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2015年高三一模汇编——数列


2015 年高三一模汇编——数列
一、填空题
1.(2015 杨浦一模文 3 理 3)已知等差数列 ?an ? 中, a3 ? 7, a7 ? 3 ,则通项公式为 an ? 【答案】 10 ? n n ? N

?

*

?
.

2.(2015 青浦一模文 2 理 2

)设 Sn 是等差数列 {an } 的前 n 项和,若 S7 ? 42 ,则 a4 ? 【答案】 6 3.(2015 青浦一模文 11 理 11)已知 an ? 【答案】 ?

1 n? cos ,则无穷数列 ?an ? 前 n 项和的极限为 n 2 2

.

1 5
n ??

4.(2015 嘉定一模文 9 理 9)设无穷等比数列 {an } 的公比为 q .若 lim (a2 ? a4 ? ? ? a2 n ) ? a1 ,则 q ? 【答案】

5 ?1 2

5.(2015 嘉定一模文 14 理 14)设数列 {an } 是等差数列,其首项 a1 ? 1 ,公差 d ? 0 , {an } 的前 n 项和为

S n ,且对任意 n ? N* ,总存在 m ? N* ,使得 Sn ? am .则 d ? _________.
【答案】 ?1 6.(2015 金山一模文 2 理 2)计算: lim 【答案】

3n ? 2 n = n ?? 3n ?1 ? 2 n ?1



1 3
(n?N*).

7.(2015 金山一模文 6 理 6)等差数列{an}中,a2=8,S10=185,则数列{an}的通项公式 an= 【答案】3n+2 8.(2015 浦东一模文 5 理 5)若 lim x ? 0 ,则实数 x 的取值范围是
n n??

.

【答案】 (?1, 1) 9.(2015 黄浦一模文 8 理 8) 已知二项式 (1 ? 2 x) (n ? 2, n ? N ) 的展开式中第 3 项的系数是
n *

A ,数列

?an ? (n ? N* )是公差为 2 的等差数列,且前 n 项和为 Sn ,则 lim
【答案】 2 10.(2015 普陀一模文 2)若 lim 【答案】1 11.(2015 普陀一模理 2)若 lim 【答案】1
n??

A = n ?? S n



an ? 1,则常数 a ? n?? n ? 2
an ? 1 ,则常数 a ? n?a

.

.

12.(2015 普陀一模文 12)若无穷等比数列 {an } 的各项和等于公比 q ,则首项 a1 的取值范围是

.

1

【答案】 ( ?2,0) ? (0, ] 13.(2015 普陀一模理 12)若无穷等比数列 {an } 的各项和等于公比 q ,则首项 a1 的最大值是 【答案】 .

1 4

1 4


14.(2015 松江一模文 3 理 3)在等差数列 ?an ? 中, a2 ? 6, a5 ? 15 ,则 a2 ? a4 ? a6 ? a8 ? a10 ? 【答案】90 15.(2015 松江一模文 14)在正项等比数列 ?an ? 中,已知 a1 ? a4 ? 1 ,若集合

? ? A ? ?t ? ?
【答案】7

? ? 1? ? 1? 1 ? a1 ? ? ? ? a2 ? ? ? ? ? ? at ? a1 ? ? a2 ? at ? ?

? ? ?? ? ? 0, t ? N ? ,则 A 中元素个数为 ? ? ?



16.(2015 松江一模理 14)在正项等比数列 ?an ? 中,已知 a1 ? a2015 ? 1 ,若集合

? ? A ? ?t ? ?

? ? 1? ? 1? 1 ? a1 ? ? ? ? a2 ? ? ? ? ? ? at ? a1 ? ? a2 ? at ? ?

? ? ?? ? ? 0, t ? N ? ,则 A 中元素个数为 ? ? ?



【答案】4029

1 2 4n?1 ? 1 2 17.(2015 闸北一模文 5 理 5)设 n ? N ,圆 Cn : ( x ? ) ? ( y ? 1) ? n 的面积为 Sn ,则 lim S n ? . n ? ?? n 4 ?1 【答案】 4?
?

18.(2015 长宁一模文 4 理 4)已知数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? 5 ? 4 ? 2?n ,则其通项公式为 【答案】 a n ? ?

? 3, n ? 1 ,n? N? 2? n ?2 , n ? 2

19.(2015 长宁一模文 5 理 5)已知 lim
n??

a? ?1 ? 4 ? 7 ? ? ? ? 3n ? 2 ? ? ? 7n2 ? 5n ? 2

? 6 ,则 a ?

【答案】 28 20.(2015 长宁一模文 10 理 10)已知数列 {an } 是以 ?2 为公差的等差数列, Sn 是其前 n 项和, 若 S7 是数列 ?Sn ? 中的唯一最大项,则数列 {an } 的首项 a1 的取值范围是 【答案】 (12,14) 21.(2015 静安一模文 3)已知等差数列 ?an ? 的首项为 3,公差为 4,则该数列的前 n 项和 Sn ? ________. 【答案】 2n 2 ? n 22.(2015 静安一模理 5)已知数列 ?an ? 的通项公式 an ? 2 2?n ? 2 n?1 (其中 n ? N * ), 则该数列的前 n 项和 S n ?
n 【答案】 4( 2 ?

.

.

1 ) 2n

23.(2015 宝山一模理 3 文 3)计算 lim

1 ? 2 ? 3 ? …+n = n ?∞ n2
2



【答案】

1 2

1 24.(2015 崇明一模理 7 文 7)设无穷等比数列 ?a n ? (n ? N *) 的公比 q ? ? , a1 ? 1 , 2
则 lim(a2 ? a4 ? a6 ? ? ? a2n ) ?
n??



【答案】 ?

2 3


25.(2015 崇明一模理 10 文 10)现有 10 个数,它们能构成一个以 1 为首项, ?2 为公比的等比数列,
若从这 10 个数中随机抽取一个数,则它小于 8 的概率是

【答案】

7 10
n??

26.(2015 虹口一模理 8 文 8)若数列 ?an ? 为等差数列,且 a1 ? 1, a2 ? a3 ? a4 ? 21 ,则 lim 【答案】

a1 ? a2 ? ? ? an ? n2

.

3 2

27.(2015 虹口一模理 9 文 9)设等比数列 ?an ? 的公比为 q ,前 n 项和为 S n ,若 Sn ?1 , Sn , Sn ? 2 成等差数列,则 q ? . 【答案】 ?2 28.(2015 徐汇一模理 7)设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 a1 ? 1 , S n ?


1 an ?1 ? 0(n ? N * ) , 2

?an ? 的通项公式为
?1, n ? 1 ?2 ? 3
n?2



【答案】 an ? ?

, n ? 2, n ? N *

1 1 2 1 n2 ? ( ) ? ? ? ( )n ? 2 ( x ? 1) ,其中 n ? N * . 2 2 2 n ? 2015 ,,, 2 3 ? 时, f n ( x) 的零点依次记作 x1, 当 n ?1 . x2, x3, ? ,则 lim xn ?
29.(2015 徐汇一模理 12)已知函数 f n ( x) ? 1 ?
n ??

【答案】 ?3 30.(2015 徐汇一模文 7)已知无穷等比数列 ?an ? 的各项和为 1,则首项 a1 的取值范围为 【答案】 ? 0,1? U?1, 2? 31.(2015 徐汇一模文 9)设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 a1 ? 1 , S n ?
则 .

1 1 ? an ?1 (n ? N * ) , 2 2

?an ? 的通项公式为
n ?1



【答案】 an ? 3

, n ? N*

二、选择题
1.(2015 长宁一模文 16 理 16)若正数 a,b,c 成公差不为零的等差数列,则(
3



(A)lga,lgb,lgc 成等差数列 (B)lga,lgb,lgc 成等比数列 (C) 2a , 2b , 2c 【答案】 D 2.(2015 闸北一模文 11 理 11)已知等比数列 {a n } 前 n 项和为 S n ,则下列一定成立的是( A.若 a3 ? 0 ,则 a2015 ? 0 ; C.若 a3 ? 0 ,则 S2015 ? 0 ; 【答案】C 3.(2015 杨浦一模文 18 理 18)数列 ?an ? , ?bn ? ,若区间 ? an , bn ? 满足下列条件: ① B.若 a4 ? 0 ,则 a2014 ? 0 ; D.若 a4 ? 0 ,则 S2014 ? 0 . ) 成等差数列 (D) 2a , 2b , 2c 成等比数列

?a

n ?1

, bn?1 ? ? ? an , bn ? ? n ? N * ? ;② lim ?bn ? an ? ? 0 ,则称 ?? ? an , bn ? ?? 为区间套。下列选项中,
?
n??

可以构成区间套的数列是(



?1? ?2? A. an ? ? ? , bn ? ? ? ; ?2? ?3?
C . an ? 【答案】C

n

n

n ?1? B. an ? ? ? , bn ? 2 n ?1 ?3?
D . an ?

n

n ?1

?1? , bn ? 1 ? ? ? n ?3?

n

n?3 n?2

, bn ?

n?2 n ?1

4.(2015 浦东一模文 17 理 17)等差数列 {an } 的前 n 项 和为 S n ,若 S17 ? 170 , 则a7 ? a9 ? a11 的值为( )

( A) 10
【答案】 ( D )

( B ) 20

(C ) 25

( D ) 30

5.(2015 浦东一模文 21 理 21)已知数列 ?an ? 的通项公式 an ? 2n, n ? N ? ,则

a1 a3

a2 a2 ? a4 a4

a3 a5

?

a3 a5

a4 a ? ?? ? 2012 a6 a2014
( B ) ?16104

a2013 ? ( a2015



( A) ?16096
【答案】 ( A)

(C ) ?16112

( D ) ?16120

6.(2015 奉贤一模理 21 文 21)已知数列 {an } 的首项 a1 ? 1 , an?1 ? 3Sn (n ? N * ) ,则下列结论 正确的是( ) B.数列 a2,a3, ???,an 是等比数列 D.数列 a2,a3, ???,an 是等差数列
2 *

A.数列是 {an } 等比数列 C.数列是 {an } 等差数列 【答案】B

7.(2015 宝山一模理 18 文 18)用数学归纳法证明等式 1+3+5+?+(2n-1)= n (n∈ N )的过程中, 第二步假设 n=k 时等式成立,则当 n=k+1 时应得到( A、1+3+5+?+(2k+1)= k
2


