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【成才之路】2016年春高中数学 第2章 数列 2.1 数列 第1课时 数列同步练习 新人教B版必修5


【成才之路】 2016 年春高中数学 第 2 章 数列 2.1 数列 第 1 课时 数 列同步练习 新人教 B 版必修 5

一、选择题 1.下面四个结论: ①数列可以看作是一个定义在正整数集(或它的有限子集{1,2,3……,n})上的函数; ②数列若用图象表示,从图象上看都是一群孤立的点; ③数列的项数是无限的; ④数列通项的表示式是唯一的. 其中正确的是( A.①② C.②③ [答案] A [解析] 数列的项数可以是有限的也可以是无限的.数列通项的表示式可以不唯一.例 ) B.①②③ D.①②③④

如数列 1,0, -1,0,1,0, -1,0……的通项可以是 an=sin 等. 2.数列 2,0,4,0,6,0,…的一个通项公式是( A.an= [1+(-1) ] 2 C.an= [1+(-1) 2 [答案] B [解析] 经验证可知选项 B 符合要求. )



?n+3?π , 也可以是 an=cos 等 2 2

n n

n

B.an= ] D.an=

n+1
2 2

[1+(-1)

n+1

]

n+1

n+1

[1+(-1) ]

n

3.已知 an=n(n+1),以下四个数中,哪个是数列{an}中的一项( A.18 C.25 [答案] D B.21 D.30

)

[解析] 依次令 n(n+1)=18、21、25 和 30 检验.有正整数解的便是,知选 D. [点评] 由 n(n+1)=a 可知 a 应能分解为相邻两整数之积.显然 A、B、C 不满足,∴选 D. 4.已知数列{an}的通项公式是 an=

n-1 ,那么这个数列是( n+1

)

-1-

A.递增数列 C.常数列 [答案] A [解析] an=

B.递减数列 D.摆动数列

n-1 2 = 1- ,随着 n 的增大而增大. n+1 n+1
)
n

5.数列 1,-3,5,-7,9,…的一个通项公式为( A.an=2n-1 C.an=(-1) (2n-1) [答案] B
n

B.an=(-1) (1-2n) D.an=(-1) (2n+1)
n

[解析] 当 n=1 时,a1=1 排除 C、D;当 n=2 时,a2=-3 排除 A,故选 B. 6.数列 1,3,7,15,…的通项公式 an=( A.2
n

) B.2 +1 D.2
n-1 n

C.2 -1 [答案] C

n

[解析] ∵a1=1,排除 A,B;又 a2=3,排除 D,故选 C. 二、填空题 7.已知数列{an}的通项公式 an= [答案] 10 [解析] 令 an= 1 1 1 ,即 = , 120 n?n+2? 120 1 1 * (n∈N ),则 是这个数列的第________项. n?n+2? 120

解得 n=10 或 n=-12(舍去). 8 15 24 8.数列-1, ,- , ,…的一个通项公式为________. 5 7 9 [答案] an=(-1) [解析] =(-1)
n n

n·?n+2? 2n+1
1×3 2×4 3×5 4×6 , ,- , ,∴an 3 5 7 9

奇数项为负,偶数项为正,调整其各项为-

n·?n+2? . 2n+1

三、解答题 9.数列{an}的通项公式是 an=n -7n+6. (1)这个数列的第 4 项是多少? (2)150 是不是这个数列的项?若是这个数列的项,它是第几项? (3)该数列从第几项开始各项都是正数? [解析] (1)当 n=4 时,a4=4 -4×7+6=-6.
-22 2

(2)令 an=150,即 n -7n+6=150,解得 n=16(n=-9 舍),即 150 是这个数列的第 16 项. (3)令 an=n -7n+6>0,解得 n>6 或 n<1(舍), ∴从第 7 项起各项都是正数. 10.已知函数 f(x)= 是递减数列? [解析] ∵an= 1 1 ,则 an+1= . n?n+1? ?n+1??n+2? 1
2

2

x?x+1?

