当前位置:首页 >> 数学 >>

2013函数题型分类(新整理)+5年高考+参考答案(详解)


函数综合题分类复习
题型一:关于函数的单调区间(若单调区间有多个用“和”字连接或用“逗号”隔开) ,极 值,最值;不等式恒成立;此类问题提倡按以下三个步骤进行解决: 第一步:令 f ' ( x) ? 0 得到两个根; 第二步:列表如下; 第三步:由表可知; 不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题,常见处理方法有四种: 第一种:变更主元(即关于某字母的一次函数)-

----题型特征(已知谁的范围就把谁作为 主元) ; 第二种:分离变量求最值(请同学们参考例 5) ; 第三种:关于二次函数的不等式恒成立; 第四种:构造函数求最值----题型特征 f ( x) ? g ( x) 恒成立 ? h( x) ? f ( x) ? g ( x) ? 0 恒 成立;参考例 4; 例题讲解:

1 3 x ? bx 2 ? 2 x ? a , x ? 2 是 f (x) 的一个极值点. 3 2 2 (Ⅰ)求 f ( x ) 的单调递增区间; (Ⅱ)若当 x ? [1, 3] 时, f ( x ) ? a ? 恒成立,求 a 的取 3
例 1.已知函数 f ( x) ? 值范围.

例 2.已知函数 f ( x) ? x 3 ? ax2 ? ax ? b 的图象过点 P(0 , 2) . (1)若函数 f (x) 在 x ? ?1 处的切线斜率为 6 ,求函数 y ? f (x) 的解析式; (2)若 a ? 3 , 求函数 y ? f (x) 的单调区间。

2 x2 , g ( x) ? ax ? 5 ? 2a(a ? 0) 。 x ?1 (1)求 f ( x ) 在 x ? [0,1] 上的值域; (2)若对于任意 x1 ?[0,1] ,总存在 x0 ? [0,1] ,使得 g ( x0 ) ? f ( x1 ) 成立,求 a 的取值范围。
例 3.设 f ( x) ?

例 4.已知函数 f ( x) ? x3 ? ax2 图象上一点 P(1, b) 的切线斜率为 ?3 ,

t ?6 2 x ? (t ? 1) x ? 3 (t ? 0) 2 (Ⅰ)求 a , b 的值; (Ⅱ)当 x ? [?1, 4] 时,求 f ( x ) 的值域; (Ⅲ)当 x ? [1, 4] 时,不等式 f ( x) ? g ( x) 恒成立,求实数 t 的取值范围。 g ( x) ? x 3 ?

-1-

( 例 5.已知定义在 R 上的函数 f ( x) ? ax3 ? 2ax2 ? b a ? 0) 在区间 ? ?2,1? 上的最大值是 5,
最小值是-11. (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的解析式; (Ⅱ)若 t ? [?1,1] 时, f ?( x) tx ? 0 恒成立,求实数 x 的取值范围. ?

例 6.已知函数 f ( x) ? x 3 ? 3mx2 ? nx ? m 2 ,在 x ? ?1 时有极值 0,则 m ? n ?

2 10 x3 例 7.已知函数 f ( x) ? 2 图象上斜率为 3 的两条切线间的距离为 ,函数 5 a 3bx2 g ( x) ? f ( x) ? 2 ? 3 . a (1) 若函数 g (x) 在 x ? 1 处有极值,求 g (x) 的解析式;
(2) 若函数 g (x) 在区间 [?1,1] 上为增函数,且 b ? mb ? 4 ? g ( x) 在区间 [?1,1] 上都成 立,求实数 m 的取值范围.
2