2 2

B、1+3+5+?+(2k+1)= (k ? 1)
2

C、1+3+5+?+(2k+1)= (k ? 2) 【答案】B

D、1+3+5+?+(2k+1)= (k ? 3)

8.(2015 徐汇一模理 17 文 18)某电商在“双十一”期间用电子支付系统进行商品买卖,全部商品
共有 n 类 (n ? N
*

) ,分别编号为 1, 2,?, n ,买家共有 m 名 (m ? N * , m ? n) ,分别编号为 1, 2,? , m .
4

若 aij ? ? 人数是(

?1, 第i名买家购买第j类商品


1 ? i ? m,1 ? j ? n ,则同时购买第 1 类和第 2 类商品的 ?0, 第i名买家不购买第j类商品

(A) a11 ? a12 ? ? ? a1m ? a21 ? a22 ? ?? a2m (B) a11 ? a21 ? ? ? am1 ? a12 ? a22 ? ?? am2 (C) a11a12

? a21a22 ? ? ? am1am2

(D) a11a21 ? a12 a22

? ? ? a1ma2m

【答案】C

三、解答题
1.(2015 长宁一模文 21)(本题满分 14 分,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 10 分) 已知数列{an}为等差数列,公差 d≠0,an≠0,(n∈N*),且 akx2+2ak+1x+ak+2=0 (k∈N*) (1)求证:当 k 取不同自然数时,此方程有公共根; (2)若方程不同的根依次为 x1,x2,…,xn,…,求证:数列

1 1 1 , ,? , 为等差数列. x1 ? 1 x 2 ? 1 xn ? 1

【答案】证明:(1)∵{an}是等差数列,∴2ak+1=ak+ak+2,故方程 akx2+2ak+1x+ak+2=0 可变为(akx+ak+2)(x+1)=0,………2 分 ∴当 k 取不同自然数时,原方程有一个公共根-1.………4 分

a a ? 2d 2d ? ?1 ? (2)原方程不同的根为 xk= ? k ? 2 ? ? k a a ak ak 1 ? ? ? kk , xk ? 1 2d

………………7 分

a a a ? ak ?1 ? d 1 1 1 a 1 ? ? ? k ?1 ? (? k ) ? k ? ? ? (常数) ?? k , ? xk ?1 ? 1 xk ? 1 2d 2d 2d 2d 2 xk ? 1 2d a1 a 1 ak ? ak ?1 ? d 1 1 分 1 ………………12 ? }是以 ? ? ?{ ? k ?1 ? (? k?) ?为公差的等差数列 ? ? ?. (常数) ?1 xk ?1 ? 1 xk ? 1 xk 2d 2d 2 2d 2d 2

?

?{

1 1 }是以 ? 为公差的等差数列 . xk ? 1 2
已知函数 f ( x) ? x ? (2 ? n) x ? 2n 的图像与 x 轴正半轴的交点为 A(an ,0) , n =1,2,3,….
2

2.(2015 长宁一模理 21)(本题满分 14 分,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 10 分) (1)求数列 ?a n ?的通项公式; (2)令 bn ? 3an ? (?1) n?1 ? ? ? 2 an ( n 为正整数), 问是否存在非零整数 ? ,使得对任意正整数 n , 都有 bn?1 ? bn ?若存在, 求出 ? 的值,若不存在,请说明理由.
2 【答案】解:(1)设 f ( x) ? 0 , x ? (2 ? n) x ? 2n ? 0 得 x1 ? ?2, x2 ? n 。所以 an ? n ……………4 分

(2) bn ? 3n ? (?1)n ?1 ? ? ? 2n ,若存在 ? ? 0 ,满足 bn ?1 ? bn 恒成立 即: 3
n?1

? (?1) n ? ? ? 2 n?1 ? 3n ? (?1) n?1 ? ? ? 2 n ,……6 分
3 2

n ?1 当 n 为奇数时, ( )

3 ( ) n ?1 ? (?1) n ?1 ? ? 恒成立 ……8 分 2 3 3 ? ? ? ? ? 1 ……10 分 当 n 为偶数时, ( ) n ?1 ? ?? ? ? ? ? …12 分 2 2
故: ? ? ?1 ………………………14 分

所以 ?

3 ? ? ? 1 ………………13 分, 2

5

3.(2015 长宁一模理 23)(本题满分 18 分,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分) 已知数列 {an }、  {bn }、  {cn } 满足 (an?1 ? an )(bn?1 ? bn ) ? cn (n ? N * ). (1)设 cn ? 3n ? 6,{an } 是公差为 3 的等差数列.当 b1 ? 1 时,求 b2、b3 的值; (2)设 cn ? n3 , an ? n2 ? 8n. 求正整数 k , 使得一切 n ? N * , 均有 bn ? bk ;

1 ? ( ?1)n . 当 b1 ? 1 时,求数列 {bn } 的通项公式. 2 【答案】解:(1)? an?1 ? an ? 3,?bn?1 ? bn ? n ? 2 , ……2 分 ?b1 ? 1,?b2 ? 4, b3 ? 8 ……4 分
(3)设 cn ? 2 ? n, an ?
n

(2)由 an ?1 ? an ? 2n ? 7 ? bn ?1 ? bn ?

n3 , ………………5 分 2n ? 7 由 bn?1 ? bn ? 0 ? n ? 4 ,即 b4 ? b5 ? b6 ? ?; ………………7 分
由 bn?1 ? bn ? 0 ? n ? 4 ,即 b1 ? b2 ? b3 ? b4 故 bn ? bn?1 ? (?1)n (2n?1 ? n ?1)(n ? 2, n ? N * ) , ………………9 分

? k ? 4 . ………………10 分

(3)由 an?1 ? an ? (?1)n?1 ? bn?1 ? bn ? (?1)n?1 (2n ? n) , ………………11 分

?b2 ? b1 ? 21 ?1, b3 ? b2 ? (?1)(22 ? 2),?, bn?1 ? bn?2 ? (?1)n?1 (2n?2 ? n ? 2), bn ? bn?1 ? (?1)n (2n?1 ? n ?1) 13 分
当 n ? 2k (k ? N ) 时,以上各式相加得
*

bn ? b1 ? (2 ? 2 ? ? ? 2
2

n?2

2 ? 2n?1 (?2) n ? 2 ) ? [1 ? 2 ? ? ? (n ? 2) ? (n ? 1)] ? ? 1 ? (?2) 2
n ?1

2 ? 2n n ? ? 3 2

? bn ?

n n 2? 2 n 2 n 5 ? ? 1 ?? ? ? ………………15 分 3 2 3 2 3

当 n ? 2k ? 1(k ? N ) 时,
*

bn ? bn ?1 ? (?1)n?1 (2n ? n) ?

2 ? 2n?1 n ? 1 2n n 13 ? ? 1 ? (2n ? n) ? ? ? ? ………………17 分 3 2 3 2 6

? 2n n 13 ?? 3 ? 2 ? 6 , (n ? 2k ? 1) ? * ? bn ? ? , (k ? N ) ………………18 分 n ( n ? 2k ) ?2 n 5 ? ? , ? ?3 2 3
4.(2015 长宁一模理 23 文 23)(本题满分 18 分,第 1 小题 4 分,第 2 小题 6 分,第 3 小题 8 分) 对于给定数列 {cn } ,如果存在实常数 p , q 使得 cn?1 ? pcn ? q 对于任意 n ? N 都成立,
*

我们称数列 {cn } 是“线性数列”. (1)若 an ? 2n , bn ? 3 ? 2n , n ? N ,数列 {an } 、 {bn } 是否为“线性数列”?若是,指出它对应的
*

实常数 p, q ,若不是,请说明理由; (2)证明:若数列 {an } 是“线性数列”,则数列 {an ? an?1}也是“线性数列”; (3)若数列 {an } 满足 a1 ? 2 , an ? an ?1 ? 3t ? 2n (n ? N * ) , t 为常数.求数列 {an } 前 n 项的和.

6

【答案】解:(1)因为 an ? 2n , 则有 an?1 ? an ? 2 , n ? N * 故数列 {an } 是“ 线性数列 ” , 对应的实常数分别为 1 , 2 . ……………………………2 分 . .... . 因为 bn ? 3 ? 2n ,则有 bn?1 ? 2bn

n? N*

故数列 {bn } 是“ 线性数列 ” , 对应的实常数分别为 2 , 0 . ……………………………4 分 . .... . (2)证明:若数列 {an } 是“M 类数列”,则存在实常数 p , q ,使得 an?1 ? pan ? q 对于任意 n ? N 都成立,
*

且有 an?2 ? pan?1 ? q 对于任意 n ? N * 都成立, …………………………………………7 分 因此 ? an?1 ? an?2 ? ? p ? an ? an?1 ? ? 2q 对于任意 n ? N * 都成立,故数列 ?an ? an?1 线性数列 ” …9 分 ? 也是“ . .... .

对应的实常数分别为 p , 2q . ……………………………………………………………10 分 (3)因为 an ? an?1 ? 3t ? 2n (n ? N * ) 则 当 n 为偶数时, S n ? (a1 ? a2 ) ? (a3 ? a4 ) ? ? ? (an?1 ? an ) ? 3t ? 2 ? 3t ? 2 2 ? ?3t ? 2 n?1
n

2(1 ? 4 2 ) ? 3t (2 ? 2 2 ? ? ? 2 n ?1 ) ? 3t ? ? t ? 2 n ?1 ? 2t. ………………13 分 1? 4
当 n 为奇数时, S n ? a1 ? (a2 ? a3 ) ? (a4 ? a5 ) ? ? ? (an?1 ? an ) ? 2 ? 3t ? 2 2 ? 3t ? 2 4 ? ? ? 3t ? 2 n?1
n ?1 2

? 2 ? 3t ? (2 2 ? 2 4 ? ? ? 2 n?1 ) ? 2 ? 3t ?
故数列 {an } 前 n 项的和 S n ? ?

