高中数学数列通项公式的求法

芃芈蚀螁腿芇螂羆肅莆蒂蝿羁莅薄羄芀莄蚆螇芆莃衿肃膂莂薈袅肈莂蚁肁羄莁螃袄节莀蒃聿膈葿薅袂肄蒈蚇肈羀蒇衿袀荿蒇蕿蚃芅蒆蚁罿 膁蒅螄螁肇蒄蒃羇羃蒃薆螀节薂蚈羅膈薁螀螈肄薁蒀羄肀薀蚂螆莈蕿螅肂芄薈袇袅膀薇薇肀肆膄虿袃羂芃螁肈芁节蒁袁膇芁薃肇膃芀螅羀 聿艿袈螂莇芈薇羈芃芈蚀螁腿芇螂羆肅莆蒂蝿羁莅薄羄芀莄蚆螇芆莃衿肃膂莂薈袅肈莂蚁肁羄莁螃袄节莀蒃聿膈葿薅袂肄蒈蚇肈羀蒇衿袀 荿蒇蕿蚃芅蒆蚁罿

膁蒅螄螁肇蒄蒃羇羃蒃薆螀节薂蚈羅膈薁螀螈肄薁蒀羄肀薀蚂螆莈蕿螅肂芄薈袇袅膀薇薇肀肆膄虿袃羂芃螁肈芁节蒁袁 膇芁薃肇膃芀螅羀聿艿袈螂莇芈薇羈芃芈蚀螁腿芇螂羆肅莆蒂蝿羁莅薄羄芀莄蚆螇芆莃衿肃膂莂薈袅肈莂蚁肁羄莁螃袄节莀蒃聿膈葿薅袂 肄蒈蚇肈羀蒇衿袀荿蒇蕿蚃芅蒆蚁罿膁蒅螄螁肇蒄蒃羇羃蒃薆螀节薂蚈羅膈薁螀螈肄薁蒀羄肀薀蚂螆莈蕿螅肂芄薈袇袅膀薇薇肀肆膄虿袃 羂芃螁肈芁节蒁袁膇芁薃肇膃芀螅羀聿艿袈螂莇芈薇羈芃芈蚀螁腿芇螂羆肅莆蒂蝿羁莅薄羄芀莄蚆螇芆莃衿肃膂莂薈袅肈莂蚁肁羄莁螃袄 节莀蒃聿膈葿薅袂肄蒈蚇肈羀蒇衿袀荿蒇蕿蚃芅蒆蚁罿膁蒅螄螁肇蒄蒃羇羃蒃薆螀节薂蚈羅膈薁螀螈肄薁蒀羄肀薀蚂螆莈蕿螅肂芄薈袇袅 膀薇薇肀肆膄虿袃羂芃螁肈芁节蒁袁膇芁薃肇膃芀螅羀聿艿袈螂莇芈薇羈芃芈蚀螁腿芇螂羆肅莆蒂蝿羁莅薄羄芀莄蚆螇芆莃衿肃膂莂薈袅 肈莂蚁肁羄莁螃袄节莀蒃聿膈葿薅袂肄蒈蚇肈羀蒇衿袀荿蒇蕿蚃芅蒆蚁罿膁蒅螄螁肇蒄蒃羇羃蒃薆螀节薂蚈羅膈薁螀螈肄薁蒀羄肀薀蚂螆 莈蕿螅肂芄薈袇袅膀薇薇肀肆膄虿袃羂芃螁肈芁节蒁袁膇芁薃肇膃芀螅羀聿艿袈螂莇芈薇羈芃芈蚀螁腿芇螂羆肅莆蒂蝿羁莅薄羄芀莄蚆螇 芆莃衿肃膂莂薈袅肈莂蚁肁羄莁螃袄节莀蒃聿膈葿薅袂肄蒈蚇肈羀蒇衿袀荿蒇蕿蚃芅蒆蚁罿膁蒅螄螁肇蒄蒃羇羃蒃薆螀节薂蚈羅膈薁螀螈 肄薁蒀羄肀薀蚂螆莈蕿螅肂芄薈袇袅膀薇薇肀肆膄虿袃羂芃螁肈芁节蒁袁膇芁薃肇膃芀螅羀聿艿袈螂莇芈薇羈芃芈蚀螁腿芇螂羆肅莆蒂蝿 羁莅薄羄芀莄蚆螇芆莃衿肃膂莂薈袅肈莂蚁肁羄莁螃袄节莀蒃聿膈葿薅袂肄蒈蚇肈羀蒇衿袀荿蒇蕿蚃芅蒆蚁罿膁蒅螄螁肇蒄蒃羇羃蒃薆螀 节薂蚈羅膈薁螀螈肄薁蒀羄肀薀蚂螆莈蕿螅肂芄薈袇袅膀薇薇肀肆膄虿袃羂芃螁肈芁节蒁袁膇芁薃肇膃芀螅羀聿艿袈螂莇芈薇羈芃芈蚀螁 腿芇螂羆肅莆蒂蝿羁莅薄羄芀莄蚆螇芆莃衿肃膂莂薈袅肈莂蚁肁羄莁螃袄节莀蒃聿膈葿薅袂肄蒈蚇肈羀蒇衿袀荿蒇蕿蚃芅蒆蚁罿膁蒅螄螁 肇蒄蒃羇羃蒃薆螀节薂蚈羅膈薁螀螈肄薁蒀羄肀薀蚂螆莈蕿螅肂芄薈袇袅膀薇薇肀肆膄虿袃羂芃螁肈芁节蒁袁膇芁薃肇膃芀螅羀聿艿袈螂 莇芈薇羈芃芈蚀螁腿芇螂羆肅莆蒂蝿羁莅薄羄芀莄蚆螇芆莃衿肃膂莂薈袅肈莂蚁肁羄莁螃袄节莀蒃聿膈葿薅袂肄蒈蚇肈羀蒇衿袀荿蒇蕿蚃 芅蒆蚁罿膁蒅螄螁肇蒄蒃羇羃蒃薆螀节薂蚈羅膈薁螀螈肄薁蒀羄肀薀蚂螆莈蕿螅肂芄薈袇袅膀薇薇肀肆膄虿袃羂芃螁肈芁节蒁袁膇芁薃肇 膃芀螅羀聿艿袈螂莇芈薇羈芃芈蚀螁腿芇螂羆肅莆蒂蝿羁莅薄羄芀莄蚆螇芆莃衿肃膂莂薈袅肈莂蚁肁羄莁螃袄节莀蒃聿膈葿薅袂肄蒈蚇肈 羀蒇衿袀荿蒇蕿蚃芅蒆蚁罿膁蒅螄螁肇蒄蒃羇羃蒃薆螀节薂蚈羅膈薁螀螈肄薁蒀羄肀薀蚂螆莈蕿螅肂芄薈袇袅膀薇薇肀肆膄虿袃羂芃螁肈 芁节蒁袁膇芁薃肇膃芀螅羀聿艿袈螂莇芈薇羈芃芈蚀螁腿芇螂羆肅莆蒂蝿羁莅薄羄芀莄蚆螇芆莃衿肃膂莂薈袅肈莂蚁肁羄莁螃袄节莀蒃聿 膈葿薅袂肄蒈蚇肈羀蒇衿袀荿蒇蕿蚃芅蒆蚁罿膁蒅螄螁肇蒄蒃羇羃蒃薆螀节薂蚈羅膈薁螀螈肄薁蒀羄肀薀蚂螆莈蕿螅肂芄薈袇袅膀薇薇肀 肆膄虿袃羂芃螁肈芁节蒁袁膇芁薃肇膃芀螅羀聿艿袈螂莇芈薇羈芃芈蚀螁腿芇螂羆肅莆蒂蝿羁莅薄羄芀莄蚆螇芆莃衿肃膂莂薈袅肈莂蚁肁 羄莁螃袄节莀蒃聿膈葿薅袂肄蒈蚇肈羀蒇衿袀荿蒇蕿蚃芅蒆蚁罿膁蒅螄螁肇蒄蒃羇羃蒃薆螀节薂蚈羅膈薁螀螈肄薁蒀羄肀薀蚂螆莈蕿螅肂 芄薈袇袅膀薇薇肀肆膄虿袃羂芃螁肈芁节蒁袁膇芁薃肇膃芀螅羀聿艿袈螂莇芈薇羈芃芈蚀螁腿芇螂羆肅莆蒂蝿羁莅薄羄芀莄蚆螇芆莃衿肃 膂莂薈袅肈莂蚁肁羄莁螃袄节莀蒃聿膈葿薅袂肄蒈蚇肈羀蒇衿袀荿蒇蕿蚃芅蒆蚁罿膁蒅螄螁肇蒄蒃羇羃蒃薆螀节薂蚈羅膈薁螀螈肄薁蒀羄 肀薀蚂螆莈蕿螅肂芄薈袇袅膀薇薇肀肆膄虿袃羂芃螁肈芁节蒁袁膇芁薃肇膃芀螅羀聿艿袈螂莇芈薇羈芃芈蚀螁腿芇螂羆肅莆蒂蝿羁莅薄羄 芀莄蚆螇芆莃衿肃膂莂薈袅肈莂蚁肁羄莁螃袄节莀蒃聿膈葿薅袂肄蒈蚇肈羀蒇衿袀荿蒇蕿蚃芅蒆蚁罿膁蒅螄螁肇蒄蒃羇羃蒃薆螀节薂蚈羅 膈薁螀螈肄薁蒀羄肀薀蚂螆莈蕿螅肂芄薈袇袅膀薇薇肀肆膄虿袃羂芃螁肈芁节蒁袁膇芁薃肇膃芀螅羀聿艿袈螂莇芈薇羈芃芈蚀螁腿芇螂羆 肅莆蒂蝿羁莅薄羄芀莄蚆螇芆莃衿肃膂莂薈袅肈莂蚁肁羄莁螃袄节莀蒃聿膈葿薅袂肄蒈蚇肈羀蒇衿袀荿蒇蕿蚃芅蒆蚁罿膁蒅螄螁肇蒄蒃羇 羃蒃薆螀节薂蚈羅膈薁螀螈肄薁蒀羄肀薀蚂螆莈蕿螅肂芄薈袇袅膀薇薇肀肆膄虿袃羂芃螁肈芁节蒁袁膇芁薃肇膃芀螅羀聿艿袈螂莇芈薇羈 芃芈蚀螁腿芇螂羆肅莆蒂蝿羁莅薄羄芀莄蚆螇芆莃衿肃膂莂薈袅肈莂蚁肁羄莁螃袄节莀蒃聿膈葿薅袂肄蒈蚇肈羀蒇衿袀荿蒇蕿蚃芅蒆蚁罿 膁蒅螄螁肇蒄蒃羇羃蒃薆螀节薂蚈羅膈薁螀螈肄薁蒀羄肀薀蚂螆莈蕿螅肂芄薈袇袅膀薇薇肀肆膄虿袃羂芃螁肈芁节蒁袁膇芁薃肇膃芀螅羀 聿艿袈螂莇芈薇羈芃芈蚀螁腿芇螂羆肅莆蒂蝿羁莅薄羄芀莄蚆螇芆莃衿肃膂莂薈袅肈莂蚁肁羄莁螃袄节莀蒃聿膈葿薅袂肄蒈蚇肈羀蒇衿袀 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膃芀螅羀聿艿袈螂莇芈薇羈芃芈蚀螁腿芇螂羆肅莆蒂蝿羁莅薄羄芀莄蚆螇芆莃衿肃膂莂薈袅肈莂蚁肁羄莁螃袄节莀蒃聿膈葿薅袂肄蒈蚇肈 羀蒇衿袀荿蒇蕿蚃芅蒆蚁罿膁蒅螄螁肇蒄蒃羇羃蒃薆螀节薂蚈羅膈薁螀螈肄薁蒀羄肀薀蚂螆莈蕿螅肂芄薈袇袅膀薇薇肀肆膄虿袃羂芃螁肈 芁节蒁袁膇芁薃肇膃芀螅羀聿艿袈螂莇芈薇羈芃芈蚀螁腿芇螂羆肅莆蒂蝿羁莅薄羄芀莄蚆螇芆莃衿肃膂莂薈袅肈莂蚁肁羄莁螃袄节莀蒃聿 膈葿薅袂肄蒈蚇肈羀蒇衿袀荿蒇蕿蚃芅蒆蚁罿膁蒅螄螁肇蒄蒃羇羃蒃薆螀节薂蚈羅膈薁螀螈肄薁蒀羄肀薀蚂螆莈蕿螅肂芄薈袇袅膀薇薇肀 肆膄虿袃羂芃螁肈芁节蒁袁膇芁薃肇膃芀螅羀聿艿袈螂莇芈薇羈芃芈蚀螁腿芇螂羆肅莆蒂蝿羁莅薄羄芀莄蚆螇芆莃衿肃膂莂薈袅肈莂蚁肁 羄莁螃袄节莀蒃聿膈葿薅袂肄蒈蚇肈羀蒇衿袀荿蒇蕿蚃芅蒆蚁罿膁蒅螄螁肇蒄蒃羇羃蒃薆螀节薂蚈羅膈薁螀螈肄薁蒀羄肀薀蚂螆莈蕿螅肂 芄薈袇袅膀薇薇肀肆膄虿袃羂芃螁肈芁节蒁袁膇芁薃肇膃芀螅羀聿艿袈螂莇芈薇羈芃芈蚀螁腿芇螂羆肅莆蒂蝿羁莅薄羄芀莄蚆螇芆莃衿肃 膂莂薈袅肈莂蚁肁羄莁螃袄节莀蒃聿膈葿薅袂肄蒈蚇肈羀蒇衿袀荿蒇蕿蚃芅蒆蚁罿膁蒅螄螁肇蒄蒃羇羃蒃薆螀节薂蚈羅膈薁螀螈肄薁蒀羄 肀薀蚂螆莈蕿螅肂芄薈袇袅膀薇薇肀肆膄虿袃羂芃螁肈芁节蒁袁膇芁薃肇膃芀螅羀聿艿袈螂莇芈薇羈芃芈蚀螁腿芇螂羆肅莆蒂蝿羁莅薄羄 芀莄蚆螇芆莃衿肃膂莂薈袅肈莂蚁肁羄莁螃袄节莀蒃聿膈葿薅袂肄蒈蚇肈羀蒇衿袀荿蒇蕿蚃芅蒆蚁罿膁蒅螄螁肇蒄蒃羇羃蒃薆螀节薂蚈羅 膈薁螀螈肄薁蒀羄肀薀蚂螆莈蕿螅肂芄薈袇袅膀薇薇肀肆膄虿袃羂芃螁肈芁节蒁袁膇芁薃肇膃芀螅羀聿艿袈螂莇芈薇羈芃芈蚀螁腿芇螂羆 肅莆蒂蝿羁莅薄羄芀莄蚆螇芆莃衿肃膂莂薈袅肈莂蚁肁羄莁螃袄节莀蒃聿膈葿薅袂肄蒈蚇肈羀蒇衿袀荿蒇蕿蚃芅蒆蚁罿膁蒅螄螁肇蒄蒃羇 羃蒃薆螀节薂蚈羅膈薁螀螈肄薁蒀羄肀薀蚂螆莈蕿螅肂芄薈袇袅膀薇薇肀肆膄虿袃羂芃螁肈芁节蒁袁膇芁薃肇膃芀螅羀聿艿袈螂莇芈薇羈 芃芈蚀螁腿芇螂羆肅莆蒂蝿羁莅薄羄芀莄蚆螇芆莃衿肃膂莂薈袅肈莂蚁肁羄莁螃袄节莀蒃聿膈葿薅袂肄蒈蚇肈羀蒇衿袀荿蒇蕿蚃芅蒆蚁罿 膁蒅螄螁肇蒄蒃羇羃蒃薆螀节薂蚈羅膈薁螀螈肄薁蒀羄肀薀蚂螆莈蕿螅肂芄薈袇袅膀薇薇肀肆膄虿袃羂芃螁肈芁节蒁袁膇芁薃肇膃芀螅羀 聿艿袈螂莇芈薇羈芃芈蚀螁腿芇螂羆肅莆蒂蝿羁莅薄羄芀莄蚆螇芆莃衿肃膂莂薈袅肈莂蚁肁羄莁螃袄节莀蒃聿膈葿薅袂肄蒈蚇肈羀蒇衿袀 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高一数学竞赛辅导讲义

