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数学大题


1.【情境观察】 将矩形 ABCD 纸片沿对角线 AC 剪开,得到△ABC 和△A′C′D,如图 1 所示.将△A′C′D 的顶 点 A′与点 A 重合,并绕点 A 按逆时针方向旋转,使点 D、A(A′)、B 在同一条直线上,如图 2 所示. 观察图 2 可知:与 BC 相等的线段是 ,∠CAC′= °. C'
D C D C' C C

/>A

B

A' A

B

D

A(A')

B

图1 图2 【问题探究】 如图 3,△ABC 中,AG⊥BC 于点 G,以 A 为直角顶点,分别以 AB、AC 为直角边,向△ABC 外作等腰 Rt△ABE 和等腰 Rt△ACF,过点 E、F 作射线 GA 的垂线,垂足分别为 P、Q. 试 P 探究 EP 与 FQ 之间的数量关系,并证明你的结论. E F Q

A

B

G
图3

C

【拓展延伸】 如图 4,△ABC 中,AG⊥BC 于点 G,分别以 AB、AC 为一边向△ABC 外作矩形 ABME 和矩 形 ACNF,射线 GA 交 EF 于点 H. 若 AB= k AE,AC= k AF,试探究 HE 与 HF 之间的数量关 系,并说明理由.
E H F A M N B G 图4 C

2.已知二次函数 y=x2-x+c. (1)若点 A(-1,a)、B(2,2n-1)在二次函数 y=x2-x+c 的图象上,求此二次函数的最小 值; (2)若点 D(x1,y1)、E(x2,y2)、P(m,n)(m>n)在二次函数 y=x2-x+c 的图象上,且 D、 E 两点关于坐标原点成中心对称,连接 OP.当 2 2≤OP≤2+ 2时,试判断直线 DE 与抛 3 物线 y=x2-x+c+ 的交点个数,并说明理由. 8

第 1 页

3. 孔明是一个喜欢探究钻研的同学,他在和同学们一起研究某条抛物线 y ? ax (a ? 0) 的
2

性质时,将一把直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点 O ,两直角边与该抛物 线交于 A 、 B 两点,请解答以下问题: (1)若测得 OA ? OB ? 2 2 (如图 1) ,求 a 的值; (2)对同一条抛物线,孔明将三角板绕点 O 旋转到如图 2 所示位置时,过 B 作 BF ? x 轴 于点 F ,测得 OF ? 1 ,写出此时点 B 的坐标,并求点 A 的横坐标; ... (3)对该抛物线,孔明将三角板绕点 O 旋转任意角度时惊奇地发现,交点 A 、 B 的连线段 总经过一个固定的点,试说明理由并求出该点的坐标.

y O x A B
E O

y F B x

A
图1 图2

4. 如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,AC=6 ㎝,BC=8 ㎝,P 为 BC 的中点.动点 Q 从点 P 出发,沿射线 PC 方向以 2 ㎝/s 的速度运动,以 P 为圆心,PQ 长为半径作圆.设点 Q 运 动的时间为 t s. ⑴当 t=1.2 时,判断直线 AB 与⊙P 的位置关系,并说明理由; ⑵已知⊙O 为△ABC 的外接圆,若⊙P 与⊙O 相切,求 t 的值.

A O C Q P B

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5. 如图①,P 为△ABC 内一点,连接 PA、PB、PC,在△PAB、△PBC 和△PAC 中,如果存 在一个三角形与△ABC 相似,那么就称 P 为△ABC 的自相似点. ⑴如图②,已知 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,∠ACB>∠A,CD 是 AB 上的中线,过点 B 作 BE⊥CD,垂足为 E,试说明 E 是△ABC 的自相似点. ⑵在△ABC 中,∠A<∠B<∠C. ①如图③,利用尺规作出△ABC 的自相似点 P(写出作法并保留作图痕迹) ; ②若△ABC 的内心 P 是该三角形的自相似点,求该三角形三个内角的度数. A D A A

P B ① C B

E C ② B ③ C

6.已知某种水果的批发单价与批发量的函数关系如图(1)所示. 金额 w(元) (1)请说明图中①、②两段函数图象的实际意义.
批发单价(元)
5 4

① ②
300 200

O

20

60

批发量(kg)

100

O

20

40

60

批发量 m(kg)

(2)写出批发 该种水果的资金金额 w(元)与批发量 m(kg)之间的函数关系式;在坐标 系中画出该函数图象;指出金额在什么范围内,以同样的资金可 以批发到较多数量的该种 水果. (3) 经调查, 某经销商销售该种水果的日最高销量与零售价之间的函数关系如图 (2) 所示, 该经销商拟每日售出 60kg 以上该种水果,且当日零售价不变,请你帮助该经销商设计进货 和销售的方案,使得当日获得的利润最大. 日最高销量(kg)
80

(6,80)

40

(7,40)

O

2

4

6

8

零售价(元)

7. 如图,A 点是半圆上一个三等分点,B 点是 的半径为 1,则 AP+BP 的最小值为?

的中点,P 点是直径 MN 上一动点,⊙O

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8. 如图,抛物线 y ?

1 2 x ? mx ? n 与 x 轴交于 A、B 两点,与 y 轴交于 C 点,四边形 OBHC 2

为矩形,CH 的延长线交抛物线于点 D(5,2) ,连结 BC、AD. (1)求 C 点的坐标及抛物线的解析式; (2)将△BCH 绕点 B 按顺时针旋转 90° 再沿 x 轴对折得到△BEF(点 C 与点 E 对应) 后 , 判断点 E 是否落在抛物线上,并说明理由; (3)设过点 E 的直线交 AB 边于点 P,交 CD 边于点 Q. 问是否存在点 P,使直线 PQ 分梯 形 ABCD 的面积为 1∶3 两部分?若存在,求出 P 点坐标;若不存在,请说明理由.

9. 如图,已知抛物线 C1: y ? a? x ? 2 ? ? 5 的顶点为 P,与 x 轴相交于 A、B 两点(点 A
2

在点 B 的左边) ,点 B 的横坐标是 1. (1)求P点坐标及a的值; (2)如图(1) ,抛物线 C2 与抛物线 C1 关于 x 轴对称,将抛物线 C2 向右平移,平移后的抛 物线记为 C3,C3 的顶点为 M,当点 P、M 关于点 B 成中心对称时,求 C3 的解析式; (3)如图(2) ,点 Q 是 x 轴正半轴上一点,将抛物线 C1 绕点 Q 旋转 180°后得到抛物线 C4.抛物线 C4 的顶点为 N,与 x 轴相交于 E、F 两点(点 E 在点 F 的左边) ,当以点 P、N、 F 为顶点的三角形是直角三角形时,求点 Q 的坐标.

C1

y M B O P 图 图(1)1 x

C1

y N A O P 图2 图(2) B Q E F x

A

C2

C3

C4

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? 10. 已知, 如图 1, 过点 E ? 0, 1? 作平行于 x 轴的直线 l , 抛物线 y ?

1 2 x 上的两点 A、B 的 4

横坐标分别为 ? 1 和 4,直线 AB 交 y 轴于点 F ,过点 A、B 分别作直线 l 的垂线,垂足分别 为点 C 、 D ,连接 CF、DF . (1)求点 A、B、F 的坐标; (2)求证: CF ? DF ; (3)点 P 是抛物线 y ?

1 2 x 对称轴右侧图象上的一动点,过点 P 作 PQ ⊥ PO 交 x 轴于点 4

是否存在点 P 使得 △OPQ 与 △CDF 相似?若存在, 请求出所有符合条件的点 P 的坐 Q, 标;若不存在,请说明理由. y y B F A O D C E (图 1) l x F O C E 备用图 D x

11. 在直角坐标系中,点 A(5,0)关于原点 O 的对称点为点 C. (1)请直接写出点 C 的坐标; (2)若点 B 在第一象限内,∠OAB=∠OBA,并且点 B 关于原点 O 的对称点为点 D. ①试判断四边形 ABCD 的形状,并说明理由; ②现有一动点 P 从 B 点出发,沿路线 BA—AD 以每秒 1 个单位长的速度向终点 D 运动,另 一动点 Q 从 A 点同时出发, AC 方向以每秒 0.4 个单位长的速度向终点 C 运动, 沿 当其中一 个动点到达终点时,另一个动点也随之停止运动.已知 AB=6,设点 P、Q 的运动时间为 t 秒, 在运动过程中,当动点 Q 在以 PA 为直径的圆上时,试求 t 的值.

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12.如图(1) ,抛物线 y ? x ? 2 x ? k 与 x 轴交于 A、B 两点,与 y 轴交于点 C(0, ?3 ) .
2

(1) k ?

,点 A 的坐标为
2

,点 B 的坐标为



(2)设抛物线 y ? x ? 2 x ? k 的顶点为 M,求四边形 ABMC 的面积; (3)在 x 轴下方的抛物线上是否存在一点 D,使四边形 ABDC 的面积最大?若存在,请求 出点 D 的坐标;若不存在,请说明理由; (4)在抛物线 y ? x ? 2 x ? k 上求点 Q,使△BCQ 是以 BC 为直角边的直角三角形.
2

(1)

(2)

(3)

13. 如图①, 正方形 ABCD 中, A、 的坐标分别为 点 B (0, , 4) 点 C 在第一象限. 10) (8, , 动 点 P 在正方形 ABCD 的边上,从点 A 出发沿 A→B→C→D 匀速运动,同时动点 Q 以相同速 度在 x 轴正半轴上运动, P 点到达 D 点时, 当 两点同时停止运动, 设运动的时间为 t 秒. [来 (1)当 P 点在边 AB 上运动时,点 Q 的横坐标 x(长度单位)关于运动时间 t(秒)的函数图象 如图②所示,请写出点 Q 开始运动时的坐标及点 P 运动速度; (2)求正方形边长及顶点 C 的坐标; (3)在(1)中当 t 为何值时,△OPQ 的面积最大,并求此时 P 点的坐标; (4)如果点 P、 保持原速度不变, Q 当点 P 沿 A→B→C→D 匀速运动时, 与 PQ 能否相等, OP 若能,写出所有符合条件的 t 的值;若不能,请说明理由.

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14. 如图,在平面直角坐标系中,将一块腰长为 5 的等腰直角三角板 ABC 放在第二象限, 且斜靠在两坐标轴上,直角顶点 C 的坐标为( ?1 ,0) ,点 B 在抛物线 y ? ax ? ax ? 2 上.
2

(1)点 A 的坐标为 ,点 B 的坐标为 ; (2)抛物线的关系式为 ; (3)设(2)中抛 物线的顶点为 D,求△DBC 的面积; (4)将三角板 ABC 绕顶点 A 逆时针方向旋转 90°,到达 △AB?C? 的位置.请判断点 B? 、 C ? 是否在(2)中的抛物线上,并说明理由.

15. 如图 13,二次函数 y ? x ? px ? q ( p ? 0 )的图象与 x 轴交于 A、B 两点,与 y 轴交
2

于点 C (0, 1) , △ABC 的面积为 ? (1)求该二次函数的关系式;

5 . 4

(2)过 y 轴上的一点 M (0,m) 作 y 轴的垂线,若该垂线与 △ABC 的外接圆有公共点, 求 m 的取值范围; (3)在该二次函数的图象上是否存在点 D ,使四边形 ACBD 为直角梯形?若存在,求出 点 D 的坐标;若不存在,请说明理由.

y

y

A O C

B

x

A O C

B

x

(备用图)

第 7 页

16. 已知:如图,直线 l : y ?

1 ? 1? 经过点 M ? 0, ?, 一组抛物线的顶点 x ? b, 3 ? 4?

B1 (1,y1 ),B2 (2,y2 ),B3 (3,y3 ), ,Bn (n,yn )( n 为正整数)依次是直线 l 上的点,这 ? A 0) 0) 0) ? 0) 组抛物线与 x 轴正半轴的交点依次是: 1 ( x1,,A2 ( x2,,A3 ( x3,, ,An ?1 ( xn ?1,( n 为 ( ). 正整数) ,设 x1 ? d 0 ? d ? 1
(1)求 b 的值; (2)求经过点 A1、B1、A2 的抛物线的解析式(用含 d 的代数式表示) (3)定义:若抛物线的顶点与 x 轴的两个交点构成的三角形是直角三角形,则这种抛物线 就称为:―美丽抛物线‖. 探究:当 d 0 ? d ? 1 的大小变化时,这组抛物线中是否存在美丽抛物线?若存在,请你求 ( ) 出相应的 d 的值. l Bn y

B3
B2

B1
M O

?

A1

1

A2 2 A3

3

A4

An

n

An?1

x

17. 如图,已知直线 L 过点 A(0, 和 B(1 0) , P 是 x 轴正半轴上的动点, OP 的垂直平分 1) , 线交 L 于点 Q ,交 x 轴于点 M . (1)直接写出直线 L 的解析式; (2)设 OP ? t , △OPQ 的面积为 S ,求 S 关于 t 的函数关系式;并求出当 0 ? t ? 2 时,

S 的最大值;
(3)直线 L1 过点 A 且与 x 轴平行,问在 L1 上是否存在点 C , 使得 △CPQ 是以 Q 为直角 顶点的等腰直角三角形?若存在,求出点 C 的坐标,并证明;若不存在,请说明理由. y L A L1 Q

O M
第 8 页

P B

x

18. 已知矩形纸片 OABC 的长为 4,宽为 3,以长 OA 所在的直线为 x 轴, O 为坐标原点建 立平面直角坐标系;点 P 是 OA 边上的动点(与点 O、A 不重合) ,现将 △POC 沿 PC 翻折 得到 △PEC ,再在 AB 边上选取适当的点 D, △PAD 沿 PD 翻折,得到 △PFD ,使得 将 直线 PE、PF 重合. (1)若点 E 落在 BC 边上,如图①,求点 P、C、D 的坐标,并求过此三点的抛物线的函 数关系式; (2)若点 E 落在矩形纸片 OABC 的内部,如图②,设 OP ?x , AD ? , x 为何值时, y y 当 取得最大值? (3)在(1)的情况下,过点 P、C、D 三点的抛物线上是否存在点 Q, △PDQ 是以 PD 使 为直角边的直角三角形?若不存在,说明理由;若存在,求出点 Q 的坐标 y y E B C C F E F D D

B

O 图①

P

A

x

O

P 图②

A

x

19. 如图 , ⊙O 的直径 AB ? 2,AM 和 BN 是它的 两条切线, DE 切 ⊙O 于 E,交 AM 于 D,交 BN 于 C.设 AD ? x,BC ? y . (1)求证: AM ∥ BN ; (2)求 y 关于 x 的关系式; (3)求四边形 ABCD 的面积 S,并证明: S ≥ 2 . A D E O N M

B

C

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20. 正方形 ABCD 边长为 4,M、N 分别是 BC、CD 上的两个动点,当 M 点在 BC 上运动时, 保持 AM 和 MN 垂直, (1)证明:Rt△ABM ∽Rt△MCN; (2)设 BM=x,梯形 ABCN 的面积为 y,求 y 与 x 之间的函数关系式;当 M 点运动到什么 位置时,四边形 ABCN 的面积最大,并求出最大面积; (3)当 M 点运动到什么位置时 Rt△ABM ∽Rt△AMN,求此时 x 的值.
A D

N B M 第22题图 C

21. 在平面直角坐标系中,现将一块等腰直角三角板 ABC 放在第二象限,斜靠在两坐标轴 上,且点 A(0, ,点 C (?1 0) ,如图所示:抛物线 y ? ax ? ax ? 2 经过点 B . 2) ,
2

(1)求点 B 的坐标; (2)求抛物线的解析式; (3)在抛物线上是否还存在点 P (点 B 除外),使 △ACP 仍然是以 AC 为直角边的等腰 直 角三角形?若存在,求所有点 P 的坐标;若不存在 ,请说明理由. y A(0,2) B C(-1,0) x

22. 如图,抛物线

1 y ? ? x2 ? x ? 2 4 的顶点为 A,与 y 轴交于点 B.
y

(1)求点 A、点 B 的坐标. (2)若点 P 是 x 轴上任意一点,求证: PA ? PB ≤ AB . (3)当 PA ? PB 最大时,求点 P 的坐标.
A

·

B

O

x

第 10 页

23. 如图,已知抛物线 y ? x ? 4 x ? 3 交 x 轴于 A、B 两点,交 y 轴于点 C,?抛物线的对
2

称轴交 x 轴于点 E,点 B 的坐标为( ?1 ,0) . (1)求抛物线的对称轴及点 A 的坐标; (2)在平面直角坐标系 xoy 中是否存在点 P,与 A、B、C 三点构成一个平行四边形?若存 在,请写出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由; (3)连结 CA 与抛物线的对称轴交于点 D,在抛物线上是否存在点 M,使得直线 CM 把四 边形 DEOC 分成面积相等的两部分?若存在,请求出直线 CM 的解析式;若不存在,请说 明理由.

y

C

D O

A

E

B

x

24. 如图 14,要设计一个等腰梯形的花坛,花坛上底长 120 米,下底长 180 米,上下底相距 80 米,在两腰中点连线(虚 线)处有一条横向甬道,上下底之间有两条纵向甬道,各甬道 的宽度相等.设甬道的宽为 x 米. (1)用含 x 的式子表示横向甬道的面积; (2)当三条甬道的面积是梯形面积的八分之一时,求甬道的宽; (3)根据设计的要求,甬道的宽不能超过 6 米.如果 修建甬道的总费用(万元)与甬道的 宽度成正比例关系,比例系数是 5.7,花坛其余部分的绿化费用为每平方米 0.02 万元,那 么当甬道的宽度为多少米时,所建花坛的总费用最少?最少费用是多少万元?