4(1 ? 4 ) ? t ? 2 n ?1 ? 4t ? 2. ………………16 分 1? 4
………………18 分

? t ? 2 n?1 ? 2t , n为偶数
n ?1 ?t ? 2 ? 4t ? 2, n为奇数

5.(2015 闸北一模文 16)(本题满分 20 分,第(1)小题 5 分,第(2)小题 7 分,第(3)小题 8 分) 设数列 ?an ? 满足:① a1 ? 1 ;②所有项 an ? N? ;③ 1 ? a1 ? a2 ? ? ? ? ? an ? an?1 ? ? ? ? . 设集合 Am ? n | an ? m, m ? N? ,将集合 Am 中的元素的最大值记为 bm .换句话说, bm 是数列 ?an ? 中 满足不等式 a n ? m 的所有项的项数的最大值.我们称数列 ?bn ?为数列 ?an ? 的伴随数列.例如,数列 1,3,5 的 伴随数列为 1,1,2,2,3. (1)请写出数列 1,4,7 的伴随数列; (2)设 an ? 3n?1 ,求数列 ?an ? 的伴随数列 ?bn ?的前 20 之和; (3)若数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? n2 ? c (其中 c 常数),求数列 ?an ? 的伴随数列 ?bm ? 的前 m 项和 Tm . 解:(1)数列 1,4,7 的伴随数列为 1,1,1,2,2,2,3,(后面加 3 算对) (2)由 an ? 3n?1 ? m ,得 n ? 1 ? log3 m (m ? N * ) ∴ 当 1 ? m ? 2, m ? N 时, b1 ? b2 ? 1
*

?

?

………………5 分

…………………………2 分 …………………2 分 ……………2 分 …………1 分
7

当 3 ? m ? 8, m ? N 时, b3 ? b4 ? ??? ? b8 ? 2
*

当 9 ? m ? 20, m ? N 时, b9 ? b28 ? ? ? ? ? b20 ? 3 ∴ b1 ? b2 ? ? ? ? ? b20 ? 1? 2 ? 2 ? 6 ? 3 ?12 ? 50

?

(3)∵ a1 ? S1 ? 1 ? c ? 1 ∴ an ? 2n ? 1 (n ? N * )

∴ c?0

…………………1 分

当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? 2n ? 1 …………………1 分

由 an ? 2n ?1 ? m 得: n ?

m ?1 (m ? N * ) 2

因为使得 an ? m 成立的 n 的最大值为 bm , 所以

b1 ? b 2 ? 1, b 3? b ? 2??? , b , t ?2 ?1b t ?2t 4

t? ( N*

) …………………1 分

1 ? (t ? 1) 1 ? (t ? 1) ? t ? t 2 ? (m ? 1) 2 …………………2 分 2 4 1? t 1 ? t ? t 2 ? t ? m(m ? 2) …………………2 分 当 m ? 2t (t ? N * ) 时: Tm ? 2 ? 2 4
当 m ? 2t ?1 (t ? N * ) 时: Tm ? 2 ?

所以

? (m ? 1) 2 (m ? 2t ? 1 , t ? N * ? ? 4 Tm ? ? ? m(m ? 2) (m ? 2t , t ? N * ) ? ? 4

…………………1 分

6.(2015 闸北一模理 16)(本题满分 20 分,第(1)小题 6 分,第(2)小题 6 分,第(3)小题 8 分) 设数列 ?an ? 满足:① a1 ? 1 ;②所有项 an ? N? ;③ 1 ? a1 ? a2 ? ? ? ? ? an ? an?1 ? ? ? ? . 设集合 Am ? n | an ? m, m ? N? ,将集合 Am 中的元素的最大值记为 bm .换句话说, bm 是数列 ?an ? 中 满足不等式 a n ? m 的所有项的项数的最大值.我们称数列 ?bn ?为数列 ?an ? 的伴随数列.例如,数列 1,3,5 的 伴随数列为 1,1,2,2,3. (1)若数列 ?an ? 的伴随数列为 1,1,1,2,2,2,3,请写出数列 ?an ? ; (2)设 an ? 3n?1 ,求数列 ?an ? 的伴随数列 ?bn ?的前 100 之和; (3)若数列 ?an ? 的前 n 项和 S n ? 前 m 项和 Tm . 【答案】解:(1)1,4,7. (2)由 an ? 3n?1 ? m ,得 n ? 1 ? log3 m (m ? N * ) ∴ 当 1 ? m ? 2, m ? N 时, b1 ? b2 ? 1
*

?

?

3 2 1 n ? n ? c (其中 c 常数),试求数列 ?an ? 的伴随数列 ?bn ? 2 2
………………6 分

…………………………1 分 …………………1 分 …………………1 分 ……………1 分 ……………1 分 …………1 分 …………………1 分
8

当 3 ? m ? 8, m ? N 时, b3 ? b4 ? ??? ? b8 ? 2
*

当 9 ? m ? 26, m ? N 时, b9 ? b10 ? ??? ? b26 ? 3
*

当 27 ? m ? 80, m ? N 时, b27 ? b28 ? ? ? ? ? b80 ? 4 当 81 ? m ? 100, m ? N 时, b81 ? b82 ? ? ? ? ? b100 ? 5 ∴ b1 ? b2 ? ? ? ? ? b100 ? 1? 2 ? 2 ? 6 ? 3 ?18 ? 4 ? 54 ? 5 ? 20 ? 384 (3)∵ a1 ? S1 ? 1 ? c ? 1 ∴ c?0
?

?

当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? 3n ? 2 ∴
* an ? 3 n ? 2 (n ? N )

…………………2 分

由 an ? 3n ? 2 ? m 得: n ?

m?2 (m ? N * ) 3

因为使得 an ? m 成立的 n 的最大值为 bm , 所以

b1 ? b2 ? b3? 1, b? 4

b ? 5

? b6 2??? , ,t ?b3?

2 t ?

b ? 3

1t

?b

3

? t( * t

N ) ……1 分

当 m ? 3t ? 2 (t ? N * ) 时: Tm ? 3 ? 当 m ? 3t ?1 (t ? N * ) 时: Tm ? 3 ?
* 当 m ? 3t (t ? N ) 时: Tm ? 3 ?

1 ? (t ? 1) 3t 2 ? t 1 ? (t ? 1) ? t ? ? (m ? 1)(m ? 2) ………………1 分 2 2 6

1 ? (t ? 1) 3t 2 ? t 1 ? (t ? 1) ? 2t ? ? (m ? 1)(m ? 2) ……………1 分 2 2 6
…………………1 分

1? t 3(t 2 ? t ) 1 ?t ? ? m(m ? 3) 2 2 6

所以

? (m ? 1)(m ? 2) (m ? 3t ? 2 或m ? 3t ? 1 , t ? N * ) ? ? 6 Tm ? ? ? m(m ? 3) (m ? 3t , t ? N * ) ? 6 ?

……………1 分

3 7.(2015 杨浦一模理 23 文 23)数列 ?an ? 各项均不为 0,前 n 项和为 S n , bn ? an , bn 的前 n 项和为 Tn ,

且 Tn ? Sn2 (1)若数列 ?an ? 共 3 项,求所有满足要求的数列; (2)求证: an ? n ? n ? N * ? 是满足已知条件的一个数列; (3)请构造出一个满足已知条件的无穷数列 ?an ? ,并使得 a2015 ? ?2014
3 【答案】解:(1) n ? 1 时, T1 ? S12 ? a1 ? a12 ? a1 ? 1? a1 ? 0舍去?

……1 分

2 3 3 ? a13 ? a2 ? ? a1 ? a2 ? ? 1 ? a2 ? ?1 ? a2 ? ? a2 ? 2或a2 ? ?1 a2 ? 0舍去 …3 分 n ? 2 时, T2 ? S 2 2 2

?

?

3 3 +a3 ? ? a1 +a2 +a3 ? n ? 3 时, T3 ? S32 ? a13 +a2
2

2

3 当 a2 ? 2 时, 1+8+a3 ? ?1+2+a3 ? ? a3 ? 3或a3 ? ?2 ? a3 ? 0舍去?

…………4 分

3 ? 1-1+a3 当 a2 ? ?1 时, 1-1+a3

?

?

2

? a3 ? 1? a3 ? 0舍去? …………5 分
…………6 分
2

所以符合要求的数列有: 1,2,3 ; 1,2,-2 ; 1,-1,1

3 3 3 3 (2)? an ? n ,即证 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? ?1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? , 用数学归纳法证:

3 2 1. n ? 1 时, 1 ? 1 成立
2

…………7 分

3 3 3 3 2.假设 n ? k , 1 ? 2 ? 3 ? ? ? k ? ?1 ? 2 ? 3 ? ? ? k ? 成立 …………8 分

则 n ? k ? 1 时, 13 ? 23 ? 33 ? ? ? k 3 ? k ? 1 ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? k

?

? ?
3

? ? ? k ? 1?
2

3

9

? 1? k ? k ? ? 1? k 3 ? ? ? ? k ?1 ? ? ? ? 2 2 ? ? ? ? ? ? ?

?

?

2

?

?

?

?? ?
? ? ?

2

?

? 1? k ? k ? 2 k ? 4k ? 4 ? ? ? 2 ? ?
2

?

?

??

?? ?
? ? ?

2

? 1 ? k ?1 ? k ?1 ?? ? 2 ? ?

?

??

?? ?
? ? ?

2

? ?? ?1? 2 ? 3 ?? ? k ? ? k ? 1?? ? ?

2

等式也成立

…………10 分 …………11 分 …………12 分

综合 1、2,对于 n ? N * ,都有 13 ? 23 ? 33 ? ? ? n3 ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n
? an

?

?

2

? n ? n ? N * ? 是满足已知条件的一个数列。
2 3 3 3 3 Sn ?1 ? a1 ? a2 ? ? ? an ? an?1 ②
2 3 ②-①得 2an?1 ? Sn ? an ?1 ? an?1

3 3 3 (3)? Sn 2 ? a1 ① ? a2 ? ?an

2 2 ? an?1 ? 0 , 2Sn ? an?1 ? an ?1 ? 2Sn ? an?1 ? an?1 ③

…………14 分

n ? 2 时 2S

n?1

2 ? an ? an ④

2 2 2 2 ③-④得 2an ? an ?1 ? an?1 ? an ? an ? an?1 ? an ? an?1 ? an

…………15 分

?? an?1 ? an ?? an?1 ? an ?1? ? 0
? an?1 ? ?an 或 an?1 ? an ? 1 ? n ? 2 ?
构造: ⅰ) an
? n ? ?? n ?2014 ? ?1 ?

