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辽宁省抚顺市重点高中协作校2014-2015学年高一上学期期中数学试卷


2014-2015 学年辽宁省抚顺市重点高中协作校高一(上)期中数学 试卷
一、选择题(共 10 小题,每小题 3 分,满分 30 分) 1. (3 分)已知全集 U={1,2,3,4,5,6,7},A={2,4,6},B={1,3,5,7},则 A∩(?UB) 等于() A.{2,4,6} B.{1,3,5} C.{2,4,5} D.{2,5} 2. (3 分)已知集

合 A 到 B 的映射 f:x→y=2x+1,那么集合 A 中元素 2 在 B 中的象是() A.2 B. 5 C. 6 D.8 3. (3 分)下列函数中,与函数 A.f(x)=lnx B.
2

有相同定义域的是() C.f(x)=x
3

D.f(x)=e

x

4. (3 分)已知 f(x﹣1)=x ,则 f(x)的解析式为() 2 2 2 2 A.f(x)=x ﹣2x﹣1 B.f(x)=x ﹣2x+1 C.f(x)=x +2x﹣1 D.f(x)=x +2x+1 5. (3 分)给定函数①y=x,②y=log 上单调递减的函数的序号是() A.①② B.②③
2

(x+1) ,③y=|x﹣1|,④y=2

x+1

,其中在区间(0,1)

C.③④

D.①④

6. (3 分)已知函数 f(x)=|x ﹣4x|﹣x﹣1,在下列区间中,函数 f(x)不存在零点的是() A.[﹣1,0] B.[0,1] C.[4,5] D.[2,3] 7. (3 分)若偶函数 f(x)在(﹣∞,﹣1]上是增函数,则下列关系式中成立的是() A.f(﹣3)<f(﹣1)<f(2) B.f(﹣1)<f(﹣3)<f(2)C. f(2)<f (﹣3)<f(1) D. f(﹣3)<f(2)<f(1) 8. (3 分)函数 A. B. 的单调增区间是() C. D.

9. (3 分)已知 A.24 B. 3

,则 f(log23)的值为() C. 6 D.12

10. (3 分)对于实数 a 和 b,定义运算“*”a*b=

设 f(x)=(2x﹣1)*(x﹣1) ,

且关于 x 的方程 f(x)=a(a∈R)恰有三个互不相等的实数根,则实数 a 的取值范围是() A.[0, ] B.[0, ] C.(0, ]∪(1,+∞) D. (0, )

二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 3 分,共 12 分) 11. (3 分)幂函数 在(0,+∞)是减函数,则 m=.

12. (3 分)已知函数

的定义域为.

13. (3 分)把( )

,5 , ( )

4

﹣2

这三个数按从小到大的顺序用不等号连接起来是.

14. (3 分)已知函数 f(x)=e 的取值范围是.

|x﹣a|

(a 为常数) .若 f(x)在区间[1,+∞)上是增函数,则 a

三、解答题: (本大题共 6 小题,共 58 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15. (8 分)计算: (1) (2) (lg5) +lg2×lg50. 16. (8 分)已知全集 U=R,集合 A={x|x<﹣4,或 x>1},B={x|﹣3≤x﹣1≤2}, (1)求 A∩B、 (?UA)∪(?UB) ; (2)若集合 M={x|2k﹣1≤x≤2k+1}是集合 A 的子集,求实数 k 的取值范围.
2



17. (10 分)已知函数 f(x)=

为奇函数;

(1)求 f(﹣1)以及实数 m 的值; (2)在给出的直角坐标系(如图所示)中画出函数 y=f(x)的图象并写出 f(x)的单调区间.

