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2003年女子数学奥林匹克


二〇〇三年女子数学奥林匹克
(2002-08-27~08-28,武汉) 第一天

1、已知 D 是 ?ABC 的边 AB 上的任意一点,E 是边 AC 上的任意一点,连结 DE, AD AE DF ? x, ? y, ? z .证明: F 是线段 DE 上的任意一点. 设 AB AC DE (1) S?BDF ? (1 ? x) yzS?ABC , S?CEF ? x(1 ? y)(1 ? z)S?ABC ; (2) S?BDF ? S?CEF ? S?ABC .
3 3 3

2、某班有 47 个学生,所用教室有 6 排,每排有 8 个座位,用 (i, j ) 表示位于第 i 排 第 j 列的座位.新学期准备调整座位,设某学生原来的座位为 (i, j ) ,如果调整后 的座位为 (m, n ) ,则称该生作了移动 [a, b] ? [i ? m, j ? n] , 并称 a ? b 为该生的位 置数.所有学生的位置数之和记为 S,求 S 的最大可能值与最小可能值.

3、如图 1,ABCD 是圆内接四边形,AC 是圆的直径, BD ? AC , AC 与 BD 的交点为 E,F 在 DA 的延长线上,连结 BF,G 在 BA 的 延长线上,使得 DG // BF ,H 在 GF 的延长线上, CH ? GF . 证明:B、E、F、H 四点共圆.

4.(1)证明:存在和为 1 的五个非负实数 a, b, c, d , e ,使得将它们任意放置在一个
1 圆周上,总有两个相邻数的乘积不小于 ; 9

(2)证明:对于和为 1 的任意五个非负实数 a, b, c, d , e ,总可能将它们适当放置
1 在一个圆周上,且任意相邻两数的乘积不大于 . 9

第二天
2 5、数列 ?an ? 定义如下: a1 ? 2, an?1 ? an ? an ? 1, n ? 1, 2,

.

证明: 1 ?

1 1 1 ? ? ? 2003 2003 a1 a2

?

1 a2003

?1

6、给定正整数 n(n ? 2) .求最大的实数 ? ,使得不等式
2 an ? ?(a1 ? a2 ?

? an?1 ) ? 2an 对任何满足 a1 ? a2 ?

? an 的正整数 a1 , a2 ,

, an

均成立.

七、设 ?ABC 的三边长分别为 AB ? c, BC ? a, CA ? b ,a, b, c 互不相等,AD、BE、 CF 分别为 ?ABC 的三条内角平分线,且 DE=DF.证明: a b c ? ? (1) ; (2) ?BAC ? 90? . b?c c?a a ?b

8、对于任意正整数 n ,记 n 的所有正约数组成的集合为 Sn .证明:Sn 中至多有 一半元素的个位数为 3.


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