25. 用直角钢尺检查某一工件是否恰好是半圆环形,根据图形 3-3-19 所表示的情形,四个 工件哪一个肯定是半圆环形?

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26. 用一把带有刻度的直角尺,①可以画出两条平行的直线 a 与 b,如图(1);②可以画出 ∠AOB 的平分线 OP,如图(2);③可以检验工件的凹面是否成半圆,如图(3);④可以量出 一个圆的半径,如图(4).正确的是( )

3 2 x +bx+c 与坐标轴交于 A、B、C 三点, A 点的坐标为 4 3 (-1,0) ,过点 C 的直线 y= x-3 与 x 轴交于点 Q,点 P 是线段 BC 上的一个动点,过 4t P 作 PH⊥OB 于点 H.若 PB=5t,且 0<t<1.

27. 如图,已知抛物线 y=

(1)填空:点 C 的坐标是____,b=____,c=____; (2)求线段 QH 的长(用含 t 的式子表示) ; (3)依点 P 的变化,是否存在 t 的值,使以 P、H、Q 为顶点的三角形与△COQ 相似?若存 在,求出所有 t 的值;若不存在,说明理由. y
Q

H
B P

A

O

x

C

28. 如图(1) ,抛物线 y ? ax ? 3ax ? b 经过 A( ?1 ,0) ,C(3, ?2 )两点,与 y 轴交于
2

点 D,与 x 轴交于另一点 B. (1)求此抛物线的解析式; (2)若直线 y ? kx ? 1(k ? 0) 将四边形 ABCD 面积二等分,求 k 的值; (3)如图(2),过点 E(1,1)作 EF⊥ x 轴于点 F,将△AEF 绕平面内某点旋转 180°得△MNQ (点 M、N、Q 分别与点 A、E、F 对应),使点 M、N 在抛物线上,作 MG⊥ x 轴于点 G,若线 段 MG︰AG=1︰2,求点 M,N 的坐标. y y
E G A D O C B

x

A O

F Q M N

B

x

图(1)
第 12 页

y=kx+1

图(2)

29. 如图,已知抛物线与 x 交于 A(-1,0)、E(3,0)两点,与 y 轴交于点 B(0,3)。 (1) 求抛物线的解析式; (2) 设抛物线顶点为 D,求四边形 AEDB 的面积; (3) △AOB 与△DBE 是否相似?如果相似,请给以证明;如果不相似,请说明理由。

30. 如图 1,在平面直角坐标系 中,点 O 是坐标原点,四边形 ABCO 是菱形,点 A 的坐标 为(-3,4) ,点 C 在 x 轴的正半轴上,直线 AC 交 y 轴于点 M,AB 边交 y 轴于点 H. (1)求直线 AC 的解析式; (3)连接 BM,如图 2,动点 P 从点 A 出发,沿折线 ABC 方向以 2 个单位/秒的速度向终 点 C 匀速运动,设△ PMB 的面积为 S(S≠0) ,点 P 的运动时间为 t 秒,求 S 与 t 之间的函数 关系式(要求写出自变量 t 的取值范围) ; (4)在(3)的条件下,当 t 为何值时,∠MPB 与∠BCO 互为余角,并求此时直线 OP 与 直线 AC 所夹锐角的正切值.

第 13 页

31. 如图,平行四边形 ABCD 在平面直角坐标系中, AD ? 6, OA 、 OB 的长是关于 x 的 若 一元二次方程 x ? 7 x ? 12 ? 0 的两个根,且 OA ? OB.
2

(1)求 sin ?ABC 的值. (2)若 E 为 x 轴上的点,且 S△ AOE ?

16 求经过 D 、 E 两点的直线的解析式,并判断 , 3

△AOE 与 △DAO 是否相似? (3)若点 M 在平面直角坐标系内,则在直线 AB 上是否存在点 F, 使以 A 、C 、F 、M 为 顶点的四边形为菱形?若存在,请直接写出 F 点的坐标;若不存在,请说明理由.
y A

D

B

O

C

x

32. 直线 y ? ?

3 x ? 6 与坐标轴分别交于 A、B 两点,动点 P、Q 同时从 O 点出发,同时到 4

达 A 点, 运动停止. Q 沿线段 OA 运动, 点 速度为每秒 1 个单位长度, P 沿路线 O → B → 点

A 运动.
(1)直接写出 A、B 两点的坐标; (2)设点 Q 的运动时间为 t 秒, △OPQ 的面积为 S ,求出 S 与 t 之间的函数关系式; (3)当 S ?

48 时,求出点 P 的坐标,并直接写出以点 O、P、Q 为顶点的平行四边形的第 5
y B

四个顶点 M 的坐标.

P x

O

Q

A

第 14 页

33. 如图 1,已知抛物线经过坐标原点 O 和 x 轴上另一点 E,顶点 M 的坐标为 (2,4);矩形 ABCD 的顶点 A 与点 O 重合,AD、AB 分别在 x 轴、y 轴上,且 AD=2,AB=3. (1)求该抛物线所对应的函数关系式; (2) 将矩形 ABCD 以每秒 1 个单位长度的速度从图 12 所示的位置沿 x 轴的正方向匀速平行 移动,同时一动点 P 也以相同的速度从点 A 出发向 B 匀速移动,设它们运动的时间为 t 秒 ..... (0≤t≤3) ,直线 AB 与 该 抛物线的交点为 N(如图 2 所示). 5 ① 当 t= 时,判断点 P 是否在直线 ME 上,并说明理由; 2 ② 设以 P、N、C、D 为顶点的多边形面积为 S,试问 S 是否存在最大值?若存在,求出这个 最大值;若不存在,请说明理由. y M C B C y N M B P ·

D

O (A) 图1

E

x

DO

A 图2

E

x

34. 如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90° ,AC = 3,AB = 5.点 P 从点 C 出发沿 CA 以每秒 1 个 单位长的速度向点 A 匀速运动,到达点 A 后立刻以原来的速度沿 AC 返回;点 Q 从点 A 出 发沿 AB 以每秒 1 个单位长的速度向点 B 匀速运动.伴随着 P、Q 的运动,DE 保持垂直平 分 PQ,且交 PQ 于点 D,交折线 QB-BC-CP 于点 E.点 P、Q 同时出发,当点 Q 到达点 B 时停止运动,点 P 也随之停止.设点 P、Q 运动的时间是 t 秒(t>0) . (1)当 t = 2 时,AP = 的取值范围) (3) 在点 E 从 B 向 C 运动的过程中, 四边形 Q BED 能否成为直角梯形?若能, t 的值. 求 若 不能,请说明理由; (4)当 DE 经过点 C 时,请直接写出 t 的值. ..
B

,点 Q 到 AC 的距离是



(2)在点 P 从 C 向 A 运动的过程中,求△APQ 的面积 S 与 t 的函数关系式; (不必写出 t

E Q D A 第 15 页 P C

图 16

35. 如图,在平面直角坐标系中,已知矩形 ABCD 的三个顶点 B(4,0) 、C(8,0) 、D(8, 2 8).抛物线 y=ax +bx 过 A、C 两点. (1)直接写出点 A 的坐标,并求出抛物线的解析式; (2)动点 P 从点 A 出发.沿线段 AB 向终点 B 运动,同时点 Q 从点 C 出发,沿线段 CD 向终 点 D 运动.速度均为每秒 1 个单位长度,运动时间为 t 秒.过点 P 作 PE⊥AB 交 AC 于点 E ①过点 E 作 EF⊥AD 于点 F,交抛物线于点 G.当 t 为何值时,线段 EG 最长? ②连接 EQ.在点 P、Q 运动的过程中,判断有几个时刻使得△CEQ 是等腰三角形? 请直接写出相应的 t 值.

36. 如图所示,将矩形 OABC 沿 AE 折叠,使点 O 恰好落在 BC 上 F 处,以 CF 为边作正方 形 CFGH,延长 BC 至 M,使 CM=|CF—EO|,再以 CM、CO 为边作矩形 CMNO (1)试比较 EO、EC 的大小,并说明理由 (2)令 m ?

S四边形 CFGH

S四边形 CNMN;

,请问 m 是否为定值?若是,请求出 m 的值;若不是,请说明理由

(3)在(2)的条件下,若 CO=1,CE=

1 2 ,Q 为 AE 上一点且 QF= ,抛物线 y=mx2+bx+c 3 3

经过 C、Q 两点,请求出此抛物线的解析式. (4)在(3)的条件下,若抛物线 y=mx2+bx+c 与线段 AB 交于点 P,试问在直线 BC 上是否存在 点 K,使得以 P、B、K 为顶点的三角形与△ AEF 相似?若存在,请求直线 KP 与 y 轴的 交点 T 的坐标?若不存在,请说明理由。

第 16 页

37. 如图,在平面直角坐标系 xoy 中,抛物线 y ?

1 2 4 x ? x ? 10 与 x 轴的交点为点 B,过点 B 18 9

作 x 轴的平行线 BC,交抛物线于 点 C,连结 AC.现有两动点 P,Q 分别从 O,C 两点同时出 发,点 P 以每秒 4 个单位的速度沿 OA 向终点 A 移动,点 Q 以每秒 1 个单位的速度沿 CB 向点 B 移动,点 P 停止运动时,点 Q 也同时停止运动,线段 OC,PQ 相交于点 D,过点 D 作 DE∥OA,交 CA 于点 E,射线 QE 交 x 轴于点 F.设动点 P,Q 移动的时间为 t(单位:秒) (1)求 A,B,C 三点的坐标和抛物线的顶点的坐标; (2)当 t 为何值时,四边形 PQCA 为平行四边形?请写出计算过程; (3)当 0<t<

9 时,△PQF 的面积是否总为定值?若是,求出此定值,若不是,请说明理由; 2

(4)当 t 为何值时,△PQF 为等腰三角形?请写出解答过程.

38. 正方形 ABCD 在如图所示的平面直角坐标系中, A 在 x 轴正半轴上, D 在 y 轴的负半 轴上, AB 交 y 轴正半轴于 E,BC 交 x 轴负半轴于 F , OE ? 1 ,抛物线 y ? ax ? bx ? 4
2

过 A、D、F 三点. (1)求抛物线的解析式; (2)Q 是抛物线上 D、F 间的一点, Q 点作平行于 x 轴的直线交边 AD 于 M , BC 所 过 交

3 S△FQN ,则判断四边形 AFQM 的形状; 2 (3)在射线 DB 上是否存在动点 P ,在射线 CB 上是否存在动点 H ,使得 AP ⊥ PH 且 AP ? PH ,若存在,请给予证明,若不存在,请说明理由.
在直线于 N ,若 S四边形AFQM ? y B F C O D A x

E

第 17 页

39. 一开口向上的抛物线与 x 轴交于 A(m-2,0),B(m+2,0)两点,记抛物线顶点为 C,且 AC⊥BC. (1)若 m 为常数,求抛物线的解析式; (2)若 m 为小于 0 的常数,那么(1)中的抛物线经过怎么样的平移可以使顶点在坐标原点? (3)设抛物线交 y 轴正半轴于 D 点,问是否存在实数 m,使得△BCD 为等腰三角形?若存 在,求出 m 的值;若不存在,请说明理由.

y

D

O A C

B

x

40. 如图①, 已知抛物线 y ? ax 2 ? bx ? 3 (a≠0)与 x 轴交于点 A(1,0)和点 B (-3,0), 与 y 轴交于点 C.[来源:Z+xx+k.Com] (1) 求抛物线的解析式; (2) 设抛物线的对称轴与 x 轴交于点 M ,问在对称轴上是否存在点 P,使△ CMP 为等腰三 角形?若存在,请直接写出所有符合条件的点 P 的坐标;若不存在,请说明理由.

(3) 如图②,若点E 为第二象限抛物线上一动点,连接 BE、CE,求四边形 BOCE 面积的最 大值,并求此时 E 点的坐标.

第 18 页

41. 如图,以△ ABC 的边 AB 为直径画圆,与边 AC 交于 M,与边 BC 交于 N,已知△ ABC 的面积是△ CMN 面积的 4 倍,△ ABC 中有一个内角度数是另一内角度数的 2 倍,试计算 △ ABC 三个内角的度数?

42. 如图,已知:⊙O 是 ABC 的内切圆,切点分别为 D,E,F,连接 DF,作 EP⊥DF,垂 足为点 P,连接 PB,PC.求证:∠DPB=∠FPC.

43. 如图,设 AB,CD 为圆 O 的两直径,过 B 作 PB 垂直 AB,并与 CD 延长线相交于点 P, 过 P 作直线 PE,与圆分别交于 E,F 两点,连 AE,AF 分别与 CD 交于 G,H 两点,求证: OG=OH.

44. 如图,△ ABC 为锐角三角形,P,Q 为边 BC 上的两点,△ ABP 和△ ACQ 的外接圆圆心 分别为 O?和 O?.试判断 BO?的延长线与 CO?的延长线的交点 D 是否可能在△ ABC 的外接 圆上,并说明理由.

45. 已知二次函数 y ? x ? ax ? a ? 2 。
2

(1)求证:不论 a 为何实数,此函数图象与 x 轴总有两个交点。 (2)设 a<0,当此函数图象与 x 轴的两个交点的距离为 13 时,求出此二次函数的解析式。 (3)若此二次函数图象与 x 轴交于 A、B 两点,在函数图象上是否存在点 P,使得△PAB 的面积为

3 13 ,若存在求出 P 点坐标,若不存在请说明理由。 2
第 19 页

46. 如图,抛物线 y ? ax ? bx ? 4a 经过 A(?1 0) 、 C (0, 两点,与 x 轴交于另一点 B . , 4)
2

(1)求抛物线的解析式; (2)已知点 D(m,m ? 1) 在第一象限的抛物线上,求点 D 关于直线 BC 对称的点的坐标; (3)在(2)的条件下,连接 BD ,点 P 为抛物线上一点,且 ?DBP ? 45° ,求点 P 坐标. y

C

A O

B

x

47. 如图, 在梯形 ABCD 中,AD ∥ BC,AD ? 2,BC ? 4, M 是 AD 的中点,△MBC 点 是等边 三角形. (1)求证:梯形 ABCD 是等腰梯形; ( 2 ) 动 点 P 、 Q 分 别 在 线 段 BC 和 MC 上 运 动 , 且 ∠MPQ ? 60? 保 持 不 变 . 设 求 PC ? x,MQ ? y, y 与 x 的函数关系式; (3)在(2)中:①当动点 P 、 Q 运动到何处时,以点 P 、 M 和点 A 、 B 、 C 、 D 中的 两个点为顶点的四边形是平行四边形?并指出符合条件的平行四边形的个数; ②当 y 取最小值时,判断 △PQC 的形状,并说明理由. A M

D

60° B P

Q C

第 20 页

48. 如图,点 P 是双曲线 y ?

k1 x

(k1 ? 0,x ? 0) 上一动点,过点 P 作 x 轴、y 轴的垂线,分
k2 (0<k2<|k1|)于 E、F 两点. x

别交 x 轴、y 轴于 A、B 两点,交双曲线 y =

(1)图 1 中,四边形 PEOF 的面积 S1= ___ (用含 k1、k2 的式子表示); (2)图 2 中,设 P 点坐标为(-4,3) . ①判断 EF 与 AB 的位置关系,并证明你的结论; ②记 S2 ? S?PEF ? S?OEF ,S2 是否有最小值?若有,求出其最小值;若没有,请说明理由.

49. 已知:直角梯形 OABC 的四个顶点是 O(0,0),A(

3 2

,1), B(s,t),C(

7 2

,0),抛物线

y=x2+mx-m 的顶点 P 是直角梯形 OABC 内部或边上的一个动点,m 为常数. (1)求 s 与 t 的值,并在直角坐标系中画出直角梯形 OABC; .. (2)当抛物线 y=x2+mx-m 与直角梯形 OABC 的边 AB 相交时,求 m 的取值范围.

y
3 2 1

-1

O
-1

1

2

3

4

5

x

50. 设直线 ι 到⊙O 的圆心的距离为 d,半径为 R,并使 x2-2 d x+R=0,试由关于 x 的一 元二次方程根的情况讨论 ι 与⊙O 的位置关系.

第 21 页

51. 如图,二次函数 y ? ax ? bx ? c ( a ? 0 )的图象与 x 轴交于 A、B 两点,与 y 轴相交
2

于点 C .连结 AC、BC,A、C 两点的坐标分别为 A(?3, 、 C (0,3) ,且当 x ? ?4 和 0)

x ? 2 时二次函数的函数值 y 相等.
(1)求实数 a,b,c 的值; (2)若点 M、N 同时从 B 点出发,均以每秒 1 个单位长度的速度分别沿 BA、BC 边运动, 其中一个点到达终点时,另一点也随之停止运动.当运动时间为 t 秒时,连结 MN ,将 △BMN 沿 MN 翻折, B 点恰好落在 AC 边上的 P 处,求 t 的值及点 P 的坐标; (3)在(2)的条件下,二次函数图象的对称轴上是否存在点 Q ,使得以 B,N,Q 为项点 的三角形与 △ABC 相似?如果存在,请求出点 Q 的坐标;如果不存在,请说明理由. y C P N

A

M O

B

x

52. 如图,若△ABC 和△ADE 为等边三角形,M,N 分别 EB,CD 的中点,易证:CD=BE, △AMN 是等边三角形. (1)当把△ADE 绕 A 点旋转到图 10 的位置时,CD=BE 是否仍然成立?若成立请证明,若 不成立请说明理由; (2)当△ADE 绕 A 点旋转到图 11 的位置时,△AMN 是否还是等边三角形?若是,请给出 证明,并求出当 AB=2AD 时,△ADE 与△ABC 及△AMN 的面积之比;若不是,请说明理由.

