律. ? (2)用动能定理解题的关键是对研究对象进行准确的受力分 析及运动过程分析,画出物体运动过程的示意图,以便更 准确地理解物理过程和各物理量的关系.有些力在物体运 动全过程中不是始终存在的,在计算外力做功时更应引起 注意.

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

例2 “头脑风暴法”是风靡美国的一种 培养学生创新思维能力的方法,某学 校的一个“头脑风暴实验研究小组”以 保护鸡蛋为题,要求制作一个装置让 鸡蛋从高处落到地面而不被摔坏;鸡 蛋要不被摔坏,直接撞击地面的速度 最大不能超过1.5 m/s.现有一位学生 设计了如图所示的一个装置来保护鸡 蛋,用A、B两块较粗糙的夹板夹住鸡 蛋,鸡蛋夹放的位置离装置下端的距 离s=0.45 m,A、B夹板与鸡蛋之间 的摩擦力都为鸡蛋重力的5倍,现将该装置从距地面某一高 度处自由下落,装置碰地后速度为0,且保持竖直不反弹, 不计装置与地面作用时间(g=10 m/s2).求:刚开始装置的 末端离地面的最大高度H.

【点拨】

若使用该保护装置,鸡蛋从开始下落到着地整个过程中,重力、摩

擦力都做功,应用动能定理分阶段或全过程列方程即可求解. 【解析】方法一:分阶段 设装置落地瞬间速度为 v1,鸡蛋着地瞬间速度为 v2=1.5 m/s,则从装置开始下 1 落到着地过程,对鸡蛋应用动能定理有 mgH= mv2,在装置着地到鸡蛋撞地过程, 2 1 1 1 对鸡蛋应用动能定理有 mgs-2fs= mv2- mv2,其中 f=5mg. 2 2 2 1 代入相关数据解得 H=4.16 m. 方法二:全过程 从装置开始下落到鸡蛋撞地全过程,对鸡蛋应用动能定理有 mg(H+s)-2fs= 1 2 mv -0,代入数据解得 H=4.16 m. 2 2 【答案】4.16 m

? 点睛笔记 当物体的运动时由几个物理过程所组成,且不需要 研究过程的中间状态时,可以把几个物理过程看做一个整体 进行研究,从而避开每个运动过程的具体细节,具有简明、 方法巧妙、运算量小等优点,特别是初末速度均为零的题目 更显得简捷、方便,对于多过程的问题要找到联系两过程的 相关物理量. 2. (2010· 威海模拟)如图所示,在倾角为θ的光滑斜面上,放 有两个质量分别为m和2m的可视为质点的小球A和B,两球之 间用一根长为L的轻杆相连,小球B到水平面的高度为h.两球从 静止开始下滑,不计球与地面碰撞时的机械能损失,且地面光 滑,当地的重力加速度为g.试求: (1)两球在光滑水平面上运动时 的速度大小. (2)此过程中杆对B球所做的功.

【解析】 (1)由于不计摩擦及碰撞时的机械能损失, 因此两球组成 的系统机械能守恒.两球在光滑水平面上运动时的速度大小相等,设 3 2 为 v,根据机械能守恒定律有 mg(h+Lsin θ)+2mgh= mv ,解得 v= 2 2g?3h+Lsin θ? . 3 1 (2)对 B 球应用动能定理有 WB+2mgh= ×2mv2,解得杆对 B 球 2 所做的功为 WB= 【答案】(1) 2mgLsin θ . 3 2g?3h+Lsin θ? 2mgLsin θ (2) 3 3

? 在往复运动的过程中,对于空气阻力在上升的过程和下降 的过程方向是不同的,在运用动能定理分析问题时,常常 看成了恒力;在求解某一处的问题时,往往会出现多解的 情况,这也是容易忽视的问题.

? 例 以20 m/s的初速度,从地面竖直向上抛出一物体,它
上升的最大高度是18 m.如果物体在运动过程中所受阻力 的大小不变,则物体在离地面多高处,物体的动能与重力 势能相等.(g=10 m/s2)

【错解】 以物体为研究对象,画出运动示意图如甲所示,设物体上升到 h 高处动能与重力势能相等 1 2 mv =mgh① 2 此过程中,重力、阻力做功,据动能定理有 1 1 -(mg+f)h= mv2- mv2② 0 2 2 1 物体上升的最大高度为 H-(mg+f)H=- mv2③ 0 2 由式①②③解得 h=9.5 m





【正解】 初看似乎任何问题都没有,仔细审题,问物体离地面 多高处,物体动能与重力势相等,一般是将问题变形为上升过程中什 么位置动能与重力势能相等. 而实际下落过程也有一处动能与重力势 能相等. (1)上升过程中同上解中. (2)下降过程中设物体下落过程中经过距地面 h′处动能等于重 力势能,运动示意图如乙所示. 1 mv′2=mgh′④ 2 1 据动能定理可得(mg-f)(H-h′)= mv′2⑤ 2 1 2 (mg+f)H= mv0⑥ 2 解得 h′=8.5 m. 【答案】 9.5 m 或 8.5 m

第3节 机械能守恒定律及其应用
一、机械能
1. 机械能:________和________的总和称为机械能. 2. 重力势能和弹性势能
势能 定义 表达式 Ep= _________ _________ ____ 矢标性 与功的关系 重力做正功时,重力势能 ______;重力做负功 时,重力势能 ________;重力做多 少功,重力势能就变 化多少,即WG= ________

物体由于被 ______而 重力 具有的能 势能 叫重力势 能

标量

势能

定义

表达式

矢标性

与功的关系 弹力做正功,弹性 势能________; 弹力做负功,弹 性势能 ________.弹力 做多少功,弹性 势能就变化多少, 即W弹= ________

弹性 势能

物体由于 ________ 而具有的 能叫弹性 势能

弹性势能的大小 与________及 劲度系数有关

标量

二、 机械能守恒定律 1. 内容:在只有________和________做功的物体系统 内,只有动能和势能的相互________,但机械能的总量 保持________. 2. 机械能守恒的条件:只有________和________做 功. 3. 表达式:____________________.

? 4. 动能定理与机械能守恒定律的区别 ? (1)共同点:机械能守恒定律和动能定理都是从做功和能量 变化的角度来研究物体在力的作用下状态的变化,表达这 两个规律的方程式是标量式. ? (2)不同点:机械能守恒定律的成立有条件限制,即只有重 力、(弹簧)弹力做功;而动能定理的成立没有条件限制,它 不但允许重力做功还允许其他力做功.
? ? ? ? 自我校对 一、1. 动能 势能 2. 举高 mgh 减少 -ΔEp 弹性形变 形变量 减少 增加 -ΔEp弹 二、1. 重力 弹力 转化 不变 2. 重力 弹簧弹力 3. Ep+Ek=E′p+E′k 增加

? 考点1 机械能守恒条件的理解及守恒的判断
? 1. 机械能守恒条件的理解 ? 机械能守恒的条件:只有重力或系统内弹力做功.一般包 括以下几个方面. ? (1)只受重力和弹力作用,如不考虑阻力的各种抛体运动过 程中机械能守恒. ? (2)除重力和弹力外仍受其他力的作用,但其他力不做 功.如做曲面运动时物体受支持力,但支持力不做功. ? (3)除重力或弹力以外其他力做功,但做功代数和为零,物 体的机械能守恒.

