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广西南宁外国语学校2012-2013学年高一上学期数学单元素质测试题——第3章 函数的应用)


新课标高一(上)数学章节素质测试题——第 3 章 函数的应用
(考试时间 120 分钟,满分 150 分)姓名________评价_______ 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 以下给出的四个备选答案中,只有一个正确) 1.(12 北京)函数 f ( x) ? x 2 ? ( ) 的零点个数为(
x 1

1 2

) D.3 )

A.0

B.1

C.2

x 2. (10 浙江) 已知 x0 是函数 f ( x ) ? 2 ?

1 的一个零点, 若 x1 ? (1, x0 ), x2 ? ( x0 ,??) , 则 ( 1? x
B. f ( x1 ) ? 0, f ( x2 ) ? 0 D. f ( x1 ) ? 0, f ( x2 ) ? 0 ) D. (1,2) )

A. f ( x1 ) ? 0, f ( x2 ) ? 0 C. f ( x1 ) ? 0, f ( x2 ) ? 0
x

3.(10 天津)函数 f(x)= e ? x ? 2的零点所在的一个区间是 ( A. (?2,?1) B. (?1,0) C. (0,1)

4.(09 天津)设函数 f ( x) ?

1 x ? ln x( x ? 0), 则 y ? f ( x) ( 3

1 e 1 B. 在区间 ( ,1), (1, e) 内均无零点. e 1 C. 在区间 ( ,1) 内有零点,在区间 (1, e) 内无零点. e 1 D. 在区间 ( ,1) 内无零点,在区间 (1, e) 内有零点. e
A. 在区间 ( ,1), (1, e) 内均有零点.

? x 2 ? 2 x ? 3, x ? 0 5.(10 福建)函数 f ( x) ? ? 的零点个数为( ?? 2 ? ln x, x ? 0
A.3 B.2 C.1 )
1 1 x 6.(10 上海)若 x0 是方程 ( ) ? x 3 的解,则 x0 属于区间( 2

) D.0

A.(

2 ,1) 3
x

B.(
2

1 2 , ) 2 3

C.( )

1 1 , ) 3 2

D.(0,

1 ) 3

7.(10 山东)函数 y ? 2 ? x 的图象大致是(

8.(09 福建)若函数 f ? x ? 的零点与 g ? x ? ? 4 ? 2x ? 2 的零点之差的绝对值不超过 0.25, 则 f ? x ?
x

可以是(

) B. f ? x ? ? ( x ?1)
2

A. f ? x ? ? 4x ?1

C. f ? x ? ? e ?1
x

D. f ( x) ? ln( x ? ) )

1 2

9.(09 宁夏)若 x1 满足 2 x ? 2 x ? 5 , x2 满足 2 x ? 2 log2 ( x ? 1) ? 5 ,则 x1 + x2 =( A.

5 2

B.3

C.

7 2

D.4

?| lg x |, 0 ? x ? 10, ? 10.(10 新课标)已知函数 f ( x) ? ? 1 若 a, b, c 互不相等,且 f (a) ? f (b) ? f (c), 则 ? x ? 6, x ? 10. ? ? 2
abc 的取值范围是(
A. (1,10) ) C. (10,12) D. (20, 24)

B. (5, 6)

11. (11 天津) 对实数 a和b , 定义运算 “? ” : a ?b ? ?

, b ? ? , 1 ?aa 设函数 f ( x) ? ( x 2 ? 2) ? ( x ? 1) , 1 . ?b, a ? b ?


x ? R .若函数 y ? f ( x) ? c 的图象与 x 轴恰有两个公共点,则实数 c 的取值范围是(
A. (?1,1] ? (2, ??) B. (?2, ?1] ? (1, 2] C. (??, ?2) ? (1, 2] D.[-2,-1]

12.(12 山东)设函数 f ( x) ?

1 , g ( x) ? ? x2 ? bx .若 y ? f ( x) 的图象与 y ? g ( x) 的图象有且仅有两个 x

不同的公共点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则下列判断正确的是( A. x1 ? x2 ? 0, y1 ? y2 ? 0 C. x1 ? x2 ? 0, y1 ? y2 ? 0



B. x1 ? x2 ? 0, y1 ? y2 ? 0 D. x1 ? x2 ? 0, y1 ? y2 ? 0

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在答题卡中对应题号后的横线上) 13.(08 湖北)方程 2
?x

? x 2 ? 3 的实数解的个数为
2

. .