由递推关系求通项公式
因为数列在课本上的内容和习题相对都比较简单，而在考试尤其是高考中数列题目大多数又比较难， 有的题目很难、很复杂，显示出很大的反差。使得在学习数列时感到很困难。同时，数列题目种类繁多， 很难归类。为了便于研究数列问题，找出其中某些常见数列题目的解题思路、规律、方法，现把一些常见 的数列通项公式的求法作以下归类。 一、作差求和法 m w.w.w.k.s.5.u.c.o 例 1 在数列{ an }中，, a1 ? 3 a n ?1 ? a n ? 解：原递推式可化为： a n ?1 ? a n ?

1 ，求通项公式 an . n(n ? 1)

1 1 1 1 1 1 ? a3 ? a 2 ? ? 则 a 2 ? a1 ? ? , n n ?1 1 2 2 3 1 1 1 1 1 1 ? 逐项相加得： a n ? a1 ? 1 ? .故 a n ? 4 ? . a 4 ? a 3 ? ? ，……， a n ? a n ?1 ? n ?1 n n 3 4 n
2 2

二、作商求和法 例 2 设数列{ an }是首项为 1 的正项数列，且 (n ? 1)an?1 ? nan ? an?1an ? 0（n=1,2,3…） ，则它的 通项公式是 an =▁▁▁（2000 年高考 15 题） 解：原递推式可化为：

[(n ? 1)an?1 ? nan ](an?1 ? an ) =0

∵ an?1 ? an ＞0，

a n ?1 n ? an n ?1 an 1 1 ? ，即 an = . n a1 n

则

a a 2 1 a3 2 a 4 3 n ?1 ? , ? , ? , ……， n ? a1 2 a 2 3 a3 4 a n?1 n

逐项相乘得：

三、换元法 例 3 已知数列{ an }，其中 a1 ?

4 13 1 , a 2 ? ，且当 n≥3 时， a n ? a n ?1 ? (a n ?1 ? a n ? 2 ) ，求通项公 3 9 3

式 an （1986 年高考文科第八题改编）. 解：设 bn?1 ? an ? an?1 ，原递推式可化为：

bn ?1

13 4 1 1 1 bn ?1 ? bn ? 2 , {bn } 是 一 个 等 比 数 列 ， b1 ? a 2 ? a1 ? ? ? ， 公 比 为 . 故 9 3 9 3 3 1 1 1 1 1 3 1 1 ? b1 ? ( ) n ? 2 ? ( ) n ? 2 ? ( ) n .故 a n ? a n ?1 ? ( ) n .由逐差法可得： a n ? ? ( ) n . 3 9 3 3 3 2 2 3

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例 4 已知数列{ an }，其中 a1 ? 1, a2 ? 2 ，且当 n≥3 时， an ? 2an?1 ? an?2 ? 1 ，求通项公式 an 。解 由 an ? 2an?1 ? an?2 ? 1 得：(an ? an?1 ) ? (an?1 ? an?2 ) ? 1 ， 令 bn?1 ? an ? an?1 ， 则上式为 bn?1 ? bn?2 ? 1 ， 因此 {bn } 是一个等差数列， b1 ? a2 ? a1 ? 1 ，公差为 1.故 bn ? n .。 由于 b1 ? b2 ? ? ? bn?1 ? a2 ? a1 ? a3 ? a2 ? ? ? an ? an?1 ? an ? 1 又 b1 ? b2 ? ? ? bn ?1 ? 所以 a n ? 1 ?

n(n ? 1) 2

1 1 n(n ? 1) ，即 a n ? (n 2 ? n ? 2) 2 2
(n ? 2) 且 a0 ? a1 ? 1，

四、积差相消法

a1 ，an …， 例 5 设正数列 a0 ， …满足 an an?2 ? a n ?1 a n ?2 = 2a n ?1 an ，
求 {an } 的通项公式. 解 将递推式两边同除以 an?1an?2 整理得：

an a ? 2 n?1 ? 1 an?1 an ?2

设 bn =

an a1 ，则 b1 ? =1， bn ? 2bn?1 ? 1 ，故有 an?1 a0
⑴ b3 ? 2b2 ? 1 … … ( n ?1)
n ?3 0 n +…+( n ? 1 ) 2 得 bn ? 1 ? 2 ? 2 2 ? ? ? 2 n?1 = 2 ? 1 ，即

b2 ? 2b1 ? 1
… …

⑵

bn ? 2bn?1 ? 1
由⑴ ? 2
n?2

+ ⑵? 2

an n = 2 ?1 . an?1

逐项相乘得： an = (2 ? 1) ? (2 ? 1) ? ?? (2 ? 1) ，考虑到 a0 ? 1 ，
2 2 2 n 2

故 an ? ?

1 ? 2 2 2 n 2 ?(2 ? 1) (2 ? 1) ? ? ? (2 ? 1)

( n ? 0) ( n ? 1)

.

五、取倒数法 例 6 已知数列{ an }中，其中 a1 ? 1, ，且当 n≥2 时， a n ?

a n ?1 ，求通项公式 an 。 2a n ?1 ? 1

解

将 an ?

a n ?1 1 1 1 1 两边取倒数得： ? ? 2 ，这说明 { } 是一个等差数列，首项是 ? 1 ， a n a n ?1 an a1 2a n ?1 ? 1

公差为 2，所以

1 1 . ? 1 ? (n ? 1) ? 2 ? 2n ? 1，即 a n ? 2n ? 1 an

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六、取对数法 例 7 若数列{ an }中， a1 =3 且 an?1 ? an （n 是正整数） ，则它的通项公式是 an =▁▁▁（2002 年上 海高考题）. 解 由题意知 an ＞0，将 an?1 ? an 两边取对数得 lg an?1 ? 2 lg an ，即
2 2

lg a n ?1 ? 2 ，所以数列 {lg an } lg a n
，即 an ? 32
n ?1

是以 lg a1 = lg 3 为首项，公比为 2 的等比数列， lg an ? lg a1 ? 2 n?1 ? lg 32 七、平方（开方）法 例 8 若数列{ an }中， a1 =2 且 a n ? 解 将 an ?

n ?1

.

2 3 ? an ，求它的通项公式是 an . ?1 （n ? 2 ）

2 2 2 2 2 3 ? an ?1 两边平方整理得 an ? an?1 ? 3 。数列{ a n }是以 a1 =4 为首项，3 为公差的等差

2 数列。 an ? a12 ? (n ? 1) ? 3 ? 3n ? 1。因为 an ＞0，所以 an ? 3n ? 1 。

八、待定系数法 待定系数法解题的关键是从策略上规范一个递推式可变成为何种等比数列，可以少走弯路.其变换的 基本形式如下： 1、 an?1 ? Aan ? B （A、B 为常数）型，可化为 an?1 ? ? =A（ an ? ? ）的形式. 例 9 若数列{ an }中，a1 =1，S n 是数列{ an }的前 n 项之和， 且 S n?1 ? 的通项公式是 an . 解 递推式 S n?1 ?

Sn （n ? 1 ） ， 求数列{ an } 3 ? 4S n

Sn 1 1 可变形为 ? 3? ?4 S n?1 Sn 3 ? 4S n
? ? ? 3( 1 ? ?) Sn 1 S n?1

（1）

设（1）式可化为

1 S n ?1

（2）

比较 （1） 式与 （2） 式的系数可得 ? ? 2 ， 则有

? 2 ? 3(

1 1 1 故数列{ ? 2 }是以 ? 2 ? 3 ? 2) 。 Sn Sn S1

为首项，3 为公比的等比数列。

1 1 。 ? 2 = 3 ? 3n?1 ? 3n 。所以 S n ? n 3 ?1 Sn

当 n ? 2 ， a n ? S n ? S n ?1 ?

1 1 ? 2 ? 3n ? ? 。 3n ? 2 3n?1 ? 2 32 n ? 8 ? 3n ? 12

数列{ an }的通项公式是 an ? ?