,构造数列 an=f(n)(n∈N+),试判断{an}是递增数列还

对任意 n∈N+,(n+1)(n+2)>n(n+1), ∴ 1 1 < , ?n+1??n+2? n?n+1?

1 1 于是 an+1-an= - <0. ?n+1??n+2? n?n+1? ∴{an}是递减数列.

一、选择题 1.已知数列{an}的通项公式为 an=n -8n+15,则 3( A.不是数列{an}中的项 B.只是数列{an}的第 2 项 C.只是数列{an}的第 6 项 D.是数列{an}的第 2 项或第 6 项 [答案] D [解析] 令 n -8n+15=3,解此方程可得 n=2 或 n=6,所以 3 可以是该数列的第 2 项, 也可以是该数列的第 6 项. 2.已知数列{an}中,a1=1, A.递增数列 C.摆动数列 [答案] B [解析] 由
2 2

)

an =2,则此数列是( an+1

)

B.递减数列 D.常数列

an =2 可知该数列的前一项是后一项的 2 倍,而 a1=1>0,所以数列{an}的项 an+1

依次减小为其前一项的一半,故为递减数列. 3.对任意的 a1∈(0,1),由关系式 an+1=f(an)得到的数列满足 an+1>an(n∈N ),则函数 y =f(x)的图象是( )
*

-3-

[答案] A [解析] 据题意,由关系式 an+1=f(an)得到的数列{an},满足 an+1>an,即该函数 y=f(x) 的图象上任一点(x,y)都满足 y>x,结合图象,只有 A 满足,故选 A. 4.已知数列{an}的通项公式是 an= A.第 12 项 C.第 12 项或第 13 项 [答案] C [解析] an= 1 156 ,n+ ≥2 156, 156 n n+

n
2

n +156

(n∈N+),则数列的最大项是( B.第 13 项 D.不存在

)

n

但由于 n∈N+取不到等号,而 a12=a13, ∴第 12 项和第 13 项都是最大项. 二、填空题 5. 根据图中的 5 个图形及相应点的个数的变化规律, 试猜测第 n 个图中有________个点.

[答案] n -n+1 [解析] 序号 n 决定了每图的分支数, 而每分支有(n-1)个点, 中心再加一点, 故有 n·(n -1)+1=n -n+1 个点. 6.已知{an}是递增数列,且对任意的自然数 n(n≥1),都有 an=n +λ n 恒成立,则实数 λ 的取值范围为________. [答案] λ >-3 [解析] 由{an}为递增数列,得
-42 2

2

an+1-an=(n+1)2+λ (n+1)-n2-λ n=2n+1+λ >0 恒成立,
即 λ >-2n-1 在 n≥1 时恒成立, 令 f(n)=-2n-1,f(n)max=-3. 只需 λ >f(n)max=-3 即可. 三、解答题 7.已知数列{an}的通项公式为 an=n -5n+4. (1)数列中有多少项是负数? (2)n 为何值时,an 有最小值?并求出最小值. [解析] (1)令 n -5n+4<0,得 1<n<4,∵n∈N ,∴n=2 或 3. 故数列中有两项是负数. 即 a2、a3 为负数. 5 2 9 2 (2)an=n -5n+4=(n- ) - . 2 4 ∵n∈N ,∴当 n=2 或 3 时,an 最小,最小值为-2. 7 5 13 8.已知数列 1,2, , , ,…. 3 2 5 (1)写出这个数列的一个通项公式 an; (2)判断数列{an}的增减性. 7 5 13 1 4 7 10 13 [解析] (1)数列 1,2, , , ,….可变为 , , , , ,….观察该数列可知,每 3 2 5 1 2 3 4 5 一项的分母恰与该项序号 n 对应,而分子比序号 n 的 3 倍 少 2, 3n-2 ∴an= .
* * 2 2

n

3n-2 2 2 (2)∵an= =3- ,∴an+1=3- , n n n+1 ∴an+1-an=3- 2

n+1

2 2 2 2 -3+ = - = >0, n n n+1 n?n+1?

∴an+1>an.故数列{an}为递增数列.

-5-


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