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正弦定理的几种证明


正弦定理的几种证明
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正弦定理是解决斜三角形问题及其应用问题(测量)的重要定 理, 而证明它们的方法很多, 展开的思维空间很大, 研究它们的证明, 有利于培养学生的探索精神,体验数学的探索活动过程,也有利于教 师根据不同的教学质量要求和学次,进行适当的选择。

正弦定理的内容: 在?ABC中的三边和三角分别是 : a, b, c和A, B, C则: a b c = = sin A sin B sin C

一向量法
证明:在?ABC中做单位向量i ⊥ AC ,,则: i ? AB = i ? ( AC + CB) | i || AB | sin A =| i || CB | sin C a c = sin A sin C a b 同理可证: = sin A sin B a b c 即正弦定理可证 : = = sin A sin B sin C
A C i B

二高线法
C

A D

B

证明:在 ?ABC 中做高线 CD , 则在 Rt?ADC 和Rt?BDC 中 CD = b sin A, CD = a sin B 即b sin A = a sin B a b a c = ,同理可证: = , sinA sin B sin A sin C 即正弦定理可证

三外接圆法
C

A

B D

证明:做 ?ABC 的外接圆 O, 过点 C连接圆心与圆交于点 D, 连接 AD , 设圆的半径为 R ∴ ?CAD 为Rt?, 且b = R sin D, 且a∠D = ∠B b ∴ b = 2 R sin B,即 = 2R sin B a c 同理 : = 2 R, = 2R sin A sin C a b c ∴ = = sin A sin B sin C

四面积法
1 1 1 S ?ABC = bc sin A = ab sin C = ac sin B 2 2 2 a b c ∴正弦定理可证: = = sin A sin B sin C

C

A

B


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