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高二数学排列组合一


高二数学(理)排列组合一(理)人教实验版(A)
【本讲教育信息】
一. 教学内容: 排列组合一 二. 重点、难点: 1. 加法原理(分类) 2. 乘法原理(分步)
n 3. 排列:n 个不同元素全排列 An ? n!

m An ? n ? (n ? 1) ? (n ? 2) ?(n ? m ? 1) ?

n

! (n ? m)!

4. 组合:
m An n(n ? 1) ? (n ? m ? 1) n! ? C ? m ? m! m!(n ? m)! Am m n

【典型例题】
[例 1] 有一分硬币 3 枚,五分硬币 1 枚,一角硬币 6 枚,从中至少取一枚,可组成多少种不 同的币值。 解: 同一种硬币 k 枚可以取 0,1,2?? k ,共 k ? 1 种选择 ∴ (3 ? 1)(1 ? 1)(6 ? 1) ? 1 ? 55

[例 2] 有一元纸币 3 张,伍元纸币 2 张,拾元纸币 4 张。 解: 伍拾元纸币 1 张, 从中至少抽取一张可组成多少种不同的币值。 两张伍元与拾元可互换 ∴ 将 4 张拾元看成 8 张伍元 2 张伍元,4 张拾元,可看成伍拾元 ∴ 伍拾元看成 10 张伍元 ∴ (3 ? 1)(10 ? 1) ? 1 ? 43

[例 3] 一次职业保龄球大赛的最后阶段。 预赛前五名按如下规则比赛, 先由第四、 五名比赛, 输者为第五名,胜者与第三名比赛,输者为第四名,胜者与第二名比赛,依次类推,求有多 种不同的获奖顺序。 解: 共进行四场比赛,每场比赛有关,有两种不同结果 ∴ 2 ? 16
4

∴ 有 16 种不同顺序

用心

爱心

专心

[例 4] 五个学生同时争夺三项比赛的冠军, 若除并列冠军情况, 获得冠军的可能性有多少种。 解: 每个冠军均有五种可能,互不影响 ∴ 5 ? 125种
3

[例 5] 七名学生站成一排照相(高矮不同) (1)站成一排有多少种不同的站法 (2)站成两排(前三后四)有多少种不同站法 (3)站成一排,甲乙必须相邻 (4)站成一排,甲乙不相邻 (5)甲在乙左边 (6)甲乙之间间隔两人 (7)甲不在左边第一个且乙不在右边第一个 (8)从中选出四人站一成一排,左边比右边高 解:
7 (1) A7 ? 5040 3 4 7 (2) A7 ? A4 ? A7 ? 5040 2 6 (3) A2 ? A6 ? 1440 5 2 2 7 2 6 (4) A5 ? C6 ? A2 ? A7 ? A2 ? A6 ? 3600 7 (5) A7 / 2 ? 2520 2 2 4 (6) A5 A2 A4 ? 960 7 6 6 5 1 1 1 5 (7) A7 ? A6 ? A6 ? A5 ? A6 ? C5C5 ? A5 ? 3720 4 (8) C7 ? 35

[例 6] 由 0,1,2,3,4,5 可组成多少个无重复数字的 (1)自然数 (2)能被 3 整除的三位数 (3)能被 9 整除的四位数 (4)能被 4 整除的四位数 (5)能被 5 整除的四位数 (6)能被 25 整除的四位数 解: (1) A6 ? ( A6 ? A5 ) ? ( A6 ? A5 ) ? ( A6 ? A5 ) ? ( A6 ? A5 ) ? ( A6 ? A5 ) ? 1631
1 2 1 3 2 4 3 5 4 6 5

(2)各个位数字之和可被 3 整除
用心 爱心 专心

1 1 3 1 1 1 2 C2 ? C2 ? A3 ? C2 ? C2 ? C2 A2 ? 40

(3)各个位数字之和可被 9 整除 ① 由 1,3,5,0 组成 ② 由 2,3,4,0 组成
1 3 1 3 C3 ? A3 ? C3 ? A3 ? 36

(4)末两位为 20,40,12,32,52,04,24
2 1 1 3 ? A4 ? 4C3 ? C3 ? 72 3 1 2 (5)末一位为 0 或 5, A5 ? C4 A4 ? 108

