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法向量在立体几何中的应用


对高中数学“立体几何中的向量方法”一节例题教学的建议 对高中数学“立体几何中的向量方法”一节例题教学的建议
——浅谈法向量在立体几何中的应用 ——浅谈法向量在立体几何中的应用
海口市一中数学组 海口市一中数学组 冯钰雯
人民教育出版社课程教材研究所与中学数学课程教材研究开发中心编著的 《普通高中课程标准实验教科书选修 2-1》第三章空间向量与立体几何,第 2 小 节立体几何中的向量方法一节,教科书通过安排了“思考”“探究”等栏目,讨 、 论用向量表示空间中的点、直线与平面的位置,介绍了直线的方向向量与平面的 法向量,以及用向量表示空间中直线、平面平行、垂直及夹角等,在此内容之后 配套了相关的练习,为用向量方法解决立体几何问题作了铺垫.教科书接下来通 过四个逐步深入展开的例题讨论本节主题, 即立体几何中的向量方法, 其中例 1、 例 2 直接利用向量运算,例 3、例 4 把向量方法与坐标方法相结合,最后以框图 形式引导学生进行小结,使学生对本节内容主题的认识进一步深化,提高抽象概 括能力.本节内容能很好使学生理解并掌握向量方法解决立体几何问题的一般方 法(三步曲). 但笔者认为,教科书本节内容中的例题 4,在教学中可以更好地加以整合及 补充,以进一步提高学生解决空间几何问题的能力.以下就例题 4 及其相关的建 议及整合补充进行说明: Ⅰ 例题 4 再现 例 4 如图 1,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,侧棱 PD ⊥ 底面 ABCD , PD = DC ,点 E 是 PC 的中点,作 EF ⊥ PB 交 PB 于点 F . ⑴求证: PA //平面 EDB ; ⑵求证: PB ⊥ 平面 EFD ; ⑶求二面角 C ? PB ? D 的大小. 解: 如图 2 所示建立空间直角坐标系, D 为坐标原点, 点 设 DC = 1 . ⑴证明:连接 AC , AC 交 BD 于点 G ,连接 EG .
? 1 1? 依题意得 A(1,0,0) , P(0,0,1) , E ? 0, , ? . ? 2 2?
P

F

E

D A B

C

图1

z
P

因为底面 ABCD 是正方形,所以点 G 是此正方形的 中心,
?1 1 ? 故点 G 的坐标为 ? , ,0 ? , ?2 2 ?
A
D

F

E

C

y

G
B

1? ?1 且 PA = (1,0,?1) , EG = ? ,0,? ? . 2? ?2

x

图2

所以 PA = 2 EG ,即 PA // EG .

1

而 EG ? 平面 EDB , PA ? 平面 EDB ,因此 PA //平面 EDB
? 1 1? ⑵证明:依题意得 B(1,1,0 ) , PB = (1,1,?1) , 又 DE = ? 0, , ? , ? 2 2?

故 PB ? DE = 0 +

1 1 ? =0, 2 2

所以 PB ⊥ DE

由已知 EF ⊥ PB ,且 EF I DE = E , 所以 PB ⊥ 平面 EFD . ⑶解:已知 PB ⊥ EF ,由⑵可知 PB ⊥ DF ,故 ∠EFD 是二面角 C ? PB ? D 的平 面角, 设点 F 的坐标为 ( x, y, z ) ,则 PF = ( x, y, z ? 1) . 因 为 PF = k PB , 所 以 ( x, y, z ? 1) = k (1,1,?1) = (k , k ,?k ) , 即 x = k , y = k ,
z = 1? k ,

因为 PB ? DF = 0 ,所以 (1,1,?1) ? (k , k ,1 ? k ) = k + k ? 1 + k = 3k ? 1 = 0 , 所以 k =
1 ?1 1 2? ,点 F 的坐标为 ? , , ? , 3 ?3 3 3?