[

第 22 页

53. 如图 1,已知正比例函数和反比例函数的图像都经过点 M(-2, - 1 ) ,且 P( - 1 ,- 2)为双曲线上的一点,Q 为坐标平面上一动点,PA 垂直于 x 轴,QB 垂直于 y 轴,垂足分 别是 A、B. (1)写出正比例函数和反比例函数的关系式; (2)当点 Q 在直线 MO 上运动时,直线 MO 上是否存在这样的点 Q,使得△OBQ 与△OAP 面积相等?如果存在,请求出点的坐标,如果不存在,请说明理由; (3) 如图 2, 当点 Q 在第一象限中的双曲线上运动时, 作以 OP、 为邻边的平行四边形 OPCQ, OQ 求平行四边形 OPCQ 周长的最小值.
h?x? = 2 x

y

f?x? =

2 x

y

B

Q

B A
x

Q

A

O

O x

M

M

C P

P
图1

图2

54. 如图 1,直线 y ? ? x ? 4 与两坐标轴分别相交于 A、B 点,点 M 是线段 AB 上任意一点 (A、B 两点除外) ,过 M 分别作 MC⊥OA 于点 C,MD⊥OB 于 D. (1)当点 M 在 AB 上运动时,你认为四边形 OCMD 的周长是否发生变化?并说明理由; (2)当点 M 运动到什么位置时,四边形 OCMD 的面积有最大值?最大值是多少? (3)当四边形 OCMD 为正方形时,将四边形 OCMD 沿着 x 轴的正方向移动,设平移的距 离为 a(0 ? a ? 4) ,正方形 OCMD 与△AOB 重叠部分的面积为 S.试求 S 与 a 的函数关系 式并画出该函数的图象. y B D M B y B y

O

C 图(1)

A

x

O 图(2)

A

x

O 图(3)

A

x

第 23 页

55. 如图,在直角梯形 O ABC 中, OA∥CB,A、B 两点的坐标分别为 A(15,0) ,B(10, 12) ,动点 P、Q 分别从 O、B 两点出发,点 P 以每秒 2 个单位的速度沿 OA 向终点 A 运动, 点 Q 以每秒 1 个单位的速度沿 BC 向 C 运动, 当点 P 停止运动时, Q 也同时停止运动. 点 线 段 OB、PQ 相交于点 D,过点 D 作 DE∥OA,交 AB 于点 E,射线 QE 交 x 轴于点 F.设动 点 P、Q 运动时间为 t(单位:秒) . (1)当 t 为何值时,四边形 PABQ 是等腰梯形,请写出推理过程; (2)当 t=2 秒时,求梯形 OFBC 的面积; (3)当 t 为何值时,△PQF 是等腰三角形?请写出推理过程.

56. 如图 1,在△ABC 中,∠C=90°,BC=8,AC=6,另有一直角梯形 DEFH(HF∥DE, ∠HDE=90°)的底边 DE 落在 CB 上,腰 DH 落在 CA 上,且 DE=4,∠DEF=∠CBA,AH∶ AC=2∶3 (1)延长 HF 交 AB 于 G,求△AHG 的面积.? (2)操作:固定△ABC,将直角梯形 DEFH 以每秒 1 个单位的速度沿 CB 方向向右移动, 直到点 D 与点 B 重合时停止, 设运动的时间为 t 秒, 运动后的直角梯形为 DEFH′ (如图 2) . 探究 1:在运动中,四边形 CDH′H 能否为正方形?若能, 请求出此时 t 的值;若不能, 请说明理由.? 探究 2:在运动过程中,△ABC 与直角梯形 DEFH′重叠部分的面积为 y,求 y 与 t 的函数 关系.?

第 24 页

57. 阅读材料:如图 1,过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线,外侧两条 直线之间的距离叫△ABC 的―水平宽‖(a), 中间的这条直线在△ABC 内部线段的长度叫△ABC 的―铅垂高(h)‖.我们可得出一种计算三角形面积的新方法: S ?ABC ?

1 ah ,即三角形面积等 2

于水平宽与铅垂高乘积的一半. 解答下列问题:如图 2,抛物线顶点坐标为点 C(1,4),交 x 轴于点 A(3,0),交 y 轴于点 B. (1)求抛物线和直线 AB 的解析式; (2)点 P 是抛物线(在第一象限内)上的一个动点,连结 PA,PB,当 P 点运动到顶点 C 时,求 △CAB 的铅垂高 CD 及 S ?CAB ; (3)是否存在一点 P,使 S△PAB=

9 S△CAB,若存在,求出 P 点的坐标;若不存在,请说明理由. 8 y
C B D

h B

铅垂高 C

水平宽 a 图1

1 O 1 A

x

图2

58. 如图, 已知 ?ABC 为直角三角形,?ACB ? 90? , AC ? BC ,点 A 、C 在 x 轴上, B 点 坐标为( 3 , m ) m ? 0 ) ( ,线段 AB 与 y 轴相交于点 D ,以 P (1,0)为顶点的抛物线 过点 B 、 D . (1)求点 A 的坐标(用 m 表示) ; (2)求抛物线的解析式; (3)设点 Q 为抛物线上点 P 至点 B 之间的一动点,连结 PQ 并延长交 BC 于点 E ,连结

BQ 并延长交 AC 于点 F ,试证明: FC ( AC ? EC ) 为定值.

y
B

E Q D O

第 25 页

A

P

F

C

x

59. 如图,直线 y ? ?

3 5 x ? 6 分别与 x 轴、y 轴交于 A、B 两点;直线 y ? x 与 AB 交于点 4 4

C,与过点 A 且平行于 y 轴的直线交于点 D.点 E 从点 A 出发,以每秒 1 个单位的速度沿 x 轴向左运动.过点 E 作 x 轴的垂线,分别交直线 AB、OD 于 P、Q 两点,以 PQ 为边向右作 正方形 PQMN.设正方形 PQMN 与△ACD 重叠部分(阴影部分)的面积为 S(平方单位) , 点 E 的运动时间为 t(秒). (1)求点 C 的坐标. (2)当 0<t<5 时,求 S 与 t 之间的函数关系式. (3)求(2)中 S 的最大值. (4)当 t>0 时,直接写出点(4,

9 )在正方形 PQMN 内部时 t 的取值范 围. 2
b 4ac ? b 2 ).】 , 2a 4a

【参考公式:二次函数 y=ax2+bx+c 图象的顶点坐标为( ?

60. 如图所示,菱形 ABCD 的边长为 6 厘米, ?B ? 60° .从初始时刻开始,点 P 、 Q 同 时从 A 点出发,点 P 以 1 厘米/秒的速度沿 A ? C ? B 的方向运动,点 Q 以 2 厘米/秒的速 度沿 A ? B ? C ? D 的方向运动,当点 Q 运动到 D 点时, P 、Q 两点同时停止运动,设 (这里规定: P 、Q 运动的时间为 x 秒时,△ APQ 与 △ABC 重叠部分的面积为 y 平方厘米 .... 点和线段是面积为 O 的三角形) ,解答下列问题: (1)点 P 、 Q 从出发到相遇所用时间是 秒; 秒; C

(2) P 、 从开始运动到停止的过程中, △ APQ 是等边三角形时 x 的值是 点 当 Q (3)求 y 与 x 之间的函数关系式. D

P A Q B

第 26 页

61. 如图, 已知射线 DE 与 x 轴和 y 轴分别交于点 D(3, 和点 E (0, . 0) 4) 动点 C 从点 M (5, 0) 出发,以 1 个单位长度/秒的速度沿 x 轴向左作匀速运动,与此同时,动点 P 从点 D 出发, 也以 1 个单位长度/秒的速度沿射线 DE 的方向作匀速运动.设运动时间为 t 秒. (1)请用含 t 的代数式分别表示出点 C 与点 P 的坐标; (2)以点 C 为圆心、

1 t 个单位长度为半径的 ⊙C 与 x 轴交于 A、B 两点(点 A 在点 B 的 2
y

左侧) ,连接 PA、PB. ①当 ⊙C 与射线 DE 有公共点时,求 t 的取值范围; ②当 △PAB 为等腰三角形时,求 t 的值. E

P O DA C B M x

62. 已知正方形 ABCD 中, 为对角线 BD 上一点, E 点作 EF⊥BD 交 BC 于 F, E 过 连接 DF, G 为 DF 中点,连接 EG,CG. (1)求证:EG=CG; (2)将图①中△BEF 绕 B 点逆时针旋转 45?,如图②所示,取 DF 中点 G,连接 EG,CG. 问(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由. (3)将图①中△BEF 绕 B 点旋转任意角度,如图③所示,再连接相应的线段,问(1)中 的结论 是否仍然成立?通过观察你还能得出什么结论?(均不要求证明)
A D A G G E F E F E D A

B 图①

F

C

B 图②

C

B 图③

C

第 27 页

63. 已知:抛物线 y ? ax ? bx ? c ? a ? 0 ? 的对称轴为 x ? ?1 与 x 轴交于 A,B 两点,与 y ,
2

? 0 轴交于点 C, 其中 A ? ?3,? 、 C ? 0, 2 ?.
(1)求这条抛物线的函数表达式. (2)已知在对称轴上存在一点 P,使得 △PBC 的周长最小.请求出点 P 的坐标. (3) 若点 D 是线段 OC 上的一个动点 (不与点 O、 C 重合) 过点 D 作 DE ∥ PC 交 x 轴 点 . 于点 E. 连接 PD 、 PE .设 CD 的长为 m , △PDE 的面积为 S .求 S 与 m 之间的函数关 系式.试说明 S 是否存在最大值,若存在,请求出最大值;若不存在,请说明理由. y

A

O

B

x

C

64. 如图,在梯形 ABCD 中, AD ∥ BC , AD ? 6cm , CD ? 4cm , BC ? BD ? 10cm , 点 P 由 B 出发沿 BD 方向匀速运动,速度为 1cm/s;同时,线段 EF 由 DC 出发沿 DA 方向 匀速运动,速度为 1cm/s,交 BD 于 Q,连接 PE.若设运动时间为 t (s) 0 ? t ? 5 ) ( .解答 下列问题: (1)当 t 为何值时, PE ∥ AB ? (2)设 △PEQ 的面积为 y (cm2) ,求 y 与 t 之间的函数关系式; (3)是否存在某一时刻 t ,使 S△ PEQ ?

2 S△BCD ?若存在,求出此时 t 的值;若不存在, 25

说明理由. (4)连接 PF ,在上述运动过程中,五边形 PFCDE 的面积是否发生变化?说明理由. A P B F C E Q D

第 28 页

65. 如图,抛物线经过 A(4,,B(1 0) C (0, 2) 三点. 0) ,, ? (1)求出抛物线的解析式; (2)P 是抛物线上一动点,过 P 作 PM ? x 轴,垂足为 M,是否存在 P 点,使得以 A,P, M 为顶点的三角形与 △OAC 相似?若存在,请求出符合条件的点 P 的坐标;若不存在,请 说明理由; (3)在直线 AC 上方的抛物线上有一点 D,使得 △DCA 的面积最大,求出点 D 的坐标. y

O B1
?2

4A

x

C

66. 问题探究: (1)请在图①的正方形 ABCD 内,画出使 ?APB ? 90° 的一个点 P ,并说明理由. .. (2)请在图②的正方形 ABCD 内(含边) ,画出使 ?APB ? 60° 的所有的点 P ,说明理由. .. 问题解决: (3)如图③,现在一块矩形钢板 ABCD,AB ? 4,BC ? 3 .工人师傅想用它裁出两块全 等的、面积最大的 △ APB 和 △CP?D 钢板,且 ?APB ? ?CP?D ? 60° .请你在图③中画 出符合要求的点 P 和 P? ,并求出 △ APB 的面积(结果保留根号) . D C D C D C

A ①

B

A ②

B

A



B

67. 如图所示,在直角梯形 ABCD 中,∠ABC=90°,AD∥BC,AB=BC,E 是 AB 的中点, CE⊥BD。 (1)求证:BE=AD; (2)求证:AC 是线段 ED 的垂直平分线; (3)△DBC 是等腰三角形吗?并说明理由。

第 29 页

68. 一次函数 y ? ax ? b 的图象分别与 x 轴、 y 轴交于点 M , N ,与反比例函数 y ?

k 的图 x

象相交于点 A, B .过点 A 分别作 AC ? x 轴, AE ? y 轴,垂足分别为 C , E ;过点 B 分别 作 BF ? x 轴, BD ? y 轴,垂足分别为 F,D, 与 BD 交于点 K ,连接 CD . AC (1)若点 A,B 在反比例函数 y ? ① S四边形AEDK ? S四边形CFBK ; ② AN ? BM . (2)若点 A,B 分别在反比例函数 y ? 相等吗?试证明你的结论.

k 的图象的同一分支上,如图 1,试证明: x

k 的图象的不同分支上,如图 2,则 AN 与 BM 还 x
y N E D
A( x1,y1 ) B( x2,y2 )

y E N F M x
B( x3,y3 )
A( x1,y1 )

K O C FM

O

C DK

x

(图 1)

(图 2)

, 69. 如图,抛物线 y ? ax ? bx ? 3 与 x 轴交于 A B 两点,与 y 轴交于 C 点,且经过点
2

(2, 3a) ,对称轴是直线 x ? 1 ,顶点是 M . ?
(1)求抛物线对应的函数表达式; (2)经过 C,M 两点作直线与 x 轴交于点 N ,在抛物线上是否存在这样的点 P ,使以点 P,A C,N 为顶点的四边形为平行四边形?若 存在,请求出点 P 的坐标;若不存在,请 , 说明理由; (3)设直线 y ? ? x ? 3 与 y 轴的交点是 D ,在线段 BD 上任取一点 E (不与 B,D 重合) ,经

, 过 A B,E 三点的圆交直线 BC 于点 F ,试判断 △AEF 的形状,并说明理由;[来
当 E 是直线 y ? ? x ? 3 上任意一点时,(3)中的结论是否成立?(请直接写出结论). y

A O 1
?3 C
第 30 页

B

x

M

70. 如图,在平面直角坐标系中,点 C(-3,0) ,点 A、B 分别在 x 轴、y 轴的正半轴上, 且满足 OB 2 ? 3 ? OA ? 1 ? 0 . (1)求点 A、点 B 的坐标; (2) 若点 P 从 C 点出发, 以每秒 1 个单位的速度沿线 段 CB 由 C 向 B 运动, 连结 AP, △ ABP 设 的面积为 S,点 P 的运动时间为 t 秒,求 S 与 t 的函数关系式; (3)在(2)的条件下,是否存在点 P,使以点 A,B,P 为顶点的三角形与 △AOB 相似? 若存在,请直接写出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由.

y

B

x A C O 71. 已知 ?ABC ? 90° AB ? 2,BC ? 3,AD ∥BC, 为线段 BD 上的动点,点 Q 在射 , P
线 AB 上,且满足

PQ AD (如图 1 所示) . ? PC AB

(1)当 AD ? 2 ,且点 Q 与点 B 重合时(如图 2 所示) ,求线段 PC 的长; (2)在图 8 中,联结 AP .当 AD ?

3 ,且点 Q 在线段 AB 上时,设点 B、Q 之间的距离 2

为x,

S△ APQ S△ PBC

? y ,其中 S△ APQ 表示 △ APQ 的面积, S△ PBC 表示 △PBC 的面积,求 y 关

于 x 的函数解析式,并写出函数定义域(指该函数的有效范围); (3)当 AD ? AB ,且点 Q 在线段 AB 的延长线上时(如图 3 所示) ,求 ?QPC 的大小. A P D A P P Q B 图1 C B(Q) 图2 ) C D A D

B Q 图3

C

第 31 页

72. 如图 1,在等腰梯形 ABCD 中, AD ∥ BC , E 是 AB 的中点,过点 E 作 EF ∥ BC 交 CD 于点 F . AB ? 4,BC ? 6 ,∠B ? 60? . (1)求点 E 到 BC 的距离; (2) P 为线段 EF 上的一个动点, P 作 PM ? EF 交 BC 于点 M , M 作 MN ∥ AB 点 过 过 交折线 ADC 于点 N ,连结 PN ,设 EP ? x . ①当点 N 在线段 AD 上时 (如图 2) △PN 的形状是否发生改变?若不变, , M 求出 △PMN 的周长;若改变,请说明理由; ②当点 N 在线段 DC 上时(如图 3) ,是否存在点 P ,使 △PMN 为等腰三角形?若存在, 请求出所有满足要求的 x 的值;若不存在,请说明理由. N A A A D D D E F E P F E P N F

B 图1 A E

C

B M D F B E 图2 A

C B

M 图3 D F

C

B 图 4(备用)

C

C 图 5(备用)

第 32 页

73. 如图所示,在平面直角坐标系中,抛物线 y ? ax ? bx ? c ( a ? 0 )经过 A(?1 0) , ,
2

B(3, , C (0, 三点,其顶点为 D ,连接 BD ,点 P 是线段 BD 上一个动点(不与 B、D 0) 3)
重合) ,过点 P 作 y 轴的垂线,垂足为 E ,连接 BE . (1)求抛物线的解析式,并写出顶点 D 的坐标; (2)如果 P 点的坐标为 ( x,y) , △PBE 的面积为 s ,求 s 与 x 的函数关系式,写出自变 量 x 的取值范围,并求出 s 的最大值; (3)在(2)的条件下,当 s 取得最大值时,过点 P 作 x 的垂线,垂足为 F ,连接 EF , 把 △PEF 沿直线 EF 折叠,点 P 的对应点为 P? ,请直接写出 P? 点坐标,并判断点 P? 是否 在该抛物线上. y D C3 2 E 1

P B 3 x

A ?3 ?2 ?1 O

1 2 ?1

74. 如图 ① ,点 A? , B? 的坐标分别为(2,0)和(0, ?4 ) ,将 △A?B?O 绕点 O 按逆时针 方向旋转 90° 后得 △ABO ,点 A? 的对应点是点 A ,点 B? 的对应点是点 B . (1)写出 A , B 两点的坐标,并求出直线 AB 的解析式; (2)将 △ABO 沿着垂直于 x 轴的线段 CD 折叠, C 在 x 轴上,点 D 在 AB 上,点 D 不 (点 与 A , 重合) 如图 ② , 使点 B 落在 x 轴上, B 的对应点为点 E . 点 设点 C 的坐标为 x,) ( 0 , B

△CE 与 △ABO 重叠部分的面积为 S . D i)试求出 S 与 x 之间的函数关系式(包括自变量 x 的取值范围) ; ii)当 x 为何值时, S 的面积最大?最大值是多少? iii)是否存在这样的点 C ,使得 △ADE 为直角三角形?若存在,直接写出点 C 的坐标;若
不存在,请说明理由. y y

A
B O A′ x O

A
E

D C 图② B x

B′
第 33 页

图①

1 2 x –2x+1 的顶点为 P,A 为抛物线与 y 轴的交点,过 A 与 y 轴垂 2 直的直线与抛物线的另一交点为 B,与抛物线对称轴交于点 O′,过点 B 和 P 的直线 l 交 y 轴于点 C,连结 O′C,将△ ACO′沿 O′C 翻折后,点 A 落在点 D 的位置.

