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2015《金榜e讲堂》高三人教版数学(理)一轮复习课时作业:第2章 第9节 函数与方程


课时作业 一、选择题
?2x-1,x≤1, ? 1.已知函数 f(x)=? 则函数 f(x)的零点为 ? ?1+log2x,x>1,

(

) B.-2,0 D .0 [当 x≤1 时,由 f(x)=2x-1=0,解得 x=0;

1 A. ,0 2 C. D 1 2

1 当 x&

gt;1 时,由 f(x)=1+log2x=0,解得 x= , 2 又因为 x>1,所以此时方程无解. 综上函数 f(x)的零点只有 0.] 1 1 2.设 f(x)=x3+bx+c 是[-1,1]上的增函数,且 f ?- ?·f? ?<0,则方程 f(x)=0 在[-1, ? 2? ?2? 1]内 ( ) A.可能有 3 个实数根 B.可能有 2 个实数根 C.有唯一的实数根 D.没有实数根 1 1 1 1 C [由 f(x)在[-1,1]上是增函数,且 f ?- ?·f ? ?<0,知 f(x)在 ?- , ?上有唯一零点,所 ? 2? ?2? ? 2 2? 以方程 f(x)=0 在[-1,1]上有唯一实数根.] 3.已知函数 f(x)的图象是连续不断的,x、f(x)的对应关系如下表: x f(x) 1 136.13 2 15.552 3 -3.92 4 10.88 5 -52.488 6 -232.064

则函数 f(x)存在零点的区间有 ( ) A.区间[1,2]和[2,3] B.区间[2,3]和[3,4] C.区间[2,3]、 [3,4]和[4, 5] D.区间[3,4]、[4,5]和 [5,6] C [因为 f(2)>0, f(3)<0,f(4)>0,f(5)<0, 所以在区间[2,3],[3,4],[4,5]内有零点. ] 4.(2014· 哈师大模拟)若定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x+2)=f(x), lg x,x>0, ? ?0,x=0, 且 x∈[-1, 1]时, f(x)=1-x2, 函数 g(x)= ? 则函数 h(x)=f(x)-g(x)在区间[- 1 ? ?-x ,x<0, 5,5]内的零点个数是 ( ) A.5 C.8 B.7 D.10

C [依题意得,函数 f(x)是以 2 为周期的函数,在同一坐标系下画出函数 y=f(x)与函数 y= g(x)的图象,结合图象得,当 x∈[-5,5]时,它们的图象的公共点共有 8 个,即函数 h(x)= f(x)-g(x)在区间[-5, 5]内的零点个数是 8.]

1 1 5. (2014· 广东韶兴一模)已知函数满足 f(x)=2f ? ?, 3]时, f(x)=ln x, 若在区间 ? ,3 ? ?x ? 当 x∈[1, ?3 ? 内,函数 g(x)=f(x)-ax 有三个不同零点,则实数 a 的取值范围是 ( ) ln 3 1 A. ? , ? ? 3 e? C. ?0, ln 3 1 B.? , ? ? 3 2e? 1 D.?0, ? ? e?

?

1? 2e?

1 1 A [当 x∈? ,1?时,则 1< ≤3, ?3 ? x 1 1 ∴f(x)=2f ? ?=2ln =-2ln x. ?x ? x 1 ? ? ?-2ln x,x∈ ? ?3,1?, ∴f(x)= ? ?ln x,x∈[1,3]. ? 1 g(x)=f(x)-ax 在区间? ,3?内有三个不同零点, ?3 ? 即函数 y= f(x) 1 与 y=a 的图象在? ,3?上有三个不同的交点. x ?3 ?

1 2ln x 2(ln x-1) 当 x∈? ,1?时,y=- ,y′ = <0, ?3 ? x x2 ∴y=- 2ln x ?1 ? 在 ,1 上递减, x ?3 ? ln x 1-ln x ,y′ = , x x2

∴y∈(0,6ln 3]. 当 x∈[1,3]时,y=

ln x y= 在[1,e]上递增,在[e,3]上递减. x 结合图象,所以 y= f(x) ln 3 1 与 y=a 的图象有三个交点时,a 的取值范围为? , ?.] x ? 3 e?