1 ? ?

? 2 ? 3n ? ? 32n ? 8 ? 3n ? 12

( n ? 1) ( n ? 2)

。

n 2、 an?1 ? Aan ? B ? C （A、B、C 为常数，下同）型，可化为 an?1 ? ? ? C n?1 = A(an ? ? ? C n ）的形

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式. 例 10 在数列{ an }中， a1 ? ?1, an?1 ? 2an ? 4 ? 3n?1 , 求通项公式 an 。 解：原递推式可化为：

an?1 ? ? ? 3n ? 2(an ? ? ? 3n?1 )

①

比较系数得 ? =-4，①式即是： an?1 ? 4 ? 3n ? 2(an ? 4 ? 3n?1 ) . 则数列 {an ? 4 ? 3n?1} 是一个等比数列，其首项 a1 ? 4 ? 31?1 ? ?5 ，公比是 2. ∴ an ? 4 ? 3n?1 ? ?5 ? 2 n?1 即 an ? 4 ? 3n?1 ? 5 ? 2 n?1 . 3、 an?2 ? A ? an?1 ? B ? an 型，可化为 an?2 ? ?an?1 ? ( A ? ? ) ? (an?1 ? ?an ) 的形式。 例 11 在数列{ an }中， a1 ? ?1, a2 ? 2 ，当 n ? N ， an?2 ? 5an?1 ? 6an ① 解：①式可化为： 求通项公式 an .

an?2 ? ?an?1 ? (5 ? ? )(an?1 ? ?an )
比较系数得 ? =-3 或 ? =-2，不妨取 ? =-2.①式可化为：

an?2 ? 2an?1 ? 3(an?1 ? 2an )
则 {an?1 ? 2an } 是一个等比数列，首项 a2 ? 2a1 =2-2（-1）=4，公比为 3. ∴ an?1 ? 2an ? 4 ? 3n?1 .利用上题结果有：

an ? 4 ? 3n?1 ? 5 ? 2n?1 .
4、 an?1 ? Aan ? Bn ? C 型，可化为 an?1 ? ?1n ? ?2 ? A[an ? ?1 (n ? 1) ? ?2 ] 的形式。 例 12 在数列{ an }中， a1 ? 求通项公式 an . 解 ①式可化为：

3 ， 2an ? an?1 =6 n ? 3 2

①

2(an ? ?1n ? ?2 ) ? an?1 ? ?1 (n ? 1) ? ?2

②

比较系数可得：

?1 =-6， ?2 ? 9 ，② 式为 2bn ? bn?1
9 1 ，公比为 . 2 2 9 1 n ?1 1 n 1 n ∴ bn ? ( ) 即 a n ? 6n ? 9 ? 9 ? ( ) 故 a n ? 9 ? ( ) ? 6n ? 9 . 2 2 2 2

{bn } 是一个等比数列，首项 b1 ? a1 ? 6n ? 9 ?

九、猜想法

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运用猜想法解题的一般步骤是： 首先利用所给的递推式求出 a1 , a2 , a3 , ……， 然后猜想出满足递推式 的一个通项公式 an ，最后用数学归纳法证明猜想是正确的。 十、特征方程法（形如 an?2 ? pan?1 ? qan ( p, q 是常数）的数列） 形如 a1 ? m1 , a2 ? m2 , an?2 ? pan?1 ? qan ( p, q 是常数） 的二阶递推数列都可用特征根法求得通项 an ， 其特征方程为 x2 ? px ? q …① 若①有二异根 ? , ? ，则可令 an ? c1? n ? c2 ? n (c1, c2 是待定常数） 若①有二重根 ? ? ? ，则可令 an ? (c1 ? nc2 )? n (c1 , c2 是待定常数） 再利用 a1 ? m1 , a2 ? m2 , 可求得 c1 , c2 ，进而求得 an ．

例 13．已知数列 {an } 满足 a1 ? 2, a2 ? 3, an?2 ? 3an?1 ? 2an (n ? N * ) ，求数列 {an } 的通项 an ． 解：其特征方程为 x 2 ? 3x ? 2 ，解得 x1 ? 1, x2 ? 2 ，令 an ? c1 ?1n ? c2 ? 2n ，

?c1 ? 1 ?a1 ? c1 ? 2c2 ? 2 ? 由? ，得 ? 1， c ? ?a2 ? c1 ? 4c2 ? 3 2 ? ? 2

?an ? 1 ? 2n?1 ．

例 14．已知数列 {an } 满足 a1 ? 1, a2 ? 2, 4an?2 ? 4an?1 ? an (n ? N * ) ，求数列 {an } 的通项 an ．

1 ?1? 解：其特征方程为 4 x ? 4 x ? 1 ，解得 x1 ? x2 ? ，令 an ? ? c1 ? nc2 ? ? ? ， 2 ?2?
2

n

1 ? a1 ? (c1 ? c2 ) ? ? 1 ? ?c1 ? ?4 ? 2 由? ，得 ? ， ?c2 ? 6 ? a ? ( c ? 2c ) ? 1 ? 2 2 1 2 ? ? 4
Aan ? B 的数列） Can ? D

? an ?

3n ? 2 ． 2n ?1

十一、不动点法（形如 an ? 2 ?

对于数列 an ? 2 ?

Aan ? B ， a1 ? m, n ? N * ( A, B, C, D 是常数且 C ? 0, AD ? BC ? 0 ） Can ? D
Ax ? B 2 ，变形为 Cx ? ( D ? A) x ? B ? 0 …② Cx ? D

其特征方程为 x ?

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若②有二异根 ? , ? ，则可令

an ?1 ? ? a ?? （其中 c 是待定常数） ，代入 a1 , a2 的值可求得 c 值． ? c? n an ?1 ? ? an ? ?

这样数列 ?

? an ? ? ? a1 ? ? ，公比为 c 的等比数列，于是这样可求得 an ． ? 是首项为 a1 ? ? ? an ? ? ?
1 1 ， 代入 a1 , a2 的值可求得 c 值． ? ? c（其中 c 是待定常数） an?1 ? ? an ? ?

若②有二重根 ? ? ? ， 则可令

这样数列 ?

?

1 ? 1 ，公差为 c 的等差数列，于是这样可求得 an ． ? 是首项为 a ? ? a ? ? n ? n ?

此方法又称不动点法．

例 15．已知数列 {an } 满足 a1 ? 2, an ?

an?1 ? 2 (n ? 2) ，求数列 {an } 的通项 an ． 2an?1 ? 1

解：其特征方程为 x ? 由 a1 ? 2, 得 a2 ?

a ?1 a ?1 x?2 2 ，化简得 2 x ? 2 ? 0 ，解得 x1 ? 1, x2 ? ?1 ，令 n ?1 ? c? n 2x ?1 an ?1 ? 1 an ? 1

4 1 ，可得 c ? ? ， 5 3
n ?1

? a ? 1? a ?1 1 ? 1 ? 1 a ?1 1 ? ?? ? ? ?数列 ? n ? 是以 1 ? 为首项，以 ? 为公比的等比数列，? n 3 a1 ? 1 3 an ? 1 3 ? 3 ? ? an ? 1 ?
? an ? 3n ? (?1)n ． 3n ? (?1)n
2an ? 1 (n ? N * ) ，求数列 {an } 的通项 an ． 4an ? 6

，

例 16．已知数列 {an } 满足 a1 ? 2, an ?1 ? 解：其特征方程为 x ?

2x ?1 1 2 ，即 4 x ? 4 x ? 1 ? 0 ，解得 x1 ? x2 ? ? ，令 4x ? 6 2

1 1 an?1 ? 2

?

1 1 an ? 2

?c

由 a1 ? 2, 得 a2 ?

3 ，求得 c ? 1 ， 14

? ? ? 1 ? 1 2 3 1 2 ? 数列 ? ? ? (n ? 1) ?1 ? n ? ， ? 为首项，以1 为公差的等差数列，? ? 是以 1 1 1 5 5 5 ? an ? ? an ? a1 ? ? 2? 2 2 13 ? 5n ? an ? ． 10n ? 6

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强化训练
1. 设数列{an}的前项的和 Sn=

1 ? （an-1） (n ? N )． 3

(Ⅰ)求 a1；a2； (Ⅱ)求证数列{an}为等比数列．

2

已知数列{an}的前 n 项和 Sn 满足：Sn=2an +(-1)n,n≥1． （Ⅰ）写出求数列{an}的前 3 项 a1,a2,a3； （Ⅱ）求数列{an}的通项公式；

（Ⅲ）证明：对任意的整数 m>4，有

1 1 1 7 ? ?? ? ? . a4 a5 am 8

3. 已知二次函数 y ? f ( x) 的图像经过坐标原点， 其导函数为 f ( x) ? 6 x ? 2 ， 数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ，
'

点 (n, Sn )(n ? N ? ) 均在函数 y ? f ( x) 的图像上． （Ⅰ）求数列 {an } 的通项公式；

（Ⅱ）设 bn ?

m 1 ? ，Tn 是数列 {bn } 的前 n 项和，求使得 Tn ? 对所有 n ? N 都成立的最小正整数 m． 20 an an ?1

4. 若数列 ?an ? 满足： a1 ? 2, a n ?

2(2n ? 1) a n ?1 , (n ? 2) ． n

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求证：① an ? C （I） 求 a3 , a5 ；

n 2n ；

② an 是偶数 ．

5. 已知数列 {an } 中a1 ? 1，且 a2k ? a2k ?1 ? (?1) k , （II）求{ an}的通项公式.

a2k ?1 ? a2k ? 3k

其中 k=1,2,3,…….

6. 设 a0 是常数，且 an ? ?2an?1 ? 3n?1 ， （n? N ） ．
*

证明： a n ? (?2)

n ?1

a0 ?

3 n ? (?1) n ?1 ? 2 n ． 5

7. 已知数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn 满足 Sn ? 2an ? (?1)n , n ? 1 ． (Ⅰ)写出数列 ?an ? 的前 3 项 a1 ,a 2 , a3 ; (Ⅱ)求数列 ?an ? 的通项公式．

8. 已知数列 {a n } 满足 a n ?1 ? 2a n ? 3 ? 2 n ， a 1 ? 2 ，求数列 {a n } 的通项公式。

，a 1 ? 1 ，求数列 {a n } 的通项公式。 9. 已知数列 {a n } 满足 a n ?1 ? a n ? 2n ? 1

10. 已知数列 {a n } 满足 a n ?1 ? a n ? 2 ? 3n ? 1 ，a 1 ? 3 ，求数列 {a n } 的通项公式。

11. 已知数列 {a n } 满足 a n ?1 ? 3a n ? 2 ? 3n ? 1 ，a 1 ? 3 ，求数列 {a n } 的通项公式。

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12. 已知数列 {a n } 满足 a n ?1 ? 2(n ? 1)5n ? a n，a 1 ? 3 ，求数列 {a n } 的通项公式。

13. 已 知 数 列 {a n } 满 足 a 1 ? 1 ，a n ? a 1 ? 2a 2 ? 3a 3 ? ? ? (n ? 1) ? (n ? 1)a n ?1 (n ? 2) ， 则 {a n } 的 通 项

?1，n ? 1 ? a n ? ? n! ，n ? 2 ? ?2
14. 已知数列 {a n } 满足 a n ?1 ? 2a n ? 3 ? 5 n ，a 1 ? 6 ，求数列 {a n } 的通项公式。

15. 已知数列 {a n } 满足 a n ? 1 ? 3a n ? 5 ? 2 n ? 4，a 1 ? 1 ，求数列 {a n } 的通项公式。

16. 已知数列 {a n } 满足 a n ?1 ? 2a n ? 3 ? n 2 ? 4n ? 5，a1 ? 1 ，求数列 {a n } 的通项公式。

17. 已知数列 {a n } 满足 a n ?1 ? 2 ? 3n a 5 n ， a 1 ? 7 ，求数列 {a n } 的通项公式。

( n ?1) 2 18. 已知数列 {a n } 满足 a n ?1 ? a 3 ，a 1 ? 5 ，求数列 {a n } 的通项公式。 n

n

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19. 已知数列 {a n } 满足 a n ?1 ? a n ?