题型二:已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围及函数与 x 轴即方程根的个数问题; (1)已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围的常用方法有三种: 第一种:转化为恒成立问题即 f ( x) ? 0或f ( x) ? 0 在给定区间上恒成立,然后转为不等式 恒成立问题;用分离变量时要特别注意是否需分类讨论(看是否在 0 的同侧) ,如果是同侧 则不必分类讨论;若在 0 的两侧,则必须分类讨论,要注意两边同处以一个负数时不等号的 方向要改变呀!有时分离变量解不出来,则必须用另外的方法; 第二种:利用子区间(即子集思想) ;首先求出函数的单调增或减区间,然后让所给区间是 求的增或减区间的子集;参考 08 年高考题; 第三种方法: 利用二次方程根的分布, 着重考虑端点函数值与 0 的关系和对称轴相对区间的 位置;可参考第二次市统考试卷; 特别说明:做题时一定要看清楚“在(a,b)上是减函数”与“函数的单调减区间是(a,b), ” 要弄清楚两句话的区别; (2)函数与 x 轴即方程根的个数问题解题步骤 第一步:画出两个图像即“穿线图” (即解导数不等式)和“趋势图”即三次函数的大致趋 势“是先增后减再增”还是“先减后增再减” ; 第二步:由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式(组) ;主要看极大值和极小值与 0 的 关系; 第三步:解不等式(组)即可;
' '

例 8.已知函数 f ( x) ? 函数.

1 1 3 (k ? 1) 2 x ? x , g ( x) ? ? kx ,且 f (x) 在区间 (2,??) 上为增 3 3 2

-2-

(1)求实数 k 的取值范围; 若函数 f (x) 与 g (x) 的图象有三个不同的交点, (2) 求实数 k 的 取值范围.

例 9.已知函数 f ( x) ? ax ? 3 x ? 1 ?
3 2

3 . a

(I)讨论函数 f (x) 的单调性。 (II)若函数 y ? f (x) 在 A、B 两点处取得极值,且线段 AB 与 x 轴有公共点,求实数 a 的取值范围。

例 10.已知函数 f(x)=x -ax -4x+4a,其中 a 为实数. (Ⅰ)求导数 f ? (x); (Ⅱ)若 f ? (-1)=0,求 f(x)在[-2,2]上的最大值和最小值; (Ⅲ)若 f(x)在(-∞,-2]和[2,+∞)上都是递增的,求 a 的取值范围

3

2

例 11.已知:函数 f ( x) ? x ? ax ? bx ? c
3 2

(I) 若函数 f (x) 的图像上存在点 P , 使点 P 处的切线与 x 轴平行, 求实数 a, b 的关系式; (II) 若函数 f (x) 在 x ? ?1 和 x ? 3 时取得极值且图像与 x 轴有且只有 3 个交点, 求实数 c 的取值范围.

1 时, f ( x ) 的极小值为 ?1 . 2 (Ⅰ)求 f ( x ) 的解析式; (Ⅱ)证明:当 x ? (1, ? ?) 时,函数 f ( x ) 图像上任意两点的连
例 12. y ? f ( x ) 为三次函数, 设 且图像关于原点对称, x ? 当 线的斜率恒大于 0.

3 例 13. 在函数 f ( x) ? ax ? bx(a ? 0) 图像在点 (1,(1) 处的切线与直线 6 x ? y ? 7 ? 0. f )

平行,导函数 f ' ( x ) 的最小值为-12。 (1)求 a、b 的值; (2)讨论方程 f ( x) ? m 解的情况(相同根算一根) 。

-3-

例 14.已知定义在 R 上的函数 f ( x) ? ax3 ? bx ? c(a, b, c ? R) ,当 x ? ?1 时, f (x) 取得 极大值 3, f (0) ? 1 . (Ⅰ)求 f (x) 的解析式; (Ⅱ)已知实数 t 能使函数 f (x)在区间(t, t ? 3) 上既能取到极大值,又能取到极小值,记所有 的实数 t 组成的集合为 M.请判断函数 g ( x ) ?

f ( x) ( x ? M ) 的零点个数. x

例 15.已知函数 f ( x) ? kx3 ? 3(k ? 1) x 2 ? 2k 2 ? 4, 若f ( x) 的单调减区间为(0,4) (I)求 k 的值; (II) 若对任意的 t ? [?1,1],关于x的方程2 x 2 ? 5x ? a ? f (t ) 总有实数解, 求实数 a 的 取值范围。

例 16.已知函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? x( x ? R, a, b 是常数 ) ,且当 x ? 1 和 x ? 2 时,函数 f (x) 取得极值. (Ⅰ)求函数 f (x) 的解析式; (Ⅱ)若曲线 y ? f (x) 与 g ( x) ? ?3x ? m(?2 ? x ? 0) 有两 个不同的交点,求实数 m 的取值范围.

