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20.用向量法求空间距离


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用向量法求空间距离

对于立体几何中的距离问题, 对于立体几何中的距离问题,应用向量往往可以 轻松地找到解决问题的突破口,简化求解过程, 轻松地找到解决问题的突破口,简化求解过程,方 便易行. 便易行.下面就通过例题来讨论用向量法解决立体 几何中求点到平面的距离,异面直线间的距离, 几何中求点到平面的距离,异面

直线间的距离,直 线到平面的距离,平行平面间的距离等问题. 线到平面的距离,平行平面间的距离等问题.

一,求点到平面的距离 如图所示,已知点B 如图所示,已知点B (x0,y0,z0), 内一点A ),平 平面α内一点A (x1,y1,z1),平 面α的一个法向量n,由数量积的 的一个法向量n

n 定义知: 定义知: AB =| n || AB | cos θ , 其中θ = n, AB ,
则 | AB | cos θ = | n AB | 即d = . |n| n AB , 所以 || AB | cos θ | 就是B到平面α的距离d , |n|

【例 1】已知正方形 A B C D 的边长为 4,C G ⊥平面 】 =2, 的中点, A B C D ,C G =2,E ,F 分别是 A B ,A D 的中点,求 的距离. 点 B 到平面 G E F 的距离.
如图建立空间直角坐标系, 解析 如图建立空间直角坐标系,则B (0,4, ),F 0),E (2,4,0),F (4,2,0), ),E G (0,0,2), EF =(2,-2,0),

GE =(2,4,-2),BE =(2,0,0).
设平面E 的一个法向量是n ,1), 设平面E F G 的一个法向量是n= (x,y,1),

( x, y,1) (2,2,0) = 0 则由n ⊥ EF , n ⊥ GE得 ( x, y,1) (2,4,2) = 0 1 x = 3 , x y =0 1 1 所以n = ( , ,1). 3 3 x + 2 y = 1 y = 1 . 3 n BE 2 11 则点B到平面GEF的距离为d = = . |n| 11

二,求异面直线间的距离 如图, 是异面直线a 如图,若C D 是异面直线a,b的公 垂线, 分别为a 上的任意点, 垂线,A ,B 分别为a,b上的任意点, 令向量n 令向量n⊥a,n⊥b,则n‖C D .

由AB = AC + CD + DB, 得 AB n = AC n + CD n + DB n ∵ AB n = CD n,∴| AB n |=| CD || n | . n AB ∴ 异面直线a, b 间的距离为d =| CD |= . |n|

【例2】 解析

已知正方体ABCD— 的棱长为1 已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1, ABCD 如图建立空间直角坐标系, 如图建立空间直角坐标系,

求异面直线DA AC的距离 的距离. 求异面直线DA1与AC的距离. 则A(1,0,0),C(0,1,0), ),C ),A B1(1,1,1),A1(1,0,1),
AC = (1,1,0), DA1 = (1,0,1), DA = (1,0,0).设向量n = ( x, y,1),
且n ⊥ DA1 , n ⊥ AC , ( x, y,1) (1,0,1) = 0, x = 1. 则 ( x, y,1) (1,1,0) = 0 y = 1 n = (1,1,1). 所以异面直线DA1与AC的距离为 d= | n DA | | (1,0,0) (1,1,1) | 3 = = . |n| | (1,1,1) | 3

三,求直线到平面的距离 同样原理可以得到直线到平面的距离, 同样原理可以得到直线到平面的距离, 平行平面间的距离公式.在公式d 平行平面间的距离公式.在公式d=

| n AB | 中,n为已知平面的法向量, 为已知平面的法向量, |n| 分别为直线和平面上的任意点(如图) A ,B 分别为直线和平面上的任意点(如图).
【例3】 如图所示,已知边长为4 2 如图所示,已知边长为4 的正三角形A 的正三角形A B C 中,E ,F 分别为 的中点, 平面A B C 和A C 的中点,P A ⊥平面A B C , =2, 且与A 平行, 且P A =2,设平面α过P F 且与A E 平行, 距离. 求A E 与平面α的距离.

解析 设 AP AE,EC上单位向量分别为e1 , 2 ,3 , 选取{e1 , e2 , , e e
e3}作为空间向量的一组基底,可得e1e2=e2e3=e3e1 e e e e e e =0,且 AP = 2e1 , AE = 2 6e2 , EC = 2 2e3 .
1 1 则 AF = PA + AF = PA + AC = PA + ( AE + EC ) 2 2 = 2e1 + 6e2 + 2e3

设n=xe1+ye2+e3是平面α的一个法向量, n e e e

则n ⊥ AE , n ⊥ PF , 所以
n AE = 0 ( xe1 + ye2 + e3 ) 2 6e2 = 0, n PF = 0 ( xe1 + ye2 + e3 ) (2e1 + 6e2 + 2e3 ) = 0

2 6y|e2|2=0, -2x|e1|2+ 6y|e2|2+ 2|e3|2=0 2 x= , 2 y=0. 2 故n= e1+e3. 2 所以直线A 所以直线A E 与平面α的距离为
| n AP | = |n| 2e1 ( 2 e1 + e3 ) 2
2



d=

=

2 e1 + | e3 |2 2

2 3 . 3

四,求两平行平面间的距离 如图, 如图,在公式 d =
| n AB | 中, |n|

n为两平行平面的一个法向量, 为两平行平面的一个法向量, 分别为两平面上的任意点. A ,B 分别为两平面上的任意点. 已知正方体A 【例4】 已知正方体A B C D —A 1B 1C 1D 1 的棱长为1,求平面A B 1C 与平面A 1C 1D 与平面A 的棱长为1 求平面A 间的距离 距离. 间的距离.
解析 建立如图所示的空间直角坐标 (1,0,0), (1,1,0), (0,1,0), 系,则A (1,0,0),B (1,1,0),C (0,1,0), (0,0,0), (1,0,1), (1,1,1), D (0,0,0),A 1(1,0,1),B 1(1,1,1), (0,1,1), (0,0,1). C 1(0,1,1),D 1(0,0,1).

设平面A 设平面A 1C 1D 的一个法向量为
n DA1 = 0 n = ( x, y,1), 则 n DC1 = 0

(x,y,1)(1,0,1)=0 (x,y,1)(0,1,1)=0 x=-1, =-1 y=-1. =-1.

x+1=0 y+1=0

与平面A 故n=(-1,-1,1),所以平面A B 1C 与平面A 1C 1D 间 ,-1,1),所以平面A 1,1)

| n AD | | (1,0,0) (1,1,1) | 3 的距离为d = = = . 2 2 2 |n| 3 (1) + (1) + 1

点评

用平面法向量的方法求空间距离时, 用平面法向量的方法求空间距离时,避免了

繁琐的推理论证,只要进行向量运算即可,能收到 繁琐的推理论证,只要进行向量运算即可, 化隐为显,化难为易的功效. 化隐为显,化难为易的功效.

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