? 2. 机械能守恒的判断方法 ? (1)用机械能的概念判断:分析动能与势能的和是否变 化.如匀速上升的物体动能不变,重力势能增加,物体的 机械能必增加. ? (2)用做功来判断:若物体或系统只有重力或系统内的弹力 做功,则机械能守恒(此方法往往用于一个物体). ? (3)用能量转化来判断:对某一系统,物体间只有动能、重 力势能及弹性势能的相互转化,系统与外界没有发生能的 转化,没有其他形式的能量转化为机械能,机械能也没有 转化为其他形式的能,则系统机械能守恒(此方法多用于一 个系统) . ? 特别提醒 (1)物体做匀变速直线运动,合力为零,但机 械能不一定是守恒的,如竖直方向上的匀速直线运动,重 力势能发生变化,机械能不守恒;(2)对一些绳子突然绷 紧,物体间非弹性碰撞等,除非题目特别说明,机械能必 定不守恒,完全非弹性碰撞过程机械能不守恒.

? 例1

(2010·湖州模拟)如图所示,在光滑的水平面上放一质 量为M=96.4 kg的木箱,用细绳跨过定滑轮O与一质量为m =10 kg的重物相连,已知木箱到定滑轮的绳长AO=8 m, OA绳与水平方向成30°角,重物距地面高度h=3 m,开始 时让它们处于静止状态.不计绳的质量及一切摩擦,不计木 箱及重物的大小,g取10 m/s2,将重物无初速度释放,当它 落地的瞬间木箱M的速度多大.

? 【点拨】 分析物体的受力情况及各力的做功情况.依据机 械能守恒的条件,选取合适的方法进行判断.

解析:根据题意,m,M 和地球组成的系统机械能守恒,选取水平面为零势能面,

1 1 有 mgh= mv2 + Mv2 ① m 2 2 M 从题中可知,O 距 M 之间的垂直距离为 h′=OAsin 30° m, =4 当 m 落地瞬间,OA 绳与水平方向夹角为 α, 则 sin α= h′ 4 3 = , cos α= ② 5 OA-h 5

而 m 的速度 vm 等于 vM 沿绳的分速度,如图所示,则有 vm=vMcos α③ 由式①②③得 vM= 6 m/s. 答案: 6 m/s

点睛笔记 判断系统机械能守恒的步骤: (1)对系统进行受力分析(包括内力和外力); (2)分析各力做功情况,除重力和弹力外,其他力做功的代数 和是否为零; (3)如力做功不易判断,可看系统内是否有摩擦且发生相对运 动,物体是否发生碰撞,如存在上述情况,则机械能不守恒.

? 1. (2009· 广东高考卷)如图所示,用一轻绳系一小 球悬于O点.现将小球拉至水平位置,然后释放, 不计阻力.小球下落到最低点的过程中,下列表 述正确的是( ) ? A. 小球的机械能守恒 ? B. 小球所受的合力不变 ? C. 小球的动能不断减小 ? D. 小球的重力势能增加 ? 解析:由于球下落过程中只有重力做功,机械能 守恒,A正确;小球受到的合力大小、方向都发生 变化,B错误;小球在下落到最低点的过程中,重 力势能逐渐转化为动能,其动能增大,重力势能 减小,C、D均错误. ? 答案:A

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考点2 机械能守恒定律的常用表达式 1. 守恒观点 (1)表达式:Ek1+Ep1=Ek2+Ep2或E1=E2. (2)意义:系统初状态的机械能等于末状态的机械能. (3)注意问题:要先选取零势能参考平面,并且在整个 过程中必须选取同一个零势能参考平面. 2. 转化观点 (1)表达式:ΔEk=-ΔEp. (2)意义:系统(或物体)的机械能守恒时,系统增加(或 减少)的动能等于系统减少(或增加)的重力势能. (3)注意问题:要明确重力势能的增加或减少量,即重 力势能的变化,可以不选取零势能参考平面.

? 3. 转移观点 ? (1)表达式:ΔEA增=ΔEB减. ? (2)意义:若系统由A、B两部分组成,当系统的机械能 守恒时,则A部分物体机械能的增加量等于B部分物体 机械能的减少量. ? (3)注意问题:A部分机械能的增加量等于A末状态的机 械能减初状态的机械能,而B部分机械能的减少量等于 B初状态的机械能减末状态的机械能. ? 点睛笔记 (1)如果零势面不好确定或确定以后运算麻 烦,我们可以采用转化的观点. ? (2)如果是由两物体组成的系统,常可采用转移观点, 这两种情况都不用选择零势面.

? 例2 (2010·福州模拟)如图所示,光滑斜面的长为L=1 m、 高为H=0.6 m,质量分别为mA和mB的A、B两小物体用跨过 斜面顶端光滑小滑轮的细绳相连,开始时A物体离地高为h =0.5 m,B物体恰在斜面底端,静止释放它们,B物体滑到 斜面顶端时速度恰好减为零,求A、B两物体的质量比 mA∶mB.

? 某同学解答如下:对A、B两物体的整个运动过程,由系统 机械能守恒定律得mAgh-mBgH=0,可求得两物体的质量 之比??. ? 你认为该同学的解答是否正确,如果正确,请解出最后结 果;如果不正确,请说明理由,并作出正确解答.

? 【点拨】 本题是由两个物体组成的系统机械能守恒的 问题,在A落地前,整个系统的机械能守恒,当A落地 之后B上升的过程,B的机械能守恒,都可采用转化观 点.
解析:不正确.在A落地的瞬间地对A做功了,所 以整个过程机械能不守恒. 在A落地前由机械能守恒定律得: 1 mAgh-mBgh sin α=2(mA+mB)v2① 在A落地后由机械能守恒定律得: 1 mBg(L―h)sin α=2mBv2② 由②式可解得:v2=2 g(L-h)sin α=6, 代入①式可得5mA―3mB=3(mA+mB),所以mA∶ mB=3∶1. 答案:3∶1

? 点睛笔记 机械能守恒定律是一种“能—能转化”的关系, 其守恒是有条件的,因此应用机械能守恒定律时要特别注 意对研究对象在所研究的过程中机械能是否守恒做出正确 判断. ? 2. (2010· 温州模拟)如图所示,一个圆弧形光滑细圆管轨道 ABC,放置在竖直平面内,轨道半径为R,在A点与水平地面 AD相接,地面与圆心O等高,MN是放在水平地面上长为3R、 厚度不计的垫子,左端M正好位于A点.将一个质量为m、直 径略小于圆管直径的小球从A处管口正上方某处由静止释放, 不考虑空气阻力.

