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数列中的奇偶项问题


数列中的奇偶项问题
例 1、(12 宁波一模)已知数列 ?an ? 满足: a1 ? 1, an?1 ? ? (1)求 b2 , b3 , 并证明: bn?1 ? 2bn ? 2; (2)①证明:数列 ?bn ? 2? 等比数列;②若 a2k , a2k ?1,9 ? a2k ?2 成等比数列,求正整数 k 的值. 解:(1) b2 =a3 ? 2a2 ? 2(a1 ?

1) ? 4, b3 =a5 ? 2a4 ? 2(a3 ? 1) ? 10,

?an ? 1, n为奇数 n ? N * ,设 bn ? a2 n?1 . , ? 2an,n为偶数

bn?1 =a2n?1 ? 2a2n ? 2(a2n?1 ? 1) ? 2(bn ? 1) ? 2bn ? 2,
(2)①因为 b1 ? a1 ? 1, b1 ? 2 ? 0, 比的等比数列. ②由数列 ?bn ? 2? 可得,bn ? 3? 2n?1 ? 2,即a2n?1 ? 3? 2n?1 ? 2 , 则 a2n ? a 2
n 1?

bn?1 ? 2 2(bn ? 2) ? ? 2, 所以数列 ?bn ? 2? 是以 3 为首项,2 为公 bn ? 2 bn ? 2

?1 ?3 ? 2

n?1

1 ? ,

因为 a2k , a2k ?1,9 ? a2k ?2 成等比数列,所以 (3? 2k ? 2)2 ? (3? 2k ?1 ?1)(3? 2k ? 8) ,令 2 =t ,
k

得 (3 ? t ? 2) ? ( t ? 1)(3t ? 8) ,解得 t ?
2

3 2

2 或4 ,得 k ? 2 . 3

例 2、(14 宁波二模)设等差数列 ?an } 的前 n 项和为 Sn ,且 a2 ? 8, S4 ? 40 .数列 ?bn ?的前 n 项和 为 Tn ,且 Tn ? 2bn ? 3 ? 0 , n ? N ? . (I)求数列 ?an ? , ?bn ? 的通项公式; (II)设 c n ? ?

? a n n为奇数 , 求数列 ?cn ? 的前 n 项和 P n. ?bn n为偶数 ? a1 ? d ? 8 ?a1 ? 4 ,得 ? ,? an ? 4n . ? 4a1 ? 6d ? 40 ?d ? 4
????3 分

解: (Ⅰ)由题意, ?

,?当n ? 1时,b1 ? 3 , Tn ? 2bn ? 3? 0

当n ? 2时,Tn?1 ? 2bn?1 ? 3 ? 0 ,两式相减,得 bn ? 2bn?1 ,(n ? 2)
数列 ?bn ?为等比数列,?bn ? 3 ? 2n?1 . (Ⅱ) cn ? ? ????7 分

n为奇数 ? 4n . n ?1 ? 3 ? 2 n为偶数

当 n 为偶数时,

P n ? (a1 ? a3 ?

? an?1 ) ? (b2 ? b4 ?

? bn )

(4 ? 4n ? 4) ?
=

2

n n 2 6(1 ? 4 ) 2? ? 2n?1 ? n2 ? 2 . 1? 4

?????10 分

当 n 为奇数时,
( n?1) ?1 (法一) n ? 1 为偶数, P ? (n ?1)2 ? 2 ? 4n ? 2n ? n2 ? 2n ?1 n ? P n ?1 ? cn ? 2

?????13 分 点评:根据结论 1 退而求之. (法二) P n ? (a1 ? a3 ?

? an?2 ? an ) ? (b2 ? b4 ?

? bn?1 )

?