…………16 分

ⅱ) an

? ? -2014 ? ? ⅳ) an ? ? 2014 ? ??2014 ? ? n?4 ? ?

? n ? 2014, n ? N ? ? ? ? n ? 2015, n ? N ? ? n ? n ? 2014, n ? N ? ? ? ?? ?n ? 4029 ? 2015 ? n ? 4028, n ? N ? ? ? n ? 4028 ? n ? 4029, n ? N ? ? ? ? n ? n ? 2014, n ? N ? ?
* *
* * *

…………18 分

? n ? ? ? ⅲ) an ? ??2014 ? ? n?2 ? ?

? n ? 2014, n ? N ?
*

? n ? 2016, n ? N ?
*

? n ? 2015?

*

? n ? 2018, n ? N ?
*

? n ? 2015? ? n ? 2016? ? n ? 2017 ?

(答案不唯一,写出一个即可)

8.(2015 松江一模理 22 文 22)(本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 5 分,第 2 小题 满分 5 分,第 3 小题满分 6 分
1 2 k n 已知数列 ?an ? 的首项为 1,记 f (n) ? a1Cn ( n ? N ). ? a2Cn ??? ak Cn ??? anCn
*

(1)若 ?an ? 为常数列,求 f (4) 的值;

10

(2)若 ?an ? 为公比为 2 的等比数列,求 f ( n) 的解析式; (3)是否存在等差数列 ?an ? ,使得 f (n) ?1 ? (n ?1)2n 对一切 n ? N * 都成立?若存在,求出数列 ?an ? 的 通项公式;若不存在,请说明理由.
1 2 3 4 【答案】解:(1)∵ ?an ? 为常数列,∴ an ? 1 (n ? N? ) .∴ f (4) ? C4 ? C4 ? C4 ? C4 ? 15 ……………4 分

(2)∵ ?an ? 为公比为 2 的等比数列,∴ an ? 2n?1 (n ? N? ) .……………6 分
1 2 3 n ∴ f (n) ? Cn , ? 2Cn ? 4Cn ? ?? 2n?1Cn 1 2 3 n ∴ 1 ? 2 f (n) ? 1 ? 2Cn , (1 ? 2)n ? 3n …8 分 ? 22 Cn ? 23 Cn ? ?? 2n Cn
*

故 f ( n) ?

3n ? 1 . …10 分 2

(3)假设存在等差数列 ?an ? ,使得 f (n) ?1 ? (n ?1)2n 对一切 n ? N 都成立,设公差为 d ,
1 2 k n?1 n 则 f (n) ? a1Cn ……………12 分 ? a2Cn ??? ak Cn ? ?? an?1Cn ? anCn
n n?1 k 2 1 且 f (n) ? anCn , ? an?1Cn ? ?? ak Cn ? ?? a2Cn ? a1Cn 1 2 k n?1 相加得 2 f (n) ? 2an ? (a1 ? an?1 )(Cn ? Cn ??? Cn ? ?? Cn ),

∴ f (n) ? an ?

a1 ? an ?1 1 2 k n ?1 (Cn ? Cn ? ? ? Cn ? ? ? Cn ) 2

? an ?

a1 ? an ?1 n (2 ? 2) ? 1 ? (n ?1)d ? ?2 ? (n ? 2)d ? (2n?1 ?1) . 2
n?1

∴ f (n) ?1 ? (d ? 2) ? ?2 ? (n ? 2)d ? 2

? (n ? 1)2n 恒成立,

即 (d ? 2) ? (d ? 2)(n ? 2)2n ?1 ? 0 n ? N ? 恒成立,∴ d ? 2 .……………15 分 故 ?an ? 能为等差数列,使得 f (n) ?1 ? (n ?1)2 对一切 n ? N ? 都成立,它的通项公式为 an ? 2n ? 1…16 分
n

(也可先特殊猜想,后一般论证及其它方法相应给分) 9.(2015 普陀一模文 22)(本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第(1)小题 5 分,第(2)小题 6 分, 第(3)小题 5 分 已知数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,且 S n ? an ? 4 , n ?N* (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)已知 cn ? 2n ? 3 ( n ?N*),记 d n ? cn ? logC an ( C ? 0 且 C ? 1 ),是否存在这样的常数 C , 使得数列 {d n } 是常数列,若存在,求出 C 的值;若不存在,请说明理由. (3)若数列 {bn } ,对于任意的正整数 n ,均有 b1an ? b2 an?1 ? b3 an?2 求证:数列 {bn } 是等差数列; 【答案】解:(1) a1 ? 4 ? a1 ,所以 a1 ? 2 …………………………1 分 由 S n ? an ? 4 得 n ? 2 时, S n?1 ? an?1 ? 4 …2 分 两式相减得, 2an ? an?1 ,

n?2 ?1? 成立, ? ? ? bn a1 ? ? ? ? 2 ? 2?

n

an 1 ? ,…3 分 a n ?1 2

11

1 的等比数列,所以 a n ? 2 2?n ( n ? N * )……5 分 2 (2)由于数列 {d n } 是常数列 d n = cn ? logC an ? 2n ? 3 ? (2 ? n) logC 2 ………………6 分
数列 {an } 是以 2 为首项,公比为

? 2n ? 3 ? 2 logC 2 ? n logC 2 ? (2 ? logC 2)n ? 3 ? 2 logC 2 为常数………………7 分
只有 2 ? logC 2 ? 0 ,………………8 分;解得 C ?
n

2 ,………………9 分

此时 d n ? 7 ……10 分

n?2 ?1? (3) b1an ? b2 an?1 ? b3 an?2 ? ? ? bn a1 ? ? ? ? ……① 2 ? 2? 1 3 1 n ? 1 , b1 a1 ? ? ? ?1 ,其中 a1 ? 2 ,所以 b1 ? ? …………11 分 2 2 2
当 n ? 2 时, b1an?1 ? b2 an?2

?1? ? b3 an?3 ? ? ? bn?1a1 ? ? ? ? 2?

n ?1

?

n ?1 ……②……12 分 2
n

1 n ?1 ?1? ②式两边同时乘以 得, b1an ? b2 an?1 ? b3 an?2 ? ? ? bn?1a2 ? ? ? ? ……③13 分 4 2 ? 2? ?n?3 n 3 1 ①式减去③得, bn a1 ? ,所以 bn ? ? ? ……14 分 且 bn ?1 ? bn ? ? ……15 分 4 8 8 8 1 1 所以数列 {bn } 是以 ? 为首项,公差为 ? 的等差数列。……16 分 2 8
10.(2015 普陀一模理 22)(本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第(1)小题 5 分,第(2)小题 6 分, 第(3)小题 5 分 已知数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,且 S n ? an ? 4 , n ?N* (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)已知 cn ? 2n ? 3 ( n ?N*),记 d n ? cn ? logC an ( C ? 0 且 C ? 1 ),是否存在这样的常数 C , 使得数列 {d n } 是常数列,若存在,求出 C 的值;若不存在,请说明理由.

?1? n?2 (3)若数列 {bn } ,对于任意的正整数 n ,均有 b1an ? b2an ?1 ? b3an ? 2 ? ? ? bn a1 ? ? ? ? 成立, 2 ? 2? 求证:数列 {bn } 是等差数列;
【答案】解:(1) a1 ? 4 ? a1 ,所以 a1 ? 2 …………………………1 分 由 S n ? an ? 4 得 n ? 2 时, S n?1 ? an?1 ? 4 ……2 分 数列 {an } 是以 2 为首项,公比为 (2)由于数列 {d n } 是常数列 两式相减得, 2an ? an?1 ,

n

an 1 ? ,……3 分 a n ?1 2

1 * 的等比数列,所以 a n ? 2 2?n ( n ? N )……5 分 2 d n = cn ? logC an ? 2n ? 3 ? (2 ? n) logC 2 ………………6 分

? 2n ? 3 ? 2 logC 2 ? n logC 2 ? (2 ? logC 2)n ? 3 ? 2 logC 2 为常数………………7 分
只有 2 ? logC 2 ? 0 ,………………8 分;解得 C ?

2 ,………………9 分

此时 d n ? 7 10 分

12

(3) b1an ? b2 an?1 ? b3 an?2 ? ? ? bn a1 ? ? ? ?

?1? ? 2?

n

n?2 ……① 2

n ? 1 , b1 a1 ?

1 3 1 ? ? ?1 ,其中 a1 ? 2 ,所以 b1 ? ? …………11 分 2 2 2
n ?1

?1? 当 n ? 2 时, b1an?1 ? b2 an?2 ? b3 an?3 ? ? ? bn?1a1 ? ? ? ? 2?
②式两边同时乘以

?

n ?1 ……②……12 分 2
n

1 n ?1 ?1? 得, b1an ? b2 an?1 ? b3 an?2 ? ? ? bn?1a2 ? ? ? ? ……③13 分 4 2 ? 2? ?n?3 n 3 1 ①式减去③得, bn a1 ? ,所以 bn ? ? ? ……14 分 且 bn ?1 ? bn ? ? ……15 分 4 8 8 8 1 1 所以数列 {bn } 是以 ? 为首项,公差为 ? 的等差数列。……16 分 2 8
11.(2015 静安一模文 23)(本题满分 16 分) 本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 3 分,第 2 小题满分 6 分, 第 3 小题满分 7 分. 在数列 ?a n ? 中,已知 a 2 ? 1 ,前 n 项和为 S n ,且 S n ? (1)求 a 1 ; (2)求数列 ?a n ? 的通项公式; (3)设 lg bn ?

n(an ? a1 ) .(其中 n ? N *) 2

an ? 1 3n

,问是否存在正整数 p 、 q (其中 1 ? p ? q ),使得 b1 , b p , b q 成等比数列?

