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3.2.4立体几何中的向量方法


3.2.5 立体几何中的向量方法
——距离问题

? ? 设直线 l,m 的方向向量分别为 a , b , ? ? 平面 ? , ? 的法向量分别为 u, v ,则
(1) A(x1,y1,z1), B(x2,y2,z2), 则

距离问题:

??? ? 2 2 2 AB = (x1 - x 2

) +(y1 - y 2 ) +(z1 - z 2 )

? ? 设直线 l,m 的方向向量分别为 a , b , ? ? 平面 ? , ? 的法向量分别为 u, v ,则
(2) 点P与直线l的距离为d , 则

距离问题:

??? ? ???? ? ?? d = AP sin < AP, a >

? a

? ? 设直线 l,m 的方向向量分别为 a , b , ? ? 平面 ? , ? 的法向量分别为 u, v ,则
(3) 点P与平面α的距离为d , 则
??? ? ? ??? ? ? ??? ? | AP ? u | ? d=| AP | ? |cos ? AP, u ? |= ?? |u|

距离问题:

.

? u

?P

d

?

A?

?O

? ? 设直线 l,m 的方向向量分别为 a , b , ? ? 平面 ? , ? 的法向量分别为 u, v ,则
(4) 平面α与β的距离为d , 则
??? ? ? ??? ? ? ??? ? | AP ? u | ? d=| AP | ? |cos ? AP, u ? |= ?? |u| m

距离问题:

.

? u

D P

?

l

C

A

? b ? a

例1 如图1:一个结晶体的形状为四棱柱,其中,以顶点A为端点 的三条棱长都相等,且它们彼此的夹角都是60°,那么以这 个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系?
设 解:如图1, AB ? AA1 ? AD ? 1 ,?BAD ? ?BAA1 ? ?DAA1 ? 60?

AC1 ? AB ? AD ? AA1
AC1 ? ( AB ? AD ? AA1 )2
? AB ? AD ? AA1 ? 2( AB ? AD ? AB ? AA1 ? AD ? AA1 )
2 2 2

2

? 1 ? 1 ? 1 ? 2(cos60? ? cos60? ? cos60?)
?6
所以 | AC1 |? 6 答: 这个晶体的对角线 AC1 的长是棱长的 6 倍。
A D1 C1
B1

A1

D
图1

C
B

练习.(P107.2)如图,60°的二面角的棱上
有A、B两点, 直线AC、BD分别在这个二面角的

两个半平面内,且都垂直AB, 已知AB=4,AC=6,
BD=8,求CD的长.

解1

?

C

68

B

?

A

D

练习.(P107.2)如图,60°的二面角的棱上
有A、B两点, 直线AC、BD分别在这个二面角的

两个半平面内,且都垂直AB, 已知AB=4,AC=6,
BD=8,求CD的长.

解2

?

C A
B

68

?

D



如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为

1,E为D1C1的中点,求点E到直线A1B的距离.
???? ???? 1 cos ? A1E , A1B ?? 10 ???? ???? 3 sin ? A1E, A1B ?? 10
???? ? ???? ? 1 解 : 建立坐标系. A 1E = (-1, ,0), A 1B = (0,1,-1) 2

z
D1
A1
E

C1

点E到直线A1B的距离为
???? ???? ???? 3 d ? A1 E sin ? A1E , A1B ?? 2 4

B1
D
C

A

y

x

B



如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为

1,E为D1C1的中点,求点E到直线A1B的距离.

解2

z
D1
A1
E

C1

B1
D
C

A

y

x

B



如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为

1,E为D1C1的中点,求B1到面A1BE的距离.
???? ? ???? ? 1 解 : 建立坐标系. A1E = (-1, ,0), A1B = (0,1,-1) 2 ? 设u = (1, y, z)为面A1BE的法向量

? ???? ? ?u ?A1E = 0, ? ? 由? ? ???? ? 得 u = (1,2,2) ?u ?A1B = 0, ?

z

D1
A1

E

C1

????? ? A1B1 = ? 0,1,0 ?,
B1到面A1BE的距离为 ????? ? ? A1B1 ? n 2 d= = ? 3 n

B1
D
C

A

y

x

B



如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为

1,E为D1C1的中点,求B1到面A1BE的距离.

解2 等体积法

VB1 ? A1BE ? VE ? A1BB1
D1
A1
E

C1

B1
D
C

A

B

例 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为1, E为D1C1的中点,求D1C到面A1BE的距离.

解1:∵D1C∥面A1BE
∴ D1到面A1BE的距离即为 D1C到面A1BE的距离. 仿上例求得D1C到 面A1BE的距离为
????? ? D1 A1 ? u 1 d? ? ? 3 u

z
D1
E

C1

A1

B1
D
C

A

y

B

x

例 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为1, E为D1C1的中点,求D1C到面A1BE的距离. 解2 等体积法

VD1 ? A1BE ? VB? A1D1E
A1

D1

E

C1

B1
D
C

A

B

例 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为1,
求面A1DB与面D1CB1的距离. 解1:∵面D1CB1∥面A1BD ∴ D1到面A1BD的距离即 为面D1CB1到面A1BD的距离
平面A1 BD的一个法向量为 ???? ? ????? AC1 ? ( ?1,1,1), 且 D1 A1 ? (1, 0, 0)
????? ???? ? D1 A1 ? AC1 3 d? ? ???? ? 3 AC1

z
D1
A1

C1

B1
D
C

y

x

A

B

例 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为1,
求面A1DB与面D1CB1的距离.

解2 等体积法

VD1 ? A1BD ? VB? A1DD1

D1
A1

C1

B1
D
A

C

B

例 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为1,
求面A1DB与面D1CB1的距离.

解3

D1 ?
A1

C1

B1
D ?
C

?A

B

例 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为1, E为D1C1的中点,求异面直线D1B与A1E的距离.
1 解:∵ D1 (0, 0,1), B(1,1, 0), A1 (1, 0,1), E (0, ,1) 2 ???? ? ???? ? 1 ? ? A1 E ? ? ?1, , 0 ? , D1B ? ?1,1, ?1? 2 ? ? ? ???? ???? ? ? 设n ? (1, y, z)与A1 E, D1B都垂直 ? ???? ? ? ? n ? A1 E ? 0, D1 ? 得n ? (1, 2, 3) 由 ? ? ???? ? ? n ? D1 B ? 0, ? A

z

E

C1

????? D1 A1 ? ? 1,0,0 ? ,

1

B1
C

A1 E与BD1的距离为 ????? ? D1 A1 ? n 14 d? ? ? 14 n

D
A

y

B

x


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