8(n ? 1) 8 ，a 1 ? ，求数列 {a n } 的通项公式。 2 2 9 (2n ? 1) (2n ? 3)

20. 已知数列 {a n } 满足 a n ?1 ?

1 (1 ? 4a n ? 1 ? 24a n )，a 1 ? 1 ，求数列 {a n } 的通项公式。 16

21. 已知数列 {a n } 满足 a n ?1 ?

21a n ? 24 ，a 1 ? 4 ，求数列 {a n } 的通项公式。 4a n ? 1

22. 已知数列 {a n } 满足 a n ?1 ?

7a n ? 2 ，a 1 ? 2 ，求数列 {a n } 的通项公式。 2a n ? 3

答案： 1. 解: (Ⅰ)由 S1 ?

1 1 1 1 1 ( a1 ? 1) ,得 a1 ? (a1 ? 1) ∴ a1 ? ? 又 S 2 ? (a 2 ? 1) ,即 a1 ? a 2 ? (a 2 ? 1) ,得 3 3 2 3 3

a2 ?

1 . 4

(Ⅱ)当 n>1 时, a n ? S n ? S n ?1 ?

1 1 (a n ? 1) ? (a n ?1 ?1), 3 3

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得

an 1 1 1 ? ? , 所以 ?an ? 是首项 ? ,公比为 ? 的等比数列． 2 2 an?1 2

2. 解：?当 n=1 时,有：S1=a1=2a1+(-1) ? a1=1； 当 n=2 时,有：S2=a1+a2=2a2+(-1)2 ? a2=0； 当 n=3 时,有：S3=a1+a2+a3=2a3+(-1)3 ? a3=2； 综上可知 a1=1,a2=0,a3=2； ?由已知得： an ? Sn ? Sn?1 ? 2an ? (?1)n ? 2an ?1 ? (?1)n?1 化简得： an ? 2an?1 ? 2(?1)n?1

2 2 (?1) n ? 2[an ?1 ? (?1) n ?1 ] 3 3 2 2 n 1 故数列{ an ? ( ?1) }是以 a1 ? (?1) 为首项, 公比为 2 的等比数列. 3 3 2 1 n ?1 1 n ?1 2 2 n?2 n n n 故 an ? ( ?1) ? 2 ∴ an ? ?2 ? (?1) ? [2 ? (?1) ] 3 3 3 3 3 2 n?2 n 数列{ an }的通项公式为： an ? [2 ? (?1) ] . 3
上式可化为： an ? ?由已知得：

1 1 1 3 1 1 1 ? ??? ? [ 2 ? 3 ? ? ? m? 2 ] a4 a5 am 2 2 ? 1 2 ? 1 2 ? (?1)m
3 1 1 1 1 1 1 ? [ ? ? ? ? ? ? ? m?2 ] 2 3 9 15 33 63 2 ? (?1)m
1 1 1 1 1 ? [1 ? ? ? ? ? ?] 2 3 5 11 21 1 1 1 1 1 ? [1 ? ? ? ? ? ?] 2 3 5 10 20 1 1 (1 ? m?5 ) 1 4 2 2 1 1 4 5 2 ? [ ? ] ? [ ? ? ? m ?5 ] 1 2 3 5 5 2 2 3 1? 2 13 1 1 13 104 105 7 ? ? ?( ) m?5 ? ? ? ? . 15 5 2 15 120 120 8

故

1 1 1 7 ? ??? ? ( m>4). a4 a5 am 8

3. 解： （Ⅰ）设这二次函数 f(x)＝ax2+bx (a≠0) ,则 f`(x)=2ax+b,由于 f`(x)=6x－2,得 a=3 , b=－2, 所以 f(x)＝3x2－2x.

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又因为点 (n, Sn )(n ? N ? ) 均在函数 y ? f ( x) 的图像上，所以 Sn ＝3n2－2n. 当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝（3n2－2n）－ （ 3 n ? 1) 2 ? 2(n ? 1) ＝6n－5. 当 n＝1 时，a1＝S1＝3× 12－2＝6× 1－5，所以，an＝6n－5 （ n ? N ）. （2006 年安徽卷）数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ， 已知 a1 ?
?

?

?

1 , Sn ? n 2 an ? n ? n ? 1? , n ? 1, 2, ??? ． 2

（Ⅰ）写出 Sn 与 S n ?1 的递推关系式 ? n ? 2 ? ，并求 Sn 关于 n 的表达式；

S n n ?1 x , bn ? f n/ ? p ?? p ? R ? ，求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn ． n 解：由 Sn ? n2an ? n ? n ?1? ? n ? 2 ? 得： Sn ? n2 (Sn ? Sn?1 ) ? n ? n ?1? ，即 (n2 ?1)Sn ? n2 Sn?1 ? n ? n ?1? ，
（Ⅱ）设 f n ? x ? ?

n ?1 n Sn ? Sn ?1 ? 1 ，对 n ? 2 成立． n n ?1 n ?1 n n n ?1 3 2 n ?1 Sn ? Sn ?1 ? 1 ， Sn ?1 ? Sn?2 ? 1 ， Sn ? 2S1 ? n ? 1 ， 由 …， S 2 ? S1 ? 1 相加得： n n ?1 n ?1 n?2 2 1 n 1 n2 又 S1 ? a1 ? ，所以 Sn ? ，当 n ? 1 时，也成立． 2 n ?1 S n ?1 n n ?1 x ，得 bn ? fn/ ? p ? ? npn ． （Ⅱ）由 f n ? x ? ? n x ? n n ?1 2 3 而 Tn ? p ? 2 p ? 3 p ? ?? (n ?1) pn?1 ? npn ，
所以

pTn ? p2 ? 2 p3 ? 3 p4 ? ?? (n ?1) pn ? npn?1 ，
(1 ? P)Tn ? p ? p 2 ? p3 ? ? ? p n?1 ? p n ? np n?1 ? p(1 ? p n ) ? np n?1 ． 1? p

4. 证明：由已知可得：

an 2(2n ? 1) ? an?1 n

(2n)! ?2 ? 4 ? 6 ? ? (2n ? 2)2n? ? ?1 ? 3 ? 5? (2n ? 1)? 2 n ? 3 ? 5 ? ? (2n ? 1) ? 而C ? = n!?n! n!?n! n! n n n 所以 an ? C2n ，而 an ? C2n ? 2C2n?1 为偶数．
n 2n

an an?1 a2 2 n ? 3 ? 5 ? ? (2n ? 1) 又 an ? ? ? ? ? a1 = n! an?1 an?2 a1

5. 解（Ⅰ） （略） a3 ? 3, a5 ? 13 (II)

a2k ?1 ? a2k ? 3k ? a2k ?1 ? (?1) k ? 3k

所以 a2k ?1 ? a2k ?1 ? 3k ? (?1) k ，为差型 故 a2k ?1 ? (a2k ?1 ? a2k ?1 ) ? (a2k ?1 ? a2k ?3 ) ? ?(a3 ? a1 ) ? a1

? (3k ? 3k ?1 ? ?3) ? (?1) k ? (?1) k ?1 ? ? ? (?1) ? 1

?

?

高一数学竞赛辅导讲义

=

3

k ?1

1 ? (?1) k ? 1 ． 2 2 3k 1 3k 1 ? (?1) k ?1 ? (?1) k ? 1 ? ? (?1) k ? 1 ． 2 2 2 2

a 2 k ? a 2 k ?1 ? (?1) k ?

所以{an}的通项公式为： 当 n 为奇数时， a n ?

3

n?2 2

2
n

? (?1)
n

n ?1 2

?

1 ?1； 2

32 1 ? (?1) 2 ? ? 1 ． 当 n 为偶数时， a n ? 2 2
1 ． 5 ? a ? an a 1 3 方法（2） ：构造差型数列 ? n n ? ，即两边同时除以 (?2) n 得： ? n?1 ? ? (? ) n ，从而可 n n ?1 3 2 (?2) (?2) ? ( ?2) ?
6. 方法（1） ：构造公比为—2 的等比数列 an ? ? ? 3n ，用待定系数法可知 ? ? ? 以用累加的方法处理． 方法（3） ：直接用迭代的方法处理：

?

?

an ? ?2an?1 ? 3n?1 ? ?2(?2an?2 ? 3n?2 ) ? 3n?1 ? (?2) 2 an?2 ? (?2)3n?2 ? 3n?1
? (?2) 2 (?2an?3 ? 3n?3 ) ? (?2) 2 3n?2 ? 3n?1

? (?2) 3 an?3 ? (?2) 2 3n?3 ? (?2) 3n?2 ? 3n?1 ? ?

? (?2) n a0 ? (?2) n?1 30 ? (?2) n?2 31 ? (?2) n?3 32 ? ?(?2) 2 3n?3 ? (?2) 3n?2 ? 3n?1
? (?2) n a0 ? 3 n ? (?1) n ?1 ? 2 n ． 5
-① -② -③ -④ -⑤

7. 分析： S n ? 2an ? (?1) n , n ? 1. 由 a1 ? S1 ? 2a1 ? 1, 得 a1 ? 1. 由 n ? 2 得， a1 ? a2 ? 2a2 ? 1 ，得 a 2 ? 0 用 n ? 1 代 n 得 S n?1 ? 2an?1 ? (?1) n?1 即 an ? 2an?1 ? 2(?1) n

由 n ? 3 得， a1 ? a2 ? a3 ? 2a3 ? 1，得 a3 ? 2 ①—⑤： an ? S n ? S n?1 ? 2an ? 2an?1 ? 2(?1) n

--⑥

an ? 2an?1 ? 2(?1) n ? 2 2an?2 ? 2(?1) n?1 ? 2(?1) n ? 22 an?2 ? 22 (?1) n?1 ? 2(?1) n
? ? ? 2 n?1 a1 ? 2 n?1 (?1) ? 2 n?2 (?1) 2 ? ?2(?1) n ?
2 n?2 2 ? (?1) n ?1 3

?

?

?

?

8. 解： a n ?1 ? 2a n ? 3 ? 2 n 两边除以 2 n ?1 ，得

a n ?1 2
n ?1

?

an 2
n

?

a ?1 a n 3 3 ? ? ， ，则 n 2 2 n ?1 2 n 2

故数列 {

a an 2 3 ? ?1 为 首 ， 以 为 公 差 的 等 差 数 列 ， 由 等 差 数 列 的 通 项 公 式 ， 得 } 是以 1 1 2 2n 2 2 3 3 1 ，所以数列 {a n } 的通项公式为 a n ? ( n ? )2 n 。 2 2 2

an 2
n

? 1 ? ( n ? 1)

高一数学竞赛辅导讲义

9. 解：由 a n ?1 ? a n ? 2n ? 1 得 a n ?1 ? a n ? 2n ? 1 则 a n ? (a n ? a n ?1 ) ? (a n ?1 ? a n ?2 ) ? ? ? (a 3 ? a 2 ) ? (a 2 ? a 1 ) ? a 1

? [2(n ? 1) ? 1] ? [2(n ? 2) ? 1] ? ? ? (2 ? 2 ? 1) ? (2 ? 1 ? 1) ? 1 ? 2[( n ? 1) ? (n ? 2) ? ? ? 2 ? 1] ? (n ? 1) ? 1 (n ? 1)n ? 2? ? (n ? 1) ? 1 2
所以数列 {a n } 的通项公式为 a n ? n 2

10. 解：由 a n ?1 ? a n ? 2 ? 3n ? 1 得 a n ?1 ? a n ? 2 ? 3n ? 1 则 a n ? (a n ? a n ?1 ) ? (a n ?1 ? a n ?2 ) ? ? ? (a 3 ? a 2 ) ? (a 2 ? a 1 ) ? a 1

? (2 ? 3n ?1 ? 1) ? (2 ? 3n ?2 ? 1) ? ? ? (2 ? 32 ? 1) ? (2 ? 31 ? 1) ? 3 ? 2(3n ?1 ? 3n ?2 ? ? ? 32 ? 31 ) ? (n ? 1) ? 3
所以 a n ? 2 ?

