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点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系


点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系
视频文件名:gao2shus11 学习提示 课前自测 1 . 已 知 圆 C : x2 ? y 2 ? 2x ? ay ? 3 ? 0 ( a 为 实数 ) 上 任 意 一点 关 于 直线 学 习 内 容 学生姓名: 要点记录 好题收藏 H 错题收藏 C

l:x ? y ? 2 ? 0 的对称点都在圆 C 上,则

a ?
2. 过坐标原点且与 x ? y ? 4 x ? 2 y ?
2 2

1 x 3 1 C. y ? 3 x或y ? x 3
A. y ? ?3 x或y ?

5 ? 0 相切的直线的方程为( 2 1 B. y ? ?3 x或y ? ? x 3 1 D. y ? 3 x或y ? ? x 3



归纳释疑
00:00~17:47

1.点与圆的位置关系: 设 f ( x, y) ? ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 ;或 f ( x, y) ? x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F (1)点 M ( x0 , y 0 ) 在圆上 ? f ( x, y) ? 0 (2)点 M ( x0 , y 0 ) 在圆内 ? f ( x, y) ? 0 (3)点 M ( x0 , y 0 ) 在圆外 ? f ( x, y) ? 0 2.直线与圆的位置关系 (1)位置关系的判定:设圆 C 的半径为 r ,圆心到直线 l 的距离为 d ;直线方程 代入圆的方程消去 y 所得关于 x 的一元二次方程根的判别式为△。则

?相切 ? d ? r ?△=0 ? 圆 C 与直线 ? 相离 ? d ? r ?△? 0 ? 相交 ? d ? r ?△? 0 ?
(2)切线方程的求法:待定系数法 (3)直线被圆截得的弦长 PQ =2 r 2 ? d 2 3.圆与圆的位置关系 位置关系的判定:设圆心距为 d ,两个圆的半径分别为 R、 r ( R ? r )则 ① 两圆外离 ? d > R ? r (公切线有 4 条) ② 两圆外切 ? d = R ? r (公切线有 3 条) ③ 两圆相交 ? R- r < d < R ? r (公切线有 2 条) ④ 两圆内切 ? d = R- r (公切线有 1 条) ⑤ 两圆内含 ? 0< d < R- r (公切线有 0 条)

1

典例剖析
17:47~31:33

例 1 已知直线 l : (2m ? 1) x ? (m ? 1) y ? 7m ? 4 ,圆 C: ( x ? 1) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 25 , 试证 m ? R 时, l 与 C 必相交,并求相交弦长的最小值及相应的 m 的值。

评注:此题考查(1)过定点的直线系; (2)直线被圆截得的弦长公式; (3)点 与直线的位置关系 ---------即时反馈 1.若圆的方程为 x2 ? y 2 ? ax ? by ? 4 ? 0 ,则直线

ax ? by ? 8 ? 0 (a, b为非零常数) 与圆的位置关系是(
A. 相交
---------31:33~36:25



B. 相切

C. 相离

D. 不能确定

--------------------------------------------------------------------------------------------------------例 2 求两圆 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 6 y ? 1 ? 0 , x 2 ? y 2 ? 4 x ? 2 y ? 11 ? 0 的公共弦长.

----------

即时反馈 2. 设直线 ax ? y ? 3 ? 0 与圆 ( x ?1)2 ? ( y ? 2)2 ? 4 相交于 A 、B 两点, 且弦 AB 的长为 2 3 ,求 a 的值

---------36:25~41:55

--------------------------------------------------------------------------------------------------------例 3 设集合 A={ ( x, y) ( x ? a) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 1 }, B={ ( x, y) ( x ? 1) 2 ? ( y ? a) 2 ? 9 },若 A ? B ? ? ,求实数 a 的取值范围.

----------

即时反馈 3. 设集合 M ? ? x, y ? x 2 ? y 2 ? 1, x ? R, y ? R , N ? ?x, y ? x ? y ? 0, x ? R, y ? R , 则集合 M ? N 中元素的个数为( A.1 B.2
2 2

?

?

?

?

