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4.1.1圆的标准方程(1)


3 2、 1 D

4.1.1圆的标准方程 圆的标准方程

舞钢市二高

李海亭

复习引入
1.圆的定义 1.圆的定义
平面内到定点的距离等于定长的点的集合。 平面内到定点的距离等于定长的点的集合。 定点的距离等于定长的点的集合

C

·

r

定点 定长

圆心 半径

2.两点间距离公式: 两点间距离公式: 两点间距离公式
已知点 P ( x1 , y1 ),P2 ( x2 , y2 ) ,则 1
PP = 1 2

(x2 ? x1) + ( y2 ? y1 )
2

2

.

圆的标准方程
圆心是C( ),半径是 求圆的方程. 圆心是C(a,b),半径是r,求圆的方程. 设点M , )为圆C上任一点 上任一点, 设点 (x,y)为圆 上任一点, 则 |MC|= r 圆上所有点的集合 P = { M | |MC| = r } O C x y M(x,y) ( , )

(x?a) +(y?b) =r
2 2

(x ? a) + ( y ?b) = r
2 2

2

圆的标准方程
圆心C(a,b),半径r 圆心 ( , ),半径 ),半径 y M(x,y) ( , ) O x

(x ? a) + ( y ?b) = r
2 2

2

C

标准方程 若圆心为O( , ),则圆的方程为: ),则圆的方程为 若圆心为 (0,0),则圆的方程为:

x + y =r
2 2

2

写出圆心为A(-2,3),半径长等于 的圆的 半径长等于5的圆的 例1 写出圆心为 半径长等于 方程,并判断点 并判断点M 方程 并判断点 1(2,6), M2(- 5 ,-1)是否在这个 是否在这个 圆上. 圆上
解: 所求的圆的标准方程是(x+2)2+(y-3)2=25

点和圆的位置关系: 点和圆的位置关系:
若点到圆心的距离为d半径为r, 若点到圆心的距离为d半径为r (1)d>r时 点在圆外; (1)d>r时,点在圆外; d>r 圆外 (2)d=r时 点在圆上; (2)d=r时,点在圆上; d=r 圆上 (3)d<r时 点在圆内; (3)d<r时,点在圆内; d<r 圆内

练习
(1)( x + 3) + ( y ? 4) = 5
2 2

1、教材120 页 练习 1

(2)r =| CM |= 5 (x ?8)2 + ( y + 3)2 = 25

2、求圆心和半径 2
⑴圆 (x-1)2+ (y-1)2=9 圆心 (1, 1) ,半径3 半径 ⑵圆 (x-2)2+ (y+4)2=2 圆心 (2, -4) ,半径 2. ⑶圆 (x+1)2+ (y+2)2=m2 圆心 (-1, -2) ,半径 半径|m| -

的三个顶点的坐标分别是A(5,1), 例2 ⊿ABC的三个顶点的坐标分别是 的三个顶点的坐标分别是 B(7,-3),C(2,-8),求它的外接圆的方程 求它的外接圆的方程. 求它的外接圆的方程 解:设所求圆的方程为: 设所求圆的方程为:

(x ? a) + ( y ?b) = r
2 2

2

因为A(5,1),B (7,-3),C(2,8)都在圆上 因为 都在圆上
? (5 ? a) 2 + (1 ? b) 2 = r 2 ?a=2 ? ? 2 2 2 ?(7 ? a ) + (?3 ? b) = r ? ?b = ?3 ?(2 ? a ) 2 + (?8 ? b) 2 = r 2 ? r = 5 ? ?

所求圆的方程为

(x ? 2) + ( y + 3) = 25
2 2

待定系数法

例2 方法二 y
A(5,1) ( , )

O M

x
B(7,-3) ( , )

C(2,-8) ( , ) 圆心: 圆心:两条弦的中垂线的交点 半径: 半径:圆心到圆上一点

己知圆心为C的圆经过点 例3.己知圆心为 的圆经过点 己知圆心为 的圆经过点A(1,1)和B(2,和 2),且圆心在直线 且圆心在直线l:x-y+1=0上,求圆心为 的圆 求圆心为C的圆 且圆心在直线 上 求圆心为 y 的标准方程. 的标准方程 A(1,1) ( , ) AB的垂 弦AB的垂
直平分线 O x

C

B(2,-2) ( , )

l : x ? y +1 = 0
圆心: 圆心:两条直线的交点 半径: 半径:圆心到圆上一点

解:设点C(a,b)为直径 P1 P2 设点 ( , ) 的中点,则 的中点,

教材121页 练习 3 教材 页

圆心坐标为(5,6) 圆心坐标为( , )

9+3 4+6 =6 a= =5 b= 2 2

P (4,9) 1

C

P2 (6,3)

r = CP 1 = (4 ? 5) + 9 ? 6) = 10 (
2 2

CM = 10

圆方程为
2 2 (x ? 5)+ y ? 6) = 10 (

CN = 13 > 10 CQ = 3 < 10

因此点M在圆上, 在圆外, 在圆内。 因此点 在圆上,点N在圆外,点Q在圆内。 在圆上 在圆外 在圆内

圆心: 圆心:直径的中点

半径: 半径:直径的一半

(1,3)为圆心 例4:求以C(1,3)为圆心,并且和直线3x-4y求以 (1,3)为圆心,并且和直线3 - 7=0相切的圆的方程 相切的圆的方程. 7=0相切的圆的方程. y
解: 设所求圆的半径为r 设所求圆的半径为 则:

r=

| 3 × 1- 4 × 3 - 7 | 3 +4
2 2

16 = 5

C M

O

x

∴所求圆的方程为: 所求圆的方程为:

196 (x ?1) + ( y ?3) = 25
2 2

圆心: 圆心:已知

半径: 半径:圆心到切线的距离

小结
1.圆的标准方程 1.圆的标准方程
圆心C( , ), ),半径 圆心 (a,b),半径r

y

(x ? a) + ( y ?b) = r
2 2

2

A

2.圆心 2.圆心
①两条直线的交点 弦的垂直平分线) (弦的垂直平分线) ②直径的中点
O C C B

3.半径 3.半径
①圆心到圆上一点的距离 ②圆心到切线的距离

x

作业
习题4.1 A组 教材 习题 组 2 、3、4 3、


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