75. 如图,已知抛物线 y=

(1)求直线 l 的函数解析式; (2)求点 D 的坐标; (3)抛物线上是否存在点 Q,使得 S△ DQC= S△ DPB? 若存在,求出所有符合条件的点 Q 的坐标; 若不存在,请说明理由.

76. 如图,已知抛物线 y ? a( x ? 1) ? 3 3(a ? 0) 经过点 A(-2,0),抛物线的顶点为 D,
2

过 0 作射线 OM∥AD. 过顶点 D 平行于 x 轴的直线交射线 OM 于点 C, 在 x 轴正半轴上, B 连结 BC. (1)求该抛物线的解析式; (2)若动点 P 从点 0 出发,以每秒 l 个长度单位的速度沿射线 OM 运动,设点 P 运动的时间 为 t(s).问:当 t 为何值时,四边形 DAOP 分别为平行四边形?直角梯形?等腰梯形? (3)若 OC=OB, 动点 P 和动点 Q 分别从点 O 和点 B 同时出发, 分别以每秒 l 个长度单位和 2 个长度单位的速度沿 OC 和 B0 运动,当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动设 它们运动的时间为 t(s),连接 PQ,当 t 为何值时,四边形 BCPQ 的面积最小?并求出最小值 及此时 PQ 的长.

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4 77. 如图,已知一次函数 y = -x +7 与正比例函数 y= x 的图象交于点 A,且与 x 轴交于点 B. 3 (1)求点 A 和点 B 的坐标; (2)过点 A 作 AC⊥y 轴于点 C,过点 B 作直线 l∥y 轴.动点 P 从点 O 出发,以每秒 1 个 单位长的速度,沿 O—C—A 的路线向点 A 运动;同时直线 l 从点 B 出发,以相同速度向左 平移,在平移过程中,直线 l 交 x 轴于点 R,交线段 BA 或线段 AO 于点 Q.当点 P 到达点 A 时,点 P 和直线 l 都停止运动.在运动过程中,设动点 P 运动的时间为 t 秒. ①当 t 为何值时,以 A、P、R 为顶点的三角形的面积为 8? ②是否存在以 A、P、Q 为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,求 t 的值;若不存在,请 y 说明理由. y
y=-x+7 A 4 y= x 3 y=-x+7 A 4 y= x 3

B O x O
(备用图)

B x

78. 如图,第一象限内半径为 2 的⊙C 与 y 轴相切于点 A,作直径 AD,过点 D 作⊙C 的切 线 l 交 x 轴于点 B,P 为直线 l 上一动点,已知直线 PA 的解析式为:y=kx+3。 (1) 设点 P 的纵坐标为 p,写出 p 随变化的函数关系式。 (2)设⊙C 与 PA 交于点 M,与 AB 交于点 N,则不论动点 P 处于直线 l 上(除点 B 以外)的 什么位置时, 都有△ AMN∽△ABP。 请你对于点 P 处于图中位置时的两三角形相似给予证明; (3)是否存在使△AMN 的面积等于 说明理由。
y M P

32 的 k 值?若存在,请求出符合的 k 值;若不存在,请 25

A C

D

N O 第 35 页 B

x

79. 如图,点 M 是△ABC 内一点,过点 M 分别作直线平行于△ABC 的各边,所形成的三个 小三角形△1、 2、 (图中阴影部分) △ △3 的面积分别是 4, 和 49. 9 则△ABC 的面积是 .

80. 如图,点 A?,A?,A?,A?在射线 OA 上,点 B1,B2,B3 在射线 OB 上,且 A?B?∥A?B?∥A?B?,A?B?∥A?B?∥A?B?.若△ A?B?B?,△ A?B?B?的面积分别为 1,4, 则图中三个阴影三角形面积之和为__________.

81. 如图, Rt△ABC 中, ?ACB ? 90° 直线 EF ∥ BD, AB 于点 E, AC 于点 G, 交 交 交 ,

1 CF 若 则 ? AD 于点 F, S△ AEG ? S四边形EBCG, 3 AD



82. 将三角形纸片(△ABC)按如图所示的方式折叠,使点 B 落在边 AC 上,记为点 B′,折 痕为 EF.已知 AB=AC=3,BC=4,若以点 B′,F,C 为顶点的三角形与△ABC 相似,那 么 BF 的长度是 .

83. 如图, 已知零件的外径为 25 mm , 现用一个交叉卡钳 (两条尺长 AC 和 BD 相等, OC=OD) 量零件的内孔直径 AB. OC∶OA=1∶2, 若 量得 CD=10 mm , 则零件的厚度 x ? _____ mm . 84. 如图,M 为线段 AB 的中点,AE 与 BD 交于点 C,∠DME=∠A=∠B=α, 且 DM 交 AC 于 F,ME 交 BC 于 G. (1)写出图中三对相似三角形,并证明其中的一对; (2)连结 FG,如果 α=45° ,AB= 4 2 ,AF=3,求 FG 的长.

第 36 页

85. △ ABC 的内切圆分别切 BC、CA、AB 三边于 D、E、F,G 是 EF 上的一点,且 DG⊥EF, 求证:DG 平分∠BGC.

86. 定义一种变换:平移抛物线 F1 得到抛物线 F2 ,使 F2 经过 F1 的顶点 A .设 F2 的对称轴 分别交 F1,F2 于点 D,B ,点 C 是点 A 关于直线 BD 的对称点. (1)如图 1,若 F1 : y ? x ,经过变换后,得到 F2 : y ? x ? bx ,点 C 的坐标为 (2, , 0)
2 2

则① b 的值等于______________; ②四边形 ABCD 为( ) A.平行四边形 B.矩形
2

C.菱形

D.正方形

(2)如图 2,若 F1 : y ? ax ? c ,经过变换后,点 B 的坐标为 (2,c ? 1) ,求 △ABD 的 面积;

1 2 2 7 x ? x ? ,经过变换后, AC ? 2 3 ,点 P 是直线 AC 上的 3 3 3 动点,求点 P 到点 D 的距离和到直线 AD 的距离之和的最小值.
(3)如图 3,若 F1 : y ?

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87. 如图 1,在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,点 A 的坐标为 (?8, ,直线 BC 经过点 0)

B(?8, , C (0, ,将四边形 OABC 绕点 O 按顺时针方向旋转 ? 度得到四边形 OA?B?C? , 6) 6)
此时直线 OA? 、直线 B?C ? 分别与直线 BC 相交于点 P、Q. (1)四边形 OABC 的形状是 , 当 ? ? 90°时,

BP 的值是 BQ



(2)①如图 2,当四边形 OA?B?C? 的顶点 B? 落在 y 轴正半轴时,求

BP 的值; BQ

②如图 3,当四边形 OA?B?C? 的顶点 B? 落在直线 BC 上时,求 △OPB? 的面积. (3)在四边形 OABC 旋转过程中,当 0 ? ? ≤180°时,是否存在这样的点 P 和点 Q,使

BP ?

1 BQ ?若存在,请直接写出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由. 2
B?
y y y

B A? P

A?
Q B C P

C

B? (Q)

B

C

C?
O (图 2) x A O

A

(图 3)

C?

x

A

O (备用图)

x

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88. 问题背景 在某次活动课中,甲、乙、丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中一 些物体进行了测量.下面是他们通过测量得到的一些信息: 甲组:如图 1,测得一根直立于平地,长为 80cm 的竹竿的影长为 60cm. 乙组:如图 2,测得学校旗杆的影长为 900cm. 丙组:如图 3,测得校园景灯(灯罩视为球体,灯杆为圆柱体,其粗细忽略不计)的高度为 200cm,影长为 156cm. 任务要求 (1)请根据甲、乙两组得到的信息计算出学校旗杆的高度; (2)如图 3,设太阳光线 NH 与⊙O 相切于点 M .请根据甲、丙两组得到的信息,求景灯 灯罩的半径(友情提示:如图 3,景灯的影长等于线段 NG 的影长;需要时可采用等式

1562 ? 2082 ? 2602 ).
E N K E M E O E E 200cm C 60cm 图1

B 80cm A

D 900cm 图2

F

G 156cm 图3

H

89. 已知正方形 ABCD 在直线 MN 的上方,BC 在直线 MN 上,E 是 BC 上一点,以 AE 为边 在直线 MN 的上方作正方形 AEFG. (1)连接 GD,求证:△ADG≌△ABE; (2)连接 FC,观察并猜测∠FCN 的度数,并说明理由; (3)如图(2) ,将图(1)中正方形 ABCD 改为矩形 ABCD,AB=a,BC=b(a、b 为常数) , E 是线段 BC 上一动点(不含端点 B、C) ,以 AE 为边在直线 MN 的上方作矩形 AEFG,使 顶点 G 恰好落在射线 CD 上. 判断当点 E 由 B 向 C 运动时, ∠FCN 的大小是否总保持不变, 若∠FCN 的大小不变,请用含 a、b 的代数式表示 tan∠FCN 的值;若∠FCN 的大小发生改 变,请举例说明.

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90. 如图 11,已知二次函数 y ? ( x ? m) ? k ? m 的图象与 x 轴相交于两个不同的点
2 2

A( x1, 、 B ( x2, ,与 y 轴的交点为 C .设 △ABC 的外接圆的圆心为点 P . 0) 0)
(1)求 ⊙P 与 y 轴的另一个交点 D 的坐标; (2)如果 AB 恰好为 ⊙P 的直径,且 △ABC 的面积等于 5 ,求 m 和 k 的值.

91. 已知:如图 1,把矩形纸片 ABCD 折叠,使得顶点 A 与边 DC 上的动点 P 重合(P 不与点 D,C 重合), MN 为折痕,点 M,N 分别在边 BC, AD 上,连接 AP,MP,AM, AP 与 MN 相交于点 F.⊙O 过点 M,C,P. (1)请你在图 1 中作出⊙O(不写作法,保留作图痕迹); (2)
AF AN



AP AD

是否相等?请你说明理由;

(3)随着点 P 的运动,若⊙O 与 AM 相切于点 M 时,⊙O 又与 AD 相切于点 H. 设 AB 为 4,请你通过计算,画出这时的图形.(图 2,3 供参考) ..

B

M

C

B

M

C O

B

M

C O

F A N

P D
A

F N

P D
A

F N D

P

图1

图2

图3

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92. 如图,已知直线 l1 : y ?

2 8 x ? 与直线 l2 : y ? ?2 x ? 16 相交于点 C,l1、l2 分别交 x 轴 3 3

于 A、B 两点.矩形 DEFG 的顶点 D、E 分别在直线 l1、l2 上,顶点 F、G 都在 x 轴上, 且点 G 与点 B 重合. (1)求 △ABC 的面积; (2)求矩形 DEFG 的边 DE 与 EF 的长; (3)若矩形 DEFG 从原点出发,沿 x 轴的反方向以每秒 1 个单位长度的速度平移,设移动 时间为 t (0 ≤ t ≤12) 秒,矩形 DEFG 与 △ABC 重叠部分的面积为 S ,求 S 关于 t 的函数 关系式,并写出相应的 t 的取值范围.

y
y

l2
E C D

l1 y

A

O

F (G) B x

93. 已知: ?ABC 中,BC ? AC , 在 动点 D 绕 ?ABC 的顶点 A 逆时针旋转, AD ? BC , 且 连结 DC . AB 、DC 的中点 E 、F 作直线, 过 直线 EF 与直线 AD 、BC 分别相交于点 M 、 N. (1)如图 1,当点 D 旋转到 BC 的延长线上时,点 N 恰好与点 F 重合,取 AC 的中点 H , 连结 HE 、 HF ,根据三角形中位线定理和平行线的性质,可得结论 ?AMF ? ?BNE (不 需证明) . (2)当点 D 旋转到图 2 或图 3 中的位置时,?AMF 与 ?BNE 有何数量关系?请分别写出 猜想,并任选一种情况证明.

M
M D F (N) C H A B E
图1

N D F C

C F N M D B E
图3

A

E
图2

B A

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94. 宽与长的比是

5 ?1 的矩形叫黄金矩形.心理测试表明:黄金矩形令人赏心悦目,它给 2

我们以协调, 匀称的美感. 现将小波同学在数学活动课中, 折叠黄金矩形的方法归纳如下 (如 图所示) : 第一步:作一个正方形 ABCD; 第二步:分别取 AD,BC 的中点 M,N,连接 MN; 第三步:以 N 为圆心,ND 长为半径画弧,交 BC 的延长线于 E; 第四步:过 E 作 EF⊥AD,交 AD 的延长线于 F. M F D A 请你根据以上作法,证明矩形 DCEF 为黄金矩形.

B

N

C

E

95. 知直角坐标系中菱形 ABCD 的位置如图,C,D 两点的坐标分别为(4,0),(0,3).现有两动 点 P,Q 分别从 A,C 同时出发,点 P 沿线段 AD 向终点 D 运动,点 Q 沿折线 CBA 向终点 A 运动,设运动时间为 t 秒. (1)填空:菱形 ABCD 的边长是 、面积是 、 高 BE 的长是 ; (2)探究下列问题: ①若点 P 的速度为每秒 1 个单位,点 Q 的速度为每秒 2 个单位.当点 Q 在线段 BA 上时,求 △ APQ 的面积 S 关于 t 的函数关系式,以及 S 的最大值; ②若点 P 的速度为每秒 1 个单位,点 Q 的速度变为每秒 k 个单位,在运动过程中,任何时刻 都有相应的 k 值,使得△ APQ 沿它的一边翻折,翻折前后两个三角形组成的四边形为菱形. 请探究当 t=4 秒时的情形,并求出 k 的值. y
D

E A O C x

B

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96. 如图,已知点 A(-4,8)和点 B(2,n)在抛物线 y ? ax2 上. (1) 求 a 的值及点 B 关于 x 轴对称点 P 的坐标,并在 x 轴上找一点 Q,使得 AQ+QB 最短, 求出点 Q 的坐标; (2) 平移抛物线 y ? ax2 ,记平移后点 A 的对应点为 A′,点 B 的对应点为 B′,点 C(-2,0) 和点 D(-4,0)是 x 轴上的两个定点. ① 当抛物线向左平移到某个位置时,A′C+CB′ 最短,求此时抛物线的函数解析式; ② 当抛物线向左或向右平移时,是否存在某个位置,使四边形 A′B′CD 的周长最短?若存 在,求出此时抛物线的函数解析式;若不存在,请说明理由.
A y 8 6 4 2 C D -4 -2 O -2 -4 B 2 4 x

97. 如图,已知直线 y ? ?

1 x ? 1 交坐标轴于 A,B 两点,以线段 AB 为边向上作正方形 2 C ABCD ,过点 A,D, 的抛物线与直线另一个交点为 E .

