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高一数学必修2第三章直线与方程教案


3.1.1 直线的倾斜角和斜率(1)
一、教学目标 知道一次函数的图象是直线,了解直线方程的概念,掌握直线的倾斜角和斜率的概念 以及直线的斜率公式. 二、重难点 1.重点:通过对一次函数的研究,学生对直线的方程已有所了解,要对进一步研究 直线方程的内容进行介绍,以激发学生学习这一部分知识的兴趣;直线的倾斜角和斜率是 反映直线相对于 x 轴正方向的倾斜程度的,是研究两条直

线位置关系的重要依据,要正确 理解概念;斜率公式要在熟练运用上多下功夫. 2.难点:一次函数与其图象的对应关系、直线方程与直线的对应关系是难点.由于 以后还要专门研究曲线与方程,对这一点只需一般介绍就可以了. 三、教学过程 (一)复习一次函数及其图象 已知一次函数 y=2x+1,试判断点 A(1,2)和点 B(2,1)是否在函数图象上. 初中我们是这样解答的: ∵A(1,2)的坐标满足函数式, ∴点 A 在函数图象上. ∵B(2,1)的坐标不满足函数式, ∴点 B 不在函数图象上. 现在我们问:这样解答的理论依据是什么?(这个问题是本课的难点,要给足够的时 间让学生思考、体会.) 讨论作答:判断点 A 在函数图象上的理论依据是:满足函数关系式的点都在函数的图 象上;判断点 B 不在函数图象上的理论依据是:函数图象上的点的坐标应满足函数关系 式.简言之,就是函数图象上的点与满足函数式的有序数对具有一一对应关系. (二)直线的倾斜角 一条直线 l 向上的方向与 x 轴的正方向所成的最小正角,叫做这条直线的倾斜角,如 图中的 α.特别地,当直线 l 和 x 轴平行时,我们规定它的倾斜角为 0° ,因此,倾斜角的 取值范围是 0°≤α<180° .

直线倾斜角角的定义有下面三 个要点:(1)以 x 轴正向作为参考方 向(始边);(2)直线向上的方向作为 终边;(3)最小正角. (三)直线的斜率 倾斜角不是 90° 的直线.它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率.直线的斜率常用 k 表示,即

k ? tan ?

(四)过两点的直线的斜率公式 在坐标平面上,已知两点 P1(x1,y1)、P2(x2,y2),由于两点可以确定一条直线,直 线 P1P2 就是确定的.当 x1≠x2 时,直线的倾角不等于 90° 时,这条直线的斜率也是确定 的.怎样用 P2 和 P1 的坐标来表示这条直线的斜率?

P2 分别向 x 轴作垂线 P1M1、P2M2,再作 P1Q⊥P2M,垂足分别是 M1、M2、Q.那么: α =∠QP1P2(图甲)或 α=π-∠P2P1Q(图乙)

在图甲中: tan? ?

QP2 y 2 ? y1 ? P1Q x2 ? x1

在图乙中: tan? ? ? tan ? P2 P 1Q ?

QP2 y 2 ? y1 ? QP x2 ? x 1

如果 P1P2 向下时,用前面的结论课得:

tan? ?

y1 ? y 2 y 2 ? y1 ? x1 ? x2 x2 ? x

综上所述,我们得到经过点 P1(x1,y1)、P2(x2,y2)两点的直线的斜率公式:

对于上面的斜率公式要注意下面四点:(1)当 x1=x2 时,公式右边无意义,直线的斜 率不存在,倾斜角为 90° ;(2)k 与 P1、P2 的顺序无关;(3)以后求斜率可不通过倾斜角而 由直线上两点的坐标直接求得;(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到. (五)例题 例1 解: ∵l2 的倾斜角 α2=90° +30° =120° , 如图,直线 l1 的倾斜角 α1=30° ,直线 l2⊥l1,求 l1、l2 的斜率.

? k 2 ? tan1200 ? ? 3
k1 ? tan300 ? 3 3
本例题是用来复习巩固直线的倾斜角和 及它们之间的关系的,可由学生课堂练习,学生演板. 斜率以

例2

求经过 A(-2,0)、B(-5,3)两点的直线的斜率和倾斜角.

∴tgα=-1. ∵0°≤α<180° , ∴α =135° . 因此,这条直线的斜率是-1,倾斜角是 135° .

讲此例题时,要进一步强调 k 与 P1P2 的顺序无关,直线的斜率和倾斜角可通过直线 上的两点的坐标求得. (六)课后小结 (1)直线的方程的倾斜角的概念. (2)直线的倾斜角和斜率的概念. (3)直线的斜率公式. 三、布置作业 1.在坐标平面上,画出下列方程的直线: (1)y=x (2)2x+3y=6 (3)2x+3y+6=0 (4)2x-3y+6=0 作图要点:利用两点确定一条直线,找出方程的两个特解,以这两个特解为坐标描点 连线即可. 2.求经过下列每两个点的直线的斜率,若是特殊角则求出倾斜角: (1)C(10,8),D(4,-4);

解:(1)k=2 .

(3)k=1,α=45° . 3.已知:a、b、c 是两两不相等的实数,求经过下列每两个点的直线的倾斜角: (1)A(a,c),(b,c);(2)C(a,b),D(a,c);(3)P(b,b+c),Q(a,c+a). 解:(1)α=0° ;(2)α=90° ;(3)α=45° .

4.已知三点 A(a,2)、B(3,7)、C(-2,-9a)在一条直线上,求实数 a 的值.

∵A、B、C 三点在一条直线上, ∴kAB=kAC.