18. (10 分)设函数 f(x)=log3(9x)?log3(3x) ,且 ≤x≤9. (1)求 f(3)的值; (2)若令 t=log3x,求实数 t 的取值范围; (3)将 y=f(x)表示成以 t(t=log3x)为自变量的函数,并由此求函数 y=f(x)的最大值与 最小值及与之对应的 x 的值. 19. (10 分)已知二次函数 f(x)=ax +bx(a≠0a、b 为常数)满足 f(1﹣x)=f(1+x) ,且方 程 f(x)=x 有两相等实根 (1)求 f(x)的解析式; (2)在区间 x∈[﹣1,1]上,y=f(x)的图象恒在 y=2x+m 的图象上方,试确定实数 m 的范围. 20. (12 分)设函数 y=f(x)是定义在 R 上的函数,并且满足下面三个条件; ①对任意正数 x,y,都有 f(xy)=f(x)+f(y) ; ②当 x>1 时,f(x)<0; ③f(3)=﹣1. (Ⅰ)求
+ 2

的值;

(Ⅱ)证明 f(x)在 R 是减函数; (Ⅲ)如果不等式 f(x)+f(2﹣x)<2 成立,求 x 的取值范围.

2014-2015 学年辽宁省抚顺市重点高中协作校高一(上) 期中数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题(共 10 小题,每小题 3 分,满分 30 分)

1. (3 分)已知全集 U={1,2,3,4,5,6,7},A={2,4,6},B={1,3,5,7},则 A∩(?UB) 等于() A.{2,4,6} B.{1,3,5} C.{2,4,5} D.{2,5} 考点: 交、并、补集的混合运算. 专题: 集合. 分析: 根据全集 U 及 B 求出 B 的补集,找出 A 与 B 补集的交集即可. 解答: 解:∵全集 U={1,2,3,4,5,6,7},B={1,3,5,7}, ∴?UB={2,4,6}, ∵A={2,4,6}, ∴A∩(?UB)={2,4,6}. 故选:A. 点评: 此题考查了交、并、补集的混合运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键. 2. (3 分)已知集合 A 到 B 的映射 f:x→y=2x+1,那么集合 A 中元素 2 在 B 中的象是() A.2 B. 5 C. 6 D.8 考点: 映射. 专题: 计算题. 分析: 对应法则为 y=2x+1,将 x 代入求解即可. 解答: 解:∵x=2, ∴y=2x+1 则 y=2×2+1=5, 那么集合 A 中元素 2 在 B 中的象是 5 故选:B. 点评: 本题属于基本知识,基本运算的考查,明确映射对应法则是解决本题的关键. 3. (3 分)下列函数中,与函数 A.f(x)=lnx B. 有相同定义域的是() C.f(x)=x
3

D.f(x)=e

x

考点: 函数的定义域及其求法. 分析: 已知函数 解答: 解:∵函数 的定义域为 x>0,再对选项 A、B、C、D 进行一一验证; ,

∴x>0, A、∵f(x)=lnx,∴x>0,故 A 正确; B、∵
3

,∴x≠0,故 B 错误;

C、f(x)=x ,其定义域为 R,故 C 错误; x D、f(x)=e ,其定义域为 R,故 D 错误; 故选 A.

点评: 此题主要考查函数的定义域及其简单求法,此题是一道基础题. 4. (3 分)已知 f(x﹣1)=x ,则 f(x)的解析式为() 2 2 2 2 A.f(x)=x ﹣2x﹣1 B.f(x)=x ﹣2x+1 C.f(x)=x +2x﹣1 D.f(x)=x +2x+1 考点: 二次函数的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 本题可以利用换元法求函数的解析式,得到本题结论. 2 解答: 解:∵f(x﹣1)=x , 令 x﹣1=t,则 x=t+1, 2 ∴f(t)=(t+1) , 2 ∴f(x)=x +2x+1. 故选 D. 点评: 本题考查了函数解析式的求法,本题难度不大,属于基础题. 5. (3 分)给定函数①y=x,②y=log 上单调递减的函数的序号是() A.①② B.②③ 考点: 专题: 分析: 解答: y= (x+1) ,③y=|x﹣1|,④y=2
x+1 2

,其中在区间(0,1)