? 1 1? ? 1 1 1? 由点 E 的坐标为 ? 0, , ? ,所以 FE = ? ? , ,? ? , ? 2 2? ? 3 6 6?
? 1 1 1? ? 1 1 2? 1 ? ? , ,? ? ? ? ? ,? ,? ? FE ? FD ? 3 6 6 ? ? 3 3 3 ? 6 1 = 因为 cos ∠EFD = = = , 1 2 6 6 FE ? FD × 3 6 3

所以 ∠EFD = 60° ,即二面角 C ? PB ? D 的大小为 60° . Ⅱ 关于例 4 的建议 自 2004 年以来,全国轰轰烈烈进行着高中新课程改革,向量是此次新课程 增加的基础内容之一.空间向量为处理立体几何问题提供了新的视角.它的引入, 为解决三维空间中图形的位置关系与度量问题提供了一个十分有效的工具. 例 4 的三个小问, 分别涉及证明直线与平面平行、 垂直, 计算二面角的大小, 这三个方面的问题都可以利用向量解决.前两问的证明教材使用坐标法,由向量 表示转到有关判定定理.该问在教学时教师可以组织学生讨论如何利用已知条件 适当建立空间直角坐标系,展示向量方法与坐标方法相结合的优越性.第⑶小问 教科书采用了先找出所求二面角的平面角, 再用向量方法通过求平面角的大小来 求二面角的大小. 但笔者在教学的过程中,发现对于求二面角的第⑶个小问,学生不容易由第 ⑵问得到 ∠EFD 就是二面角的平面角,而且该问如果没有第⑵小问做铺垫,学生 不容易找出该二面角的平面角.笔者认为,本小节前面教科书花了较大篇幅介绍 并学习了直线的方向向量及平面的法向量, 这两种向量的利用在解决一些问题时
2

能够把复杂的问题简单化,尤其是在解决有关二面角的问题时,平面的法向量的 利用能让许多不擅长分析证明,擅长计算的学生多了一种解题的选择,因为用法 向量去求二面角的大小可以不用找出或构造出二面角的平面角并证明求解, 它只 需通过计算并观察就可求出二面角的大小, 所以如果教师在教学时就适当给学生 补充利用法向量解题的例子, 学生可以在掌握之后并加以使用必能提高解题效率. 所以,笔者在上述教材分析之后,补充了该小问法向量的教学,其解法如下: 依题意,有 C (0,10 ) , P (0,01) , B (1,10) , D(0,0,0 ) 则 PB = (1,1,?1) , PC = (0,1,?1) , PD = (0,0,?1) 设 m = (x, y , z ) 为平面 PBD 的一个法向量, 则?
?m ? PD = 0 ? ?m ? PB = 0 ?

即?

?z = 0 ?x = ? y 解得 ? , ?x + y ? z = 0 ?z = 0

令 x = 1 ,得 m = (1,?1,0) 为平面 PBD 的一个法向量. 同法可求平面 PBC 的一个法向量为 n = (0,1,1) . ∴ cos m, n =
m?n m?n = 1 =? , 2 2? 2
m n

?1

根据图形可观察得到二面角 C ? PB ? D 是锐二面角, ∴二面角 C ? PB ? D 的大小为 60° . 总之, m 、n 分别是二面角 α ? l ? β 的两个面 α 、β 设 的法向量,则 cos m, n = 或其补角.
m?n m?n

α β
l

, m, n 就是二面角的平面角

Ⅲ关于例题 4 的补充 在笔者随机翻阅的 07、08 两年共 38 套的高考题中,有 22 套高考题均有考 核二面角的大小或其三角函数.所以教师应在平时多给学生时间练习有关二面角 的习题,对学生在考试中立体几何方面多拿分将有所帮助.此外,38 套高考题中, 均有不同程度地考核到求线面角、点面距等有关问题.故笔者认为,继第⑶小问 之后,教师可以补充以下几个小问,即: ⑷求面 DEF 与面 ABCD 所成角的余弦值. 该问求的是面与面所成的角,传统的解法是通过在两个相交平面的交线取点 做平面角来求面面角.但该问题中的两个平面即面 DEF 与面 ABCD 无交线,通过 找出两平面的平面角来解决问题比较困难, 所以它是利用法向量解决面面所成角 问题的一个很好的例子.其解法如下: 由已知 PD ⊥ 底面 ABCD ,可得 PD 为面 ABCD 的一个法向量,

3

由⑵可知 PB 为面 EFD 的一个法向量, ∵ PD = (0,0,?1) , PB = (1,1,?1) , ∴ cos PD, PB =
PD ? PB PD ? PB = 1 1× 3 = 3 , 3
3 3