14.(10 全国Ⅰ)直线 y ? 1 与曲线 y ? x ? x ? a 有四个交点,则 a 的取值范围是

?2 x?2 ? , 15.(11 北京)已知函数 f ( x) ? ? x ,若关于 x 的方程 f ( x) ? k 有两个不同的实根,则 3 ?( x ? 1) , x ? 2 ?
实数 k 的取值范围是_______ . 16.(11 山东)已知函数 f(x) = loga x ? x ? b(a>0,且a ? 1). 当 2<a<3<b<4 时,函数 f(x) 的 零点 x0 ? (n, n ? 1), n ? N * , 则n= .

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. (本题满分 10 分) 已知 a 是实数, 函数 f ( x) ? 2ax2 ? 2 x ? 3 ? a , 如果函数 y ? f ( x) 在区间 ?? 1,1? 上有零点,求 a 的取值范围.

18.(本题满分 12 分)已知关于 x 的二次函数 f ( x) ? x ? (2t ? 1) x ? 1 ? 2t.
2

(Ⅰ)求证:对于任意 t ? R ,方程 f ( x) ? 1 必有实数根; (Ⅱ)若

1 3 1 ? t ? ,求证:方程 f ( x) ? 0 在区间 (?1,0) 及(0,2)内各有一个实数根. 2 4

19.(本题满分 12 分)已知二次函数 f ( x) 满足 f (0) ? 1,f (1) ? ?1, f ( (Ⅰ)求函数 f ( x) 的解析式;

3 3 ? x) ? f ( ? x) . 2 2

(Ⅱ)若方程 f ( x) ? ?m x 的两根 x1 和 x2 满足 x1 < x2 <1,求实数 m 的取值范围.

20.(本题满分 12 分)甲、乙 两地相距 100km,汽车从甲地匀速行驶到乙地,速度不超过 60km/h, 已知汽车每小时的运输成本(元)由可变部分和固定部分组成,可变部分与速度 x (km/h)的平

1 ,固定部分为 60 元. 60 (Ⅰ)将全程的运输成本 y (元)表示为速度 x (km/h)的函数,并指出函数的定义域;
方成正比例,比例系数为 (Ⅱ)判断此函数的单调性,并求当速度为多少时,全程的运输成本最小.

21.(本题满分 12 分)某种股票的价格 y(元)在一年内与月份 x(月)之间的函数关系如下表: x y 0 10.1 1 10.2 2 10.4 3 10.8 4 11.6 5 13.2 6 16.4

(Ⅰ)在直角坐标系中, 通过描点、连线, 猜测并确定 y 与 x 之间的函数关系式; (Ⅱ)预测这种股票在 8 月份时的价格, 以及价格为 112.4 元时的月份. y

16 14 12 10 O 2 4 6 x

22.(本题满分 12 分)已知某类学习任务的掌握程度 y 与学习时间 t (单位时间)之间的关系为

y ? f (t ) ?

1 ? 100 % ,这里我们称这一函数关系为“学习曲线” .已知这类学习任务中 1 ? a ? 2 ?bt

的某项任务有如下两组数据: t ? 4 , y ? 50% ; t ? 8 , y ? 80% . (Ⅰ)试确定该项学习任务的“学习曲线”的关系式 f (t ) ; (Ⅱ)若定义在区间 [ x1 , x2 ] 上的平均学习效率为? ? 的 2 个单位时间内平均学习效率最高.

y 2 ? y1 ,问这项学习任务从哪一刻开始 x2 ? x1

新课标高一(上)数学章节素质测试题——第 3 章 函数的应用 (参考答案)
一、选择题答题卡: 题号 答案 1 B 2 B 3 C 4 D 5 B 6 B 7 A 8 A 9 C 10 C 11 B 12 B 得分

二、填空题 13. 2 ;14. (1, ) ;

5 4

15. (0,1) ;16.