六、板书设计

3.1.1 直线的倾斜角和斜率(2)
一、教学目标 (一)知识教学点 复习直线的倾斜角和斜率的概念以及直线的斜率公式. (二)能力训练点 通过对知识点的应用(例题 1、例题 2 及课堂练习),巩固学生所学的知识,培养学 生分析、解决问题的能力;. (三)学科渗透点 分析问题、提出问题的思维品质,事物之间相互联系、互相转化的辩证唯物主义思想. 二、教材分析 1.重点:通过上一节课的学习,学生对直线的倾斜角和斜率的求法已有所了解,直 线的倾斜角和斜率是反映直线相对于 x 轴正方向的倾斜程度的,是研究两条直线位置关系 的重要依据,要正确理解概。. 2.难点:斜率公式的熟练运用 三、活动设计 三、活动设计

启发、思考、问答、讨论、练习. 四、教学过程 (一)复习直线倾斜角的定义及斜率的定义,复习求一条直线的斜率的两种不同方 法―――定义法和两点坐标法。(提问,学生口述,教师补充)。 (二)例题探讨 例 1 如图,已知 A(3, 2),B(-4, 1),C(0, -1),求直线 AB,BC,CA 的斜率,并 判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角。

解:直线 AB 的斜率 k AB =

1? 2 1 = ; ?4?3 7

y

直线 BC 的斜率 k BC =

?1?1 ? 2 1 = =- ; 2 0 ? ( ?4 ) 4
?1? 2 =1 0?3
o x

直线 CA 的斜率 k CA =

由 k AB >0 及 k CA >0 知,直线 AB 与 CA 的倾斜角均为锐角;由 k BC <0 知 直线 BC 的倾斜角为钝角。

例 2 在平面直角坐标系中,画出经过原点且斜率分别为 1,-1,2 及-3 的直线 l 1 , l 2 , l 3 ,及 l 4

分析:要画出过原点的直线 l 1 ,只须再找出位于 l 1 上方的某一点 A 1 来, A 1 的坐标 可以由 O A 1 的斜率确定。

解:取 l 1 上某一点为 A 1 的坐标是(x 1 , y 1 ),根据斜率公式有

1=

y1 ? 0 , x1 ? 0

即 x 1 =y 1

设 x 1 =1, 则 y 1 =1 ,于是 A 1 的坐标是(1, 1)。过原点及 A 1 (1, 1)的直线即为 l 1 ,

同理,由-1=

y2 ? 0 , 得 y 2 =-x 2 设 x 2 =1,则 y 2 =-1。于是得 A 2 的坐标是(1, - x1 ? 0

1) 。过原点及 A 2 (1, -1)的直线为 l 2 。

同理可知, l 3 是过原点及 A 3 (1, 2)的直线, l 4 是过原点及 A 4 (1, -3)的直 线。 (三)课堂练习 由学生完成,教师讲评。 (四)课后小结 (1)直线的方程的倾斜角的概念. (2)直线的倾斜角和斜率的概念. 五布置作业 习题 3.1A 组第 2、3 题

3.1.2 两直线平行与垂直的判定
一、教学目标 (一)知识教学点 掌握两条直线平行与垂直的条件,会运用条件判断两直线是否平行或垂直,能运用条 件确定两平行或垂直直线的方程系数. (二)能力训练点 通过研究两直线平行或垂直的条件的讨论,培养学生运用已有知识解决新问题的能力 以及学生的数形结合能力. (三)学科渗透点 通过对两直线平行与垂直的位置关系的研究,培养学生的成功意识,激发学生学习的 兴趣. 二、教材分析

1.重点:两条直线平行和垂直的条件是解析几何中的一个重点,要求学生能熟练 掌握,灵活运用. 2.难点:启发学生把研究两直线的平行与垂直问题转化为考查两直线的斜率的关系 问题. 3.疑点:对于两直线中有一条直线斜率不存在的情况课本上没有考虑,上课时要注 意解决好这个问题. 三、活动设计 提问、讨论、解答. 四、教学过程 (一)特殊情况下的两直线平行与垂直 这一节课,我们研究怎样通过两直线的方程来判断两直线的平行与垂直. 当两条直线中有一条直线没有斜率时:(1)当另一条直线的斜率也不存在时,两直线 的倾斜角为 90°,互相平行;(2)当另一条直线的斜率为 0 时,一条直线的倾斜角为 90°,另一条直线的倾斜角为 0°,两直线互相垂直. (二)斜率存在时两直线的平行与垂直 设直线 l1 和 l2 的斜率为 k1 和 k2,它们的方程分别是 l1: y=k1x+b1; l2: y=k2x+b2.

两直线的平行与垂直是由两直线的方向来决定的,两直线的方向又是由直线的倾斜角 与斜率决定的,所以我们下面要解决的问题是两平行与垂直的直线它们的斜率有什么特 征. 我们首先研究两条直线平行(不重合)的情形.如果 l1∥l2(图 1-29),那么它们的倾 斜角相等:α 1=α 2. ∴tgα 1=tgα 2. 即 k1=k2.

反过来,如果两条直线的斜率相等,k1=k2,那么 tg α 1=tgα 2.

由于 0°≤α 1<180°, ∴α 1=α 2. ∵两直线不重合, ∴l1∥l2.

0°≤α <180°,

两条直线有斜率且不重合,如果它们平行,那么它们的斜率相等;反之,如果它们的 斜率相等,则它们平行,即

(

)

要注意,上面的等价是在两直线不重合且斜率存在的前提下才成立的,缺少这个前 提,结论并不存立. 现在研究两条直线垂直的情形. 如果 l1⊥l2,这时α 1≠α 2,否则两直线平行. 设 α 2<α 1(图 1-30),甲图的特征是 l1 与 l2 的交点在 x 轴上方;乙图的特征是 l1 与 l2 的交点在 x 轴下方;丙图的特征是 l1 与 l2 的交点在 x 轴上,无论哪种情况下都有 α 1=90°+α 2. 因为 l1、l2 的斜率是 k1、k2,即α 1≠90°,所以α 2≠0°.

可以推出

α 1=90°+α 2. l1⊥l2.

两条直线都有斜率,如果它们互相垂直,则它们的斜率互为负倒数;反之,如果它们 的斜率互为负倒数,则它们互相垂直,即

(

)

3.2 直线的方程
一、教学目标 (一)知识教学点 在直角坐标平面内,已知直线上一点和直线的斜率或已知直线上两点,会求直线的方 程;给出直线的点斜式方程,能观察直线的斜率和直线经过的定点;能化直线方程成截距 式,并利用直线的截距式作直线. (二)能力训练点 通过直线的点斜式方程向斜截式方程的过渡、两点式方程向截距式方程的过渡,训练 学生由一般到特殊的处理问题方法;通过直线的方程特征观察直线的位置特征,培养学生 的数形结合能力. (三)学科渗透点 通过直线方程的几种形式培养学生的美学意识. 二、教材分析 1.重点:由于斜截式方程是点斜式方程的特殊情况,截距式方程是两点式方程的特 殊情况,教学重点应放在推导直线的斜截式方程和两点式方程上.

