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江苏省上冈高级中学2011-2012学年高二上学期期末考试数学(文)试题


江苏省上冈高级中学 2011~2012 学年度第一学期期末考试

高二年级数学试卷(文科)
(考试时间:120 分钟
1.等比数列 1,3,?? 的第 4 项为 2.命题“ ? x ? R , x ? 1 ? 0 ”的否定是
2

总分:160 分)

一、填空题:本大题共 14 小题,每题

5 分,共 70 分.请把答案填写在答题纸相应位置上. ............... . . . . .

3.已知数列 { a n } 的前 n 项和 S n ? n ,则 a 5 ? a 6 的值为
3

4.已知 ? ABC 中, a ?

2,b ?

3 , B ? 60 ° ,那么角 A 等于

5.在等差数列 { a n } 中,已知 a 1 ? 2 , a 2 ? a 3 ? 13 ,则 a 4 ? a 5 ? a 6 ?
2 2

6.若△ ABC 的内角 A , B , C 所对的边 a , b , c 满足 ( a ? b ) ? c ? 4 ,且角 C=60°,则 ab 的 值为 . 7.原命题: “设 a 、 b 、 c ? R , 若 a ? b , 则 ac >bc ”则它的逆命题的真假为
2

2



8.设等比数列 { a n } 的公比 q ?

1 2 5 2

,前 n 项和为 S n ,则

S4 a4
2





9.在数列 { a n } 中, a n ? 4 n ? 数,则 A , B 的积 AB 等于 10.已知 P ( x ) : ax
2

, a 1 ? a 2 ? ? ? a n ? An

? Bn , n ? N ,其中 A , B 为常
*



? 3x ? 2 ? 0 , ?x ? R, P (x) , 若 是真命题, 则实数 a 的取值范围是___.
*

11.在数列 ? a n ? 中, a 1 ? 1 1 ,且 3 a n ? 1 ? 3 a n ? 2( n ? N ) ,则该数列中相邻两项乘积的最小 值为__________. 12.在算式“1×□+4×□=30”的两个□中,分别填入两个自然数,使它们的倒数之和最 小,则这两个数和为________. 1 1 1 1 13.给出下列四个命题:①若 a>b>0,则a >b ;②若 a>b>0,则 a-a >b-b ;③若 2a+b a 2 1 a>b>0,则 >b ;④若 a>0,b>0,且 2a+b=1,则a +b 的最小值为 9. a+2b 其中正确命题的序号是__ ____.(把你认为正确命题的序号都填上) 14.将 n 个正整数 1, 2, 3, ?,n ( n ? N*)分成两组,使得每组中没有两个数的和是一个完全 平方数,且这两组数中没有相同的数. 那么 n 的最大值是 . 二、解答题: (本大题共 6 道题,计 90 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算 .................... 步骤) .. 15.(本题满分 14 分) 已知公比为 3 的等比数列 ?b n ? 与数列 ?a n ? 满足 b n ? 3 , n ? N ,且 a 1 ? 1 .
an *

1

(1)判断 ?a n ? 是何种数列,并给出证明; (2)若 C n ?
1 a n a n ?1

,求数列 ?C n ? 的前 n 项和.

16.(本题满分 14 分) 已知△ ABC 中, D 在边 BC 上,且 BD ? 2 , DC ? 1, ? B ? 60 , ? ADC ? 150 . (1)求 AC 的长; (2)求△ ABC 的面积.
o o

17.(本题满分 14 分) 已知 { a n } 是公比为 q 的等比数列,且 a 1 , a 3 , a 2 成等差数列. (1)求 q 的值; (2)设 { b n } 是以 2 为首项,q 为公差的等差数列,其前 n 项和为 S n .当 n ? 2 时,比较 S n 与 b n 的大小,并说明理由.

2

18.(本题满分 16 分) 现有 A , B , C , D 四个盛满水的长方体容器, A , B 的底面积均为 a ,高分别为 a , b ;C , D 的 底面积均为 b ,高分别为 a , b ( a ? b ).现规定一种游戏规则,每人一次从四个容器中取两
2
2

个,盛水多者为胜,问先取者有无必胜的把握?若有的话,有几种方案?

19.(本题满分 16 分) 设实数 x , y 满足不等式组 ?
?1 ? x ? y ? 4 , ? y ? 2 ?| 2 x ? 3 | .



(1)画出点 ( x , y ) 所在的平面区域,并在区域中标出边界所在直线的方程; (2)设 a ? ? 1 ,在(1)所求的区域内,求函 y ? ax 的最大值和最小值.