2



三、解答题 17. 解:若 a ? 0 ,则 f ( x) ? 2 x ? 3 显然在[-1,1]上没有零点,所以 a ? 0 . 令 ? ? 4 ? 8a(3 ? a) ? 8a 2 ? 24a ? 4 ? 0 ,解得 a ? ①当 a ? 而a ?

?3? 7 . 2

?3? 7 时,恰有一个零点在[-1,1]上; 2 ?3? 7 时,经检验不符合要求. 2

②当 f (?1) ? f (1) ? (a ? 1)(a ? 5) ? 0 时, 得1 ? a ? 5 , 因当 a ? 5 时, 方程 f ( x) ? 0 在 [ ?1, 1] 上有两个相异实根,故 1 ? a ? 5 时,在[-1,1]上恰有一个零点; ③当 y ? f ( x) 在[-1,1]上有两个零点时,则

? a >0 ? a <0 ? ? 2 2 ? ? ? 8a ? 24a ? 4>0 ? ? ? 8a ? 24a ? 4<0 ? ? 1 1 ? ? <1 或 ? ?1< ? <1 , ? ?1< ? 2 a 2 a ? ? ? f (1)≥ 0 ? f (1)≤ 0 ? ? ? f (-1)≥ 0 ? f (-1)≤ 0 ? ?
解得 a ? 5 或 a ?

?3? 7 . 2

综上所述,实数 a 的取值范围是 ?a a ? 1 ,或a ? 18. 解:(Ⅰ)证明:由 f (1) ? 1 知 f ( x) ? 1 必有实数根.

? ? ? ?

?3? 7? ? ?. 2 ? ?

证法二: f ( x) ? x 2 ? (2t ? 1) x ? 1 ? 2t. 由 f ( x) ? 1 得 x 2 ? (2t ? 1) x ? 1 ? 2t ? 1 ,即 x 2 ? (2t ? 1) x ? 2t ? 0 . 因为 ? ? (2t ? 1) 2 ? 8t ? 4t 2 ? 4t ? 1 ? (2t ? 1) 2 ? 0 , 所以对于任意 t ? R ,方程 f ( x) ? 1 必有实数根. (Ⅱ)当

1 3 3 ? t ? 时,因为 f (?1) ? 3 ? 4t ? 4( ? t ) ? 0 , 2 4 4

1 f (0) ? 1 ? 2t ? 2( ? t ) ? 0 , 2
1 1 1 3 f ( ) ? ? (2t ? 1) ? 1 ? 2t ? ? t ? 0 , 2 4 2 4
1 所以方程 f ( x) ? 0 在区间(-1,0)及(0, )内各有一个实数根. 2 19. 解: (Ⅰ)设二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c ,则抛物线的对称轴为 x ?

3 .根据题意得 2

? ?c ? 1 ? ?a ? b ? c ? ?1 , ? b 3 ?? ? ? 2a 2
解之得 a ? 1, b ? ?3, c ? 1 . 所以,函数 f ( x) 的解析式为 f ( x) ? x 2 ? 3x ? 1 . (Ⅱ)由 f ( x) ? x 2 ? 3x ? 1 ? ?mx 得 x 2 ? (m ? 3) x ? 1 ? 0 . 设 g ( x) ? x 2 ? (m ? 3) x ? 1 ,则抛物线的对称轴为 x ? ? 方程 g ( x) ? 0 的两根 x1 和 x2 满足 x1 < x2 <1,则有

m?3 . 2

? ?? ? ( m ? 3) 2 ? 4 ? 0 ? ? g (1) ? m ? 1 ? 0 ? m?3 ?? ?1 2 ?
解之得 m >5. 所以,实数 m 的取值范围为 (5,??) .

y g(1) o x1
m?3 x?? 2

x2 1 x

20. 解: (Ⅰ)汽车全程行驶时间为

100 小时; x 1 2 x 元; 汽车每小时的运输成本的可变部分为 60 1 2 x ? 60 )元; 汽车每小时的全部运输成本为( 60 100 1 2 ( x ? 60) , 所以,所求的函数为 y ? x 60 5 6000 即y ? x? (0< x ? 60 ). 3 x

(Ⅱ)设 x1 , x 2 是 ?0,60? 上的任意两个实数,且 x1 < x2 ,则

5 6000 5 6000 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ( x1 ? ) ? ( x2 ? ) 3 x1 3 x2

?

