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辽宁省实验中学分校2014-2015学年高一上学期期中数学试卷


2014-2015 学年辽宁省实验中学分校高一(上)期中数学试卷
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分,每题四个选项中只有一项是符合 题目要求的) 1. (5 分)已知集合 A={﹣1,0,1},B={x|﹣1≤x<1},则 A∩B=() A.{0} B.{﹣1,0} C.{0,1} D.{﹣1,0,1} 2. (5 分)函数 y=x ﹣4x

+3,x∈的值域为() A. B. C. 3. (5 分)下列所示各函数中,为奇函数的是() A.f(x)= B.f(x)=log2x
x 2

D.

C.f(x)=2
x

x

D.f(x)=x

2

4. (5 分)设 f(x)=3 +3x﹣8,用二分法求方程 3 +3x﹣8=0 在 x∈(1,2)内近似解的过程 中得 f(1)<0,f(1.5)>0,f(1.25)<0,则方程的根落在区间() A.(1,1.25) B. (1.25,1.5) C. (1.5,2) D. 不能确定 5. (5 分)设 a=log0.70.8,b=log1.10.9,c=1.1 ,那么() A.a<b<c B.a<c<b C.b<a<c 6. (5 分)函数 y=2a (0<a<1)的图象一定过点() A.(1,1) B.(1,2) C.(2,0)
x﹣1 0.9

D.c<a<b

D.(2,﹣1)

7. (5 分)为确保信息安全,信息需加密传输,发送方由明文→密文(加密) ,接收方由密文 →明文(解密) ,已知加密规则为:明文 a,b,c,d 对应密文 a+2b,2b+c,2c+3d,4d,例如, 明文 1,2,3,4 对应密文 5,7,18,16.当接收方收到密文 14,9,23,28 时,则解密得到 的明文为() A.4,6,1,7 B.7,6,1,4 C.6,4,1,7 D.1,6,4,7 8. (5 分)如果集合 A={x|ax +2x+1=0}中只有一个元素,则 a 的值是() A.0 B. 0 或 1 C. 1 x+2∈ ①f(x)在 D 内是单调函数; ②存在上的值域为 ,那么就称函数 y=f(x)为“成功函数”,若函数 f(x)=logc{c +t)
x 2

(c>0,c≠1)是“成功函数”,则 t 的取值范围为() A.(0,+∞) B.(﹣∞,0) C. D.

二.填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. (5 分)函数 的定义域为.

14. (5 分)若函数 f(x)=(k﹣2)x +(k﹣1)x+3 是偶函数,则 f(x)的递减区间是. 15. (5 分)现有含三个元素的集合,既可以表示为 则a
2013

2

,也可表示为{a ,a+b,0},

2

+b

2013

=.

16. (5 分)设函数 f(x)=
2 2

, 【若对任意给定的 y∈(2,+∞) ,都存在唯一的

x∈R,满足 f(f(x) )=2a y +ay,则正实数 a 的最小值是.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. (10 分)已知全集 U=R,A={x|﹣3<x≤6,x∈R},B={x|x ﹣5x﹣6<0,x∈R}. 求: (1)A∪B; (2) (?UB)∩A.
2

18. (12 分) (1)化简: (2)计算: (lg2) +lg2?lg50+lg25. 19. (12 分)已知集合 A={x|x>1},集合 B={x|m≤x≤m+3}; (1)当 m=﹣1 时,求 A∩B,A∪B; (2)若 B?A,求 m 的取值范围. 20. (12 分)已知指数函数 f(x)=a (a>0,a≠1) . (Ⅰ)若 f(x)的图象过点(1,2) ,求其解析式; (Ⅱ)若
x 2



,且不等式 g(x +x)>g(3﹣x)成立,求实数 x 的取值范围.

2

21. (12 分)已知二次函数 f(x)=x ﹣2bx+a,满足 f(x)=f(2﹣x) ,且方程 f(x)﹣ 有两个相等的实根. (1)求函数 f(x)的解析式; (2)当 x∈(t∈R)时,求函数 f(x)的最小值 g(t)的表达式.