(4 ? 4n) ?

n ?1 n ?1 2 2 ? 6(1 ? 4 ) ? 2n ? n2 ? 2n ? 1 . 2 1? 4

?????13 分

? 2n ?1 ? n2 ? 2, n为偶数 ? Pn ? ? n 2 ?2 ? n ? 2n ? 1,n为奇数
点评:分清项数,根据奇偶进行分组求和。 点评:

?????14 分

1、 数列中的奇数项、偶数项数列问题实质上是对一个数列分成两个新的数列进行考查,易搞错的是 新数列与原数列的项数、公差、公比的判定; 2、 数列问题主要涉及通项与求和、等差与等比、特殊数列与非特殊数列、新数列与旧数列的四大问 题的考查。 3、 常用知识点: (1) 等差数列的奇数项、偶数项各自组成一个新的等差数列。 (2)项数为奇数 2n ? 1 的等差数列有:

s奇 n ; ? s偶 n ? 1

; s奇 ? s偶 ? a n ? a 中

s2n?1 ? (2n ?1)an = a中 ? 项数

(3)项数为偶数 2 n 的等差数列有:

s奇 a ? n ; s偶 ? s奇 ? nd ; s2n ? n(an ? an?1 ) s偶 an?1
(4) 等比数列的奇数项、偶数项各自组成一个新的等比数列,公比都是 练习:

q2 。

a ? ? 2n?an为偶数?, 1. 已知数列{an}满足 an+1=? 若 a3=1,则 a1 的所有可能取值为________. ? ?an-2n?an为奇数?. 解析:当 a2 为奇数时,a3=a2-4=1,a2=5; 1 当 a2 为偶数时,a3= a2=1,a2=2; 2 当 a1 为奇数时,a2=a1-2=5,a1=7 或 a2=a1-2=2,a1=4(舍去); 1 当 a1 为偶数时,a2= a1=5,a1=10 2 1 或 a2= a1=2,a1=4. 2 综上,a1 的可能取值为 4,7,10. 答案:4,7,10
n

2. 一个数列{an},当 n 是奇数时,an=5n+1;当 n 为偶数时,an= 2 2 ,则这个数列的前 2m 项 的和是________. 解析:当 n 为奇数时,{an}是以 6 为首项,以 10 为公差的等差数列;当 n 为偶数时,{an}是以 2 为首项,以 2 为公比的等比数列.所以,

m?m-1? a2?1-2m? S2m=S 奇+S 偶=ma1+ ×10+ =6m+5m(m-1)+2(2m-1) 2 1-2 + + =6m+5m2-5m+2m 1-2=2m 1+5m2+m-2.

参考题目: 1.已知等差数列{an}的公差为 2,项数是偶数,所有奇数项之和为 15,所有偶数项之和为 25,则这 个数列的项数为( ) A.10 B.20 C.30 D.40 解析:选 A 设这个数列有 2n 项,则由等差数列的性质可知:偶数项之和减去奇数项之和等于 nd,即 25-15=2n,故 2n=10,即数列的项数为 10. 2、等比数列的首项为 1 ,项数是偶数,所有的奇数项之和为 85 ,所有的偶数项之和为 170 , 则这个等比数列的项数为 (C) (A) 4 (B) 6 (C) 8 (D) 10

3、 已知数列{an}, {bn}满足 a1=1, 且 an, an+1 是函数 f(x)=x2-bnx+2n 的两个零点, 则 b10=________. 解析:∵an+an+1=bn,an· an+1=2n,∴an+1· an+2=2n 1,∴an+2=2an.


又∵a1=1,a1· a2=2,∴a2=2,∴a2n=2n,a2n-1=2n 1(n∈N*),∴b10=a10+a11=64. a7 4、已知数列{an}满足 a1=5,anan+1=2n,则 =( ) a3


5 D. 2 + an+1an+2 2n 1 an+2 解析:选 B 依题意得 = n =2,即 =2,故数列 a1,a3,a5,a7,?是一个以 5 为 2 an anan+1 a7 首项、2 为公比的等比数列,因此 =4. a3 5.已知数列{an}满足 a1=1,an+1· an=2n(n∈N*),设 Sn 是数列{an}的前 n 项和,则 S2 014=( ) 2 014 1 007 A.2 -1 B.3×2 -3 C.3×21 007-1 D.3×21 007-2 A.2 B.4 C.5 an+2an+1 an+2 2n 1 解析:选 B 由 = = n =2,且 a2=2,得数列{an}的奇数项构成以 1 为首项,2 为 an 2 an+1an


公比的等比数列,偶数项构成以 2 为首项,2 为公比的等比数列,故 S2 +(a2+a4+a6+?+a2 014)= 1-2 2?1-2 + 1-2 1- 2
1 007 1 007

014=(a1+a3+a5+?+a2 013)

? =3×21 007-3.