若存在,求出所有满足条件的数组 ( p , q ) ;否则,说明理由.

n(an ? a1 ) (a ? a1 ) ,令 n ? 1 ,得 a1 ? 1 ? 0 ,所以 a1 ? 0 ;………( 3 分) 2 2 2(a2 ? a1 ) 或者令 n ? 2 ,得 a1 ? a2 ? ,所以 a1 ? 0 2 (n ? 1)(an?1 ? a1 ) (n ? 1)an?1 (2)当 n ? 2 时, S n?1 ? ? 2 2 a a (n ? 1)an?1 nan n n , n ?1 ? ,推得 n ?1 ? ,…………(7 分) an?1 ? S n?1 ? S n ? ? an n ?1 a3 3 ?1 2 2
【答案】解:(1)因为 S n ? 又 a 2 ? 1 , a3 ? 2a 2 ? 3 ,所以 a n ?1 ? n 当 n ? 1,2 时也成立,所以 a n ? n ? 1 ,( n ? N *)…………( 9 分) (3)假设存在正整数 p 、 q ,使得 b1 , b p 、 b q 成等比数列,则 lg b1 , lg b p 、 lg bq 成等差数列,

2p 1 q ,(**)………………………( 11 分) ? ? 3 p 3 3q 1 2p 1 p 1 由于右边大于 ,则 p ? ,即 p ? . 3 3 6 3 3


p ?1 p 1? 2p ? p? ? p? 考查数列 ? p ? 的单调性,因为 p ?1 ? p ? p ?1 ? 0 ,所以数列 ? p ? 为单调递减数列.……( 14 分) ?3 ? ?3 ? 3 3 3

13

q 1 p 1 p 2 1 ? ? ,代入(**)式得 q ? ,解得 q ? 3 ;当 p ? 3 时, p ? (舍). p 9 9 9 6 3 3 3 综上得:满足条件的正整数组 ( p , q ) 为 (2,3) .………………………( 16 分)
当 p ? 2 时, (说明:从不定方程

2p 1 q 以具体值代入求解也参照上面步骤给分) ? ? 3 p 3 3q

12.(2015 静安一模理 23)(本题满分 16 分) 本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 3 分,第 3 小题满分 7 分. 在数列 ?a n ? 中,已知 a 2 ? 1 ,前 n 项和为 S n ,且 S n ? (1)求数列 ?a n ? 的通项公式; (2)求 lim

n(an ? a1 ) .(其中 n ? N *) 2

Sn n2

n???



(3)设 lg bn ?

an ? 1 3n

,问是否存在正整数 p 、 q (其中 1 ? p ? q ),使得 b1 , b p , b q 成等比数列?

若存在,求出所有满足条件的数组 ( p , q ) ;否则,说明理由.

n(an ? a1 ) 2(a2 ? a1 ) ,令 n ? 2 ,得 a1 ? a2 ? ,所以 a1 ? 0 ;( 2 分) 2 2 (a ? a1 ) (或者令 n ? 1 ,得 a1 ? 1 ? 0) 2 (n ? 1)(an?1 ? a1 ) (n ? 1)an?1 当 n ? 2 时, S n?1 ? ? 2 2 a a (n ? 1)an?1 nan n n , n ?1 ? ,推得 n ?1 ? ,…………(5 分) an?1 ? S n?1 ? S n ? ? an n ?1 a3 3 ?1 2 2
【答案】解:(1)因为 S n ? 又 a 2 ? 1 , a3 ? 2a 2 ? 3 ,所以 a n ?1 ? n 当 n ? 1,2 时也成立,所以 a n ? n ? 1 ,( n ? N *)( 6 分)

1 ………………………( 9 分) n??? n 2 (3)假设存在正整数 p 、 q ,使得 b1 , b p 、 b q 成等比数列,则 lg b1 , lg b p 、 lg bq 成等差数列,
(2) lim
2

Sn

=

2p 1 q ,(**)………………………( 11 分) ? ? 3 p 3 3q 1 2p 1 p 1 由于右边大于 ,则 p ? ,即 p ? . 3 3 6 3 3


p ?1 p 1? 2p ? p? ? p? 考查数列 ? p ? 的单调性,因为 p ?1 ? p ? p ?1 ? 0 ,所以数列 ? p ? 为单调递减数列.……( 14 分) ?3 ? ?3 ? 3 3 3
q 1 p 1 p 2 1 ? ? ,代入(**)式得 q ? ,解得 q ? 3 ;当 p ? 3 时, p ? (舍). p 9 9 9 6 3 3 3 综上得:满足条件的正整数组 ( p , q ) 为 (2,3) .………………………( 16 分)
当 p ? 2 时, (说明:从不定方程

2p 1 q 以具体值代入求解也参照上面步骤给分) ? ? 3 p 3 3q

14

13.(2015 黄浦一模文理 22)(本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 7 分, 第 3 小题满分 7 分. 定义:若各项为正实数的数列 ?an ? 满足 an?1 ? an (n ? N* ) ,则称数列 ?an ? 为“算术平方根递推数列”. 已知数列 ?xn ? 满足 xn ? 0,n ? N* , 且 x1 ? 9 , 点 ( xn ?1 , xn ) 在二次函数 f ( x) ? 2 x2 ? 2 x 的图像上.
2

(1)试判断数列 ?2 xn ? 1? (n ? N* ) 是否为算术平方根递推数列?若是,请说明你的理由; (2)记 yn ? lg(2 xn ?1) (n ? N* ) ,求证:数列 ? yn ? 是等比数列,并求出通项公式 yn ; ( 3 )从数列 ? yn ? 中依据某种顺序自左至右取出其中的项 yn1 , yn2 , yn3 ,? ,把这些项重新组成一个新数列

?zn ? :

z1 ? yn1 , z2 ? yn2 , z3 ? yn3 ,? .若数列 ?zn ? 是首项为 z1 ? ( 1 ) m ?1 、公比为 q ? 1k ( m, k ? N* ) 的无穷等
2 2
63

比数列,且数列 ?zn ? 各项的和为 16 ,求正整数 k、 m 的值. 【答案】解:(1)答:数列 ?2 xn ? 1? 是算术平方根递推数列.
2 理由:?点( xn?1 , xn ) 在函数 f ( x) ? 2 x ? 2 x 的图像上,? xn ? 2 xn ?1 ? 2 xn?1 ,

2

2 2 即2xn ? 1 ? 4xn ?1 ? 4 xn?1 ? 1 , 2 xn ? 1 ? (2 xn?1 ? 1) .

又 xn ? 0, n ? N* ,∴ 2 xn?1 ? 1 ?

2 xn ? 1, n ? N * .∴数列 ?2 xn ? 1? 是算术平方根递推数列.
2 xn ? 1, n ? N* ,? y
n ?1

1 yn . 2 1 9 又? y1 ? lg(2 x1 ? 1) ? 1( x1 ? ) ,? 数列 ? yn ? 是首项为 y1 ? 1 ,公比 q ? 的等比数列. 2 2 1 ? yn ? y1 ? ( ) n ?1 , n ? N* . 2 1 1 * (3)由题意可知,无穷等比数列 ?zn ? 的首项 z1 ? m ?1 ,公比 k (k、m ? N 且k、m为常数) , 2 2
证明(2) ? yn ? lg(2 xn ? 1), 2 xn ?1 ? 1 ?

?

1 16 16 63 .化简,得 k ? m ?1 ? 16 . ? 2 ? 1 2 2 1 ? k 63 2 16 63 16 63 16 63 ? + ? 16 .这是矛盾!? m ? 1 ? 2 . 若 m ? 1 ? 3 ,则 k ? m ?1 ? k + 2 2 2 8 2 8 16 63 又 m ? 1 ? 0或1 时, k ? m ?1 ? 16 ,? m ? 1 ? 2,即m ? 3 . 2 2
m ?1

?

16 63 k ? 1 6? , 2? k 2 4

?m ? 3, 6解得 4, k ? . ? 6? ?k ? 6.

14.(2015 奉贤一模理 28 文 28)为了加强环保建设,提高社会效益和经济效益,某市计划用若干年时间更换 一万辆燃油型公交车。每更换一辆新车,则淘汰一辆旧车,更换的新车为电力型车和混合动力型车。今年初

15

投入了电力型公交车 128 辆,混合动力型公交车 400 辆,计划以后电力型车每年的投入量比上一年增加

50% ,混合动力型车每年比上一年多投入 a 辆.设 an 、 bn 分别为第 n 年投入的电力型公交车、混合动力型
公交车的数量,设 Sn 、 Tn 分别为 n 年里投入的电力型公交车、混合动力型公交车的总数量。 (1)求 S n 、 T n ,并求 n 年里投入的所有新公交车的总数 Fn ; (2)该市计划用 7 年的时间完成全部更换,求 a 的最小值. 【答案】解:(1)设 an 、 bn 分别为第 n 年投入的电力型公交车、混合动力型公交车的数量, 依题意知,数列 {an } 是首项为 128 、公比为 1 ? 50% ? 数列 {bn } 是首项为 400 、公差为 a 的等差数列,

3 的等比数列; 2

1分 2分

3 128[1 ? ( )n ] 2 ? 256[( 3 ) n ? 1] , 所以数列 {an } 的前 n 和 Sn ? 4分 3 2 1? 2 n(n ? 1) a, 数列 {bn } 的前 n 项和 Tn ? 400n ? 6分 2 所以经过 n 年,该市更换的公交车总数 3 n(n ? 1) Fn ? Sn ? Tn ? 256[( ) n ? 1] ? 400n ? a; 7分 2 2 3 n n(n ? 1) a(a ? 0) 是关于 n 的单调递增函数, 9 分 (2)因为 256[( ) ? 1] 、 400n ? 2 2 因此 Fn 是关于 n 的单调递增函数, 10 分
所以满足 a 的最小值应该是 F7 ? 10000 ,
7 即 256[( ) ? 1] ? 400 ? 7 ?
*

11 分 12 分 13 分

3 2

7?6 3082 a ? 10000 ,解得 a ? , 21 2

又 a ? N ,所以 a 的最小值为 147. 15.(2015 奉贤一模理 30 文 30)对于正项数列 {an } ,若 则 an ? a1 ? qn?1 对 n ? N * 也恒成立是真命题. (1)若 a1 ? 1 , an ? 0 ,且 (2)若 x1 ? 4 , xn ? 【答案】解:(1)?

an ?1 ? q 对一切 n ? N * 恒成立, an

1 ? (3c) n an ?1 1 ; ? 3c(c ? , c ? 1) ,求证:数列 {an } 前 n 项和 Sn ? 1 ? 3c an 3

2 2 2 xn?1 ? 3(n ? 2, n ? N * ) ,求证: 3 ? ( ) n ?1 ? xn ? 3 ? ( ) n ?1 . 3 3

an?1 n ?1 ? 3c,? an ? a1 ? ?3c ? , an
n ?1

2分 4分

? a2 ? 3c, a3 ? 9c 2 ,? an ? ? 3c ?


n ?1

S n ? a1 ? a2 ? ? ? an ? 1 ? 3c ? 9c 2 ? ? 3c ?