3

20.(本题满分 16 分) 已知数列 ? a n ? 满足: a n ? ? 1 , a 1 ?
c n ? a n ?1 ? a n ( n ? N ) .
2 2
?

1 2

, 3(1 ? a n ? 1 ) ? 2 (1 ? a n )
2 2



2 记数列 b n ? 1 ? a n ,

(1)证明数列 ? b n ? 是等比数列; (2)求数列 ? c n ? 的通项公式; (3)是否存在数列 ? c n ? 的不同项 c i , c j , c k ( i ? j ? k )使之成为等差数列?若存在请求 出这样的不同项 c i , c j , c k ( i ? j ? k ) ;若不存在,请说明理由.

2011~2012 学年度第一学期高二年级期末考试
数 学 答 案(文科)
(考试时间:120 分钟 总分:160 分) 一、填空题:本大题共 14 小题,每题 5 分,共 70 分.请把答案填写在答题纸相应位置上. ............... 1. 27 8. 15 2. ? x ? R , x ? 1 ? 0
2

3. 152 11. ?
1 9

4.45° 5. 42 12. 15

6.

4 3

7.真 14. 14

9. -1

10. a ?

9 8

13. ②④

二、解答题: (本大题共 6 道题,计 90 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算 .................... 步骤) .. 15.(本题满分 14 分) 已知公比为 3 的等比数列 ?b n ? 与数列 ?a n ? 满足 b n ? 3 , n ? N ,且 a 1 ? 1 ,
an *

(1)判断 ?a n ? 是何种数列,并给出证明; (2)若 C n ?
1 a n a n ?1
3
a n ?1 an

,求数列 ?C n ? 的前 n 项和

15. 解:1)

bn ?1 bn

?

? 3

a n ?1 ? a n

? 3,? a n ? 1 ? a n ? 1 ,?????????

6分

3

4

即 ? a n ? 为等差数列. (2) C n
? 1 a n a n ?1 ? 1 an ? 1 a n ?1

????????????????? 7 分
,? S n ? 1 a1 ? 1 a n ?1 ? 1? 1 a n ?1 ? n n ?1

.???? 14 分

16.(本题满分 14 分) △ ABC 中, D 在边 BC 上,且 BD ? 2 , DC ? 1, ? B ? 60 , ? ADC ? 150 ,求 AC 的长 及△ ABC 的面积. 16. 解:在△ ABC 中,∠BAD=150o-60o=90o,∴AD=2sin60o= 3 .??? 4 分 在△ ACD 中,AD2=( 3 )2+12-2× 3 ×1×cos150o=7,∴AC= 7 .?? 10 分 ∴AB=2cos60 =1.S△ABC=
o o o

1 2

×1×3×sin60 =

o

3 4

3



???? 14 分

17.(本题满分 14 分) 已知 { a n } 是公比为 q 的等比数列,且 a 1 , a 3 , a 2 成等差数列. (1)求 q 的值; (2)设 { b n } 是以 2 为首项,q 为公差的等差数列,其前 n 项和为 S n .当 n ? 2 时,比较 S n 与 b n 的大小,并说明理由. 17. 解:(1)由题设 2a3=a1+a2,即 2a1q2=a1+a1q, ∵a1≠0,∴2q2-q-1=0. 1 ∴q=1 或-2. ?????????????? 6 分

n?n-1? n2+3n (2)若 q=1,则 Sn=2n+ · 1= . 2 2 ?n-1??n+2? 当 n≥2 时,Sn-bn=Sn-1= >0, 2 故 Sn>bn. ??????????????????????? 9 分 n?n-1?? 1? -n2+9n 1 - = 若 q=- ,则 Sn=2n+ . 2 2 ? 2? 4 ?n-1??n-10? 当 n≥2 时,Sn-bn=Sn-1=- , 4 故对于 n∈N*,当 2≤n≤9 时,Sn>bn; 当 n=10 时,Sn=bn;当 n≥11 时,Sn<bn. ??????????? 14 分 18.(本题满分 16 分) 现有 A , B , C , D 四个盛满水的长方体容器, A , B 的底面积均为 a ,高分别为 a , b ;C , D 的 底面积均为 b ,高分别为 a , b ( a ? b ).现规定一种游戏规则,每人一次从四个容器中取两
2
2