? (1)若小球从C点射出后恰好能打到垫子的M端,则小球经过C 点时对管的作用力大小和方向如何. ? (2)欲使小球能通过C点落到垫子上,小球离A点的最大高度是 多少.

解析:(1)小球离开C点做平抛运动,落到M点时水平位移为R,竖直下落高度为 1 R,根据运动学公式可得R=2gt2,运动时间t= R 从C点射出的速度为v1= t = gR 2, 2R g.

设小球以v1经过C点受到管子对它的作用力为N,由向心力公式可得mg-N= v2 v2 mg 1 1 1 m R ,N=mg-m R = 2 ,由牛顿第三定律知,小球对管子作用力大小为 2 mg,方向竖 直向下. (2)小球下降的高度最高时,小球运动的水平位移为4R,打到N点.设能够落到N 4R 点的水平速度为v2,根据平抛运动求得v2= t = 8gR, 1 设小球下降的最大高度为H,根据机械能守恒定律可知mg(H-R)= 2 mv 2 ,可得H 2 v2 2 =2g+R=5R. 1 答案:(1)2mg,方向竖直向下 (2)5R

? 考点 3 机械能守恒定律的应用
? ? ? ? ? 1. 机械能守恒定律的研究对象可以分为三种类型 (1)单物体与地球构成的系统. (2)单物体与弹簧、地球构成的系统. (3)多物体与弹簧、地球构成的系统. 2. 在应用机械能守恒处理问题时,一般先选取一个零势 能参考平面,通常情况下,选择在整个过程中物体所达到 的最低点所在的水平面为零势能面. 3. 应用机械能守恒定律解题的基本步骤 (1)分析题意,明确研究对象和研究过程. (2)分析研究对象在运动过程中的受力情况,弄清楚物体 所受各力做功的情况,判断机械能是否守恒. (3)选取零势能面,确定研究对象在始末状态时的机械 能. (4)根据机械能守恒定律列出方程进行求解,并对结果进 行必要的讨论和说明.

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? 例3 如图所示,半径为R的四分之
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 一圆形支架竖直放置,圆弧边缘 C处有一小定滑轮,绳子不可伸 长,不计一切摩擦,开始时, m1、m2两球静止,且m1>m2, 试求: (1)m1释放后沿圆弧滑至最低点A 时的速度. (2)为使m1能达A点,m1与m2之间 必须满足什么关系. (3)若A点离地高度为2R,m1滑到A点时绳子突然断开,则m1 落地点离A点的水平距离是多少. ? 【点拨】 (1)m1 重力势能的减少转化为 m2 重力势能的增加 和它们动能的增加. ? (2)要求m1到达A点的速度大于零. ? (3)绳子断开后m1平抛.

解析:(1)设m1滑至A点时的速度为v1,此时m2的速度为v2,由机械能守恒得: 1 1 m1gR- 2m2gR=2m1v2+2m2v2, 1 2 又v2=v1cos 45° . 得v1= 4?m1- 2m2?gR . 2m1+m2

(2)要使m1能达到A点,v1≥0且v2≥0. 必有m1gR- 2m2gR≥0,得m1≥ 2m2. 1 (3)由2R=2gt2,s=v1t, 可得s=4R· 答案:(1) (2)m1≥ 2m2 m1- 2m2 . 2m1+m2 4?m1- 2m2?gR 2m1+m2 (3)4R· m1- 2m2 2m1+m2

点睛笔记 单个物体机械能不守恒,但系统机械能守恒,可以对系统应用 机械能守恒定律.对系统应用机械能守恒定律要注意: (1)合理选取系统,判断是哪个系统的机械能守恒. (2)清楚系统内各部分机械能(动能、势能)的变化情况.

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3. (2010· 长沙模拟)一个高尔夫球 静止在平坦的地面上,在t=0时 球被击出,飞行中球的速率与时 间的关系如图所示.若不计空气 阻力的影响,根据图象提供的信 息无法求出的是( ) A. 高尔夫球在何时落地 B. 高尔夫球上升的最大高度 C. 人击球时对高尔夫球做的功 D. 高尔夫球落地时离击球点的距离

解析:刚被击出时v0=31 m/s,根据机械能守恒,小球到 达最高点时重力势能最大,动能最小,所以v=19 m/s时小球处 1 2 1 2 于最高点.由 2 mv 0 =mgh+ 2 mv ,可求最大高度为30 m,B项 可以.仍根据机械能守恒,小球落地时速度与击出时速度相 等,所以高尔夫球5 s时落地,A项可以.研究击球过程根据动 1 2 能定理,人做的功W= 2 mv 0 ,由于m未知,所以不能求出W,C 项无法求出.研究球的水平分运动,由x=vxt,其中vx= 19 m/s,t=5 s,可求得x=95 m,D项可以. 答案:C

? 混淆“杆的弹力方向”与“绳的弹力方向”,误认为杆的弹 力不会做功.绳的弹力是一定沿绳的方向,而杆的弹力不一 定沿杆的方向.所以当物体的速度与杆垂直时,杆的弹力可 以对物体做功. ? 例 如图所示,在长为L的轻杆中点A和端点B各固定一质量 均为m的小球,杆可绕无摩擦的轴O转动,使杆从水平位置 无初速释放摆下.求当杆转到竖直位置时,轻杆对A、B两球 分别做了多少功?

? 【错解】 由于杆的弹力总垂直于小球的运动方向,所以轻 杆对A、B两球均不做功.

【正解】

杆的弹力并不一定沿杆的方向,当杆的弹力方向与物体速度方向不垂直

时,可以对物体做功. 设当杆转到竖直位置时,A球和B球的速度分别为vA和vB.如果把轻杆、地球、两个小 球构成的系统作为研究对象,那么由于杆和小球的相互作用力做功总和等于零,故系统 1 2 1 1 机械能守恒.若取B的最低点为零势能参考平面,可得:2mgL= mv A + mv 2 + mgL,又因 B 2 2 2

A、B两球在各个时刻对应的角速度相同,有v=rω ,故vB=2vA,
由以上二式得vA= 3gL ,vB= 5 12gL . 5

根据动能定理,可解出杆对A、B做的功. 对于A有WA+

mgL 1

= mv2-0, A 2 2

所以WA=-0.2mgL. 1 对于B有WB+mgL= mv2-0, B 2 所以WB=0.2mgL. 【答案】

WA=-0.2 mgL WB=0.2 mgL

第4节 功能关系 能量守恒定律

? 一、功能关系
? 1. 内容 ? (1)功是________转化的量度,即做了多少功就有多少能量发生了转 化. ? (2)做功的过程一定伴随着________的转化,而且________的转化必通 过做功来实现. ? 2. 功与对应能量的变化关系
合外力的功(所有外力的功) 重力做的功 弹簧弹力做的功 外力(除重力、弹力)做的功 一对滑动摩擦力做的总功 电场力做的功 分子力做的功 ________的变化 ________的变化 ________的变化 ________的变化 ________的变化 ________的变化 ________的变化