3 ? 3n ? n ? 2 ? 3n ? n ? 1 1? 3

11. 解： a n ?1 ? 3a n ? 2 ? 3n ? 1 两边除以 3 n ?1 ，得

a n ?1 3
n ?1

?

an 3
n

? an 3
n

2 1 ? n ?1 ， 3 3 ? 2 1 ? n ?1 ， 3 3

则

a n ?1 3
n ?1

?

故

an 3
n

?(

an 3
n

?

a n ?1 a a n ?2 a n ? 2 a n ?3 a 2 a1 a ) ? ( n ?1 ? n )?( n ? n ?3 ) ? ? ? ( 2 ? 1)? 1 ?2 ?2 a n ?1 a n ?1 3 3 3 3 3 3

2 1 2 1 2 1 2 1 3 ? ( ? n ) ? ( ? n ?1 ) ? ( ? n ? 2 ) ? ? ? ( ? 2 ) ? 3 3 3 3 3 3 3 3 3

高一数学竞赛辅导讲义

?

2(n ? 1) 1 1 1 1 1 ? ( n ? n ? n ?1 ? n ? 2 ? ? ? 2 ) ? 1 3 3 3 3 3 3

1 ? (1 ? 3 n ?1 ) a n 2(n ? 1) 3 n 2n 1 1 因此 n ? ， ? ?1? ? ? 3 1? 3 3 2 2 ? 3n 3
则 an ?

2 1 1 ? n ? 3n ? ? 3n ? 3 2 2

12. 解：因为 a n ?1 ? 2(n ? 1)5n ? a n，a 1 ? 3 ，所以 a n ? 0 ，则

a n ?1 ? 2(n ? 1)5 n ， an

则an ?

an a n ?1

?

a n ?1 an?2

???

a3 a2

?

a2 a1

? a1

? [2(n ? 1 ? 1)5n ?1 ] ? [2(n ? 2 ? 1)5n ?2 ]?[2 ? (2 ? 1) ? 52 ] ? [2 ? (1 ? 1) ? 51 ] ? 3 ? 2 n ?1 ? [n ? (n ? 1) ? ?? 3 ? 2] ? 5( n ?1)?( n ?2)???2?1 ? 3
所以数列 {a n } 的通项公式为
n ( n ?1) 2

a n ? 3 ? 2 n ?1 ? 5

? n!

13. 解：因为 a n ? a 1 ? 2a 2 ? 3a 3 ? ? ? (n ? 1)a n ?1 (n ? 2) 所以 a n ?1 ? a 1 ? 2a 2 ? 3a 3 ? ? ? (n ? 1)a n ?1 ? na n 所以②式－①式得 a n ?1 ? a n ? na n 则 a n ?1 ? (n ? 1)a n (n ? 2) ②

①

则

a n ?1 ? n ? 1(n ? 2) an a a n a n ?1 ? ??? 3 ? a 2 a n ?1 a n ? 2 a2

所以 a n ?

? [n(n ? 1) ? ? ? 4 ? 3] ? a 2 ?

n! ? a2 2

③

高一数学竞赛辅导讲义

由 a n ? a 1 ? 2a 2 ? 3a 3 ? ? ? (n ? 1)a n ?1 (n ? 2) ，取 n=2 得 a 2 ? a 1 ? 2a 2 ，则 a 2 ? a 1 ，又知 a 1 ? 1 ，则

a 2 ? 1，代入③得

a n ? 1? 3 ? 4 ? 5 ? ?? n ?

n! 。 2

14. 解：设 a n ?1 ? x ? 5 n ?1 ? 2(a n ? x ? 5 n )

④

将 a n ?1 ? 2a n ? 3 ? 5n 代 入 ④ 式 ， 得 2a n ? 3 ? 5 n ? x ? 5 n ?1 ? 2a n ? 2x ? 5 n ， 等 式 两 边 消 去 2a n ， 得

3 ? 5 n ? x ? 5 n ?1 ? 2x ? 5 n ，两边除以 5 n ，得 3 ? x ? 5 ? 2 x ，则 x=－1，代入④式，
得 a n ?1 ? 5 n ?1 ? 2(a n ? 5n ) ⑤

由 a 1 ? 51 ? 6 ? 5 ? 1 ≠0 及⑤式， 得 a n ? 5n ? 0 ， 则

a n ?1 ? 5 n ?1 an ? 5
n

则数列 {a n ? 5 n } 是以 a 1 ? 51 ? 1 为 ? 2，

首项，以 2 为公比的等比数列，则 a n ? 5 n ? 1 ? 2 n ?1 ，故 a n ? 2n ?1 ? 5n 。

15. 解：设 a n ?1 ? x ? 2 n ?1 ? y ? 3(a n ? x ? 2 n ? y) 将 a n ?1 ? 3a n ? 5 ? 2 n ? 4 代入⑥式，得

⑥

3a n ? 5 ? 2 n ? 4 ? x ? 2 n ?1 ? y ? 3(a n ? x ? 2 n ? y)
整理得 (5 ? 2x) ? 2 n ? 4 ? y ? 3x ? 2 n ? 3y 。

?5 ? 2x ? 3x ?x ? 5 令? ，则 ? ，代入⑥式，得 ?4 ? y ? 3 y ?y ? 2

a n ?1 ? 5 ? 2 n ?1 ? 2 ? 3(a n ? 5 ? 2 n ? 2)
由 a 1 ? 5 ? 21 ? 2 ? 1 ? 12 ? 13 ? 0 及⑦式，

⑦

得 a n ? 5 ? 2 n ? 2 ? 0 ，则

a n ?1 ? 5 ? 2 n ?1 ? 2 a n ? 5 ? 2n ? 2

?3，

高一数学竞赛辅导讲义

故 数 列 {a n ? 5 ? 2 n ? 2} 是 以 a 1 ? 5 ? 21 ? 2 ? 1 ? 12 ? 13 为 首 项 ， 以 3 为 公 比 的 等 比 数 列 ， 因 此

a n ? 5 ? 2 n ? 2 ? 13 ? 3n ?1 ，则 a n ? 13 ? 3n ?1 ? 5 ? 2 n ? 2 。

16. 解：设 a n ?1 ? x(n ? 1) 2 ? y(n ? 1) ? z

? 2(a n ? xn 2 ? yn ? z)

⑧

将 a n ?1 ? 2a n ? 3 ? n 2 ? 4n ? 5 代入⑧式，得

2a n ? 3 ? n 2 ? ?4n ? 5 ? x(n ? 1) 2 ? y(n ? 1) ? z ? 2(a n ? xn 2 ? yn ? z) ，则

2a n ? (3 ? x)n 2 ? (2x ? y ? 4)n ? (x ? y ? z ? 5) ? 2a n ? 2xn 2 ? 2yn ? 2z
等式两边消去 2a n ，得 (3 ? x)n 2 ? (2x ? y ? 4)n ? (x ? y ? z ? 5) ? 2xn 2 ? 2yn ? 2z ，

?3 ? x ? 2x ?x ? 3 ? ? 则得方程组 ?2 x ? y ? 4 ? 2 y ，则 ? y ? 10 ，代入⑧式，得 ? x ? y ? z ? 5 ? 2z ?z ? 18 ? ?

a n ?1 ? 3(n ? 1) 2 ? 10(n ? 1) ? 18 ? 2(a n ? 3n 2 ? 10n ? 18)
由 a 1 ? 3 ? 12 ? 10 ? 1 ? 18 ? 1 ? 31 ? 32 ? 0 及⑨式，得

⑨

a n ? 3n 2 ? 10n ? 18 ? 0
则

a n ?1 ? 3(n ? 1) 2 ? 10(n ? 1) ? 18 a n ? 3n ? 10n ? 18
2

故数列 {a n ? 3n 2 ? 10n ? 18} 为以 a 1 ? 3 ? 12 ? 10 ? 1 ? 18 ? 1 ? 31 ? 32 ? 2，

为首项，以 2 为公比的等比数列，因此 a n ? 3n 2 ? 10n ? 18 ? 32 ? 2 n ?1 ，则 a n ? 2 n ?4 ? 3n 2 ? 10n ? 18 。

n 5 17. 解：因为 a n ?1 ? 2 ? 3n a 5 n，a 1 ? 7 ，所以 a n ? 0，a n ?1 ? 0 。在 a n ?1 ? 2 ? 3 a n 式两边取常用对数得

lg a n ?1 ? 5 lg a n ? n lg 3 ? lg 2

⑩

高一数学竞赛辅导讲义
11 设 lg a n ?1 ? x(n ? 1) ? y ? 5(lg a n ? xn ? y) ○

11 式，得 5 lg a n ? n lg 3 ? lg 2 ? x(n ? 1) ? y ? 5(lg a n ? xn ? y) ，两边消去 5 lg a n 并整理，得 将⑩式代入○

(lg 3 ? x )n ? x ? y ? lg 2 ? 5xn ? 5y ，则

lg 3 ? x? ? ?lg 3 ? x ? 5x ? 4 ，故 ? ? ?x ? y ? lg 2 ? 5y ? y ? lg 3 ? lg 2 ? 16 4 ?
11 式，得 lg a 代入○ n ?1 ?

lg 3 lg 3 lg 2 (n ? 1) ? ? 4 16 4
12 ○

? 5(lg a n ?
由 lg a 1 ? 得 lg a n ?

lg 3 lg 3 lg 2 n? ? ) 4 16 4

lg 3 lg 3 lg 2 lg 3 lg 3 lg 2 12 式， ?1 ? ? ? lg 7 ? ?1 ? ? ? 0 及○ 4 16 4 4 16 4 lg 3 lg 3 lg 2 n? ? ?0， 4 16 4

lg a n ?1 ?
则

lg 3 lg 3 lg 2 (n ? 1) ? ? 4 16 4 ? 5， lg 3 lg 3 lg 2 lg a n ? ?n ? ? 4 16 4

lg 3 lg 3 lg 2 lg 3 lg 3 lg 2 为首项，以 5 为公比的等比数列，则 n? ? } 是以 lg 7 ? ? ? 4 16 4 4 16 4 lg 3 lg 3 lg 2 lg 3 lg 3 lg 2 n ?1 ， 因 此 lg a n ? n? ? ? (lg 7 ? ? ? )5 4 16 4 4 16 4
所以数列 {lg a n ?

lg 3 lg 3 lg 2 n ?1 lg 3 lg 3 lg 2 lg a n ? (lg 7 ? ? ? )5 ? n? ? 4 16 4 4 6 4
? lg 3 4 ? lg 316 ? lg 2 4 ? [lg(7 ? 3 4 ? 316 ? 2 4 )]5 n ?1 ? l 3 4 ? 316 ? 2 4 )g ?
n 1 1 1 1 1 n 1 1

? (lg 7 ?

1 lg 3 4

?

1 lg 3 6

?

1 lg 2 4

)5 n ?1

( lg(7 ? 3 4 ? 316 ? 2 4 )5 n ?1
5n ?1 ?1 ?2 4 )

1

1

1

?l

n 34

1 ? 316

1 ? 2 4 )g ?l

7

5n ?1

5n ?1 ?1 5n ?1 ?n ? 3 4( g ? 3 16

5n ?1 ?1 ?2 4 ) (?l

7

5n ?1

5n ?4n ?1 ? 3 16 g

(

，

则

an ? 7

5n ?1

5n ? 4 n ?1 ? 3 16

5n ?1 ?1 ?2 4 。

( n ?1) 2 18. 解：因为 a n ?1 ? a 3 ，所以 n

n

n?2 an ? a3 n ?1

n ?1

( n ?1)?2 ? [a 3 n ?2

n ?2

]3n?2

n ?1

高一数学竞赛辅导讲义

?

2 ( n ?1)?n ?2 ( n ? 2 ) ? ( n ?1) a3 n ?2 n ?3

( n ? 2 )? 2 ? [a 3 n ?3
3

]3

2

( n ?1)?n ?2 ( n ? 2 ) ? ( n ?1)

( n ? 2 )( n ?1) n ?2 ? a3 n ?3

( n ? 3 ) ? ( n ? 2 ) ? ( n ?1)

??
3 ? a1 3 ? a1
n ?1

?2?3??( n ? 2 )?( n ?1)?n ?21? 2 ???? ( n ? 3 ) ? ( n ? 2 ) ? ( n ?1)
n ( n ?1)

n ?1

?n!?2

2

n ( n ?1)

又 a 1 ? 5 ，所以数列 {a n } 的通项公式为 a n ? 5

3n ?1 ?n!?2

2

。

19. 解：由 a n ?1 ? a n ?