) D.4
2 2

C.3

即时反馈 4.圆 O1: ? y ? 2 x ? 0 和圆 O 2: x ? y ? 4 y ? 0 的位置关系是 x A.相离 B.相交 C.外切 D.内切

2

点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系练习
视频文件名: 学习提示 课堂练习
00:00~:

学生姓名: 学 习 内 容 一、巩固提高 1.若过点 A(4, 0) 的直线 l 与曲线 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 1 有公共点,则直线 l 的斜率的 取值范围为( A. [? 3, 3] ) B. (? 3, 3) C. [? 要点记录 好题收藏 H 错题收藏 C

3 3 , ] 3 3

D. (?

3 3 , ) 3 3


2.圆 x 2 ? y 2 ? 1与直线 y ? kx ? 2 没有公共点的充要条件是 ( .. A. k ? (? 2, 2) C. k ? (? 3, 3) B. k ? (??, ? 2) ? ( 2, ??) D. k ? (??, ? 3) ? ( 3, ??)

3. x 2 ? y 2 ? 4x ? 4 y ?10 ? 0 上的点到直线 x ? y ? 14 ? 0 的最大距离与最小距离的 圆 差是( ) A.36 B. 18 C. 6 2 D. 5 2

4.06 湖北) ( 若直线 y=kx+2 与圆(x-2)2+(y-3)2=1 有两个不同的交点, k 的 则 取值范围. --------------------------------------------------------------------二、能力提升 5.直线 3x ? y ? m ? 0 与圆 x2 ? y 2 ? 2 x ? 2 ? 0 相切,则实数 m 等于( ) A. 3 或 ? 3 B. ? 3 或 3 3 C. ?3 3 或 3 D. ?3 3 或 3 3

----------00:00~:

2 2 6.过直线 y ? x 上的一点作圆 ( x ? 5) ? ( y ?1) ? 2 的两条切线 l1,l 2 ,当直线

l1,l 2 关于 y ? x 对称时,它们之间的夹角为
A.30° B.45°
2 2

C.60°

D.90°

7.过点 A(11,2)作圆 x ? y ? 2 x ? 4 y ?164 ? 0 的弦,其中弦长为整数的共 有 A.16 条
2

B.17 条
2

C.32 条

D.34 条

8.已知圆的方程为 x ? y ? 6x ? 8 y ? 0 ,设该圆过点(3,5)的最长弦和最 短弦分别为 AC 和 BD ,则四边形 ABCD 的面积为( A.10 6 B.20 6 C.30 6 ) D.40 6

3

9.已知直线 l : x ? y ? 4 ? 0 与圆 C : ( x ?1)2 ? ( y ?1)2 ? 2 ,求 C 上各点到 l 距离 的最小值 10..将圆 x 2 ? y 2 ? 1 沿 x 轴正向平移 1 个单位后得到圆 C ,则圆 C 的方程 是 ; .

若过点(3,0)的直线 l 和圆 C 相切,则直线 l 的斜率是 11.将直线 2 x ? y ? ? ? 0 沿 x 轴向左平移 1 个单位,所得直线与圆

x2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? 0 相切,则实数 ? 的值为(
(A)-3 或 7 (B)-2 或 8

) (D)1 或 11

(C)0 或 10

12.在坐标平面内,与点 A(1,2)距离为 1,且与点 B(3,1)距离为 2 的直 线共有( ) A.1 条 B.2 条 C.3 条 D .4 条 13 . 若 曲 线 y ? 1 ? x 2 与 直 线 y ? x ? b 始 终 有 交 点 , 则 b 的 取 值 范 围 是 ___________; 若有一个交点,则 b 的取值范围是________;若有两个交点,则 b 的取值范围是 ______ _; 14.过圆 x2 ? ( y ? 2)2 ? 4 外一点 A(2, ?2) ,引圆的两条切线,切点为 T1 , T2 ,求 直线 T1T2 的方程; 15. m ? R , 直线 l : mx ? (m ? 1) y ? 4m 和圆 C : x ? y ? 8x ? 4 y ? 16 ? 0 . 知
2 2 2

(Ⅰ)求直线 l 斜率的取值范围; (Ⅱ)直线 l 能否将圆 C 分割成弧长的比值为

1 的两段圆弧?为什么? 2

4

答案 课前自测:1. ? 2 ; 2.A 即时反馈 1:A; 提示 1:求出圆心坐标和半径,根据几何法得出结论;提示 2:整体代入得 x 2 ? y 2 ? 4 ? 0 方程有解. 即时反馈 2:a ? 0;解:设直线 ax ? y ? 3 ? 0 与圆 ( x ?1)2 ? ( y ? 2)2 ? 4 相交于 A 、 B 两点,且弦 AB 的长为 2 3 , 则圆心(1,2)到直线的距离等于 1, 即时反馈 3:B; 即时反馈 4:B; 课堂练习 巩固提高:1.C; 2.C; 能力提升:5.C; 6.C; 3.C;提示:最大距离与最小距离的差等于圆的直径; 7.B; 8. B; 4. k ? (0 , ) .

| a ? 2?3| a2 ? 1

? 1 , a ? 0.