16

6分

1 ? ? 3c ? ; ? Sn ? 1 ? 3c
n

7分

(2) x n ? 3 ?

2 xn ?1 ? 3 ? 3 ?
2 xn ?1 ? 3 , 3
n ?1

?

2 xn?1 ? 3 ? 3

??

2 xn ?1 ? 3 ? 3

2 xn?1 ? 3 ? 3

??

2 xn?1 ? 3 2 xn ?1 ? 3 ? 3

, 10 分

? xn ? 3 ?

11 分 , 12 分

? 2? ? xn ? 3 ? x1 ? 3 ? ? ? ? 3?
?2? ? xn ? 3 ? ? ? ?3?
n ?1

13 分
n ?1

?2? ?3 ? ? ? ?3?

n ?1

? 2? ? xn ? 3 ? ? ? ? 3?



14 分

16.(2015 嘉定一模文理 23)(本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分. 已知数列 {an } 、 {bn } 的各项均为正数,且对任意 n ? N ,都有 an , bn , an ?1 成等差数列,
*

bn , an ?1 , bn ?1 成等比数列,且 a1 ? 10 , a2 ? 15 .
(1)求证:数列 { bn } 是等差数列; (2)求数列 {an } 、 {bn } 的通项公式; (3)设 Sn ?

b 1 1 1 ? ? ? ? ,如果对任意 n ? N* ,不等式 2a ? S n ? 2 ? n 恒成立, a1 a2 an an
2 ①, an ?1 ? bnbn ?1

求实数 a 的取值范围. 【答案】解:(1)由已知, 2bn ? an ? an ?1 由②可得 an ?1 ? bnbn ?1 ③ ②, ……………………(1 分)

……………………(2 分)

* 将③代入①,得对任意 n ? 2 , n ? N ,有 2bn ? bn ?1bn ? bnbn ?1 ,

即 2 bn ? bn ?1 ? bn ,所以, { bn } 是等差数列. (2)设数列 { bn } 的公差为 d ,由 a1 ? 10 , a2 ? 15 ,得 b1 ? 所以, b1 ?

………………………(4 分)

25 , b2 ? 18 ,……(1 分) 2

5 2 2 , b2 ? 3 2 , d ? b2 ? b1 ? , ………………………(2 分) 2 2

(n ? 4) 2 5 2 2 2 .…(4 分) ? (n ? 1) ? (n ? 4) , bn ? 2 2 2 2 (n ? 3)( n ? 4) 由已知,当 n ? 2 时, an ? bn ?1bn ? ,而 a1 ? 10 也满足此式.……(5 分) 2
所以 bn ? b1 ? (n ? 1) ? d ?

17

所以数列 {an } 、 {bn } 的通项公式为: an ? (3)由(2),得 则 Sn ? 2??

(n ? 4) 2 (n ? 3)( n ? 4) , bn ? . ………(6 分) 2 2
……………………(1 分)

1 2 1 ? ? 1 ? ? 2? ? ?, an (n ? 3)(n ? 4) ?n?3 n? 4?

?? 1 1 ? ? 1 1 ? 1 ?? 1 ? ? 1 ?1 ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ?? ? 2? ? ? , …………(2 分) ? n ? 3 n ? 4 ?? ? 4 n? 4? ?? 4 5 ? ? 5 6 ?
bn 1 ? n?4 ?1 化为 4a? ? , ??2? an n?3 ?4 n? 4?
…………………(3 分)

不等式 2aSn ? 2 ?

(以下有两种解法) 解法一:不等式化为 (a ? 1)n2 ? (3a ? 6)n ? 8 ? 0 , 当 a ? 1 ? 0 ,即 a ? 1 时,不满足条件. ……………………………(4 分)
*

设 f (n) ? (a ? 1)n2 ? (3a ? 6)n ? 8 ,则 f (n) ? 0 对任意 n ? N 恒成立. ………(5 分) 当 a ? 1 ? 0 ,即 a ? 1 时,满足条件.

当 a ? 1 ? 0 ,即 a ? 1 时,函数 f ( n) 图像的对称轴为直线 x ? ?

3(a ? 2) ? 0, 2(a ? 1)

f (n) 关于 n 递减,只需 f (1) ? 4a ? 15 ? 0 ,解得 a ?
综上可得, a 的取值范围是 (?? , 1] .

15 ,故 a ? 1 . …………(8 分) 4

n 2 ? 6n ? 8 3n ? 8 * 对任意 n ? N 恒成立,即 a ? 1 ? 2 ,…(5 分) 2 n ? 3n n ? 3n 3n ? 8 3n ? 8 3n ? 8 * 设 f ( n) ? 2 ,任取 n1 、 n2 ? N ,且 n1 ? n2 ,则 f (n1 ) ? f (n2 ) ? 2 1 ? 22 n ? 3n n1 ? 3n1 n2 ? 3n2
解法二:不等式化为 a ?

?

(n2 ? n1 )[3n1n2 ? 8(n1 ? n2 ) ? 24] ? 0 ,故 f (n) 关于 n 递减. ……………………(6 分) 2 (n12 ? 3n1 )(n2 ? 3n2 )
n??

又 f (n) ? 0 且 lim f ( n ) ? 0 ,所以 1 ? 因此,实数 a 的取值范围是 (?? , 1] .

3n ? 8 ? 1 对任意 n ? N* 恒成立,所以 a ? 1 . 2 n ? 3n
………………………(8 分)

17.(2015 金山一模文理 21)(本题满分 14 分) 本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 7 分,第 2 小题满分 7 分. 已知 a>0 且 a?1,数列{an}是首项与公比均为 a 的等比数列,数列{bn}满足 bn=an?lgan(n?N*). (1)若 a=3,求数列{bn}的前 n 项和 Sn; (2)若对于 n?N*,总有 bn < bn+1,求 a 的取值范围. 【答案】解:(1) 由已知有 an ? 3n , bn ? an lg an ? n ? 3n lg 3

Sn ? [3 ? 2 ? 32 ? 3 ? 33 ? ? ? (n ? 1)3n ?1 ? n ? 3n ]lg 3 ,

3Sn ? [32 ? 2 ? 33 ? ? ? (n ? 1)3n ? n ? 3n ?1 ]lg 3 ,
所以 ? 2Sn ? (3 ? 32 ? 33 ? ? ? 3n ?1 ? 3n ? n ? 3n ?1 ) lg 3 ,

Sn ?

3 (2n ? 1) n ?1 lg 3 ? ? 3 lg 3 . ………………………………………………………7 分 4 4
18

(2) bn ? bn?1 即 nan lg a ? (n ? 1)a n?1 lg a .由 a ? 0 且 a ? 1 ,得 n lg a ? (n ? 1)a lg a ,

?0 ? a ? 1 ?a ? 1 ?lg a ? 0 ?lg a ? 0 ? ? 所以 ? 或? 即? n 或? n 对任意 n?N*成立, a ? ?(n ? 1)a ? n ? 0 ?(n ? 1)a ? n ? 0 ?a ? n ?1 ? n ?1 ? ? n 1 1 ? ,所以 0 ? a ? 或 a ? 1 ……………………………………………14 分 且1 ? n ?1 2 2
18.(2015 浦东一模理 29 文 29)(本题满分 13 分,第 1 小题 6 分、第 2 小题 7 分) 在数列 { an } , { bn } 中, a1 ? 3 , b1 ? 5 , an ?1 ? (1)求数列 { bn ? an } 、 {an ? bn } 的通项公式; (2)设 Sn 为数列 { bn } 的前 n 项的和,若对任意 n ? N ,都有 p( Sn ? 4n) ?[1, 3] ,求实数 p 的取值范围.
*

bn ? 4 a ?4 , bn ?1 ? n ( n ? N * ). 2 2

bn a 1 ? 2 , bn ?1 ? n ? 2 , bn ?1 ? an ?1 ? ? (bn ? an ) , 2 2 2 1 1 n ?1 即数列 { bn ? an } 是首项为 2,公比为 ? 的等比数列,所以 bn ? an ? 2 ? ( ? ) .…………3 分 2 2 1 1 an ?1 ? bn ?1 ? (an ? bn ) ? 4 , an ?1 ? bn ?1 ? 8 ? (an ? bn ? 8) , a1 ? b1 ? 8 ? 0 , 2 2
【答案】解:(1)因为 an ?1 ? 所以,当 n ? N 时, an ? bn ? 8 ? 0 ,即 an ? bn ? 8 .…………………………6 分
*

? an ? bn ? 8 1 n ?1 2 1 n ? (2)由 ? 1 n ?1 得 bn ? 4 ? ( ? ) , Sn ? 4n ? [1 ? ( ? ) ] , 2 3 2 bn ? an ? 2 ? ( ? ) ? ? 2 2p 1 2p 1 p ( S n ? 4n ) ? [1 ? ( ? ) n ] , 1 ? [1 ? ( ? ) n ] ? 3 , 3 2 3 2 1 n 1 2p 3 因为 1 ? ( ? ) ? 0 ,所以 .………………………8 分 ? ? 1 1 n 2 3 n 1 ? (? ) 1 ? (? ) 2 2 1 1 当 n 为奇数时, 随 n 的增大而增大, ? 1 n 1 n 1 ? (? ) 1 ? ( ) 2 2 2p 3 1 2p 3 ? 2 , ? p ? 3 ;………………………10 分 且 ,1 ? ? ? 1 3 2 3 1 ? ( 1 )n 1 ? ( )n 2 2 1 1 当 n 为偶数时, 随 n 的增大而减小, ? 1 n 1 1 ? (? ) 1 ? ( )n 2 2 4 2p 9 1 2p 3 ? 3,2 ? p ? . 且 , ? ? ? 1 n 1 2 3 1 ? ( )n 3 3 1? ( ) 2 2
19

综上, 2 ? p ? 3 .…………………………………………………………………13 分 19.(2015 青浦一模理 22 文 22)(本题满分 16 分)本题共 3 小题,第(1)小题 4 分,第(2)小题 4 分,第 (3)小题 8 分. 已 知 数 列 ?an ? 是 公 差 不 为 0 的 等 差 数 列 , a1 ?