8(n ? 1) 8 及 a 1 ? ，得 2 2 9 (2n ? 1) (2n ? 3)

a 2 ? a1 ?

8(1 ? 1) (2 ? 1 ? 1) 2 (2 ? 1 ? 3) 2

?

8 8 ? 2 24 ? ? 9 9 ? 25 25

a3 ? a2 ?

8(2 ? 1) (2 ? 2 ? 1) 2 (2 ? 2 ? 3) 2 24 8?3 48 ? ? ? 25 25 ? 49 49
8(3 ? 1) (2 ? 3 ? 1) 2 (2 ? 3 ? 3) 2 48 8? 4 80 ? ? ? 49 49 ? 81 81
(2n ? 1) 2 ? 1 ，往下用数学归纳法证明这个结论。 (2n ? 1) 2 (2 ? 1 ? 1) 2 ? 1 8 ? ，所以等式成立。 9 (2 ? 1 ? 1) 2 (2k ? 1) 2 ? 1 ，则当 n ? k ? 1 时， (2k ? 1) 2

a4 ? a3 ?

由此可猜测 a n ?

（1）当 n=1 时， a 1 ?

（2）假设当 n=k 时等式成立，即 a k ?

a k ?1 ? a k ?

8(k ? 1) (2k ? 1) 2 (2k ? 3) 2

高一数学竞赛辅导讲义

? ? ? ?

(2k ? 1) ? 1 8(k ? 1) ? 2 (2k ? 1) (2k ? 1) 2 (2k ? 3) 2
2

[( 2k ? 1) 2 ? 1]( 2k ? 3) 2 ? 8(k ? 1) (2k ? 1) 2 (2k ? 3) 2 (2k ? 1) 2 (2k ? 3) 2 ? (2k ? 3) 2 ? 8(k ? 1) (2k ? 1) 2 (2k ? 3) 2 (2k ? 1) 2 (2k ? 3) 2 ? (2k ? 1) 2 (2k ? 1) 2 (2k ? 3) 2
(2k ? 3) 2 ? 1 [2(k ? 1) ? 1] 2 ? 1 ? (2k ? 3) 2 [2(k ? 1) ? 1] 2

?

由此可知，当 n=k+1 时等式也成立。 根据（1） （2）可知，等式对任何 n ? N *

20. 解：令 b n ? 1 ? 24a n ，则 a n ? 故 a n ?1 ?

1 2 (b n ? 1) 24

1 2 1 (b n ?1 ? 1) ，代入 a n ?1 ? (1 ? 4a n ? 1 ? 24a n ) 得 24 16

1 2 1 1 (b n ?1 ? 1) ? [1 ? 4 ? (b 2 n ? 1) ? b n ] 24 16 24
2 即 4b 2 n ?1 ? (b n ? 3)

因为 b n ? 1 ? 24a n ? 0 ，故 b n ?1 ? 1 ? 24a n ?1 ? 0 则 2b n ?1 ? b n ? 3 ，即 b n ?1 ? 可化为 b n ?1 ? 3 ?

1 3 bn ? ， 2 2

1 (b n ? 3) ， 2
1 为公比的等比数列，因此 2 2 1 1 1 ? 3 ，得 a n ? ( ) n ? ( ) n ? 。 3 4 2 3

所以 {b n ? 3} 是以 b1 ? 3 ? 1 ? 24a1 ? 3 ? 1 ? 24 ? 1 ? 3 ? 2 为首项，以

1 1 1 1 b n ? 3 ? 2 ? ( ) n ?1 ? ( ) n ?2 ，则 b n ? ( ) n ?2 +3，即 1 ? 24a n ? ( ) n ?2 2 2 2 2

21. 解：令 x ?

21x ? 24 21x ? 24 ，得 4x 2 ? 20x ? 24 ? 0 ，则 x 1 ? 2，x 2 ? 3 是函数 f (x) ? 的两个不动 4x ? 1 4x ? 1

高一数学竞赛辅导讲义

21a n ? 24 ?2 a ?2 a n ?1 ? 2 4a n ? 1 21a n ? 24 ? 2(4a n ? 1) 13a n ? 26 13 a n ? 2 } 点。因为 ，所以数列 { n ? ? ? ? 。 an ? 3 a n ?1 ? 3 21a n ? 24 21a n ? 24 ? 3(4a n ? 1) 9a n ? 27 9 a n ? 3 ?3 4a n ? 1
是以

a1 ? 2 4 ? 2 a ?2 13 13 ? ? 2 为首项，以 为公比的等比数列，故 n ? 2( ) n ?1 ，则 a n ? a1 ? 3 4 ? 3 an ? 3 9 9

1 13 2( ) n ?1 ? 1 9

? 3。

22. 解：令 x ?

7x ? 2 3x ? 1 ，得 2x 2 ? 4x ? 2 ? 0 ，则 x=1 是函数 f ( x ) ? 的不动点。 2x ? 3 4x ? 7
7a n ? 2 5a ? 5 ?1? n ，所以 2a n ? 3 2a n ? 3

因为 a n ?1 ? 1 ?

1 a n ?1

3 5 a ? 2a n ? 3 2 n 2 2 1 1 1 1 2 ? } 是以 ? ?1为 所以数列 { ? ? ? (1 ? 2 ) ? ? ， ? 1 5a n ? 5 5 a n ? 1 5 an ?1 a1 ? 1 2 ? 1 an ?1 an ?1 5
1 2 2 2n ? 8 ? 1 ? (n ? 1) ? ，故 a n ? 为公差的等差数列，则 。 an ?1 5 5 2n ? 3

首项，以

评注：本题解题的关键是先求出函数 f (x) ? 出

3x ? 1 7x ? 2 的不动点，即方程 x ? 的根 x ? 1 ，进而可推 4x ? 7 2x ? 3

1 a n ?1 ? 1

?