2.难点:在推导出直线的点斜式方程后,说明得到的就是直线的方程,即直线上每 个点的坐标都是方程的解;反过来,以这个方程的解为坐标的点在直线上.

的坐标不满足这个方程,但化为 y-y1=k(x-x1)后,点 P1 的坐标满足方程. 三、活动设计 分析、启发、诱导、讲练结合. 四、教学过程

3.2.1 直线方程――点斜式
教学目标:
1.使学生掌握点斜式和斜截式的推导过程,并能根据条件,熟练求出直线的点斜式方 程和斜截式方程。 2.会用直线的方程求出斜率、倾斜角、截距等问题,并能根据方程画出方程所表示的 直线。 3.培养学生化归数学问题的能力及利用知识解决问题的能力。 4.理解直线方程点斜式和斜截式的形式特点和适用范围。

教学重点与难点:
重点:直线方程的点斜式的公式推导以及有已知条件求直线的方程。 难点:直线方程点斜式推导过程的理解。

教学方法 :启发引导式 发现探究式 教学用具:计算机 实物投影仪 教学过程设计:
【创设情景】 师:上一节我们分析了在直角坐标系内确定一条直线的几何要素。那么,我们能否 用给定的条件(点 P0 的坐标和斜率 k ,或 P1,P2 的坐标),将直线上的所有点 的坐标( x, y )满足的关系表示出来呢?这节课,我们一起学习直线的点斜式 方程。 【探求新知】

l 师:若直线 l 经过点 P 0 ( x0 , y0 ) ,且斜率为 k ,求直线 的方程。
生:(给学生以适当的引导)设点 P( x, y )是直线 l 上不同于点 P 0 的任意一点, 因为直线 l 的斜率为 k , 由斜率公式得:

k?

y ? y0 ,可化为: x ? x0
?????? ①

y ? y0 ? k ( x ? x0 )

〖探究〗:思考下面的问题:(不必严格地证明,只要求验证)

l (1)、过点 P 0 ( x0 , y0 ) ,斜率为 k 的直线 上的点,其坐标都满足方程①吗? l (2)、坐标满足方程①的点都在过点 P 0 ( x0 , y0 ) ,斜率为 k 的直线 上吗?
生:经过探究和验证,上述的两条都成立。所以方程①就是过点 P 0 ( x0 , y0 ) ,斜率 为 k 的直线 l 的方程。 因此得到: (一)、直线的点斜式方程:

y ? y0 ? k ( x ? x0 )
其中( x0 , y0 )为直线上一点坐标, k 为直线的斜率。 方程①是由直线上一定点及其斜率确定,叫做直线的点斜式方程,简称点斜 式。 师:直线的点斜式方程能否表示坐标平面上的所有直线呢?(让学生思考,互相讨 论) 生 1:不能,因为不是所有的直线都有斜率。 生 2:对,因为直线的点斜式方程要用到直线的斜率,有斜率的直线才能写成点斜 式方程,如果直线没有斜率,其方程就不能用点斜式表示。 师:very good! 那么, x 轴所在直线的方程是什么? y 轴所在直线的方程又是什么? 生:因为 x 轴所在直线的斜率为 k =0,且过点(0,0), 所以 x 轴所在直线的方程是 y =0。(即: x 轴所在直线上的每一点的纵坐标都 等于 0。) 而 y 轴所在直线的斜率不存在,它的方程不能用点斜式表示。但 y 轴所在直线 上的每一点的横坐标都等于 0。 所以 y 轴所在直线的方程为: x =0。 师:那些与 x 轴或 y 轴平行的直线方程又如何表示呢? 生:(猜想)与 x 轴平行的直线的方程为: y ? y0 ; 与 y 轴平行的直线的方程为: x ? x0 。 师:当直线 l 的倾斜角为 0°时,

tan 00 ? 0 ,即 k =0,直线 l 与 x 轴平行或重合,

直线 l 方程为: y ? y0 ? 0 ,或 y ? y0 。 当直线倾斜角为 90°时,直线没有斜率,直线 l 与 y 轴平行或重合,它的方程

不能用点斜式表示。这时直线方程为: x ? x0 ? 0 ,或 x ? x0 。 经过分析,同学们的猜想是正确的。 师:已知直线的斜率为 k,与 y 轴的交点是 P(0,b),求直线 l 的方程。 生:因为直线 l 的斜率为 k ,与 y 轴的交点是 P(0,b),代入直线方程的点斜式, 得直线 l 的方程为: y

y ? b ? k ( x ? 0) 即: y ? kx ? b
(二)、直线斜截式方程: o b

l

x

y ? kx ? b ???? ②
我们把直线 l 与 y 轴交点( 0 , b )的纵坐标 b 叫做直线 l 在 y 轴上的截距 (即纵截距)。方程②是由直线 l 的斜率 k 和它在 y 轴上的截距 b 确定的,所以叫 做直线斜截式方程,简称为斜截式。 师:截距是距离吗? 生:不是,b 为直线 l 在 y 轴上截距,截距不是距离,截距是直线与坐标轴交点的相 应坐标,是一个实数,可正可负可为零;距离是线段的长度,是非负实数。 师:观察方程 y ? kx ? b ,它的形式具有什么特点? 生:左端 y 的系数恒为 1 ,右端的系数 k 和常数 b 均有几何意义: k 是直线的斜 率, b 是直线在 y 轴上的截距。 师:当直线倾斜角为 90°时,它的方程能不能用斜截式来表示? 生:不能,因为直线没有斜率。 师:方程 y ? kx ? b 与我们学过的一次函数的表达式之间有什么关系呢? 生:当 k ? 0 时,直线斜截式方程 y ? kx ? b 就是一次函数的表示形式。 【例题分析】 〖例 1〗直线 l 经过点 P0(-2,3),且倾斜角α =45°,求直线 l 的点斜式方程,并画出 直线 l 。 师:分析并根据已知条件,先求得直线方程的斜率。代入直线的点斜式方程即可求 得。 生:(思考后自主完成解题过程) 解:直线 l 经过点 P0(-2,3),斜率是: k ? tan 45? ? 1 。

