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1.4.1任意角的正弦函数、余弦函数的定义


北师大课标必修4 北师大课标必修4·§1.4

1.4.1 任意角的正弦函数、 任意角的正弦函数、 余弦函数的定义

复习引入

锐角的正弦、余弦函数的定义 锐角的正弦、余弦函数的定义:
斜边 对边 邻边

α

对边 邻边 斜边 斜边 sin α = _____;cos α = _____;

引入新知

下面我们在直角坐标系中, 下面我们在直角坐标系中,利用单位圆来进 的正弦函数、 一步研究锐角 α 的正弦函数、余弦函数
单位圆的交点时 当点P(u,v) 就是 α的终边与单位圆的交点时 的终边与单位圆的交点时, 当点 锐角三角函数会有什么结果? 锐角三角函数会有什么结果? y 以原点为O圆心 圆心, 以原点为 圆心,以单位长 度为半径的圆叫做单位圆. 度为半径的圆叫做单位圆. P(u,v)
MP sin α = = v, OP OM co s α = = u, OP
α O M x(1,0) x

引入新知

任意角的正弦函数、余弦函数定义: 任意角的正弦函数、余弦函数定义:
如图, 是一个任意角, 如图,设α是一个任意角,它的终边与单位圆 是一个任意角 交于点P(u,v),那么: 交于点 ,那么:
y

叫做α的正弦 (1)v叫做 的正弦,记 ) 叫做 的正弦, 作sinα, 即sinα=v; , ; 叫做α的余弦 (2)u叫做 的余弦,记作 ) 叫做 的余弦, cosα,即cosα=u ,

P(u,v)

α
O

A(1,0) x

引入新知 sin α = y, cos α = x 三角函数 都是以角为自变量,以单位圆上的点的坐标 比值 都是以角为自变量 以单位圆上的点的坐标(比值 以单位圆上的点的坐标 比值) 为函数值的函数. 为函数值的函数
函数
sin α

定义域

y

y

R R
一一对应

cos α

x

弧度数) 角(弧度数 弧度数

实数

三角函数可以看成是自变量为实数的函数

正弦、 正弦、余弦函数值的符号
y 正弦为正 正弦为正 余弦为负 余弦为负 正弦、 正弦、余弦 全为负 正弦、余弦全 正弦、余弦全 为正 x

o

余弦为正 余弦为正 正弦为负 正弦为负

函数周期性的定义 对于函数y=f( ),如果存在一个不为零的 ),如果存在一个 对于函数 (x),如果存在一个不为零的 常数T, 取定义域内的每一个值 常数 ,使得当 x取定义域内的每一个值 时,f( x+T )=f( x)都成立,那么就把 ( ( )都成立, 函数y=f( )叫做周期函数, 函数 (x)叫做周期函数,不为零的常 叫做这个函数的周期. 数T叫做这个函数的周期 叫做这个函数的周期 sin(x+ 2kπ )=sinx (k∈Z且k≠0) ∈ 且 cos(x+ 2kπ )=cosx
正弦函数和余弦函数均为周期函数, 正弦函数和余弦函数均为周期函数, =2k 且周期 T=2kπ (k∈Z且k≠0)

最小正周期的概念:
对于一个周期函数f(x),如果它所有的周期中存在 , 对于一个周期函数 一个最小的正数,那么这个最小正数叫f(x)的最小正 一个最小的正数,那么这个最小正数叫 的最小正 周期. 周期 sin(x+ 2π )=sinx cos(x+ 2π )=cosx
自变量x只要并且至少增加到x+2π时,函数值才能重复取 自变量 时 得.

正弦函数和余弦函数的最小正周期是2π. 正弦函数和余弦函数的最小正周期是2π. 最小正周期在图象上的意义 : 最小正周期是函数图象重复出现需要的最短距离. 最小正周期是函数图象重复出现需要的最短距离

例题讲解 5π 的正弦、余弦. 例1、求 的正弦、余弦 、 3
y

易知 1 3 的交点为P( , ? )
2 2
M

5π 3 的终边与单位圆

α
O

x(1,0)
3 ) 2

x

P( 1 , ? 2

3 ∴ sin α = ? 2 1 cos α = 2

例题讲解

已知角α的终边经过点 求角α的 例2.已知角 的终边经过点 0(-3,-4),求角 的 已知角 的终边经过点P 求角 正弦、余弦. 正弦、余弦
设角α 的终边与单位圆的交点为P(x,y), 设角 的终边与单位圆的交点为 轴于M,过 轴 作 ⊥ 轴于 y 过P作PM⊥x轴于 过P0作P0 M0 ⊥x轴. 显然Rt?OMP∽ Rt?OM0P0 且 显 显然
M0

O x(1,0) x sin α = y P(x,y)

M

α

| OP0 |= (?3) 2 + (?4) 2 = 5
? | MP | ? | M 0 P0 | ?4 = = ? | MP | = = 5 | OP0 | | OP |

P0(-3,-4)

cos α = x = ? | OM |=

? | OM | ? | OM 0 | ?3 = = | OP | | OP0 | 5

课内练习 练习.已知角 的终边经过点 的正弦、 练习 已知角α的终边经过点 已知角 的终边经过点P(2,-3),求角 的正弦、 ,求角α的正弦 余弦. 余弦
3 2 sin α = ? 13, cos α = 13 13 13

变式1.设角 的终边过点 P(4a, ?3a),其中 a<0 , 变式 设角 α 其中 则
3 sinα = 5

.
3 cos θ = ? , 5

?6 则 a = ________.

8, 变式2. 变式 若角 θ 的终边过点 P (a,) 且

例题讲解

例3 确定下列各三角函值的符号: 确定下列各三角函值的符号: ⑴ cos250°;⑵ sin(-π/4); °⑵ ⑶ sin(-672°); ⑷ cos3π; °
已知sinθ<0且cosθ>0,确定 角的象 确定θ角的象 例4 已知 < 且 > 确定 限.

复习小结

1.任意角的正弦、余弦函数的定义 任意角的正弦、 任意角的正弦 是一个任意角, 设α是一个任意角,它的终边与单位圆 是一个任意角 交于点P(u,v),则 sin α = v, cos α = u 交于点 则 2.三角函数都是以角为自变量 以单位 三角函数都是以角为自变量,以单位 三角函数都是以角为自变量 圆上的点的坐标(比值 为函数值的函数 圆上的点的坐标 比值)为函数值的函数 比值 为函数值的函数.


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