? 二、能量守恒定律
? 1. 内容:能量既不会消灭,也不会________.它只会从一 种形式________为其他形式,或者从一个物体转移到另一个 物体,而在转化和转移的过程中,能量的总量________. ? 2. 表达式:ΔE减=________. ? (1)每一种形式的能量的变化均对应某力的功. ? (2)ΔE增为末状态的能量减去初状态的能量,而ΔE减初状态 的能量减去末状态的能量. ? 自我校对 一、1. (1)能量 (2)能量 能量 ? 2. 动能 重力势能 弹性势能 机械能 内能 电势能 分 子势能 ? 二、1. 创生 转化 保持不变 2. ΔE增

? 考点1 几种常见的功能关系
? 1. 合外力所做的功等于物体动能的增量,表达式:W合= Ek2-Ek1,即动能定理. ? 2. 重力做正功,重力势能减少;重力做负功,重力势能增 加.由于“增量”是终态量减去始态量,所以重力的功等 于重力势能增量的负值,表达式:WG=-ΔEp=Ep1-Ep2. ? 3. 弹簧的弹力做的功等于弹性势能增量的负值,表达式: WF=-ΔEp =Ep1 -Ep2.弹力做多少正功,弹性势能减少多 少;弹力做多少负功,弹性势能增加多少.

? 4. 除系统内的重力和弹簧的弹力外,其他力做的总功等于系 统机械能的增量W,表达式:W其他=ΔE. ? (1)除重力或弹簧的弹力以外的其他力做多少正功,物体的机 械能就增加多少. ? (2)除重力或弹簧的弹力以外的其他力做多少负功,物体的机 械能就减少多少. ? (3)除重力或弹簧的弹力以外的其他力不做功,物体的机械能 守恒. ? 点睛笔记 (1)在应用功能关系解决具体问题的过程中,若 只涉及动能的变化用“1”,如果只涉及重力势能的变化用 “2”,只涉及弹性势能的变化用“3”,如果只涉及机械能变 化用“4”; ? (2)在应用功能关系时,应首先弄清楚研究对象,明确力 对“谁”做功,就要对应“谁”的位移,从而引起“谁”的 能量变化.在应用能量的变化和守恒时,一定要明确存在哪 些能量形式,哪种是增加的,哪种是减少的,然后再列式求 解.

? 例1 已知货物的质量为m,在某段时间内起重机将货物以a的加
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速度加速升高h,则在这段时间内叙述正确的是(重力加速度为 g)( ) A. 货物的动能一定增加mah-mgh B. 货物的机械能一定增加mah C. 货物的重力势能一定增加mah D. 货物的机械能一定增加mah+mgh 【点拨】 动能的变化对应合力做功;机械能的变化对应除重 力和弹力以外其他力做功的代数和;重力势能的变化只对应重 力做功. 解析:由动能定理可知,货物动能的增加量等于货物合外力做 的功mah,选项A错误;由功能关系可知,货物机械能的增量 等于除重力以外的力做的功而不等于合外力做的功,选项B错 误;重力势能的增量对应货物重力做的负功大小mgh,选项C 错误;由功能关系知,货物机械能的增量为起重机拉力做的功 m(g+a)h,选项D正确. 答案:D 特别提醒 做功的过程就是能量转化的过程,但“功”并不是 “能”,它仅是实现能量转化的途径.

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1. (2010·南通模拟)如图所示,一位 质量m=60 kg参加“挑战极限运动” 的业余选手,要越过一宽度为s= 2.5 m的水沟,跃上高为h=2.0 m 的平台,采用的方法是:人手握一根长L=3.25 m的轻质弹性杆 一端,从A点由静止开始匀加速助跑,至B点时,杆另一端抵在 O点的阻挡物上,接着杆发生形变,同时人蹬地后被弹起,到达 最高点时杆处于竖直,人的重心在杆的顶端,此刻人放开杆水 平飞出,最终趴落到平台上,运动过程中空气阻力可忽略不计, 取g=10 m/s2.则 (1)设人到达B点时速度vB=8 m/s,人匀加速运动的加速度a= 2 m/s2,求助跑距离xAB. (2)人要到达平台,在最高点飞出时刻速度需至少多大. (3)设人跑动过程中重心离地高度H=0.8 m,在(1)(2)问的条件下, 在B点人蹬地弹起瞬间,人至少再做多少功.

2 vB 解析:(1)人做匀加速直线运动,由运动学公式得x=2a=16 m.

(2)人飞出后做平抛运动,最高点速度v最小时人刚好落到平台 1 2, 上,则L-h=2gt s=vt, 代入数据解得v=5 m/s. (3)由功能关系可知,蹬地瞬间人做功W= 1 1 mg(L-H)+2mv2-2mv2 ,解得W=300 J. B 答案:(1)16 m (2)5 m/s (3)300 J

? 考点2

对能量守恒定律的理解和应用

? 1. 对定律的理解 ? (1)某种形式的能减少,一定存在其他形式的能增加,且减少 量和增加量一定相等. ? (2)某个物体的能量减少,一定存在其他物体的能量增加,且 减少量和增加量一定相等.这也是我们列能量守恒定律方程式 的两条基本思路. ? 2. 应用定律解题的步骤 ? (1)分清有多少形式的能[如动能、势能(包括重力势能、弹性势 能、电势能)、内能等]在变化. ? (2)明确哪种形式的能量增加,哪种形式的能量减少,并且列 出减少的能量ΔE减和增加的能量ΔE增的表达式. ? (3)列出能量守恒关系式:ΔE减=ΔE增.

如图所示,A、B、C质量分别为mA=0.7 kg,mB=0.2 kg,mC =0.1 kg,B为套在细绳上的圆环,A与水平桌面的动摩擦因 数μ=0.2,另一圆环D固定在桌边,离地面高h2=0.3 m,当B、 C从静止下降h1=0.3 m,C穿环而过,B被D挡住,不计绳子 质量和滑轮的摩擦,取g=10 m/s2 ,若开始时A离桌边足够 远.试求:

(1)物体C穿环瞬间的速度.
(2)物体C能否到达地面?如果能到达地面,其速度多大.

