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解三角形专题复习


高考复习

解三角形的有关公式:
1.正弦定理和余弦定理 定理 正弦定理 a b c = = =2R sin A sin B sin C (R 为△ABC 外接圆半径) a=2Rsin_A,b=2Rsin_B,c=2Rsin_C; a b c sin A= ,sin B= ,sin C= ; 2R 2R 2R 变形形式 a∶b∶c=sin_A∶sin_B∶sin_C; a+b+c a b c = = = sin A sin B sin C sin A+sin B+sin C 2.三角形中常用的面积公式 1 (1)S= ah(h 表示边 a 上的高); 2 1 1 1 (2)S= bcsin A= acsin B= absin C; 2 2 2 1 (3)S= r(a+b+c)(r 为三角形的内切圆半径). 2 3.三角形中的常见结论 (1)A+B+C=π . (2)在三角形中大边对大角,大角对大边. (3)任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边. 4.有关三角形内角的常用三角函数关系式 sin(A+B)=sinC; cos(A+B)=-cosC; 余弦定理 a2=b2+c2-2bccos_A; b2=c2+a2-2cacos_B; c2=a2+b2-2abcos_C b2+c2-a2 cos A= ; 2bc c2+a2-b2 cos B= ; 2ca a2+b2-c2 cos C= 2ab

内容

tan(A+B)=-tanC; sin cos

A+B
2

=cos ; 2

C

A+B

=sin . 2 2

C

习题专练: 例 1、简单正弦余弦定理的应用
1

高考复习

在 ?ABC 中,已知下列条件,解三角形 (1) A ? 45? , C ? 30? , c ? 10 ,求 a 及 S? ABC ; (2) b ? 6, c ? 4, A ? 60? ,求 S? ABC 及 a

练习: 1 1.[2014· 北京卷] 在△ABC 中,a=1,b=2,cos C= ,则 c=________;sin A=________. 4

2.[2014· 福建卷] 在△ABC 中,A=60°,AC=2,BC= 3,则 AB 等于________. 3.[2014· 广东卷] 在△ABC 中,角 A,B,C 所对应的边分别为 a,b,c,则“a≤b”是“sin A ≤sin B”的( ) A.充分必要条件 B.充分非必要条件 C.必要非充分条件 D.非充分非必要条件 π 4.[2014· 湖北卷] 在△ABC 中, 角 A, B, C 所对的边分别为 a, b,c.已知 A= ,a=1,b= 3, 6 则 B=________.

例 2.正弦定理的合理应用 ( 1 ) ( 2013 年 高 考 湖 南 卷 ) 在 锐 角 中 ?ABC , 角 A, B 所 对 的 边 长 分 别 为 a , b . 若

2a sin B ? 3b, 则角A等于 (
A.

)

? 12

B.

? 6

C.

? 4

D.

? 3

(2)对边分别为 a,b,c,且 bsin A= 3acos B. (1)求角 B 的大小;(2)若 b=3,sin C=2sin A,求 a,c 的值.

(3).[2014· 全国卷] △ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 3acos C=2ccos A,tan 1 A= ,求 B. 3
2

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例 3.余弦定理的合理应用 (1)在锐角三角形 ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知(b2+c2-a2)tan A= 3bc. (1)求角 A;(2)若 a=2,求 bc 的最大值.

(2)在 ?ABC 中,角 A、B、C 所对应的边分别为 a、b、c,若角 A、B、C 依次成等差数列,且

a ? c ? 4, 求S?ABC的最大值。

(3) .在△ABC 中,角 A,B,C 的对应边分别为 a,b,c,若 a ? c ? b ? 3ac ,则角 B
2 2 2

的值为( A.

) B.

? 6

? 3

C.

? 5? 或 6 6

D.

? 2? 或 3 3

例 4.向量的结合应用 1. ( 2015 陕 西 卷) . ?ABC 的内 角 A, B, C 所 对 的边 分别 为 a, b, c ,向 量 m ? (a, 3b) 与

??

? n ? (cos A,sin B) 平行.
(I)求 A ; (II)若 a ? 7, b ? 2 求 ?ABC 的面积.

→ → 2.[2014· 辽宁卷] 在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 a>c.已知BA·BC=2, 1 cos B= ,b=3.求: 3
3

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(1)a 和 c 的值; (2)cos(B-C)的值.

例 5:倍角公式的结合应用 1.(2015 新课标 I 卷)已知 a,b,c 分别为△ABC 内角 A,B,C 的对边,sin B=2sinAsinC (Ⅰ)若 a=b,求 cosB; (Ⅱ)设 B=90°,且 a= 2 ,求△ABC 的面积
2

A-B 2.[2014· 浙江卷] 在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.已知 4sin2 +4sin Asin 2 B=2+ 2. (1)求角 C 的大小;(2)已知 b=4,△ABC 的面积为 6,求边长 c 的值.

