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2.3.1-2平面向量的基本定理及坐标表示


2.3.1 2.3.2

平面向量的基本定理 平面向量的正交分解 及坐标表示

问题提出

1. 向量加法与减法有哪几种几何运算 法则?

? 2.怎样理解向量的数乘运 算?a ?
? ? (1) | ?a |?| ? || a |;? (2)当 ? ? 0 时, ?a ? 的方向与 当 ? ? 0 时, ?a 的方向与 ? ? (3)当 ? ? 0 时,或 a ? 0 时,

? a ? 的方向相同; a 的方向相同 ; ? ? ?a ? 0

3.平面向量共线定理是什么?
非零向量a与向量b共线 一实数λ ,使b=λa.
4. 定理的应用: 1).证明 向量共线

存在唯

2).证明 三点共线:
AB ? ? BC
AB// BC

又AB ? BC ? B

A,B,C三点共线

问题:一天,2只住在正西方向的大猴子和4只住在 北偏东30°方向的小猴子同时发现一筐桃子,他 们分别朝着自己住的方向拉,已知每只大猴子的 拉力是100牛顿,每只小猴子的拉力是50牛顿,问 这筐桃子往哪边运动?
如果是1只大猴子和4只小猴子呢?

如果要让这筐桃子往我们指定的方向运动,只需将 大小猴子的数量做出相应的调整!

C

M

a

e1

e2
N

a
B e 1

A o e2

OC=OM+ON = ? 1 e1+ ? 2 e2

思考:给定平面内任意两个向量 e

e2 , 、 e1 - 2e2?平面内任一向 如何作出向量 3e1 + 2e2 、 量是否都可以用形如 a =λe 的向量表示 1 1 +λ 2 e2 呢?
1

e1

a

3e1 + 2e2

e2

e1 - 2e2

e1

O

e2

平面向量的基本定理
如果 e1 , e2 是同一平面内的两个 不共线的向量,那么对于这一平面内

的任意向量 a ,有且只有一对实数 λ 1
λ 、 2 ,使

a =λe 1 1 +λ 2 e2

我们把不共线的向量 e1 ,e2 叫做 表示这一平面内所有向量的一组基底。

对定理的理解:
1)基底: 不共线的向量e1 e2。 同一平面可以有不同基底。 2)平面内的任一向量都可以沿两个不共 线的方向分解成两个向量的和的形式 3)分解是唯一的(给定基底后)

思考
(1)一组平面向量的基底有多少对? (有无数对) M C F M a N C

A a O B
O

N

E

B

已知两个非零向量 a , b ,

b
O

作 OA = a,OB = b

q

0 θ 1800 ) 则 ∠AOB =θ(0 #

a

A

叫做向量 a 与 b 的夹角。

当 θ= 00 时,a 与 b 同向;
0 θ = 180 当 时, a 与 b 反向。

如果 a 与 b 的夹角是900,我们说 a 与 b 垂直
记作 a ⊥ b

判断对错,并说明理由 1、 e1 、e2 是平面内的一组向量,则平面内任一向

(错) 量都可以表示为 a =λe ,其中λ λ 1、 2 ? R 1 1 +λ 2 e2
e1 、e2 是平面内的一组基底,若实数λ λ 2、 1、 2 使
λe 1 1 +λ 2 e2 = 0

(对) ,则 λ 1 =λ 2 =0

3、如果 e1 , e2 是同一平面内的两个不共线的向 量,那么对于这一平面内的任意向量

a ,可能有无
(错)

λ 数对实数 λ 1 、 2 ,使 a =λe 1 1 +λ 2 e2

课堂练习

(1)已知ABCD为矩形,且AD=2AB,又△ADE为等腰三角
形,F为ED的中点, EA ? e1, EF ? e2 ,以e1, e2为基底 表示向量

e2 ? e1 ___;AB ? __________ e2 AF ? __________ _________
2e2 ? e1 ___;BD ? __________ e2 ? e1 AD ? __________ _________
B

AF AB ? EF ? EF ? AD EA ?e ? e2 ?? eFD BD AD ?? AB e ? ? 2e ?? e1 ?? e2 2e ? e 2 AF 1 2 ? ? e e 2 1 2 2 1
A

?

? e2 ? e1

?

e1

C

D

F

e2

E

如图,光滑斜面上一个木块受到的重力为G, 下滑力为F1,木块对斜面的压力为F2,这三个力 的方向分别如何?三者有何相互关系? 在物理中,力是一个向量, 力的合成就是向量的加法 运算.力也可以分解,任 何一个大小不为零的力, F1 都可以分解成两个不同方 F2 向的分力之和.将这种力 G 的分解拓展到向量中来, 就会形成一个新的数学理 论.

平面向量的正交分解及坐标表示

平面向量的坐标表示
分别取与x轴、y轴方向相同的 yj 两个单位向量i、j 作为基底. ? j 任作一个向量 a ,由平面向量 x O i xi 基本定理知,有且只有一对实数 x 、 ? ? ? y, 使得 a ? xi ? yj ? 把有序数对(x,y)叫做向量 a 的坐 ? i= ( 1, 0 )标,记作 a ? ( x, y)
a y

j= ( 0, 1 )
0= ( 0, 0

? 其中x 叫做a 在x 轴上的坐标, ? ) y叫做 a 在y 轴上的坐标

? ? ? ? 例2 如图,写出向量 a , b , c , d 的坐标. y ? ? 5 b ? (-2,3) a ? (2,3)

b

2
j

a

-4 -2

? c ? (-2,-3)

c

O
-2
-5

i 2

4

d

? d ? (2,?3)

x

? ? ? 解:由图可知 a ? AA ? AA2 ? 2i ? 3 j 1 ? 所以 a ? (2,3) ? ? ? 同理:b ? (-2,3) c ? (-2,-3) d ? (2,?3)

相等的向量坐标相同
y

能说出向量
a b

? ? a, b

的坐标吗?

yj yj j O i

? ? ? a ? xi ? yj ? ( x, y) ? ? ? b ? xi ? yj ? ( x, y )

xi

xi

? ? 向量 a , b 有什么关系? ? ? a ?b

x


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