3 , 数 列 ?bn ? 是 等 比 数 列 , 且 b1 ? a1 , 2

b2 ? ?a3 , b3 ? a4 ,数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Sn ,记点 Qn (bn , Sn ), n ? N * .
(1)求数列 ?bn ? 的通项公式; (2)证明:点 Q1、Q2、Q3、 ?、Qn、 ? 在同一直线 l 上,并求出直线 l 方程; (3)若 A ? S n ?

1 ? B 对 n ? N * 恒成立,求 B ? A 的最小值. Sn

【答案】解:(1)设等差数列 ?an ? 的公差为 d ,等比数列 ?bn ? 的公比为 q ,由题设可得

1 3 ? ?3 ? 2d ? ? q ? q ? ? ? ?2 ? 2 ?q ? ?1 2 ?? 或? ? 3 3 3 2 ?d ? 0 ? ? 3d ? q ?d ? ? ? ? 8 ?2 2 ?
因为数列 ?an ? 是公差不为 0 的等差数列,所以 q ? ?

1 3 1 n ?1 ,即 bn ? ( ? ) ……………………………4 分 2 2 2

1 ? x ? ?3 ? (? ) n ? 3 1 1 ? 2 Qn (bn , sn )即为Q ( ?(- )n ?1,1-(- )n),令 ? 得 n 2 2 2 (2) x ? 3y ? 3 ? 0 , ? y ? 1-(- 1 )n ? ? 2
即点 Q1、Q2、Q3、 ?、Qn、 ? ,在同一条直线 x ? 3 y ? 3 ? 0 上。……………………………8 分

3 1 (1 ? (? ) n ) a1 (1 ? q n ) 2 2 ? 1 ? (? 1 ) n ,…………………………………9 分 (3) Sn ? ? 1 1? q 2 1 ? (? ) 2 1 令 t ? Sn ? ,? Sn ? 0 , t 随着 S n 的增大而增大…………………………………10 分 Sn

1 ? 3? ? 5? 当 n 为奇数时, Sn ? 1 ? ( )n 在奇数集上单调递减, Sn ? ?1, ? , t ? ? 0, ? ……………………………12 分 2 ? 2? ? 6? 1 ?3 ? ? 7 ? 当 n 为偶数时, Sn ? 1 ? ( )n 在偶数集上单调递增, S n ? ? ,1? , t ? ? ? ,0 ? …………………………14 分 2 ?4 ? ? 12 ?
?tmin ? ?
1 5 7 ? 7 5? ? B ,? ? ? , ? ? ? A, B ? , tmax ? ,? A ? Sn ? Sn 6 12 ? 12 6 ?

即 B ? A 的最小值是

17 ……………………………………………16 分 12

20

20.(2015 宝山一模理 29 文 29)(本题满分 12 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 3 分,第 2 小题满分 4 分,第 3 小题满分 5 分. 已知抛物线 x 2 ? 4 y ,过原点作斜率为 1 的直线交抛物线于第一象限内一点 P1 ,又过点 P1 作斜率

1 1 的直线交抛物线于点 P2 ,再过 P2 作斜率为 的直线交抛物线于点 P3 ,?,如此继续。一般地, 2 4 1 过点 Pn 作斜率为 n 的直线交抛物线于点 Pn ?1 ,设点 Pn ( xn , yn ) . 2 (1)求 x3 ? x1 的值;
为 (2)令 bn ? x2 n ?1 ? x2 n ?1 ,求证:数列 {bn } 是等比数列; (3)记 P 为点列 P , P2n?1,… 的极限点,求点 P奇 的坐标. 1, P 3 ,… 奇 (x 奇 , y 奇 )

? x2 ? 4 y 【答案】解:(1)直线 OP 解得 P ????1 分 1 的方程为 y=x,由 ? 1 (4, 4) , ?y ? x ? x2 ? 4 y 1 1 ? ( x ? 4) ,即 y ? x ? 2 ,由 ? 直线 P2 P 得P 1 1 的方程为 y ? 4 ? 2 (?2,1) ,????2 分 2 2 ?y ? x ? 2 ? 2 2 ?x ? 4 y 1 1 3 9 ? ( x ? 2) ,即 y ? x ? ,由 ? 直线 P 1 3 得 P3 (3, ) , 2P 3 的方程为 y ? 1 ? 4 4 2 4 ?y ? x ? ? 4 2 所以 x3 ? x1 ? 3 ? 4 ? ?1 . ?????3 分
1 2 1 2 xn ) , Pn ?1 ( xn ?1 , xn ?1 ) ,由抛物线的方程和斜率公式得到 4 4 1 xn?12 ? xn 2 1 4 ?????5 分 ? n ? xn?1 ? xn ? n 4 xn?1 ? xn 2 2 8 4 所以 xn ? xn ?1 ? n ,两式相减得 xn ?1 ? xn ?1 ? ? n ?????6 分 2 2 4 用 2n 代换 n 得 bn ? x2 n ?1 ? x2 n ?1 ? ? n ,由(1)知,当 n=1 时,上式成立, 4 4 所以 {bn } 是等比数列,通项公式为 bn ? ? n . ?????7 分 4 4 4 4 4 (3)由 x2 n ?1 ? x2 n ?1 ? ? n 得, x3 ? x1 ? ? , x5 ? x3 ? ? 2 ,?, x2 n ?1 ? x2 n ?1 ? ? n ,??8 分 4 4 4 4 8 4 以上各式相加得 x2 n ?1 ? ? ,??10 分 3 3 ? 4n 8 1 2 16 ? 8 16 ? 所以 x奇 ? lim x2 n ?1 ? , y奇 ? x奇 ? . 即点 P 的坐标为 ? , ? . ??12 分 奇 n ?? 3 4 9 ?3 9 ?
(2)因为 Pn ( xn ,

21.(2015 宝山一模理 32 文 32)(本题满分 12 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 3 分,第 2 小题满分 4 分,第 3 小题满分 5 分. 设数列 {an } 的首项 a1 为常数,且 an?1 ? 3n ? 2an (n ∈N* ) .
21

(1)证明: {an ? (2)若 a1 ?

3n } 是等比数列; 5

[来源:学科网]

3 , {an } 中是否存在连续三项成等差数列?若存在 ,写出这三项,若不存在说明理由. 2

(3)若 {an } 是递增数列,求 a 1 的取值范围.

1 3 an ?1 ? (3) n ?1 3n ? 2an ? ? 3n 3n 5 5 { a ? } 是等比数列;?3 分 【答案】证明:(1)因为 = =-2,所以数列 n 1 n 1 n 5 an ? (3) an ? ? 3 5 5 n 3 9 3 (2) {an ? } 是公比为-2,首项为 a1 ? ? 的等比数列. 5 10 5 3n 3 3n 9 ? (a1 ? )(?2)n?1 ? ? (?2)n?1 , 通项公式为 an ? ??4 分 5 5 5 10 若 {an } 中存在连续三项成等差数列,则必有 2an?1 ? an ? an? 2 ,
3n ?1 9 3n 9 3n?2 9 ? (?2) n ] ? ? (?2) n ?1 ? ? (?2) n ?1 5 10 5 10 5 10 解得 n=4,即 a4 , a5 , a6 成等差数列.
即 2[ (3)如果 an?1 化简得

??7 分

? an 成立,即

3 3 3 3 ? (a1 ? )(?2)n ? ? (a1 ? )(?2) n ?1 对任意自然数均成立. 5 5 5 5

n ?1

n

4 n 3 ? 3 ? ?(a1 ? )( ?2) n ??9 分 15 5 3 4 3 n 3 4 3 ( ) ,因为 p (n) ? ? ( ) n 是递减数列, 当 n 为偶数时 a1 ? ? 5 15 2 5 15 2 所以 p(n) max ? p(2) ? 0 ,即 a1 ? 0 ; ??10 分 3 4 3 n 3 4 3 ( ) ,因为 q ( n) ? ? ( ) n 是递增数列, 当 n 为奇数时, a1 ? ? 5 15 2 5 15 2 所以 q(n) min ? q(1) ? 1 ,即 a1 ? 1; ??11 分 故 a1 的取值范围为(0,1). ??12 分
22.(2015 崇明一模理 23 文 23)(本题 18 分,第(1)小题 4 分;第(2)小题 6 分;第(3)小题 8 分)
已知等差数列 ?an ? 满足 a3 ? 7 , a5 ? a7 ? 26 . (1)求 ?an ? 的通项公式; (2)若 m ?

?1, n ? 1, 2an ,数列 ?bn ? 满足关系式 bn ? ? ,求数列 ?bn ? 的通项公式; n? 2 2 ?bn ?1 ? m, n ≥ 2,

(3)设(2)中的数列 ?bn ? 的前 n 项和 S n ,对任意的正整数 n , (1 ? n) ? (Sn ? n ? 2) ? (n ? p)2n?1 ? 2 恒成立,

【答案】解:(1)等差数列 ?an ? 满足 a3 ? 7, a5 ? a7 ? 26
得?

求实数 p 的取值范围.

? a1 ? 2d ? 7 ?2a1 ? 10d ? 26

(2 分)

所以 ?

?a1 ? 3 ? , an ? 2n ? 1 (n ? N ) (4 分) d ? 2 ?

22

(2 ) m ? 2

n ?1

(1 分)

1 n ?1 ? bn ? ? n ?1 n?2 ?bn ?1 ? 2
所以 bn

(2 分)

由上 n ? 2 时, bn

? 2 n ? 1 (4 分)
1

由于当 n ? 1 时, 2

? 1 ? 1 ? b1 ,(5 分)
p) 2n?1 ? 2

(3)由 ( 1 ? n) ? (Sn ? n ? 2)+(n ? 由于

1 ? 1 (n ? N ? ) 为减函数,(5 分) 2n 取值范围是 ?? ?,?1?。 (8 分)

? 2 n ? 1 (n ? N ? ) (6 分) 1 ? 得 p ? n ? 1 对一切 (n ? N ) 恒成立,(4 分) 2 1 所以 p ? lim ( n ? 1) ? ?1 , (6 分) 2 n ??

23.(2015 虹口一模理 22 文 22)(本题满分 16 分)本题共 3 题,第 1 小题 5 分,第 2 小题 5 分,第 3 小题 6 分.
已知各项均不为零的数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,且 4Sn ? an ? an?1 ? 1 n ? N ? ,其中 a1 ? 1 . (1)求证: a1 , a3 , a5 成等差数列; (2)求证:数列 ?an ? 是等差数列; (3)设数列 ?bn ? 满足 2bn ? 1 ?