1 2 1 1 ? ，从而可知数列 { } 为等差数列，再求出数列 { } 的通项公式，最后求出 an ?1 5 an ?1 an ?1

数列 {a n } 的通项公式。
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袁莈芇螁螇莇荿薃膅莆薂衿肁莅蚄蚂羇莄莄袇袃莃蒆蚀膂蒂薈袅肈蒂蚁蚈羄蒁莀袄袀肇薂蚇袆肆蚅羂膄肆莄螅肀肅蒇羀羆肄蕿螃袂肃蚁薆 膁膂莁螁肇膁蒃薄羃膀蚆螀罿膀莅蚃袅腿蒈袈膃膈薀蚁聿膇蚂袆羅膆莂虿袁芅蒄袅螇芄薆蚇肆芄芆袃肂芃蒈螆羈节薁羁袄芁蚃螄膃芀莃薇 聿艿蒅螂羅莈薇薅袁莈芇螁螇莇荿薃膅莆薂衿肁莅蚄蚂羇莄莄袇袃莃蒆蚀膂蒂薈袅肈蒂蚁蚈羄蒁莀袄袀肇薂蚇袆肆蚅羂膄肆莄螅肀肅蒇羀 羆肄蕿螃袂肃蚁薆膁膂莁螁肇膁蒃薄羃膀蚆螀罿膀莅蚃袅腿蒈袈膃膈薀蚁聿膇蚂袆羅膆莂虿袁芅蒄袅螇芄薆蚇肆芄芆袃肂芃蒈螆羈节薁羁 袄芁蚃螄膃芀莃薇聿艿蒅螂羅莈薇薅袁莈芇螁螇莇荿薃膅莆薂衿肁莅蚄蚂羇莄莄袇袃莃蒆蚀膂蒂薈袅肈蒂蚁蚈羄蒁莀袄袀肇薂蚇袆肆蚅羂 膄肆莄螅肀肅蒇羀羆肄蕿螃袂肃蚁薆膁膂莁螁肇膁蒃薄羃膀蚆螀罿膀莅蚃袅腿蒈袈膃膈薀蚁聿膇蚂袆羅膆莂虿袁芅蒄袅螇芄薆蚇肆芄芆袃 肂芃蒈螆羈节薁羁袄芁蚃螄膃芀莃薇聿艿蒅螂羅莈薇薅袁莈芇螁螇莇荿薃膅莆薂衿肁莅蚄蚂羇莄莄袇袃莃蒆蚀膂蒂薈袅肈蒂蚁蚈羄蒁莀袄 袀肇薂蚇袆肆蚅羂膄肆莄螅肀肅蒇羀羆肄蕿螃袂肃蚁薆膁膂莁螁肇膁蒃薄羃膀蚆螀罿膀莅蚃袅腿蒈袈膃膈薀蚁聿膇蚂袆羅膆莂虿袁芅蒄袅 螇芄薆蚇肆芄芆袃肂芃蒈螆羈节薁羁袄芁蚃螄膃芀莃薇聿艿蒅螂羅莈薇薅袁莈芇螁螇莇荿薃膅莆薂衿肁莅蚄蚂羇莄莄袇袃莃蒆蚀膂蒂薈袅 肈蒂蚁蚈羄蒁莀袄袀肇薂蚇袆肆蚅羂膄肆莄螅肀肅蒇羀羆肄蕿螃袂肃蚁薆膁膂莁螁肇膁蒃薄羃膀蚆螀罿膀莅蚃袅腿蒈袈膃膈薀蚁聿膇蚂袆 羅膆莂虿袁芅蒄袅螇芄薆蚇肆芄芆袃肂芃蒈螆羈节薁羁袄芁蚃螄膃芀莃薇聿艿蒅螂羅莈薇薅袁莈芇螁螇莇荿薃膅莆薂衿肁莅蚄蚂羇莄莄袇 袃莃蒆蚀膂蒂薈袅肈蒂蚁蚈羄蒁莀袄袀肇薂蚇袆肆蚅羂膄肆莄螅肀肅蒇羀羆肄蕿螃袂肃蚁薆膁膂莁螁肇膁蒃薄羃膀蚆螀罿膀莅蚃袅腿蒈袈 膃膈薀蚁聿膇蚂袆羅膆莂虿袁芅蒄袅螇芄薆蚇肆芄芆袃肂芃蒈螆羈节薁羁袄芁蚃螄膃芀莃薇聿艿蒅螂羅莈薇薅袁莈芇螁螇莇荿薃膅莆薂衿 肁莅蚄蚂羇莄莄袇袃莃蒆蚀膂蒂薈袅肈蒂蚁蚈羄蒁莀袄袀肇薂蚇袆肆蚅羂膄肆莄螅肀肅蒇羀羆肄蕿螃袂肃蚁薆膁膂莁螁肇膁蒃薄羃膀蚆螀 罿膀莅蚃袅腿蒈袈膃膈薀蚁聿膇蚂袆羅膆莂虿袁芅蒄袅螇芄薆蚇肆芄芆袃肂芃蒈螆羈节薁羁袄芁蚃螄膃芀莃薇聿艿蒅螂羅莈薇薅袁莈芇螁 螇莇荿薃膅莆薂衿肁莅蚄蚂羇莄莄袇袃莃蒆蚀膂蒂薈袅肈蒂蚁蚈羄蒁莀袄袀肇薂蚇袆肆蚅羂膄肆莄螅肀肅蒇羀羆肄蕿螃袂肃蚁薆膁膂莁螁 肇膁蒃薄羃膀蚆螀罿膀莅蚃袅腿蒈袈膃膈薀蚁聿膇蚂袆羅膆莂虿袁芅蒄袅螇芄薆蚇肆芄芆袃肂芃蒈螆羈节薁羁袄芁蚃螄膃芀莃薇聿艿蒅螂 羅莈薇薅袁莈芇螁螇莇荿薃膅莆薂衿肁莅蚄蚂羇莄莄袇袃莃蒆蚀膂蒂薈袅肈蒂蚁蚈羄蒁莀袄袀肇薂蚇袆肆蚅羂膄肆莄螅肀肅蒇羀羆肄蕿螃 袂肃蚁薆膁膂莁螁肇膁蒃薄羃膀蚆螀罿膀莅蚃袅腿蒈袈膃膈薀蚁聿膇蚂袆羅膆莂虿袁芅蒄袅螇芄薆蚇肆芄芆袃肂芃蒈螆羈节薁羁袄芁蚃螄 膃芀莃薇聿艿蒅螂羅莈薇薅袁莈芇螁螇莇荿薃膅莆薂衿肁莅蚄蚂羇莄莄袇袃莃蒆蚀膂蒂薈袅肈蒂蚁蚈羄蒁莀袄袀肇薂蚇袆肆蚅羂膄肆莄螅 肀肅蒇羀羆肄蕿螃袂肃蚁薆膁膂莁螁肇膁蒃薄羃膀蚆螀罿膀莅蚃袅腿蒈袈膃膈薀蚁聿膇蚂袆羅膆莂虿袁芅蒄袅螇芄薆蚇肆芄芆袃肂芃蒈螆 羈节薁羁袄芁蚃螄膃芀莃薇聿艿蒅螂羅莈薇薅袁莈芇螁螇莇荿薃膅莆薂衿肁莅蚄蚂羇莄莄袇袃莃蒆蚀膂蒂薈袅肈蒂蚁蚈羄蒁莀袄袀肇薂蚇 袆肆蚅羂膄肆莄螅肀肅蒇羀羆肄蕿螃袂肃蚁薆膁膂莁螁肇膁蒃薄羃膀蚆螀罿膀莅蚃袅腿蒈袈膃膈薀蚁聿膇蚂袆羅膆莂虿袁芅蒄袅螇芄薆蚇 肆芄芆袃肂芃蒈螆羈节薁羁袄芁蚃螄膃芀莃薇聿艿蒅螂羅莈薇薅袁莈芇螁螇莇荿薃膅莆薂衿肁莅蚄蚂羇莄莄袇袃莃蒆蚀膂蒂薈袅肈蒂蚁蚈 羄蒁莀袄袀肇薂蚇袆肆蚅羂膄肆莄螅肀肅蒇羀羆肄蕿螃袂肃蚁薆膁膂莁螁肇膁蒃薄羃膀蚆螀罿膀莅蚃袅腿蒈袈膃膈薀蚁聿膇蚂袆羅膆莂虿 袁芅蒄袅螇芄薆蚇肆芄芆袃肂芃蒈螆羈节薁羁袄芁蚃螄膃芀莃薇聿艿蒅螂羅莈薇薅袁莈芇螁螇莇荿薃膅莆薂衿肁莅蚄蚂羇莄莄袇袃莃蒆蚀 膂蒂薈袅肈蒂蚁蚈羄蒁莀袄袀肇薂蚇袆肆蚅羂膄肆莄螅肀肅蒇羀羆肄蕿螃袂肃蚁薆膁膂莁螁肇膁蒃薄羃膀蚆螀罿膀莅蚃袅腿蒈袈膃膈薀蚁 聿膇蚂袆羅膆莂虿袁芅蒄袅螇芄薆蚇肆芄芆袃肂芃蒈螆羈节薁羁袄芁蚃螄膃芀莃薇聿艿蒅螂羅莈薇薅袁莈芇螁螇莇荿薃膅莆薂衿肁莅蚄蚂 羇莄莄袇袃莃蒆蚀膂蒂薈袅肈蒂蚁蚈羄蒁莀袄袀肇薂蚇袆肆蚅羂膄肆莄螅肀肅蒇羀羆肄蕿螃袂肃蚁薆膁膂莁螁肇膁蒃薄羃膀蚆螀罿膀莅蚃 袅腿蒈袈膃膈薀蚁聿膇蚂袆羅膆莂虿袁芅蒄袅螇芄薆蚇肆芄芆袃肂芃蒈螆羈节薁羁袄芁蚃螄膃芀莃薇聿艿蒅螂羅莈薇薅袁莈芇螁螇莇荿薃 膅莆薂衿肁莅蚄蚂羇莄莄袇袃莃蒆蚀膂蒂薈袅肈蒂蚁蚈羄蒁莀袄袀肇薂蚇袆肆蚅羂膄肆莄螅肀肅蒇羀羆肄蕿螃袂肃蚁薆膁膂莁螁肇膁蒃薄 羃膀蚆螀罿膀莅蚃袅腿蒈袈膃膈薀蚁聿膇蚂袆羅膆莂虿袁芅蒄袅螇芄薆蚇肆芄芆袃肂芃蒈螆羈节薁羁袄芁蚃螄膃芀莃薇聿艿蒅螂羅莈薇薅 袁莈芇螁螇莇荿薃膅莆薂衿肁莅蚄蚂羇莄莄袇袃莃蒆蚀膂蒂薈袅肈蒂蚁蚈羄蒁莀袄袀肇薂蚇袆肆蚅羂膄肆莄螅肀肅蒇羀羆肄蕿螃袂肃蚁薆 膁膂莁螁肇膁蒃薄羃膀蚆螀罿膀莅蚃袅腿蒈袈膃膈薀蚁聿膇蚂袆羅膆莂虿袁芅蒄袅螇芄薆蚇肆芄芆袃肂芃蒈螆羈节薁羁袄芁蚃螄膃芀莃薇 聿艿蒅螂羅莈薇薅袁莈芇螁螇莇荿薃膅莆薂衿肁莅蚄蚂羇莄莄袇袃莃蒆蚀膂蒂薈袅肈蒂蚁蚈羄蒁莀袄袀肇薂蚇袆肆蚅羂膄肆莄螅肀肅蒇羀 羆肄蕿螃袂肃蚁薆膁膂莁螁肇膁蒃薄羃膀蚆螀罿膀莅蚃袅腿蒈袈膃膈薀蚁聿膇蚂袆羅膆莂虿袁芅蒄袅螇芄薆蚇肆芄芆袃肂芃蒈螆羈节薁羁 袄芁蚃螄膃芀莃薇聿艿蒅螂羅莈薇薅袁莈芇螁螇莇荿薃膅莆薂衿肁莅蚄蚂羇莄莄袇袃莃蒆蚀膂蒂薈袅肈蒂蚁蚈羄蒁莀袄袀肇薂蚇袆肆蚅羂 膄肆莄螅肀肅蒇羀羆肄蕿螃袂肃蚁薆膁膂莁螁肇膁蒃薄羃膀蚆螀罿膀莅蚃袅腿蒈袈膃膈薀蚁聿膇蚂袆羅膆莂虿袁芅蒄袅螇芄薆蚇肆芄芆袃 肂芃蒈螆羈节薁羁袄芁蚃螄膃芀莃薇聿艿蒅螂羅莈薇薅袁莈芇螁螇莇荿薃膅莆薂衿肁莅蚄蚂羇莄莄袇袃莃蒆蚀膂蒂薈袅肈蒂蚁蚈羄蒁莀袄 袀肇薂蚇袆肆蚅羂膄肆莄螅肀肅蒇羀羆肄蕿螃袂肃蚁薆膁膂莁螁肇膁蒃薄羃膀蚆螀罿膀莅蚃袅腿蒈袈膃膈薀蚁聿膇蚂袆羅膆莂虿袁芅蒄袅 螇芄薆蚇肆芄芆袃肂芃蒈螆羈节薁羁袄芁蚃螄膃芀莃薇聿艿蒅螂羅莈薇薅袁莈芇螁螇莇荿薃膅莆薂衿肁莅蚄蚂羇莄莄袇袃莃蒆蚀膂蒂薈袅 肈蒂蚁蚈羄蒁莀袄袀肇薂蚇袆肆蚅羂膄肆莄螅肀肅蒇羀羆肄蕿螃袂肃蚁薆膁膂莁螁肇膁蒃薄羃膀蚆螀罿膀莅蚃袅腿蒈袈膃膈薀蚁聿膇蚂袆 羅膆莂虿袁芅蒄袅螇芄薆蚇肆芄芆袃肂芃蒈螆羈节薁羁袄芁蚃螄膃芀莃薇聿艿蒅螂羅莈薇薅袁莈芇螁螇莇荿薃膅莆薂衿肁莅蚄蚂羇莄莄袇 袃莃蒆蚀膂蒂薈袅肈蒂蚁蚈羄蒁莀袄袀肇薂蚇袆肆蚅羂膄肆莄螅肀肅蒇羀羆肄蕿螃袂肃蚁薆膁膂莁螁肇膁蒃薄羃膀蚆螀罿膀莅蚃袅腿蒈袈 膃膈薀蚁聿膇蚂袆羅膆莂虿袁芅蒄袅螇芄薆蚇肆芄芆袃肂芃蒈螆羈节薁羁袄芁蚃螄膃芀莃薇聿艿蒅螂羅莈薇薅袁莈芇螁螇莇荿薃膅莆薂衿 肁莅蚄蚂羇莄莄袇袃莃蒆蚀膂蒂薈袅肈蒂蚁蚈羄蒁莀袄袀肇薂蚇袆肆蚅羂膄肆莄螅肀肅蒇羀羆肄蕿螃袂肃蚁薆膁膂莁螁肇膁蒃薄羃膀蚆螀