(1)请直接写出点 C, D 的坐标; (2)求抛物线的解析式; (3)若正方形以每秒 5 个单位长度的速度沿射线 AB 下滑,直至顶点 D 落在 x 轴上时停 止.设正方形落在 x 轴下方部分的面积为 S ,求 S 关于滑行时间 t 的函数关系式,并写出相 应自变量 t 的取值范围; (4)在(3)的条件下,抛物线与正方形一起平移,同时 D 停止,求抛物线上 C , E 两点间 的抛物线弧所扫过的面积.
[来源:Z,xx,k.Com]

y

x

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98. 已知点 A、B 分别是 x 轴、 y 轴上的动点,点 C、D 是某个函数图像上的点,当四边形 ABCD(A、B、C、D 各点依次排列)为正方形时,称这个正方形为此函数图像的伴侣正方 形。例如:如图,正方形 ABCD 是一次函数 y ? x ? 1 图像的其中一个伴侣正方形。 (1)若某函数是一次函数 y ? x ? 1 ,求它的图像的所有伴侣正方形的边长; (2)若某函数是反比例函数 y ?

k (k ? 0) ,他的图像的伴侣正方形为 ABCD,点 D(2,m) x
2

(m <2)在反比例函数图像上,求 m 的值及反比例函数解析式;[来源:Zxxk.Com] (3)若某函数是二次函数 y ? ax ? c(a ? 0) ,它的图像的伴侣正方形为 ABCD,C、D 中 的一个点坐标为(3,4).写出伴侣正方形在抛物线上的另一个顶点坐标________,写出符 合题意的其中一条抛物线解析式_________,并判断你写出的抛物线的伴侣正方形的个数是 奇数还是偶数?__________ 。(本小题只需直接写出答案)

99. 如图,平面直角坐标系中,点 A、B、C 在 x 轴上,点 D、E 在 y 轴上,OA=OD=2,OC=OE=4, B 为线段 OA 的中点,直线 AD 与经过 B、E、C 三点的抛物线交于 F、G 两点,与其对称轴交 于 M,点 P 为线段 FG 上一个动点(与 F、G 不重合),PQ∥y 轴与抛物线交于点 Q。 (1)求经过 B、E、C 三点的抛物线的解析式; (2)判断⊿BDC 的形状,并给出证明;当 P 在什么位置时,以 P、O、C 为顶点的三角形是 等腰三角形,并求出此时点 P 的坐标; (3)若抛物线的顶点为 N,连接 QN,探究四边形 PMNQ 的形状:①能否成为菱形;②能否成 为等腰梯形?若能,请直接写出点 P 的坐标;若不能,请说明理由。

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100. (1)在图 1,2,3 中,给出平行四边形 ABCD 的顶点 A B,D 的坐标(如图所示) , , 写出图 1,2,3 中的顶点 C 的坐标,它们分别是 (5, , 2) , ;

y
B(1, 2)

y
C
D(4, 0)

y
B(c,d )

B(c,d )

C
D(e, 0)

C

O ( A)
图1

x

O ( A)
图2

x

A(a,b)

D(e,b)

O
图3

x

(2)在图 4 中,给出平行四边形 ABCD 的顶点 A B,D 的坐标(如图所示) ,求出顶点 C , 的坐标( C 点坐标用含 a,b,c,d,e,f 的代数式表示) ;

y

B(c,d )

C
D(e,f )

A(a,b)

O
图4

x

(3) 通过对图 1, 3, 的观察和顶点 C 的坐标的探究, 2, 4 你会发现: 无论平行四边形 ABCD 处于直角坐标系中哪个位置,当其顶点坐标为 A( a,b), B( c d) C( m n) D( e f ) , , , , , (如图 4)时,则四个顶点的横坐标 a,c,m e 之间的等量关系为 , ;纵坐标

b,d,n,f 之间的等量关系为
运用与推广

(不必证明) ;

( 4 ) 在 同 一 直 角 坐 标 系 中 有 抛 物 线 y ? x ? (5c ? 3) x ? c 和 三 个 点
2

? 1 5 ? ?1 9 ? G ? ? c, c ?,S ? c, c ? , H (2c, (其中 c ? 0 ) .问当 c 为何值时,该抛物线上存在 0) ? 2 2 ? ?2 2 ?
点P, 使得以 G,S,H,P 为顶点的四边形是平行四边形?并求出所有符合条件的 P 点坐 标.

第 45 页

101. 阅读以下材料: 对于三个数 ,用 表示这三个数的平均数,用 表示这

三个数中最小的数.例如:

; 解决下列问题: (1)填空: 如果 (2)①如果 ②根据①, 你发现了结论 “如果 的大小关系).证明你发现的结论; ” ③运用②的结论,填空: 若 则 ____________. ,



________ ; ,则 的取值范围为 ,求 ; , 那么________ 填 ( .



(3)在同一直角坐标系中作出函数 描点) .通过观察图象, 填空:



的图象(不需列表

的最大值为 __________.

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102. 我们知道:有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.类似地,我们定义:至少有一组 对边相等的四边形叫做等对边四边形. (1)请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称; (2)如图,在 △ABC 中,点 D,E 分别在 AB,AC 上,设 CD,BE 相交于点 O ,若

1 ?A ? 60° ,?DCB ? ?EBC ? ?A .请你写出图中一个与 ?A 相等的角,并猜想图中哪 2
个四边形是等对边四边形; (3)在 △ABC 中,如果 ?A 是不等于 60°的锐角,点 D,E 分别在 AB,AC 上,且

1 ?DCB ? ?EBC ? ?A .探究:满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形,并证明 2 你的结论. A

D
O

E

B

C

103. 如图,在等腰梯形 ABCD 中,AD∥BC,AB=DC=50,AD=75,BC=135.点 P 从点 B 出发沿折线段 BA-AD-DC 以每秒 5 个单位长的速度向点 C 匀速运动;点 Q 从点 C 出发沿线 段 CB 方向以每秒 3 个单位长的速度匀速运动,过点 Q 向上作射线 QK⊥BC,交折线段 CD-DA-AB 于点 E.点 P、Q 同时开始运动,当点 P 与点 C 重合时停止运动,点 Q 也随之 停止.设点 P、Q 运动的时间是 t 秒(t>0) . (1)当点 P 到达终点 C 时,求 t 的值,并指出此时 BQ 的长; (2)当点 P 运动到 AD 上时,t 为何值能使 PQ∥DC ? (3)设射线 QK 扫过梯形 ABCD 的面积为 S,分别求出点 E 运动到 CD、DA 上时,S 与 t 的函数关系式; (不必写出 t 的取值范围) (4)△PQE 能否成为直角三角形?若能,写出 t 的取值范围;若不能,请说明理由. A P B K D E Q C

第 47 页

104. 如图 1,矩形 ABCD 中, AB=3,BC=4,将矩形 ABCD 沿对角线 AC 平移,平移后的 矩形为 EFGH(A、E、C、G 始终在同一条直线上) ,当点 E 与 C 重合时停止移动.平移中 EF 与 BC 交 于点 N,GH 与 BC 的延长线交于点 M,EH 与 DC 交于点 P,FG 与 DC 的延长 线交于点 Q.设 S 表示矩形 PCMH 的面积, S ? 表示矩形 NFQC 的面积. (1) S 与 S ? 相等吗?请说明理由. (2)设 AE=x,写出 S 和 x 之间的函数关系式,并求出 x 取何值时 S 有最大值,最大值是 多少? (3)如图 2,连结 BE,当 AE 为何值时, ?ABE 是等腰三角形. D A D A

x

P E C N F Q

H

E

P

H

B

M G

B

M N F C

Q

G

图1

图2

105. 如图所示,在平面直角坐标系中,⊙M 经过原点 O ,且与 x 轴、 y 轴分别相交于 A(?6,,B(0, 8) 两点. 0) ? (1)请求出直线 AB 的函数表达式; (2)若有一抛物线的对称轴平行于 y 轴且经过点 M ,顶点 C 在⊙M 上,开口向下,且经过 点 B ,求此抛物线的函数表达式; ( 3 ) 设 ( 2 ) 中 的 抛 物 线 交 x 轴 于 D,E 两 点 , 在 抛 物 线 上 是 否 存 在 点 P , 使 得

S△PDE ?

1 S△ ABC ?若存在,请求出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由. 15
A C

y O E D M B x

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106. 已知抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴交于 A、B 两点,与 y 轴交于点 C,其中点 B 在 x 轴 的正半轴上,点 C 在 y 轴的正半轴上,线段 OB、OC 的长(OB<OC)是方程 x2-10x+16 =0 的两个根,且抛物线的对称轴是直线 x=-2. (1)求 A、B、C 三点的坐标; (2)求此抛物线的表达式; (3)连接 AC、BC,若点 E 是线段 AB 上的一个动点(与点 A、点 B 不重合) ,过点 E 作 EF∥AC 交 BC 于点 F,连接 CE,设 AE 的长为 m,△CEF 的面积为 S,求 S 与 m 之间的函 数关系式,并写出自变量 m 的取值范围; (4)在(3)的基础上试说明 S 是否存在最大值,若存在,请求出 S 的最大值,并求出此时 点 E 的坐标,判断此时△BCE 的形状;若不存在,请说明理由.

107. 如图,平面直角坐标系中有一直角梯形 OMNH,点 H 的坐标为(-8,0),点 N 的坐标 为(-6,-4). (1) 画出直角梯形 OMNH 绕点 O 旋转 180° 的图形 OABC, 并写出顶点 A, C 的坐标 B, (点 M 的对应点为 A, 点 N 的对应点为 B, 点 H 的对应点为 C) ; (2)求出过 A,B,C 三点的抛物线的表达式; (3)截取 CE=OF=AG=m,且 E,F,G 分别在线段 CO,OA,AB 上,求四边形 BEFG 的面 ... 积 S 与 m 之间的函数关系式, 并写出自变量 m 的取值范围; 面积 S 是否存在最小值?若存在, 请求出这个最小值;若不存在,请说明理由; (4)在(3)的情况下,四边形 BEFG 是否存在邻边相等的情况,若存在,请直接写 .. 出此时 m 的值,并指出相等的邻边;若不存在,说明理由.

y

H(-8,0)

O

x

N(-6,-4)

M

第 49 页

2 3) 108. 已知抛物线 y ? ax ? bx ? c 经过 P ( 3,,E ?

?5 3 ? 0? 0) ? 2 ,? 及原点 O(0, . ? ?

(1)求抛物线的解析式. (2)过 P 点作平行于 x 轴的直线 PC 交 y 轴于 C 点,在抛物线对称轴右侧且位于直线 PC 下方的抛物线上, 任取一点 Q , 过点 Q 作直线 QA 平行于 y 轴交 x 轴于 A 点,交直线 PC 于

B 点,直线 QA 与直线 PC 及两坐标轴围成矩形 OABC .是否存在点 Q ,使得 △OPC 与
△PQB 相似?若存在,求出 Q 点的坐标;若不存在,说明理由.
C O A y P B Q E x

109. 如图①,在边长为 8 2 cm 的正方形 ABCD 中, E,F 是对角线 AC 上的两个动点, 它们分别从点 A , C 同时出发, 点 沿对角线以 1cm/ s 的相同速度运动, E 作 EH 垂直 AC 过 交 Rt△ACD 的直角边于 H ;过 F 作 FG 垂直 AC 交 Rt△ACD 的直角边于 G ,连接

HG , EB .设 HE , EF , FG , GH 围成的图形面积为 S1 , AE , EB , BA 围成的图
形面积为 S 2 (这里规定:线段的面积为 0 ) E 到达 C,F 到达 A 停止.若 E 的运动时间 . 为 x s ,解答下列问题: (1)当 0 ? x ? 8 时,直接写出以 E,F,G,H 为顶点的四边形是什么四边形,并求 x 为 何值时, S1 ? S2 . (2)①若 y 是 S1 与 S 2 的和,求 y 与 x 之间的函数关系式. (图②为备用图) ②求 y 的最大值. D G C F D C

H

S1
E

S2
A 图①

B

A

B 图②

第 50 页

110. 如图,在平面直角坐标系中,直线 y ? ?

1 x ? b(b ? 0) 分别交 x 轴, y 轴于 A,B 两 2

点,以 OA OB 为边作矩形 OACB , D 为 BC 的中点.以 M (4, , N (8, 为斜边端点作 0) 0) , 等腰直角三角形 PMN , P 在第一象限, 点 设矩形 OACB 与 △PMN 重叠部分的面积为 S . (1)求点 P 的坐标. (2)当 b 值由小到大变化时,求 S 与 b 的函数关系式. (3)若在直线 y ? ?

1 x ? b(b ? 0) 上存在点 Q ,使∠OQM 等于 90? ,请直接写出 b 的取 .... 2

值范围. (4)在 b 值的变化过程中,若 △PCD 为等腰三角形,请直接写出所有符合条件的 b 值. ....

y

B

D

C

P
N x

O

M A

111. 如图,梯形 ABCD 在平面直角坐标系中,上底 AD 平行于 x 轴,下底 BC 交 y 轴于点 ,点 2) E ,点 C (4, ?2 ) D(1, , BC ? 9 , sin ?ABC ? (1)求直线 AB 的解析式; (2)若点 H 的坐标为 (?1 ? 1) ,动点 G 从 B 出发,以 1 个单位/秒的速度沿着 BC 边向 C , 点运动(点 G 可以与点 B 或点 C 重合) △HGE 的面积 S ( S ? 0 )随动点 G 的运动时 ,求 间 t ? 秒变化的函数关系式(写出自变量 t ? 的取值范围) ;

4 . 5

7 秒时,点 G 停止运动,此时直线 GH 与 y 轴交于点 N .另 2 一动点 P 开始从 B 出发,以 1 个单位/秒的速度沿着梯形的各边运动一周,即由 B 到 A ,然 后由 A 到 D ,再由 D 到 C ,最后由 C 回到 B (点 P 可以与梯形的各顶点重合) .设动点 P 的运动时间为 t 秒,点 M 为直线 HE 上任意一点(点 M 不与点 H 重合) ,在点 P 的整个运 动过程中,求出所有能使 ?PHM 与 ?HNE 相等的 t 的值.
(3)在(2)的条件下,当 t ? ?

y A
O

y D A D
O

x
C

x
C

B

E

B

E
(备用图)

第 51 页

112. 在平面内,先将一个多边形以点 O 为位似中心放大或缩小,使所得多边形与原多边形 对应线段的比为 k ,并且原多边形上的任一点 P ,它的对应点 P? 在线段 OP 或其延长线上; 接着将所得多边形以点 O 为旋转中心,逆时针旋转一个角度 ? ,这种经过和旋转的图形变 换叫做旋转相似变换,记为 O(k,? ) ,其中点 O 叫做旋转相似中心, k 叫做相似比, ? 叫 做旋转角. (1)填空: ①如图 1,将 △ABC 以点 A 为旋转相似中心,放大为原来的 2 倍,再逆时针旋转 60 ,得 到 △ADE ,这个旋转相似变换记为 A ( , __) ;
?

?

②如图 2, △ABC 是边长为 1cm 的等边三角形,将它作旋转相似变换 A( 3, ) ,得到 90

cm ; (2)如图 3,分别以锐角三角形 ABC 的三边 AB , BC , CA 为边向外作正方形 ADEB ,
点 试分别利 用 △ AO1O2 BFGC ,CHIA , O1 ,O2 ,O3 分别是这三个正方形的对角线交点, 与 △ABI , CIB 与 △CAO2 之间的关系, 运用旋转相似变换的知识说明线段 O1O2 与 AO2 △ 之间的关系.

△ADE ,则线段 BD 的长为

D I E
D E

O1



O3
B C



E

A C A
图1 B B

O2

图2 D


图3



113. (1)已知 △ABC 中, ?A ? 90 , ?B ? 67.5 ,请画一条直线,把这个三角形分割
? ?

成两个等腰三角形. (请你选用下面给出的备用图,把所有不同的分割方法都画出来.只需 画图,不必说明理由,但要在图中标出相等两角的度数) A A A

B 备用图①

C

B 备用图②

C

B 备用图③

C

(2)已知 △ABC 中, ?C 是其最小的内角,过顶点 B 的一条直线把这个三角形分割成了 两个等腰三角形,请探求 ?ABC 与 ?C 之间的关系.
第 52 页

114. 如图,在直角坐标系中,矩形 OABC 的顶点 O 与坐标原点重合,顶点 A,C 在坐标轴 上,OA ? 60cm ,OC ? 80cm .动点 P 从点 O 出发,以 5cm/ s 的速度沿 x 轴匀速向点 C 运动,到达点 C 即停止.设点 P 运动的时间为 t s . (1)过点 P 作对角线 OB 的垂线,垂足为点 T .求 PT 的长 y 与时间 t 的函数关系式,并 写出自变量 t 的取值范围; (2)在点 P 运动过程中,当点 O 关于直线 AP 的对称点 O? 恰好落在对角线 OB 上时,求 此时直线 AP 的函数解析式; (3)探索:以 A P,T 三点为顶点的 △APT 的面积能否达到矩形 OABC 面积的 , 说明理由. y A T O P C x B

1 ?请 4

115. 如图,矩形 ABCD 中, AD ? 3 厘米, AB ? a 厘米( a ? 3 ) 动点 M,N 同时从 B 点 . 出发,分别沿 B ? A , B ? C 运动,速度是 1 厘米/秒.过 M 作直线垂直于 AB ,分别 交 AN ,CD 于 P,Q .当点 N 到达终点 C 时,点 M 也随之停止运动.设运动时间为 t 秒. (1)若 a ? 4 厘米, t ? 1秒,则 PM ? ______厘米; (2)若 a ? 5 厘米,求时间 t ,使 △PNB ∽△PAD ,并求出它们的相似比; (3)若在运动过程中,存在某时刻使梯形 PMBN 与梯形 PQDA 的面积相等,求 a 的取值 范围; (4)是否存在这样的矩形:在运动过程中,存在某时刻使梯形 PMBN ,梯形 PQDA ,梯 形 PQCN 的面积都相等?若存在,求 a 的值;若不存在,请说明理由. D Q C D Q P A M C N

P A M

N B

B

第 53 页

116. 如图,点 M(4,0),以点 M 为圆心、2 为半径的圆与 x 轴交于点 A、B.已知抛物线

y?

1 2 x ? bx ? c 过点 A 和 B,与 y 轴交于点 C. 6 1 2 x ? bx ? c 上,点 P 为此抛物线对称轴上一个动点,求 6

(1)求点 C 的坐标,并画出抛物线的大致图象. (2)点 Q(8,m)在抛物线 y ?