二、填空题 6.用二分法研究函数 f(x)=x3+3x-1 的零点时,第一次经计算 f(0)<0,f(0.5)>0 可得其中一 个零点 x0∈______,第二次应计算________. 解析 因为 f(x)=x3+3x-1 是 R 上的连续函数,且 f(0)<0,f(0.5)>0,则 f(x)在 x∈(0,0.5) 上存在零点,且第二次验证时需验证 f(0.25)的符号. 答案 (0,0.5) f(0.25) 7.(2014· 南通质检)已知函数 f(x)=x2+ (1-k)x-k 的一个零点在 (2,3)内,则实数 k 的取值 范围是________. 解析 因为 Δ=(1-k)2+4k=(1+ k)2≥0 对一切 k∈R 恒成立,又 k=-1 时,f(x)的零点 x= -1?(2,3),故要使函数 f(x)=x2+ (1-k)x-k 的一个零点在 (2,3)内,则必有 f(2)·f(3)<0,即 2<k<3. 答案 (2,3) 8.(2014· 太原模拟)若函数 f(x)=|x|+ a-x2- 2(a>0)没有零点,则实数 a 的取值范围为 __________. 解析 在平面直角坐标系中画出函数 y= a-x2(a>0)的图象 (其图象是以原点为圆心、 a 为半径的圆,且不在 x 轴下方的部 分)与 y= 2-|x|的图象.观察图形可知,要使这两个函数的图 象没有公共点,则原点到直线 y = 2- x 的距离大于 a ,或 a> 2. 又原点到直线 y= 2-x 的距离等于 1, 所以有 0< a<1,或 a > 2,由此解得 0<a<1 或 a>2. 所以,实数 a 的取值范围是(0,1)∪(2,+∞). 答案 (0,1)∪(2,+∞) 三、解答题 9.若函数 f(x)=ax2-x-1 有且仅有一个零点,求实数 a 的取值范围. 解析 (1)当 a=0 时,函数 f(x)=-x-1 为一次函数,则-1 是函数的零点,即函数仅有一 个零点. (2)当 a≠0 时,函数 f(x)=ax2-x-1 为二次函数,并且仅有一个零点,则一元二次方程 ax2 1 1 -x-1=0 有两个相等实根.则 Δ=1+4a=0,解得 a=- . 综上,当 a=0 或 a=- 时,函 4 4 数仅有一个零点. 10.关于 x 的二次方程 x2+(m-1)x+1=0 在区间[0,2]上有解,求实数 m 的取值范围.

解析

设 f(x)=x2+(m-1)x+ 1,x∈[0,2],

①若 f(x)=0 在区间[0,2]上有一解, ∵f(0)=1>0,则应有 f(2)<0, 3 又∵f(2)=22+(m-1)×2+1,∴m<- . 2 ②若 f(x)=0 在区间[0,2]上有两解,则 Δ ≥0, ? ? m-1 ?0<- 2 <2, ?f(2)≥0, ?

?(m-1)2-4≥0, ? ∴?-3<m<1, ? ?4+(m-1)×2+1≥0.
m≥3或m≤-1, ? ?-3<m<1, ∴? 3 m ≥- . ? ? 2 3 ∴- ≤m≤-1. 2 由①②可知 m 的取值范围(-∞,-1]. 11.已知函数 f(x)=-x2+2ex+m-1,g(x)=x+ (1)若 g(x)=m 有零点,求 m 的取值范围; (2)试确定 m 的取值范围,使得 g(x)-f(x)=0 有两个相异实根. 解析 (1)g(x)=x+ e2 ≥2 e2=2e, x e2 (x>0). x

等号成立的条件是 x=e, 故 g(x)的值域是[2e,+∞),所以 m≥2e. (2)若 g(x)-f(x)=0 有两个相异的实根, 则 g(x)与 f(x)的图象有两个不同的交点. f(x)=-x2+2ex+m-1=- (x-e)2+m-1+e2, 其图象对称轴为 x=e,开口向下, 最大值为 m-1+e2, 又由(1)知 g(x)在 x=e 处取得最小值 2e, 故当 m-1+e2>2e, 即 m>-e2+2e+1 时, g(x)与 f(x)的图象有两个交点, 即 g(x)-f(x)=0 有两个相异实根. ∴m 的取值范围是(-e2+2e+1,+∞).


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