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全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题及答案详解


2010 年全国高中数学联赛江苏赛区
一、填空题(本题满分 70 分,每小题 7 分 1.方程 9 ? 1 ? 3 ? 5 的实数解为
x x

. .

2.函数 y ? sin x ? cos x ( x ? R ) 的单调减区间是 3.在△ ABC 中,已知 AB ? AC ? 4 , AB ? BC ? ?12

,则 AB = 4.函数 f ? x ? ? ? x ? 2 ?? x ? 1? 在区间 ? 0, 2 ? 上的最大值是
2

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

??? ?

. ,最小值是 .

5.在直角坐标系 xOy 中,已知圆心在原点 O 、半径为 R 的圆与△ ABC 的边有公共点, 其中 A ? ? 4, 0 ? 、 B ? ? 6,8 ? 、 C ? ? 2, 4 ? ,则 R 的取值范围为 6.设函数 f ? x ? 的定义域为 R,若 f ? x ? 1? 与 f ? x ? 1? 都是关于 x 的奇函数,则函数 .

y ? f ? x ? 在区间 ? 0,100 ? 上至少有

个零点.

7.从正方体的 12 条棱和 12 条面对角线中选出 n 条,使得其中任意 两条线段所在的直线都是异面直线,则 n 的最大值为 .
(第 7 题)

8.圆环形手镯上等距地镶嵌着 4 颗小珍珠,每颗珍珠镀金、银两色中的 一种.其中镀 2 金 2 银的概率是 .

9.在三棱锥 A ? BCD 中,已知 ?ACB ? ?CBD , ?ACD ? ?ADC ? ?BCD ? ?BDC

? ? ,且 cos ? ?

10 .已知棱 AB 的长为 6 2 ,则此棱锥的体积为 10



10.设复数列 ? xn ? 满足 xn ? a ? 1 , 0 ,且 xn ?1 ? 则 a 的值是

a xn .若对任意 n ? N* 都有 xn ?3 ? xn , xn ? 1



二、解答题(本题满分 80 分,每小题 20 分)

第 1 页

x2 11.直角坐标系 xOy 中,设 A 、 B 、 M 是椭圆 C : ? y 2 ? 1 上的三点.若 4

???? ? 3 ??? ? 4 ??? ? x2 OM ? OA ? OB ,证明:线段 AB 的中点在椭圆 ? 2 y 2 ? 1 上. 2 5 5
12.已知整数列 ? an ? 满足 a3 ? ?1 , a7 ? 4 ,前 6 项依次成等差数列,从第 5 项起依次 成等比数列. (1) 求数列 ? an ? 的通项公式; (2) 求出所有的正整数 m ,使得 am ? am?1 ? am? 2 ? am am?1am? 2 .

13.如图,圆内接五边形 ABCDE 中, AD 是外接圆的直径, BE ? AD ,垂足 H . 过点 H 作平行于 CE 的直线,与直线 AC 、 DC 分别交于点 F 、 G . 证明: (1) 点 A 、 B 、 F 、 H 共圆; (2) 四边形 BFCG 是矩形.

E

A

H F B G C

D

14.求所有正整数 x , y ,使得 x ? 3 y 与 y ? 3 x 都是完全平方数.
2 2

2011 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛题
一、填空题(本题共 10 小题,满分 70 分,每小题 7 分.要求直接将答案写在横线上) 1. 复数 (1 ? i)4 ? (1 ? i)4 ? .

第 2 页

2. 已知直线 x ? my ? 1 ? 0 是圆 C : x2 ? y 2 ? 4 x ? 4 y ? 5 ? 0 的一条对称轴,则实数

m?

.

3. 某班共有 30 名学生,若随机抽查两位学生的作业,则班长或团支书的作业被抽中的概 率 是 (结果用最简分数表示) .
1 4. 已知 cos 4? ? ,则 sin 4 ? ? cos4 ? ? 5



5. 已知向量 a,b 满足 a ? b ? 2, ? a, b ?? 为邻边的平行四边形的面积为

π ,则以向量 2a ? b 与 3a ? b 表示的有向线段 3



6. 设数列{an}的前 n 项和为 Sn.若{Sn}是首项及公比都为 2 的等比数列,则数列{an3}的前 n 项和等于 . 7. 设函数 f ( x) ? x 2 ? 2 .若 f(a)=f(b),且 0<a<b,则 ab 的取值范围是 8. 设 f(m)为数列{an}中小于 m 的项的个数,其中 an ? n2 , n ? N * , 则 f [ f (2011)] ? . 9. 一个等腰直角三角形的顶点分别在底边长为 4 的正三棱柱的三条侧棱上,则此直角三角 形的斜边长是 . 10.已知 m 是正整数,且方程 2 x ? m 10 ? x ? m ? 10 ? 0 有整数解,则 m 所有可能的值 是 . 二、解答题(本大题共 4 小题,每小题 20 分,共 80 分) 11.已知圆 x2 ? y 2 ? 1 与抛物线 y ? x 2 ? h 有公共点,求实数 h 的取值范围. 12.设 f ( x) ? x 2 ? bx ? c(b, c ? R) .若 x ≥ 2 时, f ( x) ≥ 0 ,且 f ( x) 在区间 ? 2,3? 上的最大值 为 1,求 b2 ? c2 的最大值和最小值. 13.如图,P 是 ? ABC 内一点.
1 (1)若 P 是 ? ABC 的内心,证明: ?BPC ? 90? ? ?BAC ; 2 1 1 (2)若 ?BPC ? 90? ? ?BAC 且 ?APC ? 90? ? ?ABC ,证明:P 是 ? ABC 的内心. 2 2
第 3 页



A

P

B 14.已知 ? 是实数,且存在正整数 n0,使得 n0 ? ? 为正有理数. 证明:存在无穷多个正整数 n,使得 n ? ? 为有理数.

C

第 4 页


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