C.③④

D.①④

函数单调性的判断与证明. 函数的性质及应用. 根据一次函数及指数函数,对数函数的性质,判断函数的单调性,从而得出答案. 解:y=x,k=1,递增, ,底数是 ,递减,

y=|x﹣1|=1﹣x,递减, x+1 y=2 ,底数是 2,递增, 故选:B. 点评: 本题考查了函数的单调性问题,考查对数函数,指数函数的性质,是一道基础题. 6. (3 分)已知函数 f(x)=|x ﹣4x|﹣x﹣1,在下列区间中,函数 f(x)不存在零点的是() A.[﹣1,0] B.[0,1] C.[4,5] D.[2,3] 考点: 函数零点的判定定理. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据函数零点的判定定理,分别计算区间的端点值,从而得到答案. 解答: 解:∵f(﹣1)=5>0,f(0)=﹣1<0,f(1)=1>0, ∴f(x)在[﹣1,0]有零点,在[0,1]有零点, 又∵f(4)=﹣5<0,f(5)=﹣1<0, ∴f(x)在[4,5]不存在零点, f(2)=1>0,f(3)=﹣1<0, ∴f(x)在[2,3]有零点,
2

故选:C. 点评: 本题考查了函数零点的判定定理,是一道基础题. 7. (3 分)若偶函数 f(x)在(﹣∞,﹣1]上是增函数,则下列关系式中成立的是() A.f(﹣3)<f(﹣1)<f(2) B.f(﹣1)<f(﹣3)<f(2)C. f(2)<f (﹣3)<f(1) D. f(﹣3)<f(2)<f(1) 考点: 奇偶性与单调性的综合. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据函数奇偶性和单调性的性质即可判断函数值的大小. 解答: 解:∵函数 f(x)是偶函数,且在(﹣∞,﹣1]上是增函数, ∴函数[1,+∞)上为减函数, ∴f(﹣3)=f(3) , ∴f(3)<f(2)<f(1) , 即 f(﹣3)<f(2)<f(1) , 故选:D. 点评: 本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用,要求熟练掌握函数奇偶性和单调性的性 质的综合应用. 8. (3 分)函数 A. B. 的单调增区间是() C. D.

考点: 复合函数的单调性;对数函数的单调性与特殊点. 专题: 计算题. 分析: 先求函数的定义域,要求函数 数 g(x)=6+x﹣x 在定义域上的单调递减区间即可 2 解答: 解:由题意可得,6+x﹣x >0 ∴函数的定义域为﹣2<x<3 2 令 g(x)=6+x﹣x ,y=log0.6g(x) ∵y=log0.6g(x)在(0,+∞)上单调递减,而 g(x)=6+x﹣x 在(﹣2, ]上单调递增,在 [ )上单调递减 的单调增区间[ )
2 2

的单调增区间,只要求解函

由复合函数的单调性可知,函数

故选 D 点评: 本题主要考查了由对数函数与二次函数复合而成的复合函数的单调区间的求解,解 题的关键是复合函数单调性原则的应用,但不要漏掉函数定义域的求解

9. (3 分)已知

,则 f(log23)的值为()

A.24

B. 3

C. 6

D.12

考点: 对数的运算性质;函数的值. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 由对数函数的性质判断:1<log23<2,则 4<3+log23<5,代入解析式根据指数和对 数的运算求解. 解答: 解:∵1<log23<2,∴4<3+log23<5, ∵ ,

∴f(log23)=f(3+log23)=

=24,

故选 A. 点评: 本题分段函数求值,主要根据指数和对数的运算求解,注意自变量的范围.

10. (3 分)对于实数 a 和 b,定义运算“*”a*b=

设 f(x)=(2x﹣1)*(x﹣1) ,

且关于 x 的方程 f(x)=a(a∈R)恰有三个互不相等的实数根,则实数 a 的取值范围是() A.[0, ] B.[0, ] C.(0, ]∪(1,+∞) D. (0, )

考点: 函数零点的判定定理. 专题: 新定义. 分析: 由新定义写出分段函数 f(x)=(2x﹣1)*(x﹣1)= ,然后作出

分段函数的图象,关于 x 的方程 f(x)=a(a∈R)恰有三个互不相等的实数根,是指函数 y=f (x)的图象与 y=a 的图象有 3 个不同的交点,数形结合可求实数 a 的取值范围. 解答: 解:由 2x﹣1<x﹣1 得,x<0. 由定义运算 a*b= 则 f(x)=(2x﹣1)*(x﹣1) =
2



=

函数 f(x)=﹣x +x (x>0)的最大值是 函数 f(x)的图象如图,

= .