2

=0

22. (12 分)已知函数 f(x)对任意实数 x 均有 f(x)=kf(x+2) ,其中常数 k 为负数,且 f (x)在区间上有表达式 f(x)=x(x﹣2) . (1)求 f(1) ,f(﹣1)的值;

(2)当 x∈时,求 f(x)的解析式; (3)写出 f(x)在上的表达式.

2014-2015 学年辽宁省实验中学分校高一(上)期中数学 试卷
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分,每题四个选项中只有一项是符合 题目要求的) 1. (5 分)已知集合 A={﹣1,0,1},B={x|﹣1≤x<1},则 A∩B=() A.{0} B.{﹣1,0} C.{0,1} D.{﹣1,0,1} 考点: 交集及其运算. 专题: 集合. 分析: 找出 A 与 B 的公共元素,即可确定出两集合的交集. 解答: 解:∵A={﹣1,0,1},B={x|﹣1≤x<1}, ∴A∩B={﹣1,0}. 故选 B 点评: 此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键. 2. (5 分)函数 y=x ﹣4x+3,x∈的值域为() A. B. C.
2

D.

考点: 二次函数在闭区间上的最值. 专题: 函数的性质及应用. 2 2 分析: 由函数 y=x ﹣4x+3=(x﹣2) ﹣1,x∈可得,当 x=2 时,函数取得最小值为﹣1,当 x=0 时,函数取得最大值 3,由此求得函数的值域. 2 2 解答: 解:∵函数 y=x ﹣4x+3=(x﹣2) ﹣1,x∈, 故当 x=2 时,函数取得最小值为﹣1,当 x=0 时,函数取得最大值 3, 故函数的值域为, 故选 C. 点评: 本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值,二次函数的性质的应用,属于中档题. 3. (5 分)下列所示各函数 中,为奇函数的是() A.f(x)= B.f(x)=log2x C.f(x)=2
x

D.f(x)=x

2

考点: 函数奇偶性的判断. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据函数奇偶性的定义,分别进行判断函数的奇偶性即可得到结论.

解答: 解:A.函数的定义域为{x|x≠0},f(﹣x)=﹣ =﹣f(x) ,函数为奇函数. B.函数的定义域为{x|x>0},定义域关于原点不对称,函数为非奇非偶函数. C.函数的定义域为 R,定义域关于原点对称,函数单调递增,函数为非奇非偶函数. 2 2 D.函数的定义域为 R,定义域关于原点对称,f(﹣x)=(﹣x) =x =f(x) ,函数为偶函数. 故选:A. 点评: 本题主要考查函数奇偶性的判断,利用函数奇偶性的定义是解决本题的关键,比较 基础. 4. (5 分)设 f(x)=3 +3x﹣8,用二分法求方程 3 +3x﹣8=0 在 x∈(1,2)内近似解的过程 中得 f(1)<0,f(1.5)>0,f(1.25)<0,则方程的根落在区间() A.(1,1.25) B.(1.25,1.5) C.(1.5,2) D.不能确定 考点: 二分法求方程的近似解. 专题: 计算题. x 分析: 由已知“方程 3 +3x﹣8=0 在 x∈(1,2)内近似解”,且具体的函数值的符号也已确定, 由 f(1.5)>0,f(1.25)<0,它们异号. 解答: 解析:∵f(1.5)?f(1.25)<0, 由零点存在定理,得, ∴方程的根落在区间(1.25,1.5) . 故选 B. 点评: 二分法是求方程根的一种算法,其理论依据是零点存在定理: 一般地,若函数 y=f(x)在区间上的图象是一条不间断的曲线, 且 f(a)f(b)<0,则函数 y=f(x)在区间(a,b)上有零点. 5. (5 分)设 a=log0.70.8,b=log1.10.9,c=1.1 ,那么() A.a<b<c B.a<c<b C.b<a<c
0.9 x x