例 17.已知函数正项数列满足:a0 ? 0 ,a1 ? 1 , Pn ( 点

an?1 an?1 5 , ) 在圆 x 2 ? y 2 ? 上, 2 an an

(n ? N ) (n ? N ? ) ks5u
5 an ; 2 ? (Ⅱ)若 bn ? an?1 ? 2an (n ? N ) ,求证: {bn } 是等比数列;
(Ⅰ)求证: a n ?1 ? a n ?1 ? (Ⅲ)求和: b1 ? 2b2 ? 3b3 ? ? ? nbn

3 2 例 18.函数 f ( x) ? x ? 3t x ? m ( x ? R, t ? 0, m 、 t 为常数)是奇函数。ks5u

(Ⅰ) 求实数 m 的值和函数 f (x) 的图像与 x 轴交点坐标; (Ⅱ) g ( x) ?| f ( x) | ,x ? ?0,1? , 设 求 g (x) 的最大值 F (t ) .

-4-

例19.已知 f (x)=x +bx +cx+2. ⑴若 f(x)在 x=1时有极值-1,求 b、c 的值; ⑵若函数 y=x +x-5的图象与函数 y= 范围.
2

3

2

k ?2 的图象恰有三个不同的交点,求实数 k 的取值 x

例 20. 设函数 f ( x) ?

1 3 x ? x 2 ? ax , g ( x) ? 2 x ? b ,当 x ? 1? 2 时, f (x) 取得极值. 3 (1)求 a 的值,并判断 f (1 ? 2 ) 是函数 f (x) 的极大值还是极小值; (2)当 x ? [?3,4] 时,函数 f (x) 与 g (x) 的图象有两个公共点,求 b 的取值范围.

例 21.已知 f ( x) ? kx ? x ? x ? 5 在 R 上单调递增,记 ?ABC 的三内角 A、B、C 的对应边
3 2
2 2 2 2 分别为 a、b、c,若 a ? c ? b ? ac 时,不等式 f m ? sin B ? cos( A ? C ) ? f (2 m ?

?

?

33 ) 4

恒成立. (Ⅰ)求实数 k 的取值范围; (Ⅱ)求角 cos B 的取值范围; (Ⅲ)求实数 m 的取值范围。

题型三:函数的切线问题; 问题 1:在点处的切线,易求; 问题 2:过点作曲线的切线需四个步骤; 第一步:设切点,求斜率; 第二步:写切线(一般用点斜式) ; 第三步:根据切点既在曲线上又在切线上得到一个三次方程; 第四步:判断三次方程根的个数;
3 2 例 22.已知函数 f ( x) ? ax ? bx ? cx 在点 x0 处取得极小值-4, 使其导数 f '( x) ? 0 的 x 的

取值范围为 (1,3) ,求: (1) f ( x ) 的解析式; (2)若过点 P(?1, m) 可作曲线 y ? f ( x) 的三条切线,求实数 m 的取值范围.

-5-

例 23. 已知 f ( x) ? x3 ? ax2 ? 4x ( a 为常数)在 x ? 2 时取得一个极值, (1)确定实数 t 的取值范围,使函数 f ( x ) 在区间 [t , 2] 上是单调函数; (2)若经过点 A(2,c) c ? ?8 )可作曲线 y ? f ( x) 的三条切线,求 c 的取值范围. (

题型四:函数导数不等式线性规划精彩交汇; 例 24.设函数 g ( x) ? 记为 f ( x ) . (1)若方程 f ( x ) 有两个实根分别为-2 和 4,求 f ( x ) 的表达式; (2)若 g ( x) 在区间 ? ?1,3? 上是单调递减函数,求 a ? b 的最小值。
2 2

1 3 1 2 x ? ax ? bx(a, b ? R) ,在其图象上一点 F ( x, y) 处的切线的斜率 3 2

1 3 x ? ax 2 ? bx (a, b ? R) 3 11 (1)若 y ? f (x) 图象上的是 (1,? ) 处的切线的斜率为 ? 4, 求y ? f ( x) 的极大值。 3 (2) y ? f (x) 在区间 [?1,2] 上是单调递减函数,求 a ? b 的最小值。
例 25.已知函数 f ( x) ?