y

P 0?
α o x

代入点斜式方程得 y ? 3 ? x ? 2,即y ? x ? 5 。 这就是所求的直线方程,如右图中所示。(画图时, 只需要再找到满足方程的另一个点即可。) 〖例 2〗已知直线 l1 : y ? k1 x ? b1,l2 : y ? k2 x ? b2, 试讨论:(1) l1 // l2 的条件是什么?(2) l1 ? l2 的条件是什么? 师:让学生回忆前面用斜率判断两条直线平行、垂直的结论。 生:(思考后互相交流意见、想法。)总结得到: 对于直线 l1 : y ? k1 x ? b1,l2 : y ? k2 x ? b2,

l1 // l2 ? k1 ? k2 , 且b1 ? b2; l1 ? l2 ? k1k2 ? ?1
【课堂精练】 课本 P100 练习 1,2,3,4。 说明:通过加强练习来熟悉直线方程的点斜式与斜截式。 【课堂小结】 师生:通过本节内容的学习,要求大家掌握直线方程的点斜式,了解直线方程的斜截 式,并了解求解直线方程的一般思路。 求直线方程需要两个独立的条件(斜率 及一点),根据不同的几何条件选用不同形式的方程。 【课后作业】

P106

习题 3.2 1.(1)、(2)、(3)、(5)、(6)

3.2.2 直线方程――两点式
●教学目标 1. 掌握直线方程两点式的形式特点及适用范围; 2. 了解直线方程截距式的形式特点及适用范围. ●教学重点 直线方程的两点式 ●教学难点 两点式推导过程的理解 ●教学方法 学导式 ●教具准备 幻灯片 ●教学过程 Ⅰ.复习回顾 师:上一节课,我们一起学习了直线方程的点斜式,并要求大家熟练掌握,首先我们作一简 要的回顾(略), 这一节,我们将利用点斜式来推导直线方程的两点式. Ⅱ.讲授新课 1. 直线方程的两点式:

y ? y1 x ? x1 ? ( x1 ? x2 , y1 ? y 2 ) y 2 ? y1 x2 ? x1

其中 x1 , y1 , x2 , y 2 是直线两点 ( x1 , y1 ), ( x2 , y 2 ) 的坐标. 推导:因为直线 l 经过点 P 1 ( x1 , y1 ), P 2 ( x2 , y 2 ) , 并 且 x1 ? x 2 , 所 以 它 的 斜 率

k?

y 2 ? y1 .代入点斜式, x2 ? x1 y 2 ? y1 ( x ? x1 ) . x2 ? x1 y ? y1 x ? x1 . ? y 2 ? y1 x2 ? x1

得, y ? y1 ?

当 y 2 ? y1时, 方程可以写成

说明:①这个方程由直线上两点确定; ②当直线没有斜率( x1 ? x 2 )或斜率为 0( y1 ? y 2 ) 时,不能用两点式求出它的方程. 2. 直线方程的截距式:

x y ? ? 1 ,其中 a,b 分别为直线在 x 轴和 y 轴上截距. a b

说明:①这一直线方程由直线在 x 轴和 y 轴上的截距确定,所以叫做直线方程的截距式; ②截距式的推导由例 2 给出. 3. 例题讲解: 例 2.已知直线 l 与 x 轴的交点为(a,0),与 y 轴的交点为(0,b),其中 a≠0,b≠0, 求直线 l 的方程. 解:因为直线 l 经过 A(a,0)和 B(0,b)两点,将这两点的坐标代入两点式,得:

y?0 x?a x y ? , 就是 ? ? 1. b?0 0?a a b
说明:此题应用两点式推导出了直线方程的截距式. 例 3.三角形的顶点是 A(-5,0)、B(3,-3)、C(0,2),求这 个三角形三边所在直线的方程. 解 : 直 线 AB 过 A(-5,0) 、 B ( 3 , -3 ) 两 点 , 由 两 点 式 得

y?0 x ? (?5) ? ? 3 ? 0 3 ? (?5)
整理得: 3x ? 8 y ? 15 ? 0 ,即直线 AB 的方程. 直线 BC 过 C(0,2),斜率是 k ?

2 ? (?3) 5 ?? , 0?3 3

由点斜式得: y ? 2 ? ? ( x ? 0) 整理得: 5x ? 3 y ? 6 ? 0 ,即直线 BC 的方程.

5 3

直线 AC 过 A(-5,0),C(0,2)两点,由两点式得:

y ? 0 x ? (?5) ? 2 ? 0 0 ? (?5)

整理得: 2 x ? 5 y ? 10 ? 0 ,即直线 AC 的方程. 说明:例 3 中用到了直线方程的点斜式与两点式,说明了求解直线方程的灵活性,应让学 生引起注意. Ⅲ.课堂练习 课本练习 ●课堂小结 师:通过本节学习,要求大家掌握直线方程的两点式 ,并能运用直线方程的多种形式灵活 求解直线方程. ●课后作业 习题

3.2.2 直线方程的一般形式
一、教学目标 (一)知识教学点 掌握直线方程的一般形式,能用定比分点公式设点后求定比. (二)能力训练点 通过研究直线的一般方程与直线之间的对应关系,进一步强化学生的对应概念;通过 对几个典型例题的研究,培养学生灵活运用知识、简化运算的能力. (三)学科渗透点 通过对直线方程的几种形式的特点的分析,培养学生看问题一分为二的辩证唯物主义 观点. 二、教材分析 1.重点:直线的点斜式、斜截式、两点式和截距式表示直线有一定的局限性,只 有直线的一般式能表示所有的直线,教学中要讲清直线与二元一次方程的对应关系. 2.难点:与重点相同. 3.疑点:直线与二元一次方程是一对多的关系.同条直线对应的多个二元一次方程 是同解方程. 三、活动设计 分析、启发、讲练结合. 四、教学过程