(6)末两位为 25,50
2 1 1 A4 ? C3 ? C3 ? 21

[例 7] 由 1,2,3,4,5 组成无重复数字的五位数,由小到大构成一个数列。 (1)这个数列共有多少项 (2)43251 是第几项 (3)求各项和 解:
5 (1) A5 ? 120个

(2)1,2,3 开头的有 72 个,41,42 开头的 12 个 431 开头的 2 个,然后 43215,然后 43251 ∴ 为第 88 项 (3)1,2,3,4,5 组现在各个位上的可能是相同的 ∴ 120 项的个位数字和为 A4 (1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5) ? 360
4

∴ S6 ? 360 104 ? 103 ? 102 ? 10 ? 1) ? 3999960 ( [例 8] 某电子器件有一个由三个电阻组成的电路,共有六个焊点,若焊点脱落则电路不通, 今发现电路不通,问焊点脱落的可能性有多少种。

解:每一个焊点相互独立,均有两种可能,脱落或正常 共有 2 种可能
6

∴ 电路不通的可能为 2 ? 1 ? 63 种
6

用心

爱心

专心

[例 9] 甲班组共十六名工人,从中选出七人参加植树。 解: (1)A 必在其中的选法
6 C15 ? 5005

(2)A 必不在其中的选法
7 C15 ? 6435

(3)A、B 同时在其中的选法
5 C14 ? 1820

(4)A、B 至少有一人在其中的选法
7 7 6 6 5 C16 ? C14 ? C14 ? C14 ? C14 ? 11440? 3432? 8008

[例 10] 某校 13 个班分成两组进行足球比赛,第一组七个队,第二组六个队进行单循环比赛 (每队与同组各队各赛一场)然后每组前两名进入决赛,四个队再进行单循环比赛,决出冠 亚军。共需多少场比赛。
2 2 2 解: C7 ? C6 ? C4 ? 42

[例 11] 一次数学考试共 11 道题,填空题 6 个每题 3 分,选择题 5 个每题 2 分。 (答错不扣 分)某同学答对六道题,且得分不少于总分的一半。这位同学答对题的可能性有多少种。 解: 3 ? 6 ? 2 ? 5 ? 28 一半为 14
6 (1)6 个 3 C 6 5 1 (2)5 个 3、1 个 2 C6 ? C5 4 2 (3)4 个 3、2 个 2 C6 ? C5 3 3 (4)3 个 3、3 个 2 C6 ? C5 2 4 (5)2 个 3、4 个 2 C6 C5 共计 456 种

[例 12] 平面上有 9 个点,其中只有 4 点共线,其余无三点共线。 解: (1)可以确定多少条直线
2 2 2 1 1 C9 ? C4 ? 1 ? C5 ? C5C4 ? 1 ? 31

(2)可以确定多少个三角形
3 3 3 2 1 1 2 C9 ? C4 ? C5 ? C5 ? C4 ? C5 ? C4 ? 80

用心

爱心

专心

[例 13] 圆周上有 12 个点。 解: (1)这些点连圆内可连成多少条弦。
2 C12 ? 66

(2)这些弦在圆内至多有多少个交点。
4 C12 ? 495

[例 14] 有一篮球队共有 10 名队员,其中五人善打前锋,三人善打后卫,二人既能打前锋, 又能打后卫,今选 5 人上场(三锋两卫)有多少种不同的方案。 解:从前锋考虑
3 2 (1)3 个前锋,全由善打前锋四队员担任 C5 ? C5 2 1 2 (2)3 个前锋,由善打前锋队员担任 2 个,全能的担任 1 个 C5 ? C2 ? C4 1 2 2 (3)3 个前锋,由善打前锋队员担任 1 个,全能的担任 2 个 C5C2 C3 3 2 2 1 2 1 2 2 ∴ C5 C5 ? C5 C2C4 ? C5C2 C3 ? 235 2 3 1 1 3 0 2 3 从后卫考虑 C3 ? C7 ? C3C2 C6 ? C3 C2 C5 ? 235 3 2 1 2 2 3 1 2 1 2 3 0 2 2 1 从 2 人考虑 C5 ? C3 ? C2 (C5 ? C3 ? C5 ? C3 ) ? C2 (C5C3 ? C5 ? C3 ? A2 ? C5 ? C3 )