由图象看出,关于 x 的方程 f(x)=a(a∈R)恰有三个互不相等的实数根的实数 a 的取值范围 是(0, ) . 故选 D. 点评: 本题考查了函数零点的判断,考查了分段函数的图象,考查了数学转化思想和数形 结合思想,判断一个方程根的个数,可以转化为判断两个函数图象交点的个数,是中档题. 二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 3 分,共 12 分) 11. (3 分)幂函数 在(0,+∞)是减函数,则 m=﹣1.

考点: 幂函数的概念、解析式、定义域、值域. 专题: 计算题. 分析: 利用幂函数的概念可得到关于 m 的关系式,解之即可. 解答: 解:∵f(x)=(m ﹣2m﹣2)
2

在(0,+∞)是减函数,



∴m=﹣1. 故答案为:﹣1. 点评: 本题考查幂函数的概念、解析式及其单调性,考查解不等式组的能力,属于中档题.

12. (3 分)已知函数

的定义域为



考点: 函数的定义域及其求法. 专题: 计算题. 分析: 直接求出无理式有意义时 x 的范围,分母中 x 的范围,求出交集即可. 解答: 解:要使函数有意义必须 解得 x∈ 所求函数的定义域为: . . ,

故答案为:



点评: 本题考查函数的定义域的求法,基本知识的应用,考查计算能力.

13. (3 分)把( ) <( ) <5 .
﹣2

,5 , ( )

4

﹣2

这三个数按从小到大的顺序用不等号连接起来是( )

4

考点: 有理数指数幂的运算性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用指数函数的单调性直接判断即可. 解答: 解:因为( ) ∵y=5 是增函数, ∴5 ∴ <5 <5
2 4 x

=5

,5 , ( ) =5

4

﹣2

2



故答案为:



点评: 本题考查指数的大小的比较,是基础题,解题时要熟练掌握指数函数的单调性的应 用. 14. (3 分)已知函数 f(x)=e 的取值范围是(﹣∞,1].
|x﹣a|

(a 为常数) .若 f(x)在区间[1,+∞)上是增函数,则 a

考点: 指数函数单调性的应用. 专题: 综合题. 分析: 由题意,复合函数 f(x)在区间[1,+∞)上是增函数可得出内层函数 t=|x﹣a|在区间 [1,+∞)上是增函数,又绝对值函数 t=|x﹣a|在区间[a,+∞)上是增函数,可得出[1,+∞) ?[a,+∞) ,比较区间端点即可得出 a 的取值范围 解答: 解:因为函数 f(x)=e (a 为常数) .若 f(x)在区间[1,+∞)上是增函数 由复合函数的单调性知,必有 t=|x﹣a|在区间[1,+∞)上是增函数 又 t=|x﹣a|在区间[a,+∞)上是增函数 所以[1,+∞)?[a,+∞) ,故有 a≤1 故答案为(﹣∞,1] 点评: 本题考查指数函数单调性的运用及复合函数单调性的判断,集合包含关系的判断, 解题的关键是根据指数函数的单调性将问题转化为集合之间的包含关系, 本题考查了转化的思 想及推理判断的能力,属于指数函数中综合性较强的题型.
|x﹣a|