(一)引入新课 点斜式、斜截式不能表示与 x 轴垂直的直线;两点式不能表示与坐标轴平行的直线; 截距式既不能表示与坐标轴平行的直线,又不能表示过原点的直线.与 x 轴垂直的直线可 表示成 x=x0,与 x 轴平行的直线可表示成 y=y0。它们都是二元一次方程. 我们问:直线的方程都可以写成二元一次方程吗?反过来,二元一次方程都表示直线 吗? (二)直线方程的一般形式 我们知道,在直角坐标系中,每一条直线都有倾斜角 α .当 α ≠90°时,直线有斜 率,方程可写成下面的形式: y=kx+b 当 α =90°时,它的方程可以写成 x=x0 的形式. 由于是在坐标平面上讨论问题,上面两种情形得到的方程均可以看成是二元一次方 程.这样,对于每一条直线都可以求得它的一个二元一次方程,就是说,直线的方程都可 以写成关于 x、y 的一次方程. 反过来,对于 x、y 的一次方程的一般形式 Ax+By+C=0. (1) 其中 A、B 不同时为零. (1)当 B≠0 时,方程(1)可化为

这里,我们借用了前一课 y=kx+b 表示直线的结论,不弄清这一点,会感到上面的论 证不知所云. (2)当 B=0 时,由于 A、B 不同时为零,必有 A≠0,方程(1)可化为

它表示一条与 y 轴平行的直线. 这样,我们又有:关于 x 和 y 的一次方程都表示一条直线.我们把方程写为 Ax+By+C=0 这个方程(其中 A、B 不全为零)叫做直线方程的一般式. 引导学生思考:直线与二元一次方程的对应是什么样的对应? 直线与二元一次方程是一对多的,同一条直线对应的多个二元一次方程是同解方程. (三)例题

解:直线的点斜式是

化成一般式得 4x+3y-12=0. 把常数次移到等号右边,再把方程两边都除以 12,就得到截距式

讲解这个例题时,要顺便解决好下面几个问题:(1)直线的点斜式、两点式方程由于 给出的点可以是直线上的任意点,因此是不唯一的,一般不作为最后结果保留,须进一步 化简;(2)直线方程的一般式也是不唯一的,因为方程的两边同乘以一个非零常数后得到的 方程与原方程同解,一般方程可作为最终结果保留,但须化为各系数既无公约数也不是分 数;(3)直线方程的斜截式与截距式如果存在的话是唯一的,如无特别要求,可作为最终结 果保留. 例 2 把直线 l 的方程 x-2y+6=0 化成斜截式,求出直线 l 的斜率和在 x 轴与 y 轴上 的截距,并画图.

解:将原方程移项,得 2y=x+6,两边除以 2 得斜截式:

x=-6 根据直线过点 A(-6,0)、B(0,3),在平面内作出这两点连直线就是所要作的图形(图 1-28). 本例题由学生完成,老师讲清下面的问题:二元一次方程的图形是直线,一条直线可 由其方向和它上面的一点确定,也可由直线上的两点确定,利用前一点作图比较麻烦,通 常我们是找出直线在两轴上的截距,然后在两轴上找出相应的点连线.

例 3 证明:三点 A(1,3)、B(5,7)、C(10,12) 在同一条直线上. 证法一 直线 AB 的方程是:

化简得

y=x+2.

将点 C 的坐标代入上面的方程,等式成立. ∴A、B、C 三点共线.

∴A、B、C 三点共线.

∵|AB|+|BC|=|AC|, ∴A、C、C 三点共线. 讲解本例题可开拓学生思路,培养学生灵活运用知识解决问题的能力. (四)课后小结 (1)归纳直线方程的五种形式及其特点. (2)例 4 一般化:求过两点的直线与已知直线(或由线)的交点分以这两点为端点的有 向线段所成定比时,可用定比分点公式设出交点的坐标,代入已知直线(或曲线)求得.

3.3.1 两条直线的交点坐标
一、教学目标 (一)知识教学点 知道两条直线的相交、平行和重合三种位置关系,对应于相应的二元一次方程组有唯 一解、无解和无穷多组解,会应用这种对应关系通过方程判断两直线的位置关系,以及由 已知两直线的位置关系求它们方程的系数所应满足的条件. (二)能力训练点 通过研究两直线的位置关系与它们对应方程组的解,培养学生的数形结合能力;通过 对方程组解的讨论培养学生的分类思想;求出 x 后直接分析出 y 的表达式,培养学生的抽 象思维能力与类比思维能力. (三)学科渗透点 通过学习两直线的位置关系与它们所对应的方程组的解的对应关系,培养学生的转化 思想. 二、教材分析 1.重点:两条直线的位置关系与它们所对应的方程组的解的个数的对应关系,本节 是从交点个数为特征对两直线位置关系的进一步讨论. 2.难点:对方程组系数中含有未知数的两直线的位置关系的讨论. 3.疑点:当方程组中有一个未知数的系数为零时两直线位置关系的简要说明. 三、活动设计

分析、启发、诱导、讲练结合. 四、教学过程 (一)两直线交点与方程组解的关系 设两直线的方程是 l1: A1x+B1y+c1=0, l2: A2x+B2y+C2=0.

如果两条直线相交,由于交点同时在两条直线上,交点的坐标一定是这两个方程的公 共解;反之,如果这两个二元一次方程只有一个公共解,那么以这个解为坐标的点必是直 线 l1 和 l2 的交点.因此,两条直线是否相交,就要看这两条直线的方程所组成的方程组

是否有唯一解. (二)对方程组的解的讨论 若 A1、A2、B1、B2 中有一个或两个为零,则两直线中至少有一条与坐标轴平行,很 容易得到两直线的位置关系. 下面设 A1、A2、B1、B2 全不为零. 解这个方程组: (1)×B2 得 (3) (2)×B1 得 A2B1x+B1B2y+B1C2=0. (3)-(4)得(A1B2-A2B1)x+B2C1-B1C2=0. 下面分两种情况讨论: A1B2x+B1B2y+B2C1=0,

(4)

将上面表达式中右边的 A1、A2 分别用 B1、B2 代入即可得

上面得到 y 可把方程组写成

即将 x 用 y 换,A1、A2 分别与 B1、B2 对换后上面的方程组还原成原方程组. 综上所述,方程组有唯一解:

这时 l1 与 l2 相交,上面 x 和 y 的值就是交点的坐标. (2)当 A1B2-A2B1=0 时: ①当 B1C2-B2C1≠0 时,这时 C1、C2 不能全为零(为什么?).设 C2