4 3

9. 2 ;解析:由数想形,所求最小值=圆心到到直线的距离-圆的半径.圆心 (1,1) 到直线

x ? y ? 4 ? 0 的距离 d ?
10. ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 1;

4 2

? 2 2 ,故最小值为 2 2 ? 2 ? 2

3 3 或? 3 3

11.A;提示:由题意可知:直线 2 x ? y ? ? ? 0 沿 x 轴向左平移 1 个单位后的直线 l 为:

2( x ? 1) ? y ? ? ? 0 .已知圆的圆心为 O(?1, 2) ,半径为 5 .
解法 1:直线与圆相切,则圆心到直线的距离等于圆的半径,因而有

| 2 ? (?1 ? 1) ? 2 ? ? | ? 5 ,得 ? ? ?3 或 7. 5

解 法 2 : 设 切 点 为 C ( x, y ), 则 切 点 满 足 2(x ? 1)? y ? ? ? 0, 即 y ? 2(x ? 1)? ? , 代 入 圆 方 程 整 理 得 : (*)由直线与圆相切可知, (*)方程只有一个解,因而有 ? ? 0 ,得 ? ? ?3 或 7. 5x2 ? (2 ? 4? ) x ? (? 2 ? 4) ? 0 , 解法 3:由直线与圆相切,可知 CO ? l ,因而斜率相乘得-1,即

y?2 ? 2 ? ?1 ,又因为 C ( x, y ) 在圆上,满足 x ?1

2 2 方程 x ? y ? 2 x ? 4 y ? 0 ,解得切点为 (1,1) 或 (2,3) ,又 C ( x, y ) 在直线 2( x ? 1) ? y ? ? ? 0 上,解得 ? ? ?3 或 7.

12. B;解析:做以 A 为圆心、1 为半径的圆和以 B 为圆心、2 为半径的圆,其圆心距 d ? 5 ,而半径之和为 3,半径的差为 1,所以两个圆相交,它们的公切线有 2 条,因此满足条件的直线为 2 条 13. ? 1 ? b ?

2 ; ? 1 ? b ? 1或b ? 2 ; 1 ? b ? 2 2 ; ? 1 ? b ? 1或b ? 2 ; 1 ? b ? 2
5

解析:数形结合可得: ? 1 ? b ?

14. x ? 2 y ? 2 ? 0 ;解析:一般地设圆 C 的方程 ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 ,过圆外一点 P( x0,y0 ) 引圆的两 条切线,切点为 A、B ,求直线 AB 的方程.容易知道 PACB 四点共圆,且直径为 PC, 其方程为 ( x ? a)(x ? x0 ) ? ( y ? b)( y ? y0 ) ? 0 联立圆的方程得到弦的方程: ( x ? a)(x0 ? a) ? ( y ? b)( y0 ? b) ? r 2 将条件代入得到直线 T1T2 的方程: x ? 2 y ? 2 ? 0 15. (Ⅰ) ? ≤ k ≤ ; (Ⅱ)直线 l 不可能将圆 C 分割成弧长的比值为 解: (Ⅰ)? k ?

1 2

1 2

1 的两段圆弧. 2

m 1 1 ,?km2 ? m ? k ? 0(?) , ? m ? R , ∴当 k≠0 时 ? ≥ 0 ,解得 ? ≤ k ≤ 且 k≠0 m ?1 2 2 1 1 又当 k=0 时,m=0,方程 (?) 有解,所以,综上所述 ? ≤ k ≤ 2 2
2

(Ⅱ)假设直线 l 能否将圆 C 分割成弧长的比值为

1 的两段圆弧.设直线 l 与圆 C 交于 A、B 两点 2

则∠ACB=120°.∵圆 C : ( x ? 4)2 ? ( y ? 2)2 ? 4 ,∴圆心 C(4,-2)到 l 的距离为 1.

故有

4m ? 2(m 2 ? 1) ? 4m m ? (m ? 1)
2 2 2

? 1 ,整理得 3m4 ? 5m2 ? 3 ? 0 .

∵ ? ? 52 ? 4 ? 3 ? 3 ? 0 ,∴ 3m4 ? 5m2 ? 3 ? 0 无实数解. 因此直线 l 不可能将圆 C 分割成弧长的比值为

1 的两段圆弧. 2

6


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