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广东省湛江一中2011届高三10月月考(文数)


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湛江一中高三年级第一次月考 (文科)数学试卷 文科)
本试卷满分 150 分.考试时间 120 分钟. 选择题: 小题, 在每小题给出的四个选项中, 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 一项是符合题目要求的. 1.已知集合 M = {0, 1, 2} , N = x x = ? a, a ∈ M ,则集合 M ∩ N =( A. {0, ? 1} B. {0} C. {?1, ? 2} D. {0, ? 2}

{

}

)

2.函数 y = x3 ? 3 x 的单调递减区间是 A. (?∞, 0) B. (?1,1) C. (0, +∞ ) D. (?∞, ?1), (1, +∞)

3.已知数列 {a n } , a n +1 = 3a n + 2, a1 = 1 ,则 A. {a n } 是等差数列 C. {a n + 1} 是等差数列 4.函数 y = 1 ? x + lg x 的定义域为 A. (0, +∞ ) 5.若 sin( A. ? B. ( ?∞,1] C. (?∞, 0] U [1, +∞ ) D. (0,1] ) B. {a n } 是等比数列 D. {a n + 1} 是等比数列

π
2

+ x) + sin(π ? x ) =
B.

1 ,则 sin x ? cos x 的值为( 3
C. ?

4 9

4 9

8 9

D.

8 9

6.方程 lg x ? 2 x + 6 = 0 的根的个数是 A.0 B.2 C.1 D.3

7.与直线 4 x ? y + 3 = 0 平行的抛物线 y = 2 x 2 的切线方程是 A. 4 x ? y + 1 = 0 B. 4 x ? y ? 1 = 0 C. 4 x ? y ? 2 = 0 D. 4 x ? y + 2 = 0

8.设平面向量 a = ( 3,5 ) , b = ( ?2,1) ,则 a ? 2b = A. ( 6,3) B. ( 7,3) C. ( 2,1) D.

r

r

r

r

( 7, 2 )

9.下列命题中是假命题的是 ...

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r r r a A.与向量 a 共线的单位向量一定是 e = r ; a
B.向量夹角 α ∈ [ 0, π ] ; C.非零常数列既是等差数列又是等比数列; D. ??0 ∈ R, 使函数f ( x) = 3sin(2 x + ? ) 是偶函数. 10. 函数 f ( x ) = sin 2 x + 3 cos 2 x 的最大值记为 M , 周期为 在区间 [ 0, M ] 上的最大值为 A.1 B.0 C. ?

π
a

, 则函数 g (t ) = t (t ? a )
2

4 27

D.4

小题, 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. 填空题: 11. sin15 cos 75 + cos15 sin105 =
o o o o



12.在等比数列 {an } 中,若公比 q = 4 ,且前 3 项之和等于 21, 则该数列的通项公式

an =



13.在 ? ABC 中, ∠A = 60° , AC = 3 ,面积为

3 3 , 那么 BC 的长度为 2



14.若 f ( x ) 是定义在 R 上的函数, f ( x + 2)[1 ? f ( x )] = 1 + f ( x ) ,且 f ( 2) =5, 则 f ( 2014) = .

三、解答题(解答时写出必要的求解过程) 解答题(解答时写出必要的求解过程) 15. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) =

3 2 π + sin( 2 x + ) . 2 2 4

(1)求函数 f ( x ) 的最大值与最小正周期; (2)求 f (x ) 的单调递增区间.

16. (本小题满分 12 分)

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已知向量 a =(1, k ) b =(2 k +3, ? k )( k ∈ R ) , , . (Ⅰ)若 a / / b ,求 a ? b 的值; (Ⅱ)若 a ⊥ b ,求 k 的值.
→ →





r

r





17. (14 分)命题 p:关于 x 的不等式 x + 2ax + 4 > 0 , ?x ∈ R 恒成立;
2

命题 q:函数 f ( x) = (3 ? 2a ) x 是增函数, 若命题 p ∧ q 是真命题,求实数 a 的取值范围.

18.(本小题满分 14 分) 如图,在直四棱柱 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中, 底面 ABCD 为等腰梯形,AB//CD,AB=4, BC=CD=2, AA 1 =2, E、E 1 分别是棱 AD、AA 1 的中点. (1)设 F 是棱 AB 的中点,证明:直线 EE 1 //平面 FCC 1 ; (2)证明:平面 D1AC⊥平面 BB1C1C. A1 D1 C1 B1

E1 E A

D F

C B

19.(本题 14 分) 已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 sn = pn - 2n + q
2

( p, q ∈ R , n ∈ N * )
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(1)求 q 的值; (2)若 a1 与 a5 的等差中项为 18, bn 满足 an = 2 log 2 bn ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn .

20. (本小题满分 14 分) 设 y = f (x ) 是定义在 [?1,1] 上的偶函数, y = f (x ) 的图象与函数 y = g (x ) 的图象关于直线 又

x = 1 对称,且当 x ∈ [2,3] 时, g ( x) = 4( x ? 2) 3 ? 2a ( x ? 2) .
(1)求 y = f (x ) 的表达式; (2)是否存在正实数 a ,使 y = f (x ) 的图象最低点在直线 y = ?12 上?若存在,求出 a ; 若不存在,说明理由.

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15、 【解析】Q f ( x ) =

3 2 π + sin(2 x + ) 2 2 4
3 2 + ; 2 2
……………………………… 3 分

(1) f ( x ) 的最大值为

f ( x) 的最小正周期为 T =
(2)Q 2kπ ?

π
2

≤ 2x +

π

2π =π . 2 4 ≤ 2 kπ +

……………………………… 6 分

π
2

,………………………………9 分

∴ 2 kπ ?
即 kπ ?

3π π ≤ x ≤ kπ + , 8 8

3π π ≤ 2 x ≤ 2k π + , 4 4

……………………………… 11 分

因此 f ( x ) 的单调递增区间为 ? kπ ?

? ?

3π π? , kπ + ? ,其中 k ∈ Z .…… 12 分 8 8?
……………… 2 分

r r 16、 【解析】 (Ⅰ)Q a / / b ,∴ ( 2k + 3) ? k ? 1 ? ( ? k ) = 0 ,
解得 k1 = 0,

k 2 = ?2 .
r r
→ →

…………………………… 4 分

当 k = 0 时, a ? b = ( ?2, 0),

a? b = 2 ;
→ →

…………………… 6 分

当 k = ?2 时, a ? b = (2, ?4),
→ →

r r

a ? b = 2 5 .……………………… 8 分

(Ⅱ)因为 a ⊥ b ,∴ a ? b = 0 ,即 1 ? (2k + 3) ? k 2 = 0 , ……………… 10 分 解得 k = 3, 或 k = ?1 .
2

r r

……………………… 12 分
2

17、 【解析】对于命题 p : ? = ( 2a ) ? 4 × 1× 4 < 0 ,即 4a < 16

………………2 分

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18.证明 证明:(1)在直四棱柱 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中,取 A1B1 的中点 F1, 证明 连接 A1D,C1F1,CF1,因为 AB=4, CD=2,且 AB//CD, // 所以 CD = A1F1,A1F1CD 为平行四边形, ………2 分 所以 CF1//A1D, 又因为 E、E 1 分别是棱 AD、AA 1 的中点, A 所以 EE1//A1D, 所以 CF1//EE1, 又因为 EE1 ? 平面 FCC 1 , ………3 分 ………4 分 ………5 分 ………6 分 ………7 分 A1 F1 E1 E F B D C D1 C1 B1

CF1 ? 平面 FCC 1 ,
所以直线 EE 1 //平面 FCC 1 .

(2)连接 AC,在直棱柱中,CC1⊥平面 ABCD,AC ? 平面 ABCD, 所以 CC1⊥AC, ………8 分 A1 D1 C1 B1

因为底面 ABCD 为等腰梯形,AB=4, BC=2, F 是棱 AB 的中点,所以 CF=CB=BF, △BCF 为正三角形,………10 分

E1 E A

D F

C B

∠BCF = 60° ,△ACF 为等腰三角形,且 ∠ACF = 30°
所以 AC⊥BC, 又因为 BC 与 CC1 都在平面 BB1C1C 内且交于点 C, 所以 AC⊥平面 BB1C1C, 而 AC ? 平面 D1AC,

………12 分 ………13 分

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20、 【解析】 (1)当 x ∈ [?1,0] 时,

f (x) 上的 P ( x., y ) 关于直线 x = 1 对称的点为 Q (2 ? x, y ) ,
此时 2 ? x ∈ [ 2,3] ,代入 g ( x) = 4( x ? 2) 3 ? 2a ( x ? 2) , 得 f ( x) = ?4 x 3 + 2ax( x ∈ [?1,0]

…………………2 分

………………………………5 分

Q f (x) 在 [?1,1] 上是偶函数,∴ x ∈ [0,1] 时, f ( x) = f (? x) = 4 x 3 ? 2ax
即 f ( x) = ?
3 ? ?? 4 x + 2ax, x ∈ [?1,0] ?4 x 3 ? 2ax, x ∈ (0,1] ?

……………………………6 分

(2)命题转化为:是否存在正实数 a ,使 y = f (x ) 的最小值是 ? 12 .

Q f ( x) 在 [?1,1] 上是偶函数,只要考虑 x ∈ [0,1] 即可. ………………………………8 分

f / ( x) = 12 x 2 ? 2a ,令 f / ( x) = 0 ? x =

a . 6

………………………………9 分

(i)当 0 < a < 6 时,

a a a ∈ (0,1) ,且 x ∈ (0, ), f / ( x) < 0 , x ∈ ( ,1) f / ( x) > 0 , 6 6 6

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