②如果 B1C2-B2C1=0,这时 C1、C2 或全为零或全不为零(当 C1、

(三)统一通过解方程组研究两直线的位置关系与通过斜率研究两直线位置关系的结论

说明:在平面几何中,我们研究两直线的位置关系时,不考虑两条直线重合的情况, 而在解析几何中,由于两个不同的方程可以表示同一条直线,我们把重合也作为两直线的 一种位置关系来研究. (四)例题 例1 求下列两条直线的交点: l2: 2x+y+2=0.

l1:3x+4y-2=0, 解:解方程组

∴l1 与 l2 的交点是 M(-2,2). 例2 已知下列各对直线的位置关系,如果相交,求出交点的坐标: x-y=0, l 2 : 3x+3y-10 ;

(1)l 1 :

(2)l 1 :

3x-y+4=0 l 2 : 6x-2y=0 ;

(3)l 1 :

3x+4y-5=0,

l 2 : 6x+8y-10=0

解:(1)解方程组

?x ? y ? 0 , ? ?3x ? 3 y ? 10 ? 0



5 ? x? ? ? 3 ? ?y ? 5 ? 3 ?
5 5 , ) 3 3

所以,l 1 与 l 2 相交,交点是 M(

(2)解方程组 ?

?3x ? y ? 4 ? 0(1) ?6 x ? 8 y ? 10 ? 0(2)

(1)×2-(2)得

9=0, 矛盾,

方程组无解,所以量直线无公共点,l 1 ∥ l 2 .

(3)解方程组 ?

?3x ? 45y ? 5 ? 0(1) ?6 x ? 8 y ? 10 ? 0(2)

(1)×2 得

6x+8y-10=0

因此,(1)和(2)可以化成同一个方程,即(1)和(2)表示同一条直线,l 1 与 l 2 重合 (五)课堂练习:由学生完成,教师讲评 课后小结 (1)两直线的位置关系与它们对应的方程的解的个数的对应关系. (2)求两条直线交点的一般方法. .五、布置作业 1.教材第 116 页,习题 3.3A 组第 1 题 六、板书设计

1.判断下列各对直线的位置关系,如果相交,则求出交点的坐标:

2. A 和 C 取什么值时,直线 Ax-2y-1=0 和直线 6x-4y+c=0(1)平行;(2)重合;(3)相 交. 解:(1)A=3,C≠-2;(2)A=3,C=-2;(3)A≠3. 3.已知两条直线: l1:(3+m)x+4y=5-3m, l2:2x+(5+m)y=8. m 为何值时,l1 与 l2:(1)相交;(2)平行;(3)重合. 解:(1)m≠1 且 m≠-7;(2)m=-7;(3)m=-1.

3.3.2 两点间的距离
一、教学目标 1、 知识目标 探索并掌握两点间的距离公式的发生、发展过程。利用坐标法证明简单的平面几何问 题。 2、 能力目标 掌握渗透于本节课中的数形结合思想、由特殊到一般的思想。培养学生探索能力、研 究能力、表达能力、团结协作能力。 3、 情感目标 探索过程中体验与他人合作的重要性、感受发现所带来的快乐。体验由特殊到一般、 由感性认识上升到理性认识的基本规律。 二、教学重点和难点 重点:两点间的距离公式及公式的推导过程。 难点:用坐标法证明简单的平面几何问题,本节课中的例 4 是教学中的难点。 三、教学基本流程 师 生 共 同 探 究 两 点 间 的 距 离 公式 合 作 完 成 例 题 对 例 4 进 一 步 的 探 究 小 结 、 布 置 作 业

提 出 问 题

四、教学情景设计 (一)、提出问题 已知:平面上两点 p1 ?x1 , y1 ? , p2 ?x21 , y2 ? ,怎样求两点 p1 , p 2 间的距离? (二)、探究两点间的距离公式 思考题 1、如图(1),求两点 A(—2,0),B(3,0)间的距离 学生能很快地寻找出解决办法 即: AB ? 3 ? (?2) ? 5 y 3 2 y 3

A' ? B
1 2

2 1

A

-2

?

1 -1 o -1

?

A

B
1 2

3 x (图 2)

-2

?

-1 o -1

? 3 x

-2 思考题 2、将图(1)中的 A 点移到第二象限 A' ?? 2,2? 处。如何求 A' 、B 间的距 离? 学生可能想到连结 A' A ,构造出一个直角 △ A' AB ,利用勾股定理求 A' B ∵ AB =5, A' A =2,∴ A' B ?

(图 2 1)

AB ? A' A ? 29

2

2

思考题 3、将图(2)中的 B 点移到第三象限 B' ?3,?2? 处。怎样求 A' , B ' 间的距离? 从思考题 2 中能得到启发,利用勾股定理。让学生在图(3)中构造出一个直角 △ A' B ' C ∵ A' C ? 4 , B' C ? 5 ,∴ A' B' ? y 3

A' C ? B' C
y 3 2 1 -1 O -1 1

2

2

? 41 。

A' A

?

2 1 -1 O -1 1 2

P2 B
3 x

N2

M2
-2

M1
2 3 x

-2

C

?

-2

?B'

Q

-2

N1

P1

(图 3) (图 4) (三)、推导两点间的距离公式 有思考题 3 作为基础,公式就能顺利的推出。 在图(4)中构造出一个直角△ P 1QP 2 ∵P 1Q ? M1 M 2 ? x2 ? x1 , P 2 Q ? N1 N 2 ? y2 ? y1 ∴P 1P 2 ?

P1Q ? P2 Q ? ( x2 ? x1 ) 2 ? ( y 2 ? y1 ) 2
0,0)与任一点 P(x,y)的距离 OP ?