D.c<a<b

考点: 对数值大小的比较;指数函数与对数函数的关系. 专题: 计算题. 分析: 对 a、b、c 三个数,利用指数、对数的性质,进行估算,和 0、1 比较即可. 解答: 解:a=log0.70.8>0, 且 a=log0.70.8<log0.70.7=1. b=log1.10.9<log1.11=0. 0.9 c=1.1 >1. ∴c>1>a>0>B、即 b<a<c、 故选 C. 点评: 本题考查对数值的大小比较,指数函数、对数函数的关系,是基础题. 6. (5 分)函数 y=2a (0<a<1)的图象一定过点() A.(1,1) B.(1,2) C.(2,0) 考点: 指数函数的单调性与特殊点. 专题: 函数的性质及应用.
x﹣1

D.(2,﹣1)

分析: 利用函数图象平移的特点,由函数 y=a (0<a<1)的图象经两次变换得到 y=2a x x﹣1 (0<a<1)的图象,而函数 y=a (0<a<1)的图象一定经过点(0,1) ,则函数 y=2a (0 <a<1)的图象经过的定点即可得到. x 解答: 解:因为函数 y=a (0<a<1)的图象一定经过点(0,1) , x﹣1 x 而函数 y=2a (0<a<1)的图象是由 y=a (0<a<1)的图象向右平移 1 个单位, x﹣1 然后把函数 y=a (0<a<1)的图象上所有点的横坐标不变,纵坐标扩大到原来的 2 倍得到 的, 所以函数 y=2a (0<a<1)的图象一定过点(1,2) . 故选 B. 点评: 本题考查了指数函数的图象,考查了函数图象平移变换和伸缩变换,属基础题型. 7. (5 分)为确保信息安全,信息需加密传输,发送方由明文→密文(加密) ,接收方由密文 →明文(解密) ,已知加密规则为:明文 a,b,c,d 对应密文 a+2b,2b+c,2c+3d,4d,例如, 明文 1,2,3,4 对应密文 5,7,18,16.当接收方收到密文 14,9,23,28 时,则解密得到 的明文为() A.4,6,1,7 B.7,6,1,4 C.6,4,1,7 D.1,6,4,7 考点: 信息的加密与去密;进行简单 的合情推理. 专题: 压轴题. 分析: 根据题意中给出的加密密钥为 a+2b,2b+c,2c+3d,4d,如上所示,明文 1,2,3, 4 对应密文 5,7,18,16,我们不难易得,明文的 4 个数与密文的几个数之间是一种函数对应 的关系,如果已知密文,则可根据这种对应关系,构造方程组,解方程组即可解答. 解答: 解:∵明文 a,b,c,d 对应密文 a+2b,2b+c,2c+3d,4d, ∴当接收方收到密文 14,9,23,28 时,
x﹣1

x

x﹣1



,解得



解密得到的明文为 6,4,1,7 故选 C. 点评: 这是一道新运算类的题目,其特点一般是“新”而不“难”,处理的方法一般为:根据新 运算的定义,将已知中的数据代入进行运算,易得最终结果. 8. (5 分)如果集合 A={x|ax +2x+1=0}中只有一个元素,则 a 的值是() A.0 B. 0 或 1 C. 1 x+2∈ ∴原不等式解集的补集为上的值域为
x 2

,那么就称函数 y=f(x)为“成功函数”,若函

数 f(x)=logc{c +t) (c>0,c≠1)是“成功函数”,则 t 的取值范围为() A.(0,+∞) B.(﹣∞,0) C. D.

考点: 对数函数的单调性与特殊点;函数的定义域及其求法;函数的值域. 专题: 计算题;新定义.

分析: 由题意可知 f(x)在 D 内是单调增函数,才为“成功函数”,从而可构造函数 ,转化为求 解答: 解:因为函数 f(x)= 则函数 y=f(x)为“成功函数”, 且 f(x)在上的值域为 , 有两异正根,k 的范围可求. , (c>0,c≠1)在其定义域内为增函数,



,即



故 方程

必有两个不同实数根,



等价于

,等价于



∴方程 m ﹣m+t=0 有两个不同的正数根,∴

2

,∴



故选 D. 点评: 本题主要考查对数函数的定义域和单调性,求函数的值域,难点在于构造函数,转 化为两函数有不同二交点,利用方程解决,属于难题. 二.填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. (5 分)函数 的定义域为 (0,1)∪(1,+∞) .