?

?

1 ? n ? N ? ? ,且 Tn 为其前 n 项和, an

求证:对任意正整数 n ,不等式 2Tn ? log 2 an ?1 恒成立.

n ? 1 时,由a1 ? 1 ,及4=4S1 ? a1a2 ? 1 得 a2 ? 3; 【答案】解:(1)当 当 n ? 2 时,由4S2 ? 4(1 ? 3) ? a2a3 ? 1 ? 3a3 ? 1 得 a3 ? 5; ??2 分
当 n ? 3 时,由4S3 ? 4(1 ? 3 ? 5) ? a3a4 ? 1 ? 5a4 ? 1 得 a4 ? 7; 当 n ? 4 时,由4S4 ? 4(1 ? 3 ? 5 ? 7) ? a4 a5 ? 1 ? 7a5 ? 1 得 a5 ? 9; ??4 分 由此可得: a1 , a3 , a5 成等差数列. ??5 分 (2)当 n …2 时,由4an ? 4Sn ? 4Sn?1 ? (an an?1 ? 1) ? (an?1an ? 1) ? an (an?1 ? an?1 ) , 由 an ? 0, 故 an?1 ? an?1 ? 4, 即 an?2 ? an ? 4 (n ? N* ). 因此 an ? 2n ?1 (n ? N* ) ,故数列 ?an ? 是等差数列. (3)由 an ? 2n ?1, 及 2bn ? 1 ? ??7 分 ??10 分 从而 a2m?1 ? a1 ? 4(m ?1) ? 4m ? 3 ? 2(2m ?1) ?1, a2m ? a2 ? 4(m ?1) ? 4m ?1 ? 2(2m) ?1,

1 2n 2n , 得 2bn ? , 故 bn ? log 2 . an 2n ? 1 2n ? 1 2 4 6 2n ? 从而 Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ? log 2 ? ??12 分 ? ? ? ?? ? ?. 2n ? 1 ? ?1 3 5
2 ?? 2 4 6 2n ? 2n ? 1 ? ?2 4 6 2 T ? log a ? 2 log ? ? ? ? ? ? log (2 n ? 1) ? log ? ? ? ? ? 因此 n ?. 2 n ?1 2? 2 2 ?? ? ? ? 2n ? 1 ? 2n ? 1 ? 2n ? 1 ? ?1 3 5 ?? 1 3 5 ? ?

2n ? 1 ?2 4 6 设 f (n) ? ? ? ? ??? , 则 ? ? 2n ?1 ? 2n ? 1 ?1 3 5
2n 2n ? 2 ? 1 ?2 4 6 ? ? ?? ? ? 2 ? ? f (n ? 1) ? (2n ? 2) 2 4n 2 ? 8n ? 4 1 3 5 2 n ? 1 2 n ? 1 2 n ? 3 2n ? 1 ? 2n ? 2 ? ? ?? ? ? ? ? 1, ? ? 2 f ( n) 2n ? 3 ? 2n ? 1 ? (2n ? 1)(2n ? 3) 4n 2 ? 8n ? 3 2n ? 1 ?2 4 6 ? ? ? ?? ? ? ? 2n ? 1 ? 2n ? 1 ?1 3 5 ??15 分 注意到 f (n) ? 0, 故 f (n ? 1) ? f (n).
23
2

2

4 * ? 1, 从而 2Tn ? log2 an?1 ? log2 f (n) ? 0 (n ? N ). 3 即对任意正整数 n, 不等式 2Tn ? log2 an?1 恒成立.
特别地 f (n) … f (1) ?

??16 分

24.(2015 徐汇一模理 23)(本题满分 18 分) 本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3
小题满分 8 分. 已知有穷数列 {an } 各项均不相等 ,将 {an } 的项从大到小重新排序后相应的项数 构成新数列 { pn } , .... .....

? a3 ? a2 ,则其序数列 { pn } 为 1,3,2 . (1)写出公差为 d (d ? 0) 的等差数列 a1 , a2 ,L , an 的序数列 { pn } ; 3 n * (2)若项数不少于 5 项的有穷数列 {bn } 、 {cn } 的通项公式分别是 bn ? n ? ( ) ( n ? N ), 5 * 2 cn ? ?n ? tn ( n ? N ),且 {bn } 的序数列与 {cn } 的序数列相同,求实数 t 的取值范围; 1 n * (3)若有穷数列 {d n } 满足 d1 ? 1 , | d n ?1 ? d n |? ( ) (n ? N ) ,且 {d 2 n ?1} 的序数列单调递减, 2 {d 2 n } 的序数列单调递增,求数列 {d n } 的通项公式. 【答案】解:(1)当 d ? 0 时,序数列 { pn } 为 n, n ? 1,L , 2,1 ;……………………..2’ 当 d ? 0 时,序数列 { pn } 为 1, 2,L , n ? 1, n ……………………..4’ 3 n 3 ? 2n (2)因为 bn ?1 ? bn ? ( ) ? ,……..5’ 当 n ? 1 时,易得 b2 ? b1 ,当 n ? 2 时, bn?1 ? bn , 5 5 3 3 3 3 4 又因 b1 ? , b3 ? 3 ? ( ) , b4 ? 4 ? ( ) , b4 ? b1 ? b3 ,即 b2 ? b3 ? b1 ? b4 ? L ? bn , 5 5 5 t 5 故数列 {bn } 的序数列为 2,3,1, 4, L , n ,……..8’ 所以对于数列 {cn } 有 2 ? ? ,解得: 4 ? t ? 5 ……..10’ 2 2 (3)由于 {d 2 n ?1} 的序数列单调递减,因此 {d 2 n ?1} 是递增数列,故 d 2 n?1 ? d 2 n?1 ? 0 , 1 2n 1 2 n ?1 于是 (d 2n?1 ? d 2n ) ? (d 2n ? d 2n?1 ) ? 0 ,而 ( ) ? ( ) ,所以 | d 2n?1 ? d 2n |?| d 2n ? d 2n?1 | , 2 2 1 2 n ?1 ( ?1) 2 n ? 2 n ?1 从而 d 2 n ? d 2 n ?1 ? 0 , d 2 n ? d 2 n ?1 ? ( ) (1) ……………………..12’ 2 2 因为 {d 2 n } 的序数列单调递增,所以 {d 2 n } 是递减数列,同理可得 d 2 n ?1 ? d 2 n ? 0 ,
称 { pn } 为 {an } 的“序数列”.例如数列: a1 , a2 , a3 满足 a1

1 (?1) 2 n ?1 ? ?( ) 2 n ? (2) ……………………..14’ 2 22 n ( ?1) n ?1 由(1)(2)得: d n ?1 ? d n ? ……………………..15’ 2n 于是 d n ? d1 ? (d 2 ? d1 ) ? (d 3 ? d 2 ) ? ? ? (d n ? d n?1 ) ……………………..16’ 1 1 ? ( ? ) n ?1 n 1 1 ( ?1) 1 2 ? 1 ? ? 2 ? ? ? n ?1 ? 1 ? ? ……………………..17’ 1 2 2 2 2 1? 2 n 4 1 ( ?1) 4 1 ( ?1) n * ? ? ? n ?1 即数列 {d n } 的通项公式为 d n ? ? ? n ?1 ( n ? N )……………………..18’ 3 3 2 3 3 2
故 d 2 n ?1 ? d 2 n

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25.(2015 徐汇一模文 23)(本题满分 18 分) 本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 5 分,第 2 小题满分 6 分,第 3
小题满分 7 分. 已知有穷数列 {an } 各项均不相等 ,将 {an } 的项从大到小重新排序后相应的项数 构成新数列 { pn } , .... ..... 称 { pn } 为 {an } 的“序数列”.例如数列: a1 , a2 , a3 满足 a1 (1)若 x, y ? R , x ? y ? 2 且 x ? y ,写出数列: 1, xy,
?

? a3 ? a2 ,则其序数列 { pn } 为 1,3,2 .

x2 ? y2 的序数列并说明理由; 2 (2)求证:有穷数列 {an } 的序数列 { pn } 为等差数列的充要条件是有穷数列 {an } 为单调数列; 3 n * (3)若项数不少于 5 项的有穷数列 {bn } 、 {cn } 的通项公式分别是 bn ? n ? ( ) ( n ? N ), 5 * 2 n ? N ),且 {bn } 的序数列与 {cn } 的序数列相同,求实数 t 的取值范围. cn ? ?n ? tn (
【答案】解:(1)因为 x ? y ? 2 且 x ? y ,所以 xy ? x(2 ? x) ? ?( x ? 1) 2 ? 1 ? 1,……………………..2’

x2 ? y2 x 2 ? y 2 x 2 ? (2 ? x ) 2 ? ? ( x ? 1) 2 ? 1 ? 1 …………..4’ 故数列 1, xy, 的序数列 3,1,2 ;………..5’ 2 2 2 (2)充分性:因为数列 {an } 是单调数列时, a1 ? a2 ? L ? an 或 a1 ? a2 ? L ? an , 所以其序数列为 1, 2,L , n ? 1, n 或 n, n ? 1,L , 2,1 均为等差数列;……………………..8’ 必要性:当数列 {an } 的序数列为等差数列时,其序数列必为 1, 2,L , n ? 1, n 或 n, n ? 1,L , 2,1 ,

? a2 ? L ? an 或 a1 ? a2 ? L ? an ,所以数列 {an } 为单调数列;……………………..11’ 3 n 3 ? 2n (3)因为 bn ?1 ? bn ? ( ) ? ,……..13’ 当 n ? 1 时,易得 b2 ? b1 ,当 n ? 2 时, bn?1 ? bn , 5 5 3 3 3 3 4 又因 b1 ? , b3 ? 3 ? ( ) , b4 ? 4 ? ( ) , b4 ? b1 ? b3 ,即 b2 ? b3 ? b1 ? b4 ? L ? bn , 5 5 5 故数列 {bn } 的序数列为 2,3,1, 4, L , n ,……………………..16’ t 5 所以对于数列 {cn } 有 2 ? ? ,解得: 4 ? t ? 5 ……………………..18’ 2 2
所以有 a1

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