1 解析:(1)将 ABC 组成的系统由能量守恒定律可得(mB+mC)gh1=2(mA+mB+ 2 mC)v2+μmAgh1,可求得 v1=5 6 m/s. 1 1 (2)设物体 C 能到达地面,到达地面的速度为 v2,由能量守恒定律得 mCgh2=2 1 66 (mA+mC)v2-2(mA+mC)v2+μmAgh2,可求出 v2= 10 m/s,故物体 C 能到达地面, 2 1 66 到地面的速度为 10 m/s. 2 答案:(1)5 6 m/s (2)能 66 10 m/s

2. 如图所示,水平平台的右端安装有定滑轮,质量为M的物 块放在平台上与滑轮相距l处,M与平台的动摩擦因数为μ.现 有一轻绳跨过定滑轮,左端与M相连,另一端挂着质量为m 的物块,绳拉直时用手托住m停在距地面h高度处静止,则 (1)放开m,求m运动时的加速度及此时绳子的拉力大小. (2)设M=2 kg,l=2.5 m,h=0.5 m ,μ=0.2,物块m着地后 立即停止运动,要使物块M不撞到定滑轮,质量m应该满足 什么条件?

解析:(1)设共同加速度为 a,绳子的拉力为 F. 由牛顿第二定律知 mg-F=ma,F-μMg=Ma, mg-μMg M?mg-μMg? 得 a= ,F=μMg+ . M+m M+m 1 (2)在 M、m 一起运动时,由动能定理有(mg-μMg)h=2(M+m)v2,而 m 着地后若 M 1 恰能不撞到定滑轮,则由动能定理有 μMg(l-h)=2Mv2,解得 v=2 2m/s,m=10 kg,因 为要拉动 M,则 mg>μMg,解得 0. 4 kg<m≤10 kg. mg-μMg M?mg-μMg? 答案:(1) μMg+ M+m M+m (2)0.4 kg<m≤10 kg

摩擦力做功的特点

静摩擦力 在静摩擦力做功的过程中, 只有机械能从一个物体转 移到另一个物体(静摩擦力 起着传递机械能的作用)而 没有机械能转化为其他形 式的能量 一对静摩擦力所做功的代 数总和等于零

滑动摩擦力 (1)相互摩擦的物体通过摩擦力做 功,将部分机械能从一个物体转 移到另一个物体 (2)部分机械能转化为内能,此部 分能量就是系统机械能的损失量 一对相互作用的滑动摩擦力对物 体系统所做的总功,等于摩擦力 与相对路程的乘积,即Wf=-f·s 相对,表示物体克服摩擦力做功, 系统损失的机械能转变成内能 两种摩擦力都可以对物体做正功、 负功,还可以不做功

能量的转化方 面

一对摩擦 力做功 方面 相同点

正负功、不做功方面

(2010·衡水模拟)如图所示是在工厂的流水线上安装的水平传 送带,用水平传送带传送工件,可大大提高工作效率.水平 传送带以恒定的速度v0=2 m/s运送质量为m=0.5 kg的工件, 工件都是以v=1 m/s的初速从A位置滑上传送带.工件与传送 带之间的动摩擦因数μ=0.2.每当前一个工件在传送带上停止 相对滑动时,后一个工件立即滑上传送带.取g=10 m/s2,求: (1)工件经多长时间停止相对滑动. (2)在正常运行状态下传送带上相邻工件间 的距离. (3)摩擦力对每个工件做的功. (4)每个工件与传送带之间的摩擦产生的内 能.

v0-v 解析:(1)由牛顿第二定律 F=ma,可得 a=μg=2 m/s2,t= a =0.5 s, (2)正常运行时工件间的距离 Δx=v0t=1 m. 1 1 (3)摩擦力对每个工件做功:Wf=2mv2-2mv2=0.75 J. 0 v0t+vt (4)每个工件与传送带之间的相对位移:x 相对=v0t- 2 , 摩擦产生的内能 Q=f· 相对=0.25 J. x 答案:(1)0.5 s (2)1 m (3)0.75 J (4)0.25 J

3. 如图所示,长L=1.5 m,质量M=3 kg的木板静止放在水平 面上,质量m=1 kg的小物块(可视为质点)放在木板的右端,木 板和物块间的动摩擦因数μ1= 0.1,木板与地面间的动摩擦因 数μ2=0.2.现对木板施加一水平向右的拉力F,取g=10 m/s2, 求: (1)使物块不掉下去的最大拉力(物块受到的最大静摩擦力等于 滑动摩擦力) (2)如果拉力F=21 N恒定不变,小物块所能获得的最大动能.

解析:(1)物块刚好不掉下去,物体与木板达最大静摩擦力,且具有相同的最 μ1mg 大加速度 a2,对物块,最大加速度 a2= m =μ1g=1 m/s2. 对整体: 0-μ2(M+m)g=(M+m)a1, F 可得 F0=(M+m)a1+μ2(M+m)g=12 N. (2)当拉力 F=21 N>F0 时,物块相对木板滑动.对木板,加速度 a2 = F-μ1mg-μ2?M+m?g 1 1 =4 m/s2,设小物块滑离时经历的时间为 t,则2a2t2-2a1t2 M =L,可得 t=1 s.此时 vm=a1t=1 m/s, 1 可得 Ekm=2mv2 =0. 5 J. m 答案:(1)12 N (2) 0.5 J

对于较为复杂的物理问题,认清物理过程并建立物理情景是很 重要的,做到这一点往往需画出受力图示,运动图示,这是应 该具有的一种解决问题的能力.分析问题可以采用分析法和综 合法.一般在考试过程中分析法应用较多. 如图所示,轻质弹簧竖直放置在水平地面上,它的 正上方有一金属块从高处自由下落,从金属块自由 下落到第一次速度为零的过程中( ) A. 重力先做正功,后做负功 B. 弹力做正功 C. 金属块的动能最大时,弹力与重力相平衡 D. 金属块的动能为零时,弹簧的弹性势能最 小

【错解】 金属块自由下落,接触弹簧后开始减速,当重力等 于弹力时,金属块速度为零.所以从金属块自由下落到第一次 速度为零的过程中重力一直做正功,故A错误.而弹力一直做 负功,故B正确.因为金属块速度为零时,重力与弹力相平衡, 故C错误.金属块的动能为零时,弹力最大,所以形变最大, 弹性势能最大,故D正确. 【正解】 对运动过程认识不清,无法正确判断运动性质.金 属块做加速还是减速运动要根据合外力方向(即加速度方向)与 速度方向的关系. 要确定金属块的动能最大位置和动能为零时的情况,就要分析 它的运动全过程.为了弄清运动性质,要做好受力分析.可以 从下图看出运动过程中的情景.

从图上可以看到在弹力FN<mg时,a的方向向下,v的方向向下, 金属块做加速运动.当弹力FN等于重力mg时,a=0,加速停止, 此时速度最大,故C正确.弹力方向与位移方向始终反向,所 以弹力没有做正功,故B错误.重力方向始终与位移同方向, 重力做正功,没有做负功,故A错误.速度为零时,恰是弹簧 形变最大时,所以此时弹簧弹性势能最大.故D错误.

【答案】

C

实验五 实验目的

探究动能定理

1. 通过实验探究外力对物体做功与物体速度的关系.