考点: 对数函数的定义域. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据题意,函数应满足分母不为 0,且对数的真数大于 0,求出自变量的取值范围即 可. 解答: 解:∵f(x)= +log2x,





即 x>0,且 x≠1, ∴函数 f(x)的定义域为(0,1)∪(1,+∞) ; 故答案为: (0,1)∪(1,+∞) . 点评: 本题考查了求函数的定义域的问题,解题时应使函数的解析式有意义,即求出函数 自变量的取值范围.

14. (5 分)若函数 f(x)=(k﹣2)x +(k﹣1)x+3 是偶函数,则 f(x)的递减区间是;f(x) =log2x, (x>0)时,其值域为 R 2 2 ∴可以看出 f(x)的值域为(0,1]上有两个解,要想 f(f(x) )=2a y +ay,在 y∈(2,+∞) 上只有唯一的 x∈R 满足, 2 2 必有 f(f(x) )>1 (因为 2a y +ay>0) 所以:f(x)>2 解得:x>4, 当 x>4 时,x 与 f(f(x) )存在一一对应的关系 2 2 ∴2a y +ay>1,y∈(2,+∞) ,且 a>0 所以有: (2ay﹣1) (ay+1)>0 解得:y> ∴ ∴a≥ 故答案为: 点评: 本题可以把 2a y +ay 当作是一个数,然后在确定数的大小后再把它作为一个关于 y 的函数. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 2 17. (10 分)已知全集 U=R,A={x|﹣3<x≤6,x∈R},B={x|x ﹣5x﹣6<0,x∈R}. 求: (1)A∪B; (2) (?UB)∩A. 考点: 交、并、补集的混合运算. 专题: 计算题. 分析: 由题意,可先解一元二次不等式,化简集合 B,再求出 B 的补集,再由交、并的运 算规则解出即可. 2 解答: 解:由题意 B={x|x ﹣5x﹣ 6<0}={x|﹣1<x<6}, 又集合 A={x|﹣3<x≤6}, (1)∴A∪B={x|﹣3<x≤6}; (2)∵?UB={x|x≤﹣1 或 x≥6}, ∴(?UB )∩A={x|﹣3<x≤﹣1 或 x=6}. 点评: 本题考查交、并、补的混合运算,属于集合中的基本计算题,熟练掌握运算规则是 解解题的关键
2 2

2

或者 y<﹣ (舍去)

≤2

18. (12 分) (1)化简: (2)计算: (lg2) +lg2?lg50+lg25.
2



考点: 对数的运算性质;有理数指数幂的化简求值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)利用指数的性质和运算法则求解. (2)利用对数的性质和运算法则求解. 解答: 解: (1) = = .
2

(2) (lg2) +lg2?lg50+lg25 =lg2(lg2+lg50)+lg25 =2lg2+lg25 =lg100 =2. 点评: 本题考查对数和指数的化简求值,是基础题,解题时要认真审题,注意注意运算法 则的合理运用. 19. (12 分)已知集合 A={x|x>1},集合 B={x|m≤x≤m+3}; (1)当 m=﹣1 时,求 A∩B,A∪B; (2)若 B?A,求 m 的取值范围. 考点: 交集及其运算;集合的包含关系判断及应用;并集及其运算. 专题: 常规题型;计算题. 分析: (1)当 m=﹣1 时,确定集合 B,然后计算 A∩B,A∪B; (2)B?A,集合 B 中的最小值必须大于 1,即可. 解答: 解: (1)当 m=﹣1 时,B={x|﹣1≤x≤2}, ∴A∩B={x|1<x≤2],A∪B={x|x≥﹣1}; (2)若 B?A,则 m 的取值范围为(1,+∞) . 点评: 本题是基础题,考查集合之间的基本运算,也是高考常会考的题型. 20. (12 分)已知指数函数 f(x)=a (a>0,a≠1) . (Ⅰ)若 f(x)的图象过点(1,2) ,求其解析式; (Ⅱ)若 ,且不等式 g(x +x)>g(3﹣x)成立,求实数 x 的取值范围.
2 x

考点: 指数函数综合题. 专题: 函数的性质及应用. x 分析: (Ⅰ)由 f(x)=a (a>0,a≠1)的图象过点(1,2) ,求得 a=2,可得 f(x)的解 析式. (Ⅱ)由以上可得 g(x)的解析式,由解析式可得函数 g(x)在定义域上单调递增,故由不 2 2 等式 g(x +x)>g(3﹣x)成立,可得 x +x>3﹣x,由此解得 x 的范围 x x 解答: 解: (Ⅰ)∵f(x)=a (a>0,a≠1)的图象过点(1,2) ,∴a=2,∴f(x)=2 .