三、解答题: (本大题共 6 小题,共 58 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15. (8 分)计算: (1) (2) (lg5) +lg2×lg50. 考点: 有理数指数幂的化简求值;对数的运算性质. 专题: 计算题. 分析: (1)直接利用有理指数幂的运算性质求解即可. (2)利用对数的运算性质展开 lg50,化为平方和公式,即可求解. 解答: 解: (1) = . (2) (lg5) +lg2×lg50 2 =(lg5) +lg2×lg(25×2) 2 =(lg5) +lg2×(2lg5+lg2) 2 2 2 =(lg5) +2lg2×lg5+(lg2) =(lg2+lg5) =1 点评: 本题考查指数与对数的运算性质,考查计算能力. 16. (8 分)已知全集 U=R,集合 A={x|x<﹣4,或 x>1},B={x|﹣3≤x﹣1≤2}, (1)求 A∩B、 (?UA)∪(?UB) ; (2)若集合 M={x|2k﹣1≤x≤2k+1}是集合 A 的子集,求实数 k 的取值范围. 考点: 交、并、补集的混合运算;集合关系中的参数取值问题. 专题: 计算题. 分析: (1)求出集合 B,然后直接求 A∩B,通过(CUA)∪(CUB)CU(A∩B)求解即可; (2)通过 M=?与 M≠?,利用集合 M={x|2k﹣1≤x≤2k+1}是集合 A 的子集,直接求实数 k 的取 值范围. 解答: 解: ( 1) 因为全集 U=R, 集合 A={x|x<﹣4, 或 x>1}, B={x|﹣3≤x﹣1≤2}={x|﹣2≤x≤3}, 所以 A∩B={x|1<x≤3}; (CUA)∪(CUB)=CU(A∩B)={x|x≤1,或 x>3}; (2)①当 M=?时,2k﹣1>2k+1,不存在这样的实数 k. ②当 M≠?时,则 2k+1<﹣4 或 2k﹣1>1,解得 k 或 k>1.
2 2



=

点评: 本题考查集合的基本运算,转化思想与分类讨论思想的应用,考查计算能力.

17. (10 分)已知函数 f(x)=

为奇函数;

(1)求 f(﹣1)以及实数 m 的值; (2)在给出的直角坐标系(如图所示)中画出函数 y=f(x)的图象并写出 f(x)的单调区间.

考点: 分段函数的应用. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)根据 f(x)的解析式可求得 f(﹣1) ,利用 f(x)为奇函数,可得 f(﹣1)= ﹣f(1) ,列出关于 m 的方程,求解即可得到答案; (2)根据(1)中的结果,可得到 f(x)的解析式,根据解析式分段画图即可,结合图象可 得到 f(x)的单调区间.

解答: 解: (1)∵函数 f(x)=



∴f(1)=﹣1+2=1, 又∵f(x)为奇函数, ∴f(﹣1)=﹣f(1) , 又由函数表达式可知,f(﹣1)=1﹣m, ∴1﹣m=﹣1,解得 m=2, 故 f(1)=1,m=2; (2)由(1)可知,m=2,

∴f(x)=



根据 f(x)的解析式作出函数图象如图所示,

根据 y=f(x)的图象可得,y=f(x)的单调增区间为[﹣1,1],y=f(x)的单调减区间为(﹣ ∞,﹣1)和(1,+∞) . 点评: 本题考查了分段函数的应用,主要考查了分段函数的奇偶性,分段函数的图象和分 段函数的单调性.对于分段函数的问题,一般选用分类讨论和数形结合的思想方法进行求解, 根据分段函数的图象很容易得到相关的性质, 若选用分类讨论的方法, 则关键是讨论需用哪段 解析式进行求解.属于中档题.

18. (10 分)设函数 f(x)=log3(9x)?log3(3x) ,且 ≤x≤9. (1)求 f(3)的值; (2)若令 t=log3x,求实数 t 的取值范围; (3)将 y=f(x)表示成以 t(t=log3x)为自变量的函数,并由此求函数 y=f(x)的最大值与 最小值及与之对应的 x 的值. 考点: 对数函数图象与性质的综合应用. 专题: 综合题;函数的性质及应用. 分析: (1)根据解析式求解, (2)根据对数函数的单调性求解. (3)转化二次函数求解, g(t)=t +3t+2,﹣2≤t≤2, 解答: 解: (1)∵函数 f(x)=log3(9x)?log3(3x) ,且 ≤x≤9. ∴f(3)=log3(9×3)?log3(3×3)=3×2=6, (2)令 t=log3x, ∵f(x)=log3(9x)?log3(3x) ,且 ≤x≤9. ∴ ≤t(x)≤log39,
2 2

∴实数 t 的取值范围:﹣2≤t≤2, (3)g(t)=t +3t+2,﹣2≤t≤2, 对称轴 t=﹣ ,根据二次函数的性质可得: g( )= ﹣ , ,x= ,

g(2)=12,log3x=2,x=9 故函数 y=f(x)的最大值 12,x=9,最小值 ,x= ,

点评: 本题考查了二次函数的性质,对数函数的性质,属于中档题.