2

2

特别的,原点 O(

x2 ? y2 。

学生练习第 112 页第 1 题。 (四)、例题 例 3:已知点 A(?1,2), B(2, 7 ) ,在 X 轴上求一点 P,使 PA ? PB ,并求 PA 的 值。 方法一、设所求点为 P( x,0) ,以下步骤由学生完成

PA ?

x 2 ? 2 x ? 5 , PB ? x 2 ? 4 x ? 11
2 2

由 PA ? PB 得: x ? 2 x ? 5 ? x ? 4 x ? 11 解出: x ? 1 ∴所求点 p(1,0)

PA ? 2 2

方法二、(由学生探究)由几何方法:作线段 AB 的中垂线 L,求出中垂线 L 的方 程,再令 y=0,可求点 P 及 PA 的值。 例 4:证明平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和。 引导学生探究此题的证明方法(即坐标法) 证明:如图,以顶点 A 为坐标原点,AB 边 y 所在直线为 X 轴,建立直角坐标系, D(b,c) 有 A(0,0) 设:B(a,0),D(b,c),由平行四边形的 性质得点 C 的坐标为(a+b,c)。 ∵ AB
2 2

C(a+b,c)

? a2 ,
2

CD ? a 2 , ? b2 ? c2 ,
2

2

A(0,0)

B(a,0) x

AD ? b 2 ? c 2 , BC AC
2

? (a ? b) 2 ? c 2 , BD ? (b ? a ) 2 ? c 2

∴ AB

2

? CD ? AD ? BC
2 2

2

2

2

? 2(a 2 ? b 2 ? c 2 )

AC ? BD ? 2(a 2 ? b 2 ? c 2 )
∴ AB
2

? CD ? AD ? BC = AC ? BD

2

2

2

2

2

∴平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和。 思考:在例 4 中,是否还有其他建立坐标系的方法? 为了让学生体会建立坐标系对证明平面几何问题的重要性,可将例 4 的平面几何的证 明的方法及步骤投影出来与坐标法证明过程进行比较。 (五)、通过例 4 初步总结用坐标法解决平面几何问题的基本步骤

第一步:建立坐 标系,用坐标表 示有关的量

第 二 步: 进 行 有 关代 数 运算

第三步:把代数 运算结果“翻 译”成几何关系

(六)、练习 1、 课本第 112 页第 2 题 2、 证明直角三角形斜边的中点到三顶点距离相等。 (七)、小结 1、 探究两点间的距离公式的推导过程及公式的应用。 2、 用坐标法证明平面几何问题初步。 (八)、作业 课本第 116 页第 6、7、8 题,第 117 页第 8 题(B 组) (九)、教学反思

3.3.3 点到直线的距离
教学目标:
1.学习并领会寻找点到直线距离公式的思维过程以及推导方法。 2.使学生掌握点到直线的距离公式及其结构特点,并能熟练运用公式。 3.会利用点到直线的距离公式求两平行线之间的距离及其两平行直线间的距离公式的 应用。 4.培养学生数形结合、转化、化归的数学思想,培养学生研究探索的能力。

教学重点与难点:
重点:点到直线的距离公式的研究探索过程。 难点:点到直线的距离公式的推导。

教学方法:引导启发式 讨论探究式

教学过程设计:
【创设情境】 师:大家还记得在平面上任意两点 P 1 ( x1 , y1 ) , P 2 ( x2 , y2 ) 间的距离公式吗?

( x2 ? x1 ) ? ( y2 ? y1 ) 。 生: | PP 1 2 |?
2 2

师:很好,现在给大家提出一个新问题:如果把其中一个点换成直线,要求求另一个 点与直线间的距离? 这就是我们今天要学习的主要内容——点到直线的距离(板出课题) 即:

l 已知点 P 0 ( x0 , y0 ) ,直线 的方程 Ax ? By ? C ? 0 ,如何用 x0 , y0 , A, B, C 表示点 l P 0 到直线 的距离。请大家思考这个问题。
【探究新知】 师:首先要理解什么是平面上点到直线的距离?(请学生回答)

l l 生:由点 P 的长度就是点 P 0 0 画直线 的垂线,垂足为 Q ,即:垂线段 PQ 0 到直线 的
距离。(如右图) 师:因此,求点 P 0 到直线 l 的距离实际上就是 求两点 P | 呢? 0 0 和 Q 之间的距离。如何求出 | PQ 生:只要求出点 Q 的坐标,然后利用两点间 的距离公式求出 | PQ |。 0 师:而关键是怎样求得点 Q 的坐标? 生:??(互相讨论,各抒己见) 生:点 Q 可以看作是直线 l 与直线 PQ 的交点,直线 l 已给出,现在只要求出直线 0
y

l

Q

P 0
O x

PQ 0
的方程。又已知直线 PQ 过点 P ⊥直线 l ,通过直线 l 的斜率求出 0 0 0 ,而直线 PQ 直线 PQ 的斜率,利用点斜式即可求出直线 PQ 的方程。 0 0 师:很好,大家能够利用前面所学的知识来解答这个问题。下面请大家用这种方法求 出 | PQ |。 0 生:(教师观察学生的演算,及时给予指导)

l 解:过点 P 0 ( x0 , y0 ) 作直线 的垂线,垂足为 Q ,得

(1)若直线 l ∥x 轴,即:A=0,直线 l 的方程 Ax ? By ? C ? 0 为:

y??

C (∵B≠0). B

l 点P 0 到直线 的距离 d ? y0 ?

C 。 B

(2)若直线 l ⊥x 轴,即:B=0,直线 l 的方程 Ax ? By ? C ? 0 为:

y??

C (∵A≠0). A

l 点P 0 到直线 的距离 d ? x0 ?

C 。 A
A 。 B

(3)若直线 l 不平行 x 轴,也不垂直 x 轴,则直线 l 的斜率是 ? 直线 PQ 的方程为 y ? y0 ? 0

B ( x ? x0 ) ,即: Bx ? Ay ? Bx0 ? Ay0 。 A

与直线 l 的方程 Ax ? By ? C ? 0 联立,得方程组

?
解得: x ? 即: Q (

Ax ? By ? C ? 0 Bx ? Ay ? Bx0 ? Ay0

B 2 x0 ? ABy0 ? AC A2 y0 ? ABx0 ? BC y ? , 。 A2 ? B 2 A2 ? B 2

B 2 x0 ? ABy0 ? AC A2 y0 ? ABx0 ? BC , )。 A2 ? B 2 A2 ? B 2

B2 x0 ? ABy0 ? AC 2 A2 y0 ? ABx0 ? BC 2 P0Q ? ( x0 ? ) ? ( y0 ? ) A2 ? B2 A2 ? B2

P 0R ?
?

?