个,盛水多者为胜,问先取者有无必胜的把握?若有的话,有几种方案? 18. 解:(1)若先取 A、B,后者只能取 C、D.
5

因为(a3+a2b)-(ab2+b3)=a2(a+b)-b2(a+b)=(a+b)2(a-b), 显然(a+b)2>0,而 a,b 的大小不定,所以(a+b)2(a-b)正负不确定, 所以这种取法没有必胜的把握; (2)若先取 A、C,后者只能取 B、D, ??????????? 5 分

因为(a3+b2a)-(ba2+b3)=a(a2+b2)-b(a2+b2)=(a2+b2)(a-b), 显然 a2+b2>0,而 a,b 大小关系不定,所以(a2+b2)(a-b)正负不确定, 所以这种取法也没有必胜的把握; ????????????? 10 分 (3)若先取 A、D,后者只能取 B,C, 因为(a3+b3)-(a2b+ab2)=(a+b)(a2-ab+b2)-ab(a+b)=(a+b)(a-b)2, 又 a≠b,a>0,b>0,所以(a+b)(a-b)2>0,即 a3+b3>ab2+a2b, 故先取 A、D 是唯一必胜的方案. ???????????? ? 16 分 19.(本题满分 16 分) 设实数 x , y 满足不等式组 ?
?1 ? x ? y ? 4 , ? y ? 2 ?| 2 x ? 3 | .

(1)画出点 ( x , y ) 所在的平面区域,并在区域中标出边界所在直线的方程; (2)设 a ? ? 1 ,在(1)所求的区域内,求函 y ? ax 的最大值和最小值. 19. 解析:(1)已知的不等式组等价于

?1≤x+y≤4, ?1≤x+y≤4, ? ? ?y+2≥2x-3, 或?y+2≥-?2x-3?, ??????????? 2 分 ?2x-3≥0, ?2x-3<0. ? ?
解得点(x,y)所在平面区域为如图所示的阴影部分(含边界).其中 AB:y=2x-5;BC:x +y=4;CD:y=-2x+1;DA:x+y=1. ????????? ??? 4 分

?????????????? 8 分 (2)f(x,y)表示直线 l:y-ax=b 在 y 轴上的截距,且直线 l 与(1)中所求区域有公共点. ∵a>-1,∴当直线 l 过顶点 C 时,f(x,y)最大. ∵C 点的坐标为(-3,7),∴f(x,y)的最大值为 7+3a. ????? ?? 10 分
6

如果-1<a≤2,那么直线 l 过顶点 A(2,-1)时, f(x,y)最小,最小值为-1-2a. ?????????????? 13 分 如果 a>2,那么直线 l 过顶点 B(3,1)时, f(x,y)最小,最小值为 1-3a. 20.(本题满分 16 分) 已知数列 ? a n ? 满足:a n ? ? 1 ,a 1 ?
c n ? a n ? 1 ? a n ( n ? N ).
2 2
?

?????????????? 16 分
1 2

,3(1 ? a n ? 1 ) ? 2 (1 ? a n )
2 2

2 记数列 b n ? 1 ? a n , ,

(1)证明数列 ? b n ? 是等比数列; (2)求数列 ? c n ? 的通项公式; (3)是否存在数列 ? c n ? 的不同项 c i , c j , c k ( i ? j ? k )使之成为等差数列?若存在请求 出这样的不同项 c i , c j , c k ( i ? j ? k ) ;若不存在,请说明理由. 20.解: (1)由已知 a n ? ? 1, b n ? 0 ( n ? N * )
3 (1 ? a n ? 1 ) ? 2 (1 ? a n )
3 4
2 2

b1 ?

3 4



b n ?1

, b n
2 3

?

2 3

(n ? N )
*

???????? 3 分

所以 { b n } 是 (2) b n ?
2

为首项,

为公比的等比数列 ????????5 分

3 2 n ?1 2 n ?1 2 * ?( ) (n ? N ? ( ) (n ? N ) , a n ? 1 ? b n ? 1 ? 4 3 4 3
3
2

*

) ??7 分

c n ? a n ?1 ? a n

?

1

2 n ?1 * ? ( ) (n ? N ) 4 3

???????10 分

(3)假设存在 c i , c j , c k 满足题意成等差数列,
2 c j ? c i ? c k 代入得 2 ?

1

2 ?( ) 4 3

j ?1

?

1

2 i ?1 1 2 k ?1 ?( ) ? ?( ) 4 3 4 3

??????12 分

2 2

j ? i ?1 j ? i ?1

? 3 ? 2

j?i

? 2

k ? j?i j?i

k ? j?i

,左偶右奇不可能成立。所以假设不成立, ?????????????????????16 分

? 3

这样三项不存在。

7

8


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