2. 通过实验数据分析,总结出做功与物体速度平方的正比 关系.
实验原理 探究恒力做功与物体动能改变的关系,可以通过改变力对 物体做的功,测出力对物体做不同的功时物体动能的改变, 从而得到恒力做功的与物体动能改变的关系. 实验器材 附有定滑轮的长木板、小车、细线、砝码盘及砝码、打点 计时器、低压交流电源、导线、天平(带一套砝码)、毫米 刻度尺、纸带及复写纸.

实验步骤
1. 用天平测出小车质量m并记录. 2. 按图所示安装实验器材,只是砝码盘中不加砝码,并调整 定滑轮的高度,使细线与木板平行.

3. 平衡摩擦力:在长木板的不带定滑轮的一端下面垫薄 木块,并反复移动其位置,直到小车在斜面上匀速运动 为止.

4. 在砝码盘中加砝码(要保证小车的质量远大于砝码的质 量),把纸带的一端固定在小车的后面,另一端穿过打点 计时器,接通电源放开小车,打点计时器就在纸带上打 下一系列的点,取下纸带并标记使用的砝码质量.
5. 重复步骤4,打出2~3条纸带.

6. 数据处理 (1)选一条点迹清晰的纸带分析数据. (2)将实验数据填在下表中,小车质量m=________kg, 砝 码 质 量 m0 = ________kg , 细 线 拉 力 F = m0g = ________N. 计数 点 1 2 3 4 5 位移 s/m 功 W/J 速度 v1/m·s-1 速度 v2/m·s-1 动能的变 化ΔEk/J

(3)实验数据处理及分析:在如图的坐标纸上画出W-v和 W-v2图线.

(4)结论:恒力所做的功跟动能变化量之间的关系为:恒力所做 的功等于物体动能的变化量. 注意事项 1. 砝码和砝码盘的总质量要远小于小车的质量. 2. 平衡摩擦力时,砝码盘中不要加砝码,但应连着纸带且接通 电源. 3. 小车所受的阻力f应包括小车受的摩擦力和打点计时器对小车 后所拖纸带的摩擦力. 4. 小车应靠近打点计时器,并且要先接通电源后再放小车.

误差分析
1. 实验的系统误差是绳对小车的拉力小于砝码和砝码盘的总重 力.

2. 平衡摩擦力不彻底或平衡过度也会带来误差.
3. 利用打上点的纸带计算小车的速度时测量不准带来误差. 实验改进 本实验中物体运动的速度可以使用速度传感器直接采集,比用 打点计时器方便快捷且误差较小;实验情境也可加以改进,如 研究物体以不同的初速度沿粗糙水平面滑动的距离,得出物体 的初动能大小与克服摩擦力做功的关系,这时必须保证物体与 水平面上各处的动摩擦因数相同.

(2010·阳东模拟)(1)某同学探究恒力做功和物体动能变化间 的关系,方案如图所示.他想用钩码的重力表示小车受到的 合外力,为减小这种做法带来的误差,实验中要采取的两项 措施是: ①______________________________________________.

②_________________________________________.

(2)如图所示是某次实验中得到的一条纸带,其中A、B、C、 D、E、F是计数点,相邻计数点间的时间间隔为T.距离如 图所示.则打B点时的速度为________;要验证合外力的 功与动能变化间的关系,测得位移和速度后,还要测出的 物理量有______________________________.

【解析】 (1)影响合力的是小车与木板之间的摩擦力,所以要 平衡摩擦力;另外是钩码也有加速度,只要使钩码的重力远小 于小车的总重力,就可以认为钩码的重力表示小车受到的合外 力. (2) 对 于 匀 加 速 运 动 平 均 速 度 为 中 间 时 刻 的 速 度 , 由 此 可 得 到 ,由机械能守恒定律可知,钩码的重力势能转化成小 车的动能,所以必须测量钩码的质量m和小车的质量M.

【答案】

(1)①平衡摩擦力

②钩码的重力远小于小车的总重力 ?Δs1+Δs2? (2)vB= 2T 钩码的质量 m、小车的质量 M

(2009·广东高考卷)某实验小组利用拉力传感器和速 度传感器探究“动能定理”,如图所示,他们将拉力 传感器固定在小车上,用不可伸长的细线将其通过一 个定滑轮与钩码相连,用拉力传感器记录小车受到拉 力的大小.在水平桌面上相距50.0 cm的A、B两点各 安装一个速度传感器记录小车通过A、B时的速度大 小,小车中可以放置砝码.

(1)实验主要步骤如下:
①测量________和拉力传感器的总质量M1;把细线的一端固 定在拉力传感器上,另一端通过定滑轮与钩码相连;正确连 接所需电路; ②将小车停在C点,________,小车在细线拉动下运动,记 录细线拉力及小车通过A、B时的速度;

③在小车中增加砝码,或__________,重复②的操作.
(2)表1是他们测得的一组数据,其中M是M1与小车中砝码质 量m之和,|v-v| 是两个速度传感器记录速度的平方差,可以 据此计算出动能变化量ΔE,F是拉力传感器受到的拉力,W 是F在A、B间所做的功.

表1 数据记录表 次数 1 2 3 M/kg |v-v|/(m/s)2 ΔE/J F/N W/J

4 5

0.500 0.500 0.500 1.000 1.000

0.760 1.65 2.40 2.40 2.84

0.190 0.413 ΔE3 1.20 1.42

0.400 0.840 1.220 2.420 2.860

0.200 0.420 W3 1.21 1.43

表格中ΔE3=________,W3=________.(结果保留三位有效数 字)

(3)根据表1,请在图中的方格纸上作出 ΔE-W图线.

【答案】 (1)①小车、砝码 ②然后释放小车 ③减少砝码 1 2 (2)由各组数据可见规律 ΔE= m|v2-v2|,可得 ΔE3=0.600;观 1 2 F 察 F- 数据规律可得数值上 W3= =0.610. W 2 (3)根据表格中的数据,在方格纸上作出 ΔE- 图线如图所示: W

探究力对原来静止的物体做的功与物体获得的速度的 关系,实验装置如图所示,实验主要过程如下:
(1) 设 法 让 橡 皮 筋 对 小 车 做 的 功 分 别 为 W 、 2W 、 3W、??; (2)分析打点计时器打出的纸带,求出小车的速度v1、v2、 v3、??; (3)作出W-v图象; (4) 分析 W-v 图象.如果 W-v图象是一条直线 ,表明 W∝v;如果不是直线,可考虑是否存在W∝v2、W∝v3、 W∝等关系. 以下关于该试验的说法中有一项不正确,它是 ________.