【模拟试题】
* 1. 如果 x, y ? N ,且 1 ? x ? 3, x ? y ? 7 ,则满足条件的不同的有序正整数对(x,y)

的个数是( ) A. 15 B. 12 C. 5 D. 4 2. 三边长均为整数,且最大边长为 11 的三角形的个数是( ) A. 25 B. 26 C. 36 D. 37 3. 某团支部进行换届选举,从甲、乙、丙、丁四人中选出三人分别担任书记、副书记、 组织委员,规定上届任职的甲、乙、丙三人不能连任原职,则不同的任职方法有( ) A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 4. 从 1, 3, 四个数中任意取数 2, 4 (不重复取) 作和, 则取出这些数的不同的和共有 ( ) A. 8 个 B. 9 个 C. 10 个 D. 5 个 5. 把 10 个苹果分成三堆,要求每堆至少有 1 个,至多 5 个,则不同的分法共有( ) A. 4 种 B. 5 种 C. 6 种 D. 7 种 6. 在 1,2,3,?,2006 中,恰好出现一个数码 0 的正整数的个数为( ) A. 495 B. 414 C. 324 D. 243 7. 某种彩票规定:从 01 至 36 共 36 个号中抽出 7 个号为一注,每注 2 元,某人想从 01 至 10 中选 3 个连续的号,从 11 到 20 中选 2 个连续的号,从 21 至 30 中选 1 个号,从 31 至 36 中选 1 个号组成一注,则这人把这种特殊要求的号买全,至少要花( )
用心 爱心 专心

A. 3360 元 B. 6720 元 C. 4320 元 D. 8640 元 8. 如果把两条异面直线看成 “一对” 那么六棱锥所在的 12 条直线中异面直线共有 , ( ) A. 12 对 B. 24 对 C. 36 对 D. 48 对 9. 一个包内有 5 本不同的小说,另一包内有 4 本不同的教科书,从两个包内任取一本书 的取法有( ) A. 5 种 B. 4 种 C. 9 种 D. 20 种 10. 某公共汽车上有 10 名乘客,沿途有 5 个车站,乘客下车的可能方式有( ) 10 5 A. 5 种 B. 10 种 C. 50 种 D. 以上都不对 11. 若 x ? {1,2,3}, y ? {5,7,9} ,则 x·y 的不同值有( )

A. 2 个 B. 6 个 C. 9 个 D. 3 个 12. 某班有 3 名学生准备参加校运动会的 100 米、200 米、跳高、跳远四项比赛,如果每 班每项限报 1 人,则这 3 名学生的参赛的不同方法有( ) A. 24 种 B. 48 种 C. 64 种 D. 81 种 13. 将 5 名大学毕业生全部分配给 3 所不同的学校,不同的分配方式的种数有( ) A. 8 B. 15 C. 125 D. 243 14. 如图,某电子器件是由三个电阻组成的回路,其中共有 6 个焊接点 A,B,C,D,E, F,如果某个焊接点脱落,整个电路就会不通,现在电路不通了,那么焊接点脱落的可能性 共有( ) A. 6 种 B. 36 种 C. 63 种 D. 64 种