PQ+PB 的最小值. (3)CE 是过点 C 的⊙M 的切线,点 E 是切点,求 OE 所在直线的解析式.
y

C D A E M B
x

O

117. 知 A(?1 m) 与 B(2,m ? 3 3) 是反比例函数 y ? , (1)求 k 的值;

k 图象上的两个点. x

k 图象上是否存在点 D , 使得以 A B,C,D 四 , x 点为顶点的四边形为梯形?若存在,求出点 D 的坐标;若不存在,请说明理由.
(2) 若点 C (?1 0) , , 则在反比例函数 y ?

y

C ?1 O

1 1 ?1

B

x

A

第 54 页

118. 如图,圆在正方形的内部沿着正方形的四条边运动一周,并且始终保持与正方形的边 相切。 (1)在图中,把圆运动一周覆盖正方形的区域用阴影表示出来; (2)当圆的直径等于正方形的边长一半时,该圆运动一周覆盖正方形的区域的面积是否最 大?并说明理由。

119. 四边形一条对角线所在直线上的点,如果到这条对角线的两端点的距离不相等,但到 另一对角线的两个端点的距离相等,则称这点为这个四边形的准等距点.如图 l,点 P 为四 边形 ABCD 对角线 AC 所在直线上的一点,PD=PB,PA≠PC,则点 P 为四边形 ABCD 的准 等距点. (1)如图 2,画出菱形 ABCD 的一个准等距点. (2)如图 3,作出四边形 ABCD 的一个准等距点(尺规作图,保留作图痕迹,不要求写作法). (3)如图 4,在四边形 ABCD 中,P 是 AC 上的点,PA≠PC,延长 BP 交 CD 于点 E,延长 DP 交 BC 于点 F,且∠CDF=∠CBE,CE=CF.求证:点 P 是四边形 AB CD 的准等距点. (4)试研究四边形的准等距点个数的情况(相应四边形的特征及准等距点个数,不必证明).

图1

120. 在 ?ABC 中, ?C ? Rt?, AC ? 4 cm BC? 5 cm D BC 现 , ,点 在 上,且以 CD 3cm, = 有两个动点 P、Q 分别从点 A 和点 B 同时出发,其中点 P 以 1cm/s 的速度,沿 AC 向终点 C 移动;点 Q 以 1.25cm/s 的速度沿 BC 向终点 C 移动。过点 P 作 PE∥BC 交 AD 于点 E,连 结 EQ。设动点运动时间为 x 秒。 (1)用含 x 的代数式表示 AE、DE 的长度; (2)当点 Q 在 BD(不包括点 B、D)上移动时,设 ?EDQ 的面积为 y (cm ) ,求 y 与月
2

份 x 的函数关系式,并写出自变量 x 的取值范围; (3)当 x 为何值时, ?EDQ 为直角三角形。
E

A

P

第 55 页

B

Q

D

C

121. 如图 1,在平面直角坐标系中,已知点 A(0, 3) ,点 B 在 x 正半轴上,且 4

∠ABO ? 30? .动点 P 在线段 AB 上从点 A 向点 B 以每秒 3 个单位的速度运动,设 运动
时间为 t 秒.在 x 轴上取两点 M,N 作等边 △PMN . (1)求直线 AB 的解析式; (2)求等边 △PMN 的边长(用 t 的代数式表示) ,并求出当等边 △PMN 的顶点 M 运动 到与原点 O 重合时 t 的值; (3)如果取 OB 的中点 D ,以 OD 为边在 Rt△AOB 内部作如图 2 所示的矩形 ODCE , 点 C 在线段 AB 上.设等边 △PMN 和矩形 ODCE 重叠部分的面积为 S ,请求出当 0 ≤ t ≤ 2 秒时 S 与 t 的函数关系式,并求出 S 的最大值.

y A P A

y

E
M O
图1

C

N

B

x

O
图2

D

B

x

122. 如图, 在平面直角坐标系中, 直角梯形 ABCO 的边 OC 落在 x 轴的正半轴上, AB ∥ 且 OC , BC ? OC , AB =4, BC =6, OC =8.正方形 ODEF 的两边分别落在坐标轴上, 且它的面积等于直角梯形 ABCO 面积.将正方形 ODEF 沿 x 轴的正半轴平行移动,设它与 直角梯形 ABCO 的重叠部分面积为 S . (1)分析与计算: 求正方形 ODEF 的边长; (2)操作与求解: ①正方形 ODEF 平行移动过程中,通过操作、观察,试判断 S ( S >0)的变化情况是 ; A.逐渐增大 B.逐渐减少 C.先增大后减少 D.先减少后增大 ②当正方形 ODEF 顶点 O 移动到点 C 时,求 S 的值; (3)探究与归纳: 设正方形 ODEF 的顶点 O 向右移动的距离为 x ,求重叠部分面积 S 与 x 的函数关系式.

y
E F A B A B

D

O

C x (备用图)
第 56 页

C x

123. 如图,四边形 OABC 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片,点 A 在 x 轴上,点 C 在 y 轴上,将边 BC 折叠,使点 B 落在边 OA 的点 D 处.已知折叠 CE ? 5 5 ,且

3 . 4 (1)判断 △OCD 与 △ADE 是否相似?请说明理由; (2)求直线 CE 与 x 轴交点 P 的坐标; (3) 是否存在过点 D 的直线 l , 使直线 l 、 直线 CE 与 x 轴所围成的三角形和直线 l 、 直线 CE 与 y 轴所围成的三角形相似?如果存在, 请直接写出其解析式并画出相应的直线; 如果不存 tan ?EDA ?
在,请说明理由. y C B

E O D

A x

124. 如图,已知 A(8,0) ,B(0,6) ,两个动点 P、Q 同时在△OAB 的边上按逆时针方向 (→O→A→B→O→)运动,开始时点 P 在点 B 位置,点 Q 在点 O 位置,点 P 的运动速度 为每秒 2 个单位,点 Q 的运动速度为每秒 1 个单位. (1)在前 3 秒内,求△OPQ 的最大面积; (2)在前 10 秒内,求 P、Q 两点之间的最小距离,并求此时点 P、Q 的坐标; (3)在前 15 秒内,探究 PQ 平行于△OAB 一边的情况,并求平行时点 P、Q 的坐标.
y

B

O

A

x

125. 按图所示的流程, 输入一个数据 x, 根据 y 与 x 的关系式就输出一个数 据 y, 这样可以将一组数据变换成另一组新的数据, 要使任意一组都在 20~ 100 (含 20 和 100) 之间的数据, 变换成一组新数据后能满足下列两个要求: (Ⅰ)新数据都在 60~100(含 60 和 100)之间; (Ⅱ) 新数据之间的大小关系与原数据之间的大小关系一致, 即原数据大的 对应的新数据也较大。 (Ⅲ)若 y 与 x 的关系是 y=x+p(100-x),请说明:当 p= 换满足上述两个要求;

1 时,这种变 2

第 57 页

126. 如图, B1 (1, y1 ), B2 (2, y 2 ), B3 (3, y3 ),........ ..., Bn (n, y n ) (n 是正整数)依次为一 点 次函数 y ?

1 1 x ? 的图像上的点,点 A1 ( x1 ,0), A2 ( x2 ,0), A3 ( x3 ,0),........ ..., An ( x n ,0) 4 12

(n 是正整数)依次是 x 轴正半轴上的点,已知 x1 ? a(0 ? a ? 1) ,

?A1 B1 A2 , ?A2 B2 A3 , ?A3 B3 A4 ,........, ?An Bn An?1 分别是以 B1 , B2 , B3 ,......... .., Bn 为
顶点的等腰三角形。 (1)写出 B2 , Bn 两点的坐标; (2)求 x 2 , x3 (用含 a 的代数式表示) ;分析图形中各等腰三角形底边长度之间的关系,写 出你认为成立的两个结论; (3)当 a(0 ? a ? 1) 变化时,在上述所有的等腰三角形中,是否存在直角三角形?若存在, 求出相应的 a 的值;若不存在,请说明理由。

127. 已知圆 P 的圆心在反比例函数 y ?

k (k ? 1) 图象上,并与 x 轴相交于 A、B 两点. 且 x

始终与 y 轴相切于定点 C(0,1). (1) 求经过 A、B、C 三点的二次函数图象的解析式; (2) 若二次函数图象的顶点为 D,问当 k 为何值时,四边形 ADBP 为菱形.

第 58 页

128. 如图①,②,在平面直角坐标系 xOy 中,点 A 的坐标为(4,0),以点 A 为圆心,4 为 半径的圆与 x 轴交于 O , 两点, 连结 ? OC 为弦, AOC ? 60 ,P 是 x 轴上的一动点, CP . B
?

(1)求 ?OAC 的度数; (2)如图①,当 CP 与⊙A 相切时,求 PO 的长; (3)如图②,当点 P 在直径 OB 上时, CP 的延长线与⊙A 相交于点 Q ,问 PO 为何值时,

△OCQ 是等腰三角形?

图①

图②

备用图

129. 如图,抛物线 y ? ax ? 5ax ? 4 经过 △ABC 的三个顶点,已知 BC ∥ x 轴,点 A 在 x
2

轴上,点 C 在 y 轴上,且 AC ? BC . (1)求抛物线的对称轴; (2)写出 A B,C 三点的坐标并求抛物线的解析式; , (3)探究:若点 P 是抛物线对称轴上且在 x 轴下方的动点,是否存在 △PAB 是等腰三角 形.若存在,求出所有符合条件的点 P 坐标;不存在,请说明理由. y C
1

B

A 0
1

x

第 59 页

130.已知: 矩形纸片 ABCD 中,AB ? 26 厘米,BC ? 18.5 厘米, E 在 AD 上, AE ? 6 点 且 厘米,点 P 是 AB 边上一动点.按如下操作: 步骤一,折叠纸片,使点 P 与点 E 重合,展开纸片得折痕 MN (如图 1 所示) ; 步骤二,过点 P 作 PT ⊥ AB ,交 MN 所在的直线于点 Q ,连接 QE (如图 2 所示) (1)无论点 P 在 AB 边上任何位置,都有 PQ 、 、 ; QE (填“ ? ”“ ? ”“ ? ”号)

(2)如图 3 所示,将纸片 ABCD 放在直角坐标系中,按上述步骤一、二进行操作: ①当点 P 在 A 点时, PT 与 MN 交于点 Q1,Q1 点的坐标是( ②当 PA ? 6 厘米时, PT 与 MN 交于点 Q2,Q2 点的坐标是( , , ) ; ) ;

③当 PA ? 12 厘米时,在图 3 中画出 MN,PT (不要求写画法) ,并求出 MN 与 PT 的交 点 Q3 的坐标; (3)点 P 在运动过程, PT 与 MN 形成一系列的交点 Q1,Q2,Q3,… 观察、猜想:众多 的交点形成的图象是什么?并直接写出该图象的函数表达式. C y B D M C D T Q (P)E A P 图1 B E A N P 图2 B M D C
18 12

C

E

Q1
0(A)
6 12 18 24 B

6

Q2
x

图3

131. 已知:如图,在平面直角坐标系中, △ABC 是直角三角形, ?ACB ? 90 ,点 A,C
?

的坐标分别为 A(?3, , C (1 0) , tan ?BAC ? 0) ,

3 . 4

(1)求过点 A,B 的直线的函数表达式; (2)在 x 轴上找一点 D ,连接 DB ,使得 △ADB 与 △ABC 相似(不包括全等) ,并求点 D 的坐标; (3) (2)的条件下, P,Q 分别是 AB 和 AD 上的动点, 在 如 连接 PQ , A ? Q m 设 P D ? ,

问是否存在这样的 m 使得 △ APQ 与 △ADB 相似,如存在,请求出 m 的值;如不存在, 请说明理由.

第 60 页

132. 如图①, Rt△ABC 中, ?B ? 90 , ?CAB ? 30 .它的顶点 A 的坐标为 (10, ,顶 0)
? ?

5 点 B 的坐标为 (5, 3) , AB ? 10 ,点 P 从点 A 出发,沿 A ? B ? C 的方向匀速运动,
同时点 Q 从点 D(0, 出发,沿 y 轴正方向以相同速度运动,当点 P 到达点 C 时,两点同时 2) 停止运动,设运动的时间为 t 秒. (1)求 ?BAO 的度数. (2)当点 P 在 AB 上运动时, △OPQ 的面积 S (平方单位)与时间 t (秒)之间的函数 图象为抛物线的一部分, (如图②) ,求点 P 的运动速度. (3)求(2)中面积 S 与时间 t 之间的函数关系式及面积 S 取最大值时点 P 的坐标. (4)如果点 P,Q 保持(2)中的速度不变,那么点 P 沿 AB 边运动时, ?OPQ 的大小随 着时间 t 的增大而增大;沿着 BC 边运动时, ?OPQ 的大小随着时间 t 的增大而减小,当点

P 沿这两边运动时,使 ?OPQ ? 90? 的点 P 有几个?请说明理由.
y C B Q P D O (图①) A x 10 O 5 (图②) t S 30

133. 如图 1 所示,在 △ABC 中, AB ? AC ? 2 ,∠A ? 90 ,O 为 BC 的中点,动点 E 在
?

BA 边上自由移动,动点 F 在 AC 边上自由移动.
(1)点 E,F 的移动过程中, △OEF 是否能成为∠EOF ? 45 的等腰三角形?若能,请
?

指出 △OEF 为等腰三角形时动点 E,F 的位置.若不能 ,请说明理由. (2)当 ∠EOF ? 45 时,设 BE ? x , CF ? y ,求 y 与 x 之间的函数解析式,写出 x 的
?

取值范围. (3)在满足(2)中的条件时,若以 O 为圆心的圆与 AB 相切(如图 2) ,试探究直线 EF 与 ⊙O 的位置关系,并证明你的结论. A

A

E B
第 61 页

E F
C

F
C

B

O
图1

O
图2

134. 某市为了进一步改善居民的生活环境, 园林处决定增加公园 A 和公园 B 的绿化面积. 已 知公园 A,B 分别有如图 1,图 2 所示的阴影部分需铺设草坪,在甲、乙两地分别有同种草 皮 1608m 和 1200 m 出售,且售价一样.若园林处向甲、乙两地购买草皮,其路程和运费 单价见下表: 公园 A 路程(千米) 甲地 乙地 运算单价(元) 公园 B 路程(千米) 运费单价(元)
2 2

30 22

0.25 0.3

32 30

0.25 0.3

(注:运费单价指将每平方米草皮运送 1 千米所需的人民币) 2m

60?
2m 32m 25m

120?
65m 图2
2

62m 图1

(1)分别求出公园 A,B 需铺设草坪的面积; (结果精确到 1m ) (2)请设计出总运费最省的草皮运送方案,并说明理由.

135. 如图,在 △ABC 中, ?BAC ? 90 , AD 是 BC 边上的高, E 是 BC 边上的一个动点
?

(不与 B,C 重合) EF ? AB , EG ? AC ,垂足分别为 F,G . ,

EG CG ; ? AD CD (2) FD 与 DG 是否垂直?若垂直,请给出证明;若不垂直,请说明理由; (3)当 AB ? AC 时, △FDG 为等腰直角三角形吗?并说明理由.
(1)求证:

A

F

G

B

D E

C

第 62 页

136. 如图,对称轴为直线 x ?

7 的抛物线经过点 A(6,0)和 B(0,4) . 2

(1)求抛物线解析式及顶点坐标; (2)设点 E( x , y )是抛物线上一动点,且位于第四象限,四边形 OEAF 是以 OA 为对 角线的平行四边形. 求平行四边形 OEAF 的面积 S 与 x 之间的函数关系式, 并写出自变量 x 的取值范围; ①当平行四边形 OEAF 的面积为 24 时,请判断平行四边形 OEAF 是否为菱形? ②是否存在点 E,使平行四边形 OEAF 为正方形 ?若存在 ,求出点 E 的坐标;若不存在, 请说明理由.

y

x?