例 6:利用正弦、余弦定理判定三角形的形状
1.若 ?ABC 的三个内角满足 sin A : sin B : sin C ? 5 :11:13 ,则 ?ABC 是 A.锐角三角形 C.直角三角形 B.钝角三角形 D.可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形. ( )

2. (2013· 陕西卷)设△ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, 若 bcos C+ccos B=asin A, 则△ABC 的形状为( A.锐角三角形 C.钝角三角形 ) B.直角三角形 D.不确定

3.在△ABC 中,若 b=asin C,c=acos B,则△ABC 的形状为___________________.

4

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例 7:新颖的题型 1.(2011 届稽阳联考)如右图,在△ ABC 中, D 为 BC 边上一点,

A

?BAD ? ? ,   ?CAD ? ? , cos? ?
(1)求 ?BAC 的大小; (2)当 D为BC中点 时,求

2 5 3 10 . , cos? ? 5 10

AC 的值. AD

B

D

C

2.[2014· 湖南卷] 如图 14 所示,在平面四边形 ABCD 中,DA⊥AB,DE=1,EC= 7,EA=2, 2π π ∠ADC= ,∠BEC= . 3 3 (1)求 sin∠CED 的值; (2)求 BE 的长.

3.(2015 新课标 II 卷)△ABC 中 D 是 BC 上的点,AD 平分 ? BAC,BD=2DC. (I)求

sin ?B ; sin ?C

? (II)若 ?BAC ? 60 ,求 ? B .

4.如图 A、B 是单位圆 O 上的点,且 B 在第二象限. C 是圆与 x

y
B

A( , ) C

3 4 5 5

5

O

x

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轴正半轴的交点,A 点的坐标为 ? , (Ⅰ)求 sin ?COA ; (Ⅱ)求 cos ?COB .

?3 4? ? ,△AOB 为正三角形. ?5 5?

例 8:阅读能力的结合 1.[2014· 全国新课标卷Ⅰ] 如图 13,为测量山高 MN,选择 A 和另一座山的山顶 C 为测量观测 点.从 A 点测得 M 点的仰角∠MAN=60°,C 点的仰角∠CAB=45°,以及∠MAC=75°,从 C 点测得∠MCA=60°.已知山高 BC=100 m,则山高 MN=________m.

2.(2015 湖北卷)15.如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到 A 处时测得公路北 侧一山顶 D 在西偏北 30? 的方向上,行驶 600m 后到达 B 处,测得此山顶在西偏北 75? 的方向上, 仰角为 30? ,则此山的高度 CD ? _________m.

3.[2014· 四川卷] 如图 13 所示, 从气球 A 上测得正前方的河流的两岸 B, C 的俯角分别为 75°, 30°,此时气球的高度是 60 m,则河流的宽度 BC 等于( )

练习:
6

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1、在△ ABC 中, a , b , c 分别是 ? A , ? B , ?C 的对边,且 b ? c ? 3bc ? a ,
2 2 2

则 ? A 等于 ( A.

) B.

? 6

? 3

C.

2? 3

D.

5? 6
?
4 , AB ? 2, BC ? 3, 则

2. (2013 年普通高等学校招生统一考试天津数学) 在△ABC 中, ?ABC ?
sin?BAC =

(A)

10 10

(B)

10 5

(C)

3 10 10

(D)

5 5

3. ( 2013 年 高 考 湖 南 卷 ) 在 锐 角 中 ?ABC , 角 A, B 所 对 的 边 长 分 别 为 a , b . 若

2a sin B ? 3b, 则角A等于 (
A.

)

? 12

B.

? 6

C.

? 4

D.

? 3

4 . ( 2013 年普通高等学校招生统一考试辽宁数学) 在 ?ABC ,内角 A, B, C 所对的边长分别为

1 a, b, c. a sin B cos C ? c sin B cos A ? b, 且 a ? b ,则 ?B ? ( 2 ? ? 2? A. B. C. 3 6 3 c cos C 5、已知:在⊿ABC 中, ? ,则此三角形为 ( ) b cos B
A. 直角三角形 B. 等腰直角三角形 C. 等腰三角形 6、如图,测量河对岸的塔高 AB 时,可以选与塔底 B 在 同 一 水 平 面 内 的 两 个 测 点 C 与 D . 测 得

) D.

5? 6

D. 等腰或直角三角形

?BCD ? 150,?BDC ? 300,CD ? 30 米,并在点 C 测得
塔顶 A 的仰角为 60 , 则 BC=
0

米, 塔高 AB=

米。

7、在 ?ABC 中,已知 AC ? 3 , sin A ? cos A ? 2 .
7

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(Ⅰ)求 sin A 的值; (Ⅱ)若 ?ABC 的面积 S ? 3 ,求 BC 的值.

8. ( 2013 年普通高等学校招生统一考试山东数学) 设△ ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为

a, b, c ,且 a ? c ? 6 , b ? 2 , cos B ?
(Ⅰ)求 a , c 的值;

7 . 9

(Ⅱ)求 sin( A ? B) 的值.

9.(2012 年高考(江苏) )在 ?ABC 中 , 已知 AB ? AC ? 3BA? BC . (1)求证: tan B ? 3tan A ; (2)若 cos C ?

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

5 ,求 A 的值. 5

8


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