A2 ( Ax0 ? By0 ? C )2 B 2 ( Ax0 ? By0 ? C )2 ? ( A2 ? B 2 )2 ( A2 ? B 2 )2


Ax0 ? By0 ? C A2 ? B 2

l 师:不错,这样我们用 x0 , y0 , A, B, C 表示了点 P | 。但是这种方 0 0 到直线 的距离 | PQ
法的计算量大,哪位同学有比较简便的方法呢? 生:?? 师:回忆前面我们建立两点间距离公式,我们先求出两条与坐标轴平行的线段的长 度,然后利用勾股定理求出这两点间的距离。在这我们能否应用这一方法呢?

生:(给学生适当的引导) 设:A≠0,B≠0,则直线 l 与 x 轴和 y 轴都相交,过点 P 0 分别作 x 轴和 y 轴的平行 线,交直线 l 于 R 和 S ,(如下图)则直线 P 0 R 的方 程为: y ? y0 , R 的坐标为 (?

l
y S Q

By0 ? C , y0 ) ;直线 A Ax ? C )。 P0 S 的方程为: x ? x0 , S 的坐标为 ( x0 , ? 0 B

d
R

于是有:

P 0 ( x0 , y0 )
x

P0 R ? ? P0 S ? ?

Ax0 ? By0 ? C By0 ? C , ? x0 ? A A Ax0 ? By0 ? C Ax0 ? C , ? y0 ? B B
P0 R ? P0 S
2 2

O

RS ?

?

A2 ? B 2 Ax0 ? By0 ? C . A B

设P 0Q ? d ,由三角形面积公式得: , d ?RS ? P 0 R ?P 0S 于是

d?
因此,

P0 R ?P0 S RS

?

Ax0 ? By0 ? C A2 ? B2

.

l 点P 0 ( x0 , y0 ) 到直线 : Ax ? By ? C ? 0 的距离为:
d? Ax0 ? By0 ? C A2 ? B 2

师:当 A=0 或 B=0 时,上述公式是否成立呢? 生:(简单验证)当 A=0 或 B=0 时,上述公式仍然成立。 【例题分析】

l : 3 x ? 2 的距离。 〖例 1〗、求点 P 0 (?1, 2) 到直线
分析:运用点到直线的距离公式时,需把直线方程化为一般式。 解: d ?

3 ? (?1) ? 2 32 ? 02

?

3 ? (?1) ? 2 5 5 d? ? 3 3 32 ? 02

师:还有其他解法吗?

生:因为直线 l : x ?

2 2 5 ,所以 d ? ?1 ? ? 。 3 3 3

〖例 2〗、已知点 A(1,3), B(3,1), C (?1,0) ,求 ?ABC 的面积。(如下图) 师:分析只要求出|AB|和 AB 边上的高 h 就可求 y 出 ?ABC 的面积。 生:(自己完成解答) 解:设 AB 边上的高为 h,则: A

S?ABC ?

1 AB ?h 2



h C
O

B

AB ? (3 ? 1) 2 ? (1 ? 3) 2 ? 2 2 ,

x

AB 边上的高为 h 就是点 C 到 AB 的距离,由两点式 AB 边所在直线方程为:

y ? 3 x ?1 ? 1? 3 3 ?1

即: x ? y ? 4 ? 0 。

点 C (?1, 0) 到直线 x ? y ? 4 ? 0 的距离

h?

?1 ? 0 ? 4 12 ? 12

?

5 , 2

因此,

1 5 S?ABC ? ? 2 2 ? ?5。 2 2

〖探究〗:谁还有其他不同的解法?(课后思考) 〖例 3〗、已知直线 l1 : 3x ? 4 y ? 8 ? 0, l2 : 3x ? 4 y ? 2 ? 0 ,求 l1 与 l2 间的距离。 分析:显然 l1 ∥ l2 ,该题是求两平行线间的距离,此时只要取其中一直线上的 任一点,求出该点到另外一直线的距离即为两平行线间的距离。这样把 求两平行线间的距离转化为求点到直线的距离。 生:在直线 l1 上任取一点 P(0, ?2) ,则 P 到直线 l2 的距离为:

d?

3 ? 0 ? 4 ? (?2) ? 2 32 ? 42

?2

所以, l1 与 l2 间的距离是 2. 〖例 4〗、已知直线 l1 : 2 x ? 7 y ? 8 ? 0, l2 : 6 x ? 21y ?1 ? 0 , l1 与 l2 是否平行?若平 行,求 l1 与 l2 间的距离。 分析:两直线是否平行就看其斜率是否相等。若平行, l1 与 l2 间的距离可利用上例

的方法求得。 生:(讨论后解答)解: l1 的斜率 k1 ?

2 6 2 ? ,即: k1 ? k2 , l2 的斜率 k2 ? 7 21 7

所以 l1 ∥ l2 。在直线 l1 上任取一点 A(4,0), 点 A(4,0)到直线 l2 的距离为:

d?

6 ? 4 ? 21? 0 ? 1 6 ? 21
2 2

?

23 23 ? 53 。 3 53 159

所以 l1 与 l2 间的距离为

23 53 。 159

师:前面是讨论有关两平行直线间的距离问题。我们知道,可以转化为点到直线的 距离在解决。但解决这类问题还有没有另外的方法或是公式呢?我们先来探究 下面的问题。 〖探究〗:两条平行直线 Ax ? By ? C1 ? 0与Ax ? By ? C2 ? 0 间的距离为:

d?

C1 ? C2 A2 ? B 2

是否成立?

生:(不要求严格证明,课后布置作业) 以例 3 为例, d ?

?8 ? 2 32 ? 42

? 2 ,与上述方法求得结果相同。同样的例 4 用这

种方法求得结果也相同。 师:用 d ?

C1 ? C2 A2 ? B 2

求两平行直线间的距离时,要注意两直线方程的 A, B 要相

等。若不相等,先化相等后再利用该公式。 【课堂精练】 课本 P 114 练习 2(1)、(3); P 115 练习(1)(2)。 【课堂小结】 本节课解决了点到直线的距离问题和两平行直线间的距离问题。建立了点到直 线的距离公式和两平行直线间的距离公式。在运用公式解答时要注意满足的条件, 特别是利用两平行直线间的距离公式要求 A、B 要相等。 【课后作业】

P116

习题 3.3A 组 9;B 组 3、4


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