5 5 6000 6000 x1 ? x 2 ? ? 3 3 x1 x2

6000 ( x 2 ? x1 ) 5 ? ( x1 ? x 2 ) ? 3 x1 x 2 5 3600 ? ( x1 ? x 2 )(1 ? ). 3 x1 x 2
? 0 < x1 < x2 ? 60 ,? x1 ? x2 <0, 1 ?

3600 <0. x1 x 2

? f ( x1 ) ? f ( x2 ) >0,即 f ( x1 ) > f ( x2 ) .
5 6000 x? 在 ?0,60? 上是减函数. 3 x 5 6000 ? 200 . 因此,当 x ? 60 时, y min ? ? 60 ? 3 60
所以,函数 f ( x) ? 故当速度为 60km/h 时,全程的运输成本最小,最小成本为 200 元. 21. 解: (Ⅰ)函数图象如图所示,猜测一:y 是 x 的二次函数模型, y 设 y 与 x 之间的函数关系式为 y ? ax ? bx ? c ,
2

将(0,10.1) 、 (1,10.2) 、 (2,10.4)代入,得

?c ? 10.1 ? ?a ? b ? c ? 10.2 ,? a ? b ? 0.05,c ? 10.1. ?4a ? 2b ? c ? 10.4 ?

16 14 12 10 O 2 4 6 x

? y ? f ( x) ? 0.05x 2 ? 0.05x ? 10.1.
f (3) ? 10.7,f (4) ? 11.1 ,f (5) ? 11.6,f (6) ? 12.2 均不合题意.

猜测二:y 是 x 的指数函数模型,设 y 与 x 之间的函数关系式为 y ? b ? a x ? c , 将(0,10.1) 、 (1,10.2) 、 (2,10.4)代入,得

?b ? c ? 10.1 ?ab ? b ? 0.1 ?(a ? 1)b ? 0.1 ? ,? ? , ?ab ? c ? 10.2 , ? ? 2 ?a b ? ab ? 0.2 ?(a ? 1)ab ? 0.2 ?a 2 b ? c ? 10.4 ? ? a ? 2,b ? 0.1. 从而 c ? 10 . 1 ? y ? f ( x) ? ? 2 x ? 10. 10
f (3) ? 10.8,f (4) ? 11.6,f (5) ? 13.2,f (6) ? 16.4 均符合题意.

1 x ? 2 ? 10. 10 1 8 1 x ? 2 ? 10 ? 35.6 , 112 .4 ? ? 2 ? 10 ,解得 x ? 10 . (Ⅱ) f (8) ? 10 10 所以这种股票在 8 月份时的价格约为 35 .6 元,价格为 112.4 元时的月份是 10 月份.
故 y 与 x 之间的函数关系式为? y ? f ( x) ?

1 ? ? 1 ? a ? 2 ? 4 b ? 0 .5 ? 22. (Ⅰ)由题意得 ? , 1 ? ? 0 .8 ? ?1 ? a ? 2 ? 8 b

? a ? 2 ?4 b ? 1 ? 整理得 ? 1 ,解得 a ? 4 , b ? 0.5 , a ? 2 ?4b ? ? ? 4
所以“学习曲线”的关系式为 y ?

(Ⅱ)设从第 x 个单位时间起的 2 个单位时间内的平均学习效率为? ,则

1 ? 100 % . 1 ? 4 ? 2 ?0.5t

1 1 ? ? 0.5( x ? 2 ) ? 0.5 x 2 ?0.5 x 1 ? 4 ? 2 1 ? 4 ? 2 ?? ? ( x ? 2) ? x (1 ? 2 ? 2 ? 0.5 x )(1 ? 4 ? 2 ?0.5 x )
令u ? 2
?0.5 x

,则? ?

u 1 , ? (1 ? 2u)(1 ? 4u) 1 ? 8u ? 6 u

显然当

1 2 ? 8u ,即 u ? 时,? 最大, u 4

将u ?

2 ?0.5 x 代入 u ? 2 ,得 x ? 3 , 4

所以,在从第 3 个单位时间起的 2 个单位时间内的平均学习效率最高.


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