A. 本实验设法让橡皮筋对小车做的功分别为W、2W、3W、??, 所采用的方法是选用同样的橡皮筋,并在每次实验中使橡皮筋 拉伸的长度保持一致.当用1条橡皮筋进行实验时,橡皮筋对小 车做的功为W,用2条、3条、??橡皮筋并在一起进行第2次、 第 3 次 、 ?? 实 验 时 , 橡 皮 筋 对 小 车 做 的 功 分 别 是 2W 、 3W、?? B. 小车运动中会受到阻力,补偿的方法为让使木板适当倾斜 C. 某同学在一次实验中得到一条记录纸带.纸带上打出的点两 端密、中间疏.出现这种情况的原因可能是没有使木板倾斜或 倾角太小 D. 根据记录纸带上打出的点,求小车获得的速度的方法是以纸 带上第一点到最后一点的距离来进行计算 【解析】 本实验的目的是探究橡皮筋做的功与物体获得速度 的关系.这个速度是指橡皮筋做功完毕时的速度,而不是整个 过程的平均速度,所以D选项是错误的. 【答案】 D

实验六

验证机械能守恒定律

实验目的 通过研究物体自由下落过程中动能与势能的变化,验证机械能守恒定律. 实验原理 在只有重力做功的自由落体运动中,物体的重力势能和动能互相转化,但总的机械 1 能守恒.若物体从静止开始下落,下落高度为 h 时的速度为 v,恒有 mgh=2mv2.故只需 借助打点计时器,通过纸带测出重物某时刻的下落高度 h 和该时刻的瞬时速度 v,即可 验证机械能守恒定律.测定第 n 点的瞬时速度的方法是:测出第 n 点相邻的前、后两段 相等时间间隔 T 内下落的高度 sn-1 和 sn+1(或用 hn-1 和 hn+1), 然后由公式 vn= ?hn+1-hn-1? 或由 vn= 可得 vn(如图所示). 2T ?sn+1+sn-1? 2T

实验器材
铁架台(带铁夹)、打点(或电火花)计时器、重物(带纸带夹 子)、纸带数条、复写纸片、导线、毫米刻度尺、低压交 流电源. 实验步骤 1. 安装器材:如图所示,将打点计时器固定在铁架台上, 用导线将打点计时器与低压电源相连,此时电源开关应为 断开状态.

2. 打纸带:把纸带的一端用夹子固定在重物上,另一端穿 过打点计时器的限位孔,用手竖直提起纸带,使重物停靠 在打点计时器下方附近,应先接通电源,待计时器打点稳 定后再松开纸带,让重物自由下落,打点计时器就在纸带 上打出一系列的点,取下纸带,换上新的纸带重打几条 (3~5条)纸带.
3. 选纸带:分两种情况说明

(1)若选第1点O到下落到某一点的过程验证,应选点迹清晰, 且1、2两点间距离小于或接近2 mm的纸带,若1、2两点间 的距离大于2 mm,这是由于打点计时器打第1个点时重物 的初速度不为零造成的.(如先释放纸带后接通电源等错误 操作会造成此种结果),这样第1个点就不是运动的起始点 了,这样的纸带不能选.

1 1 (2)用2mv2 -2mv2 =mgΔh 验证时,由于重力势能的相对性,处理纸 B A 带时选择适当的点为基准点,这样纸带上打出的第 1、2 两点间的距离 是否为 2 mm 就无关紧要了,所以只要后面的点迹清晰就可以选用. 4. 求瞬时速度 在第一个打点上标出 O, 并从稍靠后的某一点开始, 依次标出 1、 2、 3、 4?并量出各点到位置 O 的距离 h1、 2、 3、 4?, h h h 用公式 vn= 计算出各点对应的瞬时速度. hn+1-hn-1 2T

5. 守恒验证 1 方法一:利用起始点和第 n 点计算,代入 ghn 和 v2,如果在实验误差允许的 2 n 1 范围内 ghn= v2,则验证了机械能守恒定律. 2 n 方法二:任取两点计算 (1)任取两点 A、B 测出 hAB,算出 ghAB. 1 1 2 (2)算出 v2 - vA的值. B 2 2 1 1 (3)如果在实验误差允许的范围内 ghAB= v2 - v2 ,则验证了机械能守恒定律. 2 B 2 A

1 方法三:图象法.从纸带上选取多个点,测量从第一点到其余各点的下落高度 h,并计算各点速度的平方 v2,然后以2v2

1 为纵轴,以 h 为横轴,根据实验数据绘出2v2- 图线.若在误差允许的范围内图象是一条过原点且斜率为 g 的直线,则验证 h 了机械能守恒定律. 注意事项 1. 安装打点计时器时,必须使两纸带限位孔在同一竖直线上,以减小摩擦阻力. 2. 实验时必须保持提起的纸带竖直,手不动,待接通电源,让打点计时器工作稳定后再松开纸带. 3. 选取的初、末位置附近的上、下点迹应清晰,其间的长度不宜太小,也不宜太长,有效长度可在 60~80 cm.

4. 为了增加实验的可靠性,可重复实验,还可以在一次下落中测量多个位置的速度,比较重物在这些位置上的动能与 势能之和. 1 1 5. 因通过比较 mghBM 与2mv2 -2mv2 验证机械能守恒,故不需测重物质量. M B

误差分析
1. 实际上重物和纸带下落过程中要克服阻力(主要是打点计时 器的阻力)做功,故动能的增加量必定稍小于势能的减少量, 这是属于系统误差,减少空气阻力影响产生的方法是:使纸 带下挂的重物重力大些,且体积要小. 2. 打点计时器产生的误差 (1)由于交流电周期的变化,引起打点时间间隔变化而产生误 差. (2)计数点选择不好、振动片振动不均匀、纸带放置方法不正 确引起摩擦,造成实验误差. (3)打点时的阻力对纸带的运动性质有影响,这也属于系统误 差.

3. 由于测长度带来的误差属偶然误差,减少办法一是测距离 时都应从O点量起,二是多测几次取平均值.

实验改进
物体下落过程中通过某一位置的速度可以用光电计时器测出 来,利用这种装置验证机械能守恒定律,能消除纸带与限位 孔的摩擦阻力带来的系统误差.

(2010·全国新课标卷)如图为验证机械能守恒定律的实验装 置示意图.现有的器材为:带铁夹的铁架台、电磁打点计 时器、纸带、带铁夹的重物、天平.回答下列问题. (1) 为 完 成 此 实 验 , 除 了 所 给 的 器 材 , 还 需 要 的 器 材 有 ________(填入正确选项前的字母). A. 米尺 B. 秒表

C. 0~12 V的直流电源 D. 0~12 V的交流电源 (2)实验中误差产生的原因有____________________ ___(写出两个原因).

【 解析】

(1)用A项米尺测量长度,用D项交流电源 供打点计时器使用. (2)纸带与打点计时器之间有摩擦,用米尺测量纸带 上点的位置时读数有误差,计算势能变化时,选取始 末两点距离过近,交流电频率不稳定. 【答案】 (1)AD (2)见解析

(2010·海南高考卷)利用气垫导轨验证机械能守 恒定律,实验装置示意图如图甲所示: (1)实验步骤 ①将气垫导轨放在水平桌面上,桌面高度不低 于1 m,将导轨调至水平;

②用游标卡尺测量挡光条的宽度l,结果如图乙 所示,由此读出l=________mm;
③由导轨标尺读出两光电门中心之间的距离s= ________ m; ④将滑块移至光电门1左侧某处,待砝码静止不 动时,释放滑块,要求砝码落地前挡光条已通 过光电门2;

⑤从数字计时器(图甲中未画出)上分别读出挡光条通过光电门 1和光电门2所用的时间Δt1和Δt2;
⑥用天平称出滑块和挡光条的总质量M,再称出托盘和砝码的 总质量m. (2)用表示直接测量量的字母写出下列所示物理量的表达式: ①滑块通过光电门1和光电门2时瞬时速度分别为v1=________ 和v2=________. ②当滑块通过光电门1和光电门2时,系统(包括滑块、挡光条、 托盘和砝码)的总动能分别为Ek1=________和Ek2=________.