高一数学竞赛辅导讲义
罿膀莅蚃袅腿蒈袈膃膈薀蚁聿膇蚂袆羅膆莂虿袁芅蒄袅螇芄薆蚇肆芄芆袃肂芃蒈螆羈节薁羁袄芁蚃螄膃芀莃薇聿艿蒅螂羅莈薇薅袁莈芇螁 螇莇荿薃膅莆薂衿肁莅蚄蚂羇莄莄袇袃莃蒆蚀膂蒂薈袅肈蒂蚁蚈羄蒁莀袄袀肇薂蚇袆肆蚅羂膄肆莄螅肀肅蒇羀羆肄蕿螃袂肃蚁薆膁膂莁螁 肇膁蒃薄羃膀蚆螀罿膀莅蚃袅腿蒈袈膃膈薀蚁聿膇蚂袆羅膆莂虿袁芅蒄袅螇芄薆蚇肆芄芆袃肂芃蒈螆羈节薁羁袄芁蚃螄膃芀莃薇聿艿蒅螂 羅莈薇薅袁莈芇螁螇莇荿薃膅莆薂衿肁莅蚄蚂羇莄莄袇袃莃蒆蚀膂蒂薈袅肈蒂蚁蚈羄蒁莀袄袀肇薂蚇袆肆蚅羂膄肆莄螅肀肅蒇羀羆肄蕿螃 袂肃蚁薆膁膂莁螁肇膁蒃薄羃膀蚆螀罿膀莅蚃袅腿蒈袈膃膈薀蚁聿膇蚂袆羅膆莂虿袁芅蒄袅螇芄薆蚇肆芄芆袃肂芃蒈螆羈节薁羁袄芁蚃螄 膃芀莃薇聿艿蒅螂羅莈薇薅袁莈芇螁螇莇荿薃膅莆薂衿肁莅蚄蚂羇莄莄袇袃莃蒆蚀膂蒂薈袅肈蒂蚁蚈羄蒁莀袄袀肇薂蚇袆肆蚅羂膄肆莄螅 肀肅蒇羀羆肄蕿螃袂肃蚁薆膁膂莁螁肇膁蒃薄羃膀蚆螀罿膀莅蚃袅腿蒈袈膃膈薀蚁聿膇蚂袆羅膆莂虿袁芅蒄袅螇芄薆蚇肆芄芆袃肂芃蒈螆 羈节薁羁袄芁蚃螄膃芀莃薇聿艿蒅螂羅莈薇薅袁莈芇螁螇莇荿薃膅莆薂衿肁莅蚄蚂羇莄莄袇袃莃蒆蚀膂蒂薈袅肈蒂蚁蚈羄蒁莀袄袀肇薂蚇 袆肆蚅羂膄肆莄螅肀肅蒇羀羆肄蕿螃袂肃蚁薆膁膂莁螁肇膁蒃薄羃膀蚆螀罿膀莅蚃袅腿蒈袈膃膈薀蚁聿膇蚂袆羅膆莂虿袁芅蒄袅螇芄薆蚇 肆芄芆袃肂芃蒈螆羈节薁羁袄芁蚃螄膃芀莃薇聿艿蒅螂羅莈薇薅袁莈芇螁螇莇荿薃膅莆薂衿肁莅蚄蚂羇莄莄袇袃莃蒆蚀膂蒂薈袅肈蒂蚁蚈 羄蒁莀袄袀肇薂蚇袆肆蚅羂膄肆莄螅肀肅蒇羀羆肄蕿螃袂肃蚁薆膁膂莁螁肇膁蒃薄羃膀蚆螀罿膀莅蚃袅腿蒈袈膃膈薀蚁聿膇蚂袆羅膆莂虿 袁芅蒄袅螇芄薆蚇肆芄芆袃肂芃蒈螆羈节薁羁袄芁蚃螄膃芀莃薇聿艿蒅螂羅莈薇薅袁莈芇螁螇莇荿薃膅莆薂衿肁莅蚄蚂羇莄莄袇袃莃蒆蚀 膂蒂薈袅肈蒂蚁蚈羄蒁莀袄袀肇薂蚇袆肆蚅羂膄肆莄螅肀肅蒇羀羆肄蕿螃袂肃蚁薆膁膂莁螁肇膁蒃薄羃膀蚆螀罿膀莅蚃袅腿蒈袈膃膈薀蚁 聿膇蚂袆羅膆莂虿袁芅蒄袅螇芄薆蚇肆芄芆袃肂芃蒈螆羈节薁羁袄芁蚃螄膃芀莃薇聿艿蒅螂羅莈薇薅袁莈芇螁螇莇荿薃膅莆薂衿肁莅蚄蚂 羇莄莄袇袃莃蒆蚀膂蒂薈袅肈蒂蚁蚈羄蒁莀袄袀肇薂蚇袆肆蚅羂膄肆莄螅肀肅蒇羀羆肄蕿螃袂肃蚁薆膁膂莁螁肇膁蒃薄羃膀蚆螀罿膀莅蚃 袅腿蒈袈膃膈薀蚁聿膇蚂袆羅膆莂虿袁芅蒄袅螇芄薆蚇肆芄芆袃肂芃蒈螆羈节薁羁袄芁蚃螄膃芀莃薇聿艿蒅螂羅莈薇薅袁莈芇螁螇莇荿薃 膅莆薂衿肁莅蚄蚂羇莄莄袇袃莃蒆蚀膂蒂薈袅肈蒂蚁蚈羄蒁莀袄袀肇薂蚇袆肆蚅羂膄肆莄螅肀肅蒇羀羆肄蕿螃袂肃蚁薆膁膂莁螁肇膁蒃薄 羃膀蚆螀罿膀莅蚃袅腿蒈袈膃膈薀蚁聿膇蚂袆羅膆莂虿袁芅蒄袅螇芄薆蚇肆芄芆袃肂芃蒈螆羈节薁羁袄芁蚃螄膃芀莃薇聿艿蒅螂羅莈薇薅 袁莈芇螁螇莇荿薃膅莆薂衿肁莅蚄蚂羇莄莄袇袃莃蒆蚀膂蒂薈袅肈蒂蚁蚈羄蒁莀袄袀肇薂蚇袆肆蚅羂膄肆莄螅肀肅蒇羀羆肄蕿螃袂肃蚁薆 膁膂莁螁肇膁蒃薄羃膀蚆螀罿膀莅蚃袅腿蒈袈膃膈薀蚁聿膇蚂袆羅膆莂虿袁芅蒄袅螇芄薆蚇肆芄芆袃肂芃蒈螆羈节薁羁袄芁蚃螄膃芀莃薇 聿艿蒅螂羅莈薇薅袁莈芇螁螇莇荿薃膅莆薂衿肁莅蚄蚂羇莄莄袇袃莃蒆蚀膂蒂薈袅肈蒂蚁蚈羄蒁莀袄袀肇薂蚇袆肆蚅羂膄肆莄螅肀肅蒇羀 羆肄蕿螃袂肃蚁薆膁膂莁螁肇膁蒃薄羃膀蚆螀罿膀莅蚃袅腿蒈袈膃膈薀蚁聿膇蚂袆羅膆莂虿袁芅蒄袅螇芄薆蚇肆芄芆袃肂芃蒈螆羈节薁羁 袄芁蚃螄膃芀莃薇聿艿蒅螂羅莈薇薅袁莈芇螁螇莇荿薃膅莆薂衿肁莅蚄蚂羇莄莄袇袃莃蒆蚀膂蒂薈袅肈蒂蚁蚈羄蒁莀袄袀肇薂蚇袆肆蚅羂 膄肆莄螅肀肅蒇羀羆肄蕿螃袂肃蚁薆膁膂莁螁肇膁蒃薄羃膀蚆螀罿膀莅蚃袅腿蒈袈膃膈薀蚁聿膇蚂袆羅膆莂虿袁芅蒄袅螇芄薆蚇肆芄芆袃 肂芃蒈螆羈节薁羁袄芁蚃螄膃芀莃薇聿艿蒅螂羅莈薇薅袁莈芇螁螇莇荿薃膅莆薂衿肁莅蚄蚂羇莄莄袇袃莃蒆蚀膂蒂薈袅肈蒂蚁蚈羄蒁莀袄 袀肇薂蚇袆肆蚅羂膄肆莄螅肀肅蒇羀羆肄蕿螃袂肃蚁薆膁膂莁螁肇膁蒃薄羃膀蚆螀罿膀莅蚃袅腿蒈袈膃膈薀蚁聿膇蚂袆羅膆莂虿袁芅蒄袅 螇芄薆蚇肆芄芆袃肂芃蒈螆羈节薁羁袄芁蚃螄膃芀莃薇聿艿蒅螂羅莈薇薅袁莈芇螁螇莇荿薃膅莆薂衿肁莅蚄蚂羇莄莄袇袃莃蒆蚀膂蒂薈袅 肈蒂蚁蚈羄蒁莀袄袀肇薂蚇袆肆蚅羂膄肆莄螅肀肅蒇羀羆肄蕿螃袂肃蚁薆膁膂莁螁肇膁蒃薄羃膀蚆螀罿膀莅蚃袅腿蒈袈膃膈薀蚁聿膇蚂袆 羅膆莂虿袁芅蒄袅螇芄薆蚇肆芄芆袃肂芃蒈螆羈节薁羁袄芁蚃螄膃芀莃薇聿艿蒅螂羅莈薇薅袁莈芇螁螇莇荿薃膅莆薂衿肁莅蚄蚂羇莄莄袇 袃莃蒆蚀膂蒂薈袅肈蒂蚁蚈羄蒁莀袄袀肇薂蚇袆肆蚅羂膄肆莄螅肀肅蒇羀羆肄蕿螃袂肃蚁薆膁膂莁螁肇膁蒃薄羃膀蚆螀罿膀莅蚃袅腿蒈袈 膃膈薀蚁聿膇蚂袆羅膆莂虿袁芅蒄袅螇芄薆蚇肆芄芆袃肂芃蒈螆羈节薁羁袄芁蚃螄膃芀莃薇聿艿蒅螂羅莈薇薅袁莈芇螁螇莇荿薃膅莆薂衿 肁莅蚄蚂羇莄莄袇袃莃蒆蚀膂蒂薈袅肈蒂蚁蚈羄蒁莀袄袀肇薂蚇袆肆蚅羂膄肆莄螅肀肅蒇羀羆肄蕿螃袂肃蚁薆膁膂莁螁肇膁蒃薄羃膀蚆螀 罿膀莅蚃袅腿蒈袈膃膈薀蚁聿膇蚂袆羅膆莂虿袁芅蒄袅螇芄薆蚇肆芄芆袃肂芃蒈螆羈节薁羁袄芁蚃螄膃芀莃薇聿艿蒅螂羅莈薇薅袁莈芇螁 螇莇荿薃膅莆薂衿肁莅蚄蚂羇莄莄袇袃莃蒆蚀膂蒂薈袅肈蒂蚁蚈羄蒁莀袄袀肇薂蚇袆肆蚅羂膄肆莄螅肀肅蒇羀羆肄蕿螃袂肃蚁薆膁膂莁螁 肇膁蒃薄羃膀蚆螀罿膀莅蚃袅腿蒈袈膃膈薀蚁聿膇蚂袆羅膆莂虿袁芅蒄袅螇芄薆蚇肆芄芆袃肂芃蒈螆羈节薁羁袄芁蚃螄膃芀莃薇聿艿蒅螂 羅莈薇薅袁莈芇螁螇莇荿薃膅莆薂衿肁莅蚄蚂羇莄莄袇袃莃蒆蚀膂蒂薈袅肈蒂蚁蚈羄蒁莀袄袀肇薂蚇袆肆蚅羂膄肆莄螅肀肅蒇羀羆肄蕿螃 袂肃蚁薆膁膂莁螁肇膁蒃薄羃膀蚆螀罿膀莅蚃袅腿蒈袈膃膈薀蚁聿膇蚂袆羅膆莂虿袁芅蒄袅螇芄薆蚇肆芄芆袃肂芃蒈螆羈节薁羁袄芁蚃螄 膃芀莃薇聿艿蒅螂羅莈薇薅袁莈芇螁螇莇荿薃膅莆薂衿肁莅蚄蚂羇莄莄袇袃莃蒆蚀膂蒂薈袅肈蒂蚁蚈羄蒁莀袄袀肇薂蚇袆肆蚅羂膄肆莄螅 肀肅蒇羀羆肄蕿螃袂肃蚁薆膁膂莁螁肇膁蒃薄羃膀蚆螀罿膀莅蚃袅腿蒈袈膃膈薀蚁聿膇蚂袆羅膆莂虿袁芅蒄袅螇芄薆蚇肆芄芆袃肂芃蒈螆 羈节薁羁袄芁蚃螄膃芀莃薇聿艿蒅螂羅莈薇薅袁莈芇螁螇莇荿薃膅莆薂衿肁莅蚄蚂羇莄莄袇袃莃蒆蚀膂蒂薈袅肈蒂蚁蚈羄蒁莀袄袀肇薂蚇 袆肆蚅羂膄肆莄螅肀肅蒇羀羆肄蕿螃袂肃蚁薆膁膂莁螁肇膁蒃薄羃膀蚆螀罿膀莅蚃袅腿蒈袈膃膈薀蚁聿膇蚂袆羅膆莂虿袁芅蒄袅螇芄薆蚇 肆芄芆袃肂芃蒈螆羈节薁羁袄芁蚃螄膃芀莃薇聿艿蒅螂羅莈薇薅袁莈芇螁螇莇荿薃膅莆薂衿肁莅蚄蚂羇莄莄袇袃莃蒆蚀膂蒂薈袅肈蒂蚁蚈 羄蒁莀袄袀肇薂蚇袆肆蚅羂膄肆莄螅肀肅蒇羀羆肄蕿螃袂肃蚁薆膁膂莁螁肇膁蒃薄羃膀蚆螀罿膀莅蚃袅腿蒈袈膃膈薀蚁聿膇蚂袆羅膆莂虿 袁芅蒄袅螇芄薆蚇肆芄芆袃肂芃蒈螆羈节薁羁袄芁蚃螄膃芀莃薇聿艿蒅螂羅莈薇薅袁莈芇螁螇莇荿薃膅莆薂衿肁莅蚄蚂羇莄莄袇袃莃蒆蚀 膂蒂薈袅肈蒂蚁蚈羄蒁莀袄袀肇薂蚇袆肆蚅羂膄肆莄螅肀肅蒇羀羆肄蕿螃袂肃蚁薆膁膂莁螁肇膁蒃薄羃膀蚆螀罿膀莅蚃袅腿蒈袈膃膈薀蚁 聿膇蚂袆羅膆莂虿袁芅蒄袅螇芄薆蚇肆芄芆袃肂芃蒈螆羈节薁羁袄芁蚃螄膃芀莃薇聿艿蒅螂羅莈薇薅袁莈芇螁螇莇荿薃膅莆薂衿肁莅蚄蚂

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