(Ⅱ)由以上可得
2

,∵g(x)在定义域上单调递增,
2 2

∴由不等式 g(x +x)>g(3﹣x)成立,可得 x +x>3﹣x,即 x +2x﹣3>0,解得 x∈(﹣∞, ﹣3)∪(1,+∞) . 点评: 本题主要考查用待定系数法求函数的解析式,指数函数的性质、函数的单调性的应 用,属于中档题.
2

21. (12 分)已知二次函数 f(x)=x ﹣2bx+a,满足 f(x)=f(2﹣x) ,且方程 f(x)﹣ 有两个相等的实根. (1)求函数 f(x)的解析式; (2)当 x∈(t∈R)时,求函数 f(x)的最小值 g(t)的表达式.

=0

考点: 二次函数在闭区间上的最值;函数解析式的求解及常用方法. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: (1)通过 f(x)=f(2﹣x) ,求出函数的对称轴方程,求出二次函数的对称轴方程, 即可求 b,利用方程 f(x)﹣ =0 有两个相等的实根,判别式等于 0,求出 a,即可求解函数

f(x)的解析式; (2)求出函数的对称轴方程,利用对称轴在内以及区间外,分别求出函数的最小值,即可求 函数 f(x)的最小值 g(t)的表达式. 解答: 解: (1)由 f(x)=f(2﹣x) ,可知函数的对称轴方程为 x=1, 2 而二次函数 f(x)=x ﹣2bx+a 的对称轴是 x=b, 所以,对称轴:x=b=1, 由方程 f(x)﹣ =0 有两个相等的实根可得:△ = ,

解得 a=4. 2 ∴f(x)=x ﹣2x+4. (5 分) 2 2 (2)f(x)=x ﹣2x+4=(x﹣1) +3. 2 ①当 t+1≤1,即 t≤0 时,ymin=f(t+1)=t +3; (6 分) ②当 t<1<t+1,即 0<t<1 时,ymin=f(1)=3; (8 分) 2 ③当 t≥1 时,ymin=f(t )=t ﹣2t+4; (10 分)

综上:



(12 分)

点评: 本题考查二次函数闭区间上的最值的求法,二次函数的解析式的求法,考查函数的 基本知识的应用. 22. (12 分)已知函数 f(x)对任意实数 x 均有 f(x)=kf(x+2) ,其中常数 k 为负数,且 f (x)在区间上有表达式 f(x)=x(x﹣2) . (1)求 f(1) ,f(﹣1)的值; (2)当 x∈时,求 f(x)的解析式;

( 3)写出 f(x)在上的表达式. 考点: 函数解析式的求解及常用方法. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)中 f(1)易求,求 f(﹣1)用公式 f(x)=kf(x+2) ; (2)中通过区间转换的 方式解决,用(x+2)替换 x. (3)各个区间上的表达式不一样,所以分段表示. 解答: 解: (1)∵f(x)=x(x﹣2) ,∴f(1)=﹣1; ∵f(x)=kf(x+2) ,且 f(x)在区间时,f(x)=x(x﹣2) ∴f(﹣1)=kf(﹣1+2)=kf(1)=k?1?(1﹣2)=﹣k. (2)若 x∈,则 x+2∈; ∴ ∴当 x∈时,f(x)= (x﹣2) (x﹣4) . (3)若 x∈=x(x+2) ∴f(x)=kf(x+2)=kx(x+2) ; 若 x∈=k(x+2) (x+4) ∴f(x)=kf(x+2)=k (x+2) (x+4) ;
2

∵(2,3]?,时,



点评: 这是一道求函数解析式的问题,本题较为抽象,在区间转化时一定要细心,防止出 错.


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