③在滑块从光电门1运动到光电门2的过程中,系统势能的减 少ΔEp=________(重力加速度为g).
(3)如果ΔEP≈________,则可认为验证了机械能守恒定律.

【解析】 由于挡光条宽度很小,因此将挡光条通过光电门时的平均速 度作为瞬时速度. 【答案】 l 2 m)(Δt ) 1 (1)②9.30 ③60.00(59.96~60.04) ③mgs (3)Ek2-Ek1 l (2)①Δt l Δt2 1 ② 2(M+

1

1 l 2 2(M+m)(Δt2)

如图所示,两个质量各为m1和m2的小物块A和B,分别系在一条 跨过定滑轮的软绳两端,已知m1>m2,现要利用此装置验证机 械能守恒定律. (1)若选定物块A从静止开始下落的过程中进行测量,则需要测 量的物理量有________. ①物块的质量m1、m2 ②物块A下落的距离及下落这段距离所用的时间 ③物块B下落的距离及下落这段距离所用的时间 ④绳子的长度 (2)为提高实验结果的准确程度,某小组同学对此实验提出以下 建议:

①绳的质量要轻 ②在“轻质绳”的前提下,绳子越长越好 ③尽量保证物块只沿竖直方向运动,不要 摇晃 ④两个物块的质量之差要尽可能小 以上建议中确实对提高准确程度有作用的 是________. (3)写出一条上面没有提到的对提高实验结 果准确程度有益的建议: _________________________________ _________________________________ ______.

【解析】 (1)通过连结在一起的A、B两物体验证机械能守 恒定律,既验证系统的势能变化与动能变化是否相等,A、 B连结在一起,A下降的距离一定等于B上升的距离;A、B的 速度大小总是相等的,故不需要测量绳子的长度和B上升的 距离及时间. (2)如果绳子质量不能忽略,则A、B组成的系统势能将有一 部分转化为绳子的动能,从而为验证机械能守恒定律带来误 差;若物块摇摆,则两物体的速度有差别,为计算系统的动 能带来误差;绳子长度和两个物块质量差应相当. (3)多次取平均值可减少测量误差,绳子伸长量尽量小,可 减少测量的高度的准确性. 【答案】 (1) ①②或①③ (2)①③ (3)见解析

四、逆思法 一、方法简介 在解决问题的过程中为了解题简捷,或者从正面考虑有一定 难度,有意识地去改变思考问题的顺序,沿着正向(由前到后、 由因到果)思维的相反(由后到前、由果到因)途径思考、解决 问题,这种解题方法叫逆思法(逆向思维法).这是一种具有 创造性的思维方法,通常有:运用可逆性原理、运用反证归 谬、运用执果索因进行逆思. 二、典例分析 1. 运用可逆原理进行逆思 物理学中可逆性过程如:运动形式的可逆性、时间反演的可 逆性、光路可逆性等往往正向思维解题较繁琐,用逆向思维 则简单明了.

一颗子弹以700 m/s的速度打穿同样的、并排放置的 三块木板后速度减为零,如图所示.问子弹在三块 木板中运动的时间之比是多少?

【解析】 此题按照正向思维匀减速直线运动来解, 比较繁琐. 但根据运动的可逆性, 倒过来从后到前,将子弹的运动看成是初速度为零的匀加速直线运动,问题就变得很简 单.即求初速度为零的匀加速直线运动通过连续相等位移的时间比,所以 t3∶t2∶t1=1∶ ( 2-1)∶( 3- 2),因此 t1∶t2∶t3=( 3- 2)∶( 2-1)∶1. 【答案】 ( 3- 2)∶( 2-1)∶1

2. 运用反证归谬进行逆思
反证归谬是逆向思维的常用方法,基本思路: (1)反设,即假设问题结论的反面正确;

(2)归谬,从这个假设出发,利用已知条件进行正确的推理, 推导出谬误的结论;
(3)结论,指出反设错误,由此确定原来结论是正确的.它 是通过否定反面,来肯定正面的. 一物体以某一初速度在粗糙平面上做匀减速直线 运动,最后停下来,若此物体在最初5 s和最后5 s经过的路程之比为11∶5.则此物体一共运行了多 少时间.

【解析】 若依据匀变速运动规律列式,将会出现总时间t比 前后两个5 s的和10 s是大还是小的问题.若t>10 s将时间分 为前5 s 和后5 s与中间的时间t2,经复杂运算得t2=-2 s再得 出t=8 s 的结论. 若用逆向的初速度为零的匀加速运动处理,将会简便的 多.视为反向的初速度为零的加速直线运动,则
最后5 s通过的路程:x2=a/2×52=12.5a, 最初5 s通过的路程:x1=at2/2-a(t-5)2/2=a(10t-25)/2,有题 中已知的条件:x1∶x2=11∶5,得11/5,可得运动时间t=8 s. 【答案】 8 s

3. 运用执果索因进行逆思

这种逆思法也是先假定所要证明的结论成立,由此出发利用一 定的物理知识,推导出符合题设物理模型的条件.这样把结论 转化为判断条件(推理的每一步均可逆),以此判断所证结论正 确.
长度为 L 的橡皮带,一端拴住一个质量为 m 的小球,以另一端为中心, 使小球在光滑水平面上做匀速圆周运动,角速度为 ω.若橡皮带每伸长单位 mω2fL 长度产生的弹力为 f,试证明橡皮带的张力为 F= . f-mω2
mω2fL 【解析】 假设所证结论正确, 则将 F= 逐步上推得 Ff-Fmω2=mω2fL, 2展开, f-mω F ΔL Ff=mω2fL+Fmω2, =mω2(L+ )=mω2(L+k ). F 由题意知 f=k, F=mω2(L+ΔL). 故 上 f f 式正是反映小球在水平面内做匀速圆周运动时,所需要的向心力是由橡皮带的张力提供 的,物理意义明确且步步可逆,所以得证. 【答案】 见解析


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