15. 某班一天上午排语、数、外、体四门课,其中体育课不能排一、四节,则不同排法的 种数为( ) A. 24 B. 22 C. 20 D. 12 16. 解下列各题时,需要用分类加法计数原理的是( ) A. M 和 N 都是有限集合,求 M∪N 元素的个数 B. 有 4 个组,人数分别为 12,12,10,10,从中选 1 人参加作文比赛,求不同的选法 C. 有 4 个组,人数分别为 12,12,10,10,每小组选派 1 人参加座谈会,求不同的选 法 D. 已知 x ? {1,2,3}, y ? {2,3,4} ,计算 M(x,y)能表示多少个不同的点 17. 某直线方程 Ax+By=0,若从 0,1,2,3,5,7 这六个数字中每次取两个不同的数作 为 A,B 的值,则表示不同直线的条数是( ) A. 2 B. 12 C. 22 D. 25 18. 某演出队有 8 名歌舞演员,其中 6 人会表演舞蹈节目,有 5 人会表演歌唱节目,今从 这 8 人中选出 2 人,一人表演舞蹈,一人表演歌唱,则选法共有( ) A. 24 种 B. 27 种 C. 28 种 D. 36 种 19. 已知 m∈{2,5,8,9},n∈{1,3,4,7},则方程
用心 爱心 专心

x2 y2 ? ? 1 表示的焦点在 x 轴上 m n

的不同椭圆个数为( ) A. 12 B. 160 C. 8 D. 10 20. 由 n×n 个边长为 1 的正方形拼成的正方形棋盘中,由若干小方格能拼成的所有正方 形的数目是( ) A. n B. n2 C.

1 ? (n ? 1) ? (2n ? 1) ? n 6

D. n ? (n ? 1) ? (n ? 2) ? ? ? 3 ? 2 ? 1

21. A、B、C、D、E 五个站成一排,如果 B 必须在 A 的右边(A、B 可以不相邻) ,那么 不同排法有( ) A. 24 种 B. 60 种 C. 90 种 D. 120 种 22. 6 名同学排成一排,其中甲、乙两人必须排在一起的不同排法有( ) A. 720 种 B. 360 种 C. 240 种 D. 120 种 23. 四位同学争夺三个运动项目的金牌,不同的结果种数是( ) 4 3 A. 3! B. 4! C. 3 D. 4 24. 在由数字 1, 3, 5 组成的所有没有重复数字的 5 位数中, 2, 4, 大于 23145 且小于 43521 的数共有的个数为( ) A. 56 B. 57 C. 58 D. 60 25. 从 0,3,4,5,7 中任取三个数分别作为一元二次方程的二次项系数,一次项系数及 常数项,则可做出的不同方程的个数是( ) A. 10 B. 24 C. 48 D. 60 26. 从 6 名志愿者中选出 4 人分别从事保健、翻译、导游、保洁四项不同工作,若其中两 名志愿者都不能从事翻译工作,则选派方案共有( ) A. 280 种 B. 240 种 C. 180 种 D. 96 种 27. 某班新年联欢会原定的 5 个节目已排成节目单,开演前又增加了两个新节目。如果将 这两人节目插入原节目单中,那么不同插法的种数为( ) A. 42 B. 30 C. 20 D. 12 28. 从黄瓜、白菜、油菜、扁豆 4 种蔬菜品种中选出 3 种,分别种在不同土质的三块土地 上,其中黄瓜必须种植,不同的种植方法共有( ) A. 24 种 B. 18 种 C. 12 种 D. 6 种 29. 用 1、2、3、4、5 这五个数字组成无重复数字的五位数,要求五位数比 20000 大且不 是 5 的倍数,这样的五位数共有( ) A. 108 个 B. 78 个 C. 72 个 D. 36 个 30. 由 1,2,3,4 和 0 组成无重复数字的自然数的个数为( )
5 A. A5 1 2 3 4 5 B. A5 ? A5 ? A5 ? A5 ? A5
4

C. 4A4

D. 4(1 ? A4 ? A4 ? A4 ? A4 ) ? 1
1 2 3 4

用心

爱心

专心

试题答案
1. B 10. A 19. A 27. A 2. C 11. C 20. C 28. B 3. B 12. A 21. B 29. B 4. A 13. D 22. C 30. D 5. A 14. C 23. D 6. B 15. D 24. C 7. D 16. B 25. B 8. B 17. C 26. B 9. C 18. B

用心

爱心

专心


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