19. (10 分)已知二次函数 f(x)=ax +bx(a≠0a、b 为常数)满足 f(1﹣x)=f(1+x) ,且方 程 f(x)=x 有两相等实根 (1)求 f(x)的解析式; (2)在区间 x∈[﹣1,1]上,y=f(x)的图象恒在 y=2x+m 的图象上方,试确定实数 m 的范围. 考点: 二次函数的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 本题(1)由条件 f(1﹣x)=f(1+x)得到图象对称轴为 x=1,由方程 f(x)=x 得到 方程根的判别式△ =0,得到两个关于 a、b 的方程,解方程组得到本题结论; (2)将条件转化 不恒成立问题,根据二次函数在区间上的值域,得到本题结论. 解答: 解: (1)∵f(1﹣x)=f(1+x) , ∴f(x)的对称轴为 x+1 即﹣ 即 b=﹣2a. ∵f(x)=x 有两相等实根, ∴ax +(b﹣1)x=0 的判别式(b﹣1) ﹣4a=0. ∴b=1,a=﹣ ∴f(x)=﹣ .
2 2

2

=1.

(2)由已知:f(x)>2x+m 对 x∈[﹣1,1]恒成立 ∴m<﹣ 设 g(x)=﹣ ﹣x 对于 x∈[﹣1,1]恒成立 ﹣x=﹣ ,

该函数在 x∈[﹣1,1]上递减, ∴[g(x)]min=g(1)=﹣ ,x∈[﹣1,1], ∴m< .

点评: 本题考查了恒成立问题,还考查了参变量分离的方法和函数方程思想,本题难度不 大,属于基础题. 20. (12 分)设函数 y=f(x)是定义在 R 上的函数,并且满足下面三个条件; ①对任意正数 x,y,都有 f(xy)=f(x)+f(y) ; ②当 x>1 时,f(x)<0; ③f(3)=﹣1. (Ⅰ)求
+

的值;

(Ⅱ)证明 f(x)在 R 是减函数; (Ⅲ)如果不等式 f(x)+f(2﹣x)<2 成立,求 x 的取值范围. 考点: 抽象函数及其应用;函数的单调性及单调区间;函数的值;不等式.

专题: 计算题;证明题;函数思想. 分析: (Ⅰ)求 的值;令 x=y=1 代入 f(xy)=f(x)+f(y)即可求得 f

(1) .同理求出 f(9)后,令 x=9,xy=1,代入等式即可求得答案; + (Ⅱ)证明 f(x)在 R 是减函数;取定义域中的任意的 x1,x2,且 0<x1<x2 然后根据关系 式 f(xy)=f(x)+f(y) ,证明 f(x1)>f(x2)即可; (Ⅲ)如果不等式 f(x)+f(2﹣x)<2 成立,求 x 的取值范围,由(Ⅰ)的结果得: ,再根据单调性,列出不等式.解出取值范围即 可. 解答: 解: (Ⅰ)令 x=y=1 易得 f(1)=0, 而 f(9)=f(3)+f(3)=﹣1﹣1=﹣2, 且

(Ⅱ)取定义域中的任意的 x1,x2 且

∴ ∴f(x)在 R 上为减函数. (Ⅲ)由条件(1)及(Ⅰ)的结果得: ,
+

由可(Ⅱ)得:

解得 x 的范围是



点评: 此题主要考查抽象函数的一系列问题.其中涉及到函数单调性的证明,函数值的求 解问题.属于综合性问题,涵盖知识点较多,属于中档题目.


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