即面 DEF 与面 ABCD 所成角的余弦值为

总之,两平面所成角的大小与二面角的大小均可以通过构造所成角的平面角 来求,但当构造平面角较难时,就可以利用平面的法向量来求.但要注意的是两 个平面所成的角一定是不大于 90° 的角,而二面角是两个半平面所成的角,其取 值范围是 [0°,180°] ,有时不易判断两半平面法向量的夹角的大小是与二面角的大 小是相等的还是互补的,但由于二面角是钝二面角还是锐二面角一般是明显的, 所以我们完全可以根据图形观察得到结论. 由上可见,用向量法求面面夹角可大大降低思维难度,用法向量求角的大小 又可以省去烦琐的作图过程,最终把抽象的空间想象全部转化为代数运算. ⑸求直线 CE 与面 DEF 所成的角的余弦值. 该问是求线面所成的角,求线面角的传统方法是要先在平面上做出斜线在平 面内的射影,斜线与射影所成的角就是该直线与平面所成的角.而用向量法求直 线与平面所成的角,可避开找角的困难,只要计算上不失误就可以正确求出角的 大小. 该问用向量法的解题过程如下: 由⑷知 PB 是面 DEF 的一个法向量,且 PB = (1,1,?1) , 又∵ CE = ? 0,? , ? ,
1 ? 1? 1 × 0 + 1 × ? ? ? + (? 1) × 6 PB ? CE 2 ?1 ? 2? ∴ cos PB, CE = = = =? , 3 1 6 PB ? CE 3× 2 2
? ? 1 1? 2 2?

设直线与平面 DEF 所成角为 θ , 则 sin θ = cos PB, CE =
6 , 3 2 3 = , 3 3 3 . 3

∴ cos θ = 1 ? sin 2 θ = 1 ?

∴直线与面 DEF 所成角的余弦值为

总之,用向量法解线面角问题时有这样的结论:设直线 l 的方向向量为 a ,

4

平面的法向量为 u ,直线与平面所成的角为 θ , a 与 u 的夹角为 ? ,则有
sin θ = cos ? = a?u a? u

或 cos θ = sin ? .

⑹求点 C 到面 DEF 的距离.
该问是求点到平面的距离,这类问题传统的解决方法是过该点做平面的垂线 段,垂线段的长度即为所求的点到平面的距离.而用法向量求点到平面的距离, 垂线段常常不必作出来,只需设出垂线段对应的向量或平面的法向量,利用公式 即可求解. 该问的解答如下: ∵ CE = ? 0,? , ? , PB = (1,1,?1) ,
CE ? PB PB
? ? 1 1? 2 2?

∴点 C 到面 DEF 的距离 d =

=

1 3

=

3 . 3

总之,用向量法求点面距的一般求法是,先求出该平面的一个法向量,然后 找出从该点出发到平面的任一条斜线段对应的向量, 最后求出法向量与斜线段向 量的数量积的绝对值再除以法向量的模, 即可求出点到平面的距离.即设 n 是平面
α 的法向量, AB 是 α 的一条斜线, A ∈ α ,则点 B 到平面的距离 d =
AB ? n

.
n

求直线与平面的距离时,如图,直线 a //平面 α ,因直线 a 上任一点到平面 α 的距离与直线 a 到平面 α 的距离相等.故直线 a 与平面 A a
α 的距离为 d =
AB ? n n n

, 其中 A 为直线 a 上任一点, 为 B
α B
C

平面 α 内任一点, n 为平面 α 的法向量.求平面与平面

的距离类似以上分析. 总之, 直线和平面的距离与两平行平面的距离可转化为点到平面的距离来求. 随着新教材的推广使用,利用向量解决立体几何一系列问题必将成为高考命 题的一个新的热点.在笔者翻阅的 07、08 年的高考题中,立体几何题均不同程度 考核到了有关证明线线、线面、面面垂直与平行,求二面角的大小(或其三角函 数值) ,求线面角、异面直线所成的角等问题,这类问题均可以利用空间向量解 决.可见空间向量的引入,为解决立体几何中某些用综合法解决时技巧性较大、 随机性较强的问题提供了一些通法.所以,教师更应在课堂教学中加强法向量的
5

应用.

6


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