对比: an+1/an=2n 则用累乘法, 6. 数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=1,a2=2,an+2-an=1+(-1)n(n∈N*),则 S100=________. 解析:由 an+2-an=1+(-1)n,知 a2k+2-a2k=2,a2k+1-a2k-1=0,∴a1=a3=a5=?=a2n-1=1, 数列{a2k}是等差数列,a2k=2k. ∴S100=(a1+a3+a5+?+a99)+(a2+a4+a6+?+a100) =50+(2+4+6+?+100) ?100+2?×50 =50+ =2 600. 2 点评:分奇偶项求和,实质分组法求和,注意公差和公比。 对比练习:(2014· 衢州模拟)对于数列{an},定义数列{an+1-an}为数列{an}的“差数列”,若 a1 =2,{an}的“差数列”的通项公式为 2n,则数列{an}的前 n 项和 Sn=________. 解析:∵an+1-an=2n, ∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+?+(a2-a1)+a1 - - =2n 1+2n 2+?+22+2+2 n 2-2 = +2=2n-2+2=2n. 1-2 + 2-2n 1 n+1 ∴Sn= =2 -2. 1-2 3 7、 (2013· 天津高考)已知首项为 的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn(n∈N*), 且-2S2, S3,4S4 成等差数列. 2 (1)求数列{an}的通项公式; 1 13 (2)证明 Sn+ ≤ (n∈N*). Sn 6 [解题指导] (1)利用等差数列的性质求出等比数列的公比,写出通项公式; (2)求出前 n 项和,根据函数的单调性证明. [解] (1)设等比数列{an}的公比为 q,因为-2S2,S3,4S4 成等差数列,所以 S3+2S2=4S4-S3,即 a4 1 S4-S3=S2-S4,可得 2a4=-a3,于是 q= =- . a3 2 1 3 3 3 - ?n-1=(-1)n-1·n. 又 a1= ,所以等比数列{an}的通项公式为 an= ×? 2 2 ? 2? 2 1?n (2)证明:Sn=1-? ?-2? , 1 1 1 - ?n+ Sn+ =1-? ? 2? Sn 1?n 1-? ?-2?

?2+2 ?2 +1?,n为奇数, =? 1 2+ ? 2 ?2 -1?,n为偶数.
n n n n

1

1 当 n 为奇数时,Sn+ 随 n 的增大而减小, Sn 1 1 13 所以 Sn+ ≤S1+ = . Sn S1 6 1 当 n 为偶数时,Sn+ 随 n 的增大而减小, Sn 1 1 25 所以 Sn+ ≤S2+ = . Sn S2 12 1 13 故对于 n∈N*,有 Sn+ ≤ . Sn 6 变式:(2013· 湖北高考)已知 Sn 是等比数列{an}的前 n 项和,S4,S2,S3 成等差数列,且 a2+a3+a4= -18. ①求数列{an}的通项公式; ②是否存在正整数 n,使得 Sn≥2 013?若存在,求出符合条件的所有 n 的集合;若不存在,说明 理由. 解析:①设数列{an}的公比为 q,则 a1≠0,q≠0. ? ?S2-S4=S3-S2, 由题意得? ? ?a2+a3+a4=-18,
?-a1q2-a1q3=a1q2, ?a1=3, ? ? 即? 解得? 2 ?a1q?1+q+q ?=-18, ? ? ?q=-2.

故数列{an}的通项公式为 an=3×(-2)n 1. 3×[1-?-2?n] ②由①有 Sn= =1-(-2)n. 1-?-2? 若存在 n,使得 Sn≥2 013,则 1-(-2)n≥2 013, 即(-2)n≤-2 012. 当 n 为偶数时,(-2)n>0,上式不成立; 当 n 为奇数时,(-2)n=-2n≤-2 012, 即 2n≥2 012,则 n≥11. 综上,存在符合条件的正整数 n,且所有这样的 n 的集合为{n|n=2k+1,k∈N,k≥5}.


点评:当数列涉及底数是负数时,要对指数 n 分奇偶讨论。


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