7 2

B(0,4) F O E

A(6,0)

x

137. 如图①,在平面直角坐标系中,Rt△AOB≌Rt△CDA,且 A(-1,0)、B(0,2),抛物线 y=ax2+ax-2 经过点 C。 (1)求抛物线的解析式 ; (2)在抛物线(对称轴的右侧)上是否存在两点 P、Q,使四边形 ABPQ 是正方形?若存在,求 点 P、Q 的坐标,若不存在,请说明理由; (3)如图②,E 为 BC 延长线上一动点,过 A、B、E 三点作⊙O’,连结 AE,在⊙O’上另有一 点 F, AF=AE, 交 BC 于点 G, 且 AF 连结 BF。 下列结论: ①BE+BF 的值不变; ② 其中有且只有一个成立,请你判断哪一个结论成立,并证明成立的结论。
y F B C x D A O E x A (图①) (图②) O C O’ G B y

BF BG , ? AF AG

第 63 页

138. 如图 1,在平面直角坐标系中,有一张矩形纸片 OABC,已知 O(0,0),A(4,0),C(0, 3),点 P 是 OA 边上的动点(与点 O、A 不重合).现将△PAB 沿 PB 翻折,得到△PDB;再在 OC 边上选取适当的点 E,将△POE 沿 PE 翻折,得到△PFE,并使直线 PD、PF 重合. (1)设 P(x,0),E(0,y),求 y 关于 x 的函数关系式,并求 y 的最大值; (2)如图 2,若翻折后点 D 落在 BC 边上,求过点 P、B、E 的抛物线的函数关系式; (3)在(2)的情况下, 在该抛物线上是否存在点 Q, 使△PEQ 是以 PE 为直角边的直角三角形? 若不存在,说明理由;若存在,求出点 Q 的坐标.

y C F E O D P A x B

y C

D

B

E F O P
图2

图1

A x

139. 如图 1,点 A 是直线 y=kx(k>0,且 k 为常数)上一动点,以 A 为顶点的抛物线 y= (x-h)2+m 交直线 y=x 于另一点 E,交 y 轴于点 F,抛物线的对称轴交 x 轴于点 B,交 直线 EF 于点 C.(点 A,E,F 两两不重合) (1)请写出 h 与 m 之间的关系; (用含的 k 式子表示) (2)当点 A 运动到使 EF 与 x 轴平行时(如图 2),求线段 AC 与 OF 的比值; (3)当点 A 运动到使点 F 的位置最低 时(如图 3),求线段 AC 与 OF 的比值.

y
C

y
F
C

y
E

E

F O A
B

A

B O
x

E F x

x

O
图2

B

A C

图1

图3

第 64 页

140. 已知矩形 ABCD 中,AB=2,AD=4,以 AB 的垂直平分线为 x 轴,AB 所在的直线为 y 轴,建立平面直角坐标系(如图)。 (1)写出 A、B、C、D 及 AD 的中点 E 的坐标; (2)求以 E 为顶点、对称轴平行于 y 轴,并且经过点 B、C 的抛物线的解析式; (3)求对角线 BD 与上述抛物线除点 B 以外的另一交点 P 的坐标; (4)△ PEB 的面积 S△ PEB 与△ PBC 的面积 S△ PBC 具有怎样的关系?证明你的结论。
y A O B E D C x

141. 在我们学习过的数学教科书中,有一个数学活动,其具体操作过程是: 第一步:对折矩形纸片 ABCD,使 AD 与 BC 重合,得到折痕 EF,把纸片展开(如图 1) ; 第二步:再一次折叠纸片,使点 A 落在 EF 上,并使折痕经过点 B,得到折痕 BM,同时得到 线段 BN(如图 2).

请解答以下问题: (1)如图 2,若延长 MN 交 BC 于 P,△ BMP 是什么三角形?请证明你的结论. (2)在图 2 中,若 AB=a,BC=b,a、b 满足什么关系,才能在矩形纸片 ABCD 上剪出符合 (1)中结论的三角形纸片 BMP ? (3)设矩形 ABCD 的边 AB=2,BC=4,并建立如图 3 所示的直角坐标系. 设直线 BM ? 为 ?C 时,求 k 的值.此时,将△ABM′沿 BM′折叠,点 A 是否落在 EF 上(E、 y ? kx ,当 ?MB =60° F 分别为 AB、CD 中点)?为什么?

第 65 页

A

A

142. 如图 12,形如三角板的?ABC 中,∠ACB=90° ,∠ABC=45° ,BC=12cm,形如矩形量角 器的半圆 O 的直径 DE=12cm,矩形 DEFG 的宽 EF=6cm,矩形量角器以 2cm/s 的速度从左向 右运动,在运动过程中,点 D、E 始终在 BC 所在的直线上,设运动时间为 x(s) ,矩形量 2 角器和?ABC 的重叠部分的面积为 S(cm ).当 x=0(s)时,点 E 与点 C 重合.(图(3) 、图(4) 、 C 图(3) 图(5)供操作用). C 2 A 图(3) A (1)当 x=3 时,如图(2) ,S= cm , A 2 当 x=6 时,S= cm , 当 x=9 时,S= cm2; (2)当 3<x<6 时,求 S 关于 x 的函数关系式; (3)当 6<x<9 时,求 S 关于 x 的函数关系式; (4)当 x 为何值时,? ABC 的斜边所在的直线 ........ 与半圆 O 所在的圆相切? ... . ....

B

B

C

A

图(3)

B

C C A A

图(4) 图(4)

B

B

C A

图(4)

B CC

图(5) 图(5)

B

B

C

图(5)

B

143. 如图,在平面直角坐标系中,以点 C(0,4)为圆心,半径为 4 的圆交 y 轴正半轴于点 A, AB 是⊙C 的切线. 动点 P 从点 A 开始沿 AB 方向以每秒 1 个单位长度的速度运动,点 Q 从 O 点开始沿 x 轴正方向以每秒 4 个单位长度的速度运动,且动点 P、Q 从点 A 和点 O 同时 出发,设运动时间为 t(秒). (1)当 t=1 时,得到 P1、Q1 两点,求经过 A、P1、Q1 三点的抛物线解析式及对称轴 l; (2)当 t 为何值时,直线 PQ 与⊙C 相切?并写出此时点 P 和点 Q 的坐标; (3)在(2)的条件下,抛物线对称轴 l 上存在一点 N,使 NP+NQ 最小,求出点 N 的坐标并说 明理由. y
l A P1 P B

C x O 第 66 页 Q1 Q

144. 在梯形 ABCD 中, AB ∥CD ,?ABC ? 90° , AB ? 5 ,BC ? 10 ,tan ?ADC ? 2 . (1)求 DC 的长; (2)E 为梯形内一点,F 为梯形外一点, BF ? DE ,?FBC ? ?CDE , 若 试判断 △ECF 的形状,并说明理由. (3)在(2)的条件下,若 BE ? EC , BE : EC ? 4 : 3 ,求 DE 的长.

145. 已知 Rt△ABC,∠ACB=90o,AC=4,BC=3,CD⊥AB 于点 D,以 D 为坐标原点, CD 所在直线为 y 轴建立如图所示平面直角坐标系. (1)求 A、B、C 三点的坐标; (2)若⊙O1、⊙O2 分别为△ACD、△BCD 的内切圆,求直线 O1O2 的解析式; (3)若直线 O1O2 分别交 AC、BC 于点 M、N,判断 CM 与 CN 的大小关系,证明你的结论.

y

C

M O1 A
146. 如图 1,在平面直角坐标系中,抛物线 y ?

O2 D

N B x

1 2 1 x ? 6 与直线 y ? x 相交于 A,B 两点. 4 2

(1)求线段 AB 的长. (2)若一个扇形的周长等于(1)中线段 AB 的长,当扇形的半径取何值时,扇形的面积最 大,最大面积是多少? (3)如图 2,线段 AB 的垂直平分线分别交 x 轴、 y 轴于 C,D 两点,垂足为点 M ,分别 求出 OM,OC,OD 的长,并验证等式

1 1 1 是否成立. ? ? 2 2 OC OD OM 2
?

(4) 如图 3, Rt△ABC 中, ACB ? 90 , 在 垂足为 D , B ? ,AC ? b , 设 C a ∠ CD ? AB ,

AB ? c . CD ? b ,试说明:

y

1 1 1 ? 2 ? 2 2 a b h y

C
b h

a
B

B
O

x
A

A
图1

D M B OC

x

A

c
图.3

D

图2

第 67 页

147. 如图①,在平面直角坐标系中,点 A 的坐标为 (1, ,点 B 的坐标为 (3, ,二次函数 2) 1)

y ? x 2 的图象记为抛物线 l1 .
(1)平移抛物线 l1 ,使平移后的抛物线过点 A ,但不过点 B ,写出平移后的一个抛物线的 函数表达式: (任写一个即可) .

(2)平移抛物线 l1 ,使平移后的抛物线过 A,B 两点,记为抛物线 l 2 ,如图②,求抛物线 l 2 的函数表达式. (3)设抛物线 l 2 的顶点为 C , K 为 y 轴上一点.若 S△ ABK ? S△ ABC ,求点 K 的坐标. (4)请在图③上用尺规作图的方式探究抛物线 l 2 上是否存在点 P ,使 △ ABP 为等腰三角 形.若存在,请判断点 P 共有几个可能的位置(保留作图痕迹) ;若不存在,请说明.

y
l1

y

l2

y
l2

A
1

A B
1

O

1 图①

x

O

1

C

B

A

x

1

B
1 图③

O

x

图②

148. 如图,直角梯形 ABCD 中 , AB ∥CD,?A ? 90° AB ? 6,AD ? 4,DC ? 3 ,动 , 点 P 从点 A 出发, A ? D ? C ? B 方向移动, 沿 动点 Q 从点 A 出发, AB 边上移动. 在 设 点 P 移动的路程为 x ,点 Q 移动的路程为 y ,线段 PQ 平分梯形 ABCD 的周长. (1)求 y 与 x 的函数关系式,并求出 x,y 的取值范围; (2)当 PQ ∥ AC 时,求 x,y 的值; (3) P 不在 BC 边上时, 当 线段 PQ 能否平分梯形 ABCD 的面积?若能, 求出此时 x 的值; 若不能,说明理由.

D

C

P A
Q

B

第 68 页

149.如图,已知平面直角坐标系 xoy 中,有一矩形纸片 OABC,O 为坐标原点, AB ∥ x 轴, B(3, 3 ) ,现将纸片按如图折叠,AD,DE 为折痕, ?OAD ? 30? .折叠后,点 O 落在 点 O1 ,点 C 落在点 C1 ,并且 DO1 与 DC1 在同一直线上. (1)求折痕 AD 所在直线的解析式; (2)求经过三点 O , C1 ,C 的抛物线的解析式; (3)若⊙ P 的半径为 R ,圆心 P 在(2)的抛物线上运动, ⊙ P 与两坐标轴都相切时,求⊙ P 半径 R 的值 O D C x y C1 A O1 B

E

150. 如图,从一个直径是 2 的圆形铁皮中剪下一个圆心角为 90 的扇形. (1)求这个扇形的面积(结果保留 ? ) . (2)在剩下的三块余料中,能否从第③块余料中剪出一个圆作为底面与此扇形围成一个圆 锥?请说明理由. (3)当⊙O 的半径 R( R ? 0) 为任意值时, (2)中的结论是否仍然成立?请说明理由.

?

A
① ②

B


O

C

151. 如图,⊙O 的半径均为 R . (1)请在图①中画出弦 AB,CD ,使图①为轴对称图形而不是中心对称图形;请在图②中 .. 画出弦 AB,CD ,使图②仍为中心对称图形; (2)如图③,在⊙O 中, AB ? CD ? m(0 ? m ? 2R ) ,且 AB 与 CD 交于点 E ,夹角为锐 角 ? .求四边形 ACBD 的面积(用含 m ? 的式子表示) ; , (3) 若线段 AB,CD 是⊙O 的两条弦, AB ? CD ? 且

2R , 你认为在以点 A B,C,D ,

为顶点的四边形中,是否存在面积最大的四边形?请利用图④说明理由. D A E O O C (图①) (图②) (图③)

?
O B (图④) O

第 69 页

152. 如图,已知与 x 轴交于点 A(1 0) 和 B(5, 的抛物线 l1 的顶点为 C (3, ,抛物线 l 2 与 l1 , 0) 4) 关于 x 轴对称,顶点为 C ? . (1)求抛物线 l 2 的函数关系式; (2) 已知原点 O , 定点 D(0, ,l 2 上的点 P 与 l1 上的点 P? 始终关于 x 轴对称, 则当点 P 运 4) 动到何处时,以点 D,O,P,P? 为顶点的四边形是平行四边形? (3)在 l 2 上是否存在点 M ,使 △ABM 是以 AB 为斜边且一个角为 30 的直角三角形?若 存,求出点 M 的坐标;若不存在,说明理由. 5 4 3 2 1
?

y

E

l2

A
1 2 3 4

B
5

?1 O ?1 ?2 ?3 ?4 ?5

x

C?
l1

153. 如图,已知抛物线 y = ax2 + bx-3 与 x 轴交于 A、B 两点,与 y 轴交于 C 点,经过 A、 B、C 三点的圆的圆心 M(1,m)恰好在此抛物线的对称轴上,⊙M 的半径为 5 .设⊙M 与 y 轴交于 D,抛物线的顶点为 E. (1)求 m 的值及抛物线的解析式; (2)设∠DBC = ?,∠CBE = ?,求 sin(?-?)的值; (3) 探究坐标轴上是否存在点 P, 使得以 P、 C 为顶点的三角形与△BCE 相似?若存在, A、 请指出点 P 的位置,并直接写出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由.

第 70 页

154. 如图,抛物线 y ? x ? bx ? c(b ≤ 0) 的图象与 x 轴交于 A,B 两点, y 轴交于点 C , 与
2

其 中 点 A 的 坐 标 为 (? 2 0); 直 线 x ? 1 与 抛 物 线 交 于 点 E , 与 x 轴 交 于 点 F , 且 ,
? 4 5? ≤∠FAE ≤ 6 0.

(1)用 b 表示点 E 的坐标; (2)求实数 b 的取值范围; (3)请问 △BCE 的面积是否有最大值?若有,求出这个最大值;若没有,请说明理由. y

A

O

F

B

x

C

E

x ?1

155. 如图,矩形 A?BC?O? 是矩形 OABC(边 OA 在 x 轴正半轴上,边 OC 在 y 轴正半轴上) 绕 B 点逆时针旋转得到的, O? 点在 x 轴的正半轴上, B 点的坐标为 (1, . 3) (1)如果二次函数 y ? ax ? bx ? c ( a ? 0 )的图象经过 O , O? 两点且图象顶点 M 的纵
2

坐标为 ?1 ,求这个二次函数的解析式; (2)在(1)中求出的二次函数图象对称轴的右支上是否存在点 P ,使得 △POM 为直角 三角形?若存在 ,请求出 P 点的坐标和 △POM 的面积;若不存在,请说明理由;

y
C C?

B

A?
O

A M

O?

x

第 71 页

156. 如图,在矩形 ABCD 中, AB ? 2 2 , AD ? 1 .点 P 在 AC 上, PQ ? BP ,交 CD 于 Q , PE ? CD ,交于 CD 于 E .点 P 从 A 点(不含 A )沿 AC 方向移动,直到使点 Q 与点 C 重合为止. .. (1)设 AP ? x , △PQE 的面积为 S . 请写出 S 关于 x 的函数解析式,并确定 x 的取值范围. (2)点 P 在运动过程中,△PQE 的面积是否有最大值,若有,请求出最大值及此时 AP 的 取值;若无,请说明理由. A D

P

E Q

B

C

157. 将两块大小一样含 30° 角的直角三角板,叠放在一起,使得它们的斜边 AB 重合,直角 边不重合,已知 AB=8,BC=AD=4,AC 与 BD 相交于点 E,连结 CD. (1)填空:如图 1,AC= ,BD= ;四边形 ABCD 是 梯形. (2)请写出图 1 中所有的相似三角形(不含全等三角形). (3)如图 2,若以 AB 所在直线为 x 轴,过点 A 垂直于 AB 的直线为 y 轴建立如图 2 的平面直 角坐标系,保持 ΔABD 不动,将 ΔABC 向 x 轴的正方向平移到 ΔFGH 的位置,FH 与 BD 相 交于点 P,设 AF=t,ΔFBP 面积为 S,求 S 与 t 之间的函数关系式,并写出 t 的取值范围. y D C C H D E E P A B A F B G x 图1 图2 10

第 72 页

158. 如图,现有两块全等的直角三角形纸板Ⅰ,Ⅱ,它们两直角边的长分别为 1 和 2.将它 们分别放置于平面直角坐标系中的 △AOB , △COD 处,直角边 OB,OD 在 x 轴上.一 直尺从上方紧靠两纸板放置, 让纸板Ⅰ沿直尺边缘平行移动. 当纸板Ⅰ移动至 △PEF 处时, 设 PE,PF 与 OC 分别交于点 M,N ,与 x 轴分别交于点 G,H . (1)求直线 AC 所对应的函数关系式; (2)当点 P 是线段 AC (端点除外)上的动点时,试探究: ①点 M 到 x 轴的距离 h 与 线段 BH 的长是否总相等?请说明理由; ②两块纸板重叠部分(图中的阴影部分)的面积 S 是否存在最大值?若存在,求出这个最 y 大值及 S 取最大值时点 P 的坐标;若不存在,请说明理由。

A P M O G E B I C N II HD F x

159. 我们将能完全覆盖某平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆. 例如线段 AB 的 最小覆盖圆就是以线段 AB 为直径的圆. (1)请分别作出图 1 中两个三角形的最小覆盖圆(要求用尺规作图,保留作图痕迹,不写 A A 作法) ;

80?
B C B

100?
C

(图 1) (2)探究三角形的最小覆盖圆有何规律?请写出你所得到的结论(不要求证明) ; (3)某地有四个村庄 E,F,G,H (其位置如图 2 所示) ,现拟建一个电视信号中转站, 为了使这四个村庄的居民都能接收到电视信号,且使中转站所需发射功率最小(距离越小, G 所需功率越小) ,此中转站应建在何处?请说明理由. H

32.4 50.0?

?

49.8?

53.8? 44.0? 47.1?
F

第 73 页

47.8? 35.1?
E (图 2)

160. 如图,⊙ O 的半径为 1 ,正方形 ABCD 顶点 B 坐标为 (5,0) ,顶点 D 在⊙ O 上运动. (1)当点 D 运动到与点 A 、 O 在同一条直线上时,试证明直线 CD 与⊙ O 相切; (2)当直线 CD 与⊙ O 相切时,求 CD 所在直线对应的函数关系式; (3) 设点 D 的横坐标为 x ,正方形 ABCD 的面积为 S ,求 S 与 x 之间的函数关系式,并求

y
出 S 的最大值与最小值.

C D O B 5 x

1 A

161. 如图, 直角梯形 OABC 中, AB ∥ OC , O 为坐标原点, A 在 y 轴正半轴上, C 在 点 点 ,∠ x 轴正半轴上,点 B 坐标为(2,2 3 ) BCO = 60°, OH ? BC 于点 H .动点 P 从点

H 出发,沿线段 HO 向点 O 运动,动点 Q 从点 O 出发,沿线段 OA 向点 A 运动,两点同时
出发,速度都为每秒 1 个单位长度.设点 P 运动的时间为 t 秒. (1) 求 OH 的长; (2) 若 ?OPQ 的面积为 S (平方单位). 求 S 与 t 之间的函数关系式.并求 t 为何

值时, ?OPQ 的面积最大,最大值是多少? (3) 设 PQ 与 OB 交于点 M .①当△ OPM 为等腰三角形时,求(2)中 S 的值. ②探究线段 OM 长度的最大值是多少,直接写出结论.

y A B

Q

M P

H

O

C

x

第 74 页

162. 如图,已知直线 l1 的解析式为 y ? 3x ? 6 ,直线 l1 与 x 轴、y 轴分别相交于 A、B 两点, 直线 l 2 经过 B、C 两点,点 C 的坐标为(8,0) ,又已知点 P 在 x 轴上从点 A 向点 C 移动, 点 Q 在直线 l 2 从点 C 向点 B 移动。点 P、Q 同时出发,且移动的速度都为每秒 1 个单位长 度,设移动时间为 t 秒( 1 ? t ? 10 ) 。 (1)求直线 l 2 的解析式。 (2)设△PCQ 的面积为 S,请求出 S 关于 t 的函数关系式。 (3)试探究:当 t 为何值时,△PCQ 为等腰三角形?

163. 某县社会主义新农村建设办公室,为了解决该县甲、乙两村和一所中学长期存在的饮 水困难问题, 想在这三个地方的其中一处建一所供水站, 由供水站直接铺设管道到另外两处。 如图, 乙两村坐落在夹角为 30° 甲、 的两条公路的 AB 段和 CD 段 (村子和公路的宽均不计) , 点 M 表示这所中学。点 B 在点 M 的北偏西 30° 3km 处,点 A 在点 M 的正西方向,点 D 的 在点 M 的南偏西 60° 2 3 km 处。为使供水站铺设到另两处的管道长度之和最短,现有如 的 下三种方案: 方案一:供水站建在点 M 处,请你求出铺设到甲村某处和乙村某处的管道长度之和的最小 值; 方案二:供水站建在乙村(线段 CD 某处) ,甲村要求管道铺设到 A 处,请你在图①中,画 出铺设到点 A 和点 M 处的管道长度之和最小的线路图,并求其最小值; 方案三:供水站建在甲村(线段 AB 某处) ,请你在图②中,画出铺设到乙村某处和点 M 处 的管道长度之和最小的线路图,并求其最小值。综上,你认为把供水站建在何处,所需铺设 北 的管道最短? 东 B F B F

A 30° C 乙村 D

M O 30°

A

M

O

E

第 75 页

C 乙村 D

E

图①

图②

164. 如图,已知抛物线 y ? x ? bx ? c 经过点(1,-5)和(- 2,4)
2

(1)求这条抛物线的解析式. (2)设此抛物线与直线 y ? x 相交于点 A,B(点 B 在点 A 的右侧) ,平行于 y 轴的直线

x ? m 0 ? m ? 5 ? 1 与抛物线交于点 M,与直线 y ? x 交于点 N,交 x 轴于点 P,求线段
MN 的长(用含 m 的代数式表示) . (3)在条件(2)的情况下,连接 OM、BM,是否 存在 m 的值,使△ BOM 的面积 S 最大?若存在,请 求出 m 的值,若不存在,请说明理由.

?

?

y

x=m

y=x B

N

O A

P M

x

165. 在平面直角坐标系中△ ABC 的边 AB 在 x 轴上,且 OA>OB,以 AB 为直径的圆过点 C, 若 C 的坐标为(0,2),AB=5, A,B 两点的横坐标 XA,XB 是关于 X 的方程 x ? (m ? 2) x ? n ? 1 ? 0
2

的两根: (1) 求 m,n 的值 (2) 若∠ACB 的平分线所在的直线 l 交 x 轴于点 D,试求直线 l 对应的一次函数的解析式 (3) 过点 D 任作一直线 l 分别交射线 CA,CB(点 C 除外)于点 M,N,则 是否为定值,若是,求出定值,若不是,请说明理由。 C
`

1 1 的值 ? CM CN

M

A

D

O

B

N L`
第 76 页

166. 阅读下列材料: 我们知道|x|的几何意义是在数轴上数 x 对应的点与原点的距离;即

| x |?| x ? 0 | ,也就是说,|x|表示在数轴上数 x 与数 0 对应点之间的距离;这个结论可以推
广为 | x1 ? x2 | 表示在数轴上 x1 , x2 对应点之间的距离; 例 1 解方程 | x |? 2 ,容易看出,在数轴下与原点距离为 2 点的对应数为± 2,即该方程的解 为 x=± 2 例 2 解不等式 | x ? 2 |? 2 ,如图(16) ,在数轴上找出 | x ? 2 |? 2 的解,即到 1 的距离为 2 的点对应的数为-1、3,则 | x ? 2 |? 2 的解为 x<-1 或 x>3 2 -1 0 1 2 2 3

例 3 解方程 | x ? 1| ? | x ? 2 |? 5 。由绝对值的几何意义知,该方程表示求在数轴上与 1 和-2 的距离之和为 5 的点对应的 x 的值。在数轴上,1 和-2 的距离为 3,满足方程的 x 对应点在 1 的右边或-2 的左边,若 x 对应点在 1 的右边,由图(17)可以看出 x=2; 同理,若 x 对应点在-2 的左边,可得 x=-3,故原方程的解是 x=2 或 x=-3 4 1 -2 (1)方程 | x ? 3 |? 4 的解为 (2)解不等式 | x ? 3 | ? | x ? 4 | ≥9; (3)若 | x ? 3| ? | x ? 4 | ≤a 对任意的 x 都成立,求 a 的取值范围 167.如图,已知二次函数 y ? ax ? bx ? c 的图像经过三点 A ? ?1, 0 ? ,B ? 3, 0 ? ,C ? 0, 3 ? ,
2

0

1

2

它的顶点为 M,又正比例函数 y ? kx 的图像于二次函数相交于两点 D、E,且 P 是线段 DE 的中点。 ⑴求该二次函数的解析式,并求函数顶点 M 的坐标; 的自变量 x 的取值范围; ⑶当 0 ? k ? 2 时,求四边形 PCMB 的面积 s 的最小值。 【参考公式:已知两点 D ? x1 , y1 ? ,E ? x2 , y2 ? ,则线段 DE 的中点坐标为 ?

⑵已知点 E ? 2, 3 ? ,且二次函数的函数值大于正比例函数时,试根据函数图像求出符合条件

y

M C E

? x1 ? x2 y1 ? y2 ? , ?】 2 ? ? 2

A O D

P

B

x

第 77 页

168. 已知: 在矩形 AOBC 中,OB ? 4 ,OA ? 3 . 分别以 OB,OA 所在直线为 x 轴和 y 轴, 建立如图所示的平面直角坐标系. F 是边 BC 上的一个动点(不与 B,C 重合) ,过 F 点的

k (k ? 0) 的图象与 AC 边交于点 E . x (1)求证: △AOE 与 △BOF 的面积相等;
反比例函数 y ? (2)记 S ? S△OEF ? S△ECF ,求当 k 为何值时, S 有最大值,最大值为多少? (3) 请探索: 是否存在这样的点 F , 使得将 △CEF 沿 EF 对折后,C 点恰好落在 OB 上? 若存在,求出点 F 的坐标;若不存在,请说明理由.

169. 如图,在平面直角坐标系中,已知点 A 坐标为(2,4) ,直线 x ? 2 与 x 轴相交于点 B , 连结 OA ,抛物线 y ? x 从点 O 沿 OA 方向平移,与直线 x ? 2 交于点 P ,顶点 M 到 A 点
2

时停止移动. (1)求线段 OA 所在直线的函数解析式; (2)设抛物线顶点 M 的横坐标为 m , ①用 m 的代数式表示点 P 的坐标; ②当 m 为何值时,线段 PB 最短; (3)当线段 PB 最短时,相应的抛物线上是否存在点 Q ,使△ QMA 的面积与△ PMA 的面 积相等,若存在,请求出点 Q 的坐标;若不存在,请说明理由.

y
A P M

B O

x?2

x

第 78 页

170. 已知直角梯形纸片 OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示,四个顶点的坐标分别 为 O(0,0),A(10,0),B(8, 2 3 ),C(0, 2 3 ),点 T 在线段 OA 上(不与线段端点重合), 将纸片折叠,使点 A 落在射线 AB 上(记为点 A′),折痕经过点 T,折痕 TP 与射线 AB 交 于点 P,设点 T 的横坐标为 t,折叠后纸片重叠部分(图中的阴影部分)的面积为 S; (1)求∠OAB 的度数,并求当点 A′在线段 AB 上时,S 关于 t 的函数关系式; (2)当纸片重叠部分的图形是四边形时,求 t 的取值范围; (3)S 存在最大值吗?若存在,求出 这个最大值,并求此时 t 的值;若不存在,请说明理由。

C O

B

C O

B

T

A

T

A

x

171. 将一矩形纸片 OABC 放在平面直角坐标系中, O(0, , A(6, , C (0, .动点 Q 从 0) 0) 3)

2 秒时,动点 P 从点 A 出发 3 以相等的速度沿 AO 向终点 O 运动. 当其中一点到达终点时, 另一点也停止运动. 设点 P 的 运动时间为 t (秒) .
点 O 出发以每秒 1 个单位长的速度沿 OC 向终点 C 运动,运动 (1)用含 t 的代数式表示 OP,OQ ; (2) t ? 1时, 当 如图 1, △OPQ 沿 PQ 翻折, O 恰好落在 CB 边上的点 D 处, 将 点 求点 D 的坐标; (3)连结 AC ,将 △OPQ 沿 PQ 翻折,得到 △EPQ ,如图 2.问:PQ 与 AC 能否平行?

PE 与 AC 能否垂直?若能,求出相应的 t 值;若不能,说明理由.
y C Q O 图1 P A x D B C E Q O 图2 P A x y B

第 79 页

172. 如图,在矩形 ABCD 中, AB ? 9 , AD ? 3 3 ,点 P 是边 BC 上的动点(点 P 不与 点 B ,点 C 重合) ,过点 P 作直线 PQ ∥ BD ,交 CD 边于 Q 点,再把 △PQC 沿着动直线

PQ 对折,点 C 的对应点是 R 点,设 CP 的长度为 x , △PQR 与矩形 ABCD 重叠部分的
面积为 y . (1)求 ?CQP 的度数; (2)当 x 取何值时,点 R 落在矩形 ABCD 的 AB 边上? (3)①求 y 与 x 之间的函数关系式; ②当 x 取何值时,重叠部分的面积等于矩形面积的 D Q C P A R B A (备用图 1) B A (备用图 2) B D

7 ? 27
C D C

173. 如图,在 Rt△ABC 中, ?A ? 90 , AB ? 6 , AC ? 8 , D,E 分别是边 AB,AC 的
?

中点, P 从点 D 出发沿 DE 方向运动, 点 过点 P 作 PQ ? BC 于 Q , 过点 Q 作 QR ∥ BA 交

AC 于 R ,当点 Q 与点 C 重合时,点 P 停止运动.设 BQ ? x , QR ? y .
(1)求点 D 到 BC 的距离 DH 的长; (2)求 y 关于 x 的函数关系式(不要求写出自变量的取值范围) ; (3)是否存在点 P ,使 △PQR 为等腰三角形?若存在,请求出所有满足要求的 x 的值; 若不存在,请说明理由. D B P A R E C

H Q

第 80 页

174. 如图 1 所示,直角梯形 OABC 的顶点 A、 分别在 y 轴正半轴与 x 轴负半轴上.过点 B、 C C 作直线 l .将直线 l 平移,平移后的直线 l 与 x 轴交于点 D,与 y 轴交于点 E. (1) 将直线 l 向右平移, 设平移距离 CD 为 t (t ? 0), 直角梯形 OABC 被直线 l 扫过的面积 (图 中阴影部份)为 s , s 关于 t 的函数图象如图 2 所示, OM 为线段,MN 为抛物线的一部分, NQ 为射线,N 点横坐标为 4. ①求梯形上底 AB 的长及直角梯形 OABC 的面积; ②当 2 ? t ? 4 时,求 S 关于 t 的函数解析式; (2)在第(1)题的条件下,当直线 l 向左或向右平移时(包括 l 与直线 BC 重合) ,在直线 ..

AB 上是否存在点 P,使 ?PDE 为等腰直角三角形?若存在,请直接写出所有满足条件的点 P . .
的坐标;若不存在,请说明理由.

图1

图2

175. 如图,平行四边形 ABCD 中,AB=5,BC=10,BC 边上的高 AM=4,E 为 BC 边上的 一个动点(不与 B、C 重合) .过 E 作直线 AB 的垂线,垂足为 F. FE 与 DC 的延长线相交 于点 G,连结 DE,DF. . (1) 求证:ΔBEF ∽ΔCEG. (2) 当点 E 在线段 BC 上运动时,△BEF 和△CEG 的周长之间有什么关系?并说明你的 理由. (3)设 BE=x,△DEF 的面积为 y,请你求出 y 和 x 之间的函数关系式,并求出当 x 为何 值时,y 有最大值,最大值是多少?

A F

D

M

B

x

E G

C

第 81 页

176. 如图,二次函数 y=ax2+bx+c(a>0)与坐标轴交于点 A、B、C 且 OA=1,OB=OC =3 . (1)求此二次函数的解析式. (2)写出顶点坐标和对称轴方程. (3)点 M、N 在 y=ax2+bx+c 的图像上(点 N 在点 M 的右边),且 MN∥x 轴,求以 MN 为直径且与 x 轴相切的圆的半径.

177. 如图甲,在△ABC 中,∠ACB 为锐角.点 D 为射线 BC 上一动点,连接 AD,以 AD 为一边且在 AD 的右侧作正方形 ADEF. 解答下列问题: (1)如果 AB=AC,∠BAC=90? . ①当点 D 在线段 BC 上时 (与点 B 不重合) 如图乙, , 线段 CF、 之间的位置关系为 BD , 数量关系为 . ②当点 D 在线段 BC 的延长线上时,如图丙,①中的结论是否仍然成立,为什么?

F

E

A F B D
图甲

A F
C

A

E

B

D
图乙

E

C

B
图丙

C

D

第 82 页

178. 已知:如图所示的两条抛物线的解析式分别是

y1 ? ?ax 2 ? ax ? 1 , y2 ? ax 2 ? ax ? 1 (其中 a 为常数,且 a ? 0 ) .
(1)请写出三条与上述抛物线有关的不同类型的结论; .. (2)当 a ?

1 2 时,设 y1 ? ?ax ? ax ? 1 与 x 轴分别交于 M,N 两点( M 在 N 的左边) , 2

y2 ? ax 2 ? ax ? 1 与 x 轴分别交于 E,F 两点( E 在 F 的左边) ,观察 M,N,E,F 四点
坐标,请写出一个你所得到的正确结论,并说明理由; .. (3)设上述两条抛物线相交于 A,B 两点,直线 l,l1,l2 都垂直于 x 轴, l1,l2 分别经过

A,B 两点, l 在直线 l1,l2 之间,且 l 与两条抛物线分别交于 C,D 两点,求线段 CD 的最
大值. A O B x y

179. 已知: 抛物线 y ? ax 2 ? bx ? c (a≠0), 顶点 C (1,?3 ), x 轴交于 A、 两点,A(?1 0) . 与 B , (1)求这条抛物线的解析式. (2)如图,以 AB 为直径作圆,与抛物线交于点 D,与抛物线对称轴交于点 E,依次连接 A、D、 B、E,点 P 为线段 AB 上一个动点(P 与 A、B 两点不重合),过点 P 作 PM⊥AE 于 M,PN⊥DB 于 N,请判断
PM PN 是否为定值? 若是,请求出此定值;若不是,请说明理由. ? BE AD

(3)在(2)的条件下,若点 S 是线段 EP 上一点,过点 S 作 FG⊥EP ,FG 分别与边 AE、BE . 相交于点 F、G(F 与 A、E 不重合,G 与 E、B 不重合),请判断 请给出证明;若不成立,请说明理由.
PA EF 是否成立.若成立, ? PB EG
y E

M O P N

A

B

x

D

第 83 页

C

180. 如图1,正方形 ABCD 和正三角形 EFG 的边长都为1,点 E,F 分别在线段 AB,AD 上滑动,设点 G 到 CD 的距离为 x ,到 BC 的距离为 y ,记 ?HEF 为 ? (当点 E,F 分别 与 B,A 重合时,记 ? ? 0 ) .
?

(1)当 ? ? 0 时(如图2所示) ,求 x,y 的值(结果保留根号) ;
?

(2) ? 为何值时, G 落在对角线 AC 上?请说出你的理由, 当 点 并求出此时 x,y 的值 (结 果保留根号) ; (3)请你补充完成下表(精确到0.01) :

?
x
y

0?

15?
0.03 0.29

30?
0 0.13

45?

60?

75?
0.29 0.03

90?

(4)若将―点 E,F 分别在线段 AB,AD 上滑动‖改为―点 E,F 分别在正方形 ABCD 边上 滑动‖.当滑动一周时,请使用(3)的结果,在图4中描出部分点后,勾画出点 G 运动所形 成的大致图形.

sin15 ? (参考数据: 3 ≈ 1.732,
?

6? 2 6? 2 ≈ 0.259, 75? ? sin ≈ 0.966 . ) 4 4
H A D

H A

F

H D A(F) G

H D A

D

E B

G 图1 C B(E) C 图2 B C 图3 B 图4 C

第 84 页


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