例 26. 已知函数 f ( x) ? mx ? nx ( m ,n ? R ,m ? n 且 m ? 0 )的图象在 (2, f (2)) 处 的切线与 x 轴平行. (I) 试确定 m 、 n 的符号; 2 (II) 若函数 y ? f (x) 在区间 [ n, m ] 上有最大值为 m ? n ,试求 m 的值.
3 2

-6-

题型五:函数导数不等式数列的精彩交汇 例 2 7.已知函数 f ( x) ?

x (a, b为常数且 a ? 0) 满足 f (2) ? 1 且 f ( x) ? x 有唯一解。 ax ? b

(1) 求 f (x) 的表达式; (2)记 xn ? f ( xn?1 )(n ? N且n ? 1) ,且 x1 = f (1) ,求数列 {xn } 的通项公式。 (3)记 y n ? xn ? xn?1 ,数列{ y n }的前n项和为 S n ,求证 S n ?

4 3

例 28.已知函数 f ? x ? ? x ?

a ? b? x ? 0 ? ,其中 a, b ? R . x (Ⅰ)若曲线 y ? f ?x ? 在点 P?2, f ?2?? 处的切线方程为 y ? 3x ? 1 ,求函数 f ?x ? 的解析式; (Ⅱ)讨论函数 f ?x ? 的单调性; ?1 ? ?1 ? (Ⅲ)若对于任意的 a ? ? ,2? ,不等式 f ?x ? ? 10 在 ? ,1? 上恒成立,求 b 的取值范围. ?4 ? ?2 ?

例 29.在数列 ?an ? 中,a1 ? 2, a2 ? 8 , 且已知函 f ( x) ? (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项 an ;学科网 ( n ? N )在 x ? 1 时取得极值.学科网
*

1 (an ? 2 ? an ?1 ) x 3 ? (3an ?1 ? 4an ) x 3

(Ⅱ)设 3n bn ? (?1) n an ,且 b1 ? b2 ? ? ? ? ? bn ? m ? 3n( ) 实数 m 的取值范围.学

2 3

n ?1

对于 n ? N 恒成立,求
*

3 2 例 30.已知函数 f ( x) ? 1 x ? ax ? bx ? 1( x ? R, a , b 为实数)有极值,且在 x ? 1 处的切

线与直线 x ? y ? 1 ? 0 平行. (1)求实数 a 的取值范围; (2)是否存在实数 a,使得函数 f (x) 的极小值为 1,若存在,求出实数 a 的值;若不 存在,请说明理由;

3

-7-

例 31.已知函数 f ( x) ?

f ' ( x) ? 0 在 R 上恒成立。

1 3 1 2 ax ? x ? cx ? d (a、c、d∈R)满足 f (0) ? 0, f ' (1) ? 0 且 3 4

(1)求 a、c、d 的值; (2)若 h( x) ?

3 2 b 1 x ? bx ? ? ,解不等式 f ' ( x) ? h( x) ? 0 ; 4 2 4 (3)是否存在实数 m,使函数 g ( x) ? f ' ( x) ? mx 在区间[m,m+2]上有最小值-5?若存
在,请求出实数 m 的值,若不存在,请说明理由。

例 32.设函数 f ( x) ? ? x( x ? a) ( x ? R ) ,其中 a ? R (1)当 a ? 1 时,求曲线 y ? f ( x) 在点(2, f (2) )处的切线方程;
2

(2)当 a ? 0 时,求函数 f ( x) 的极大值和极小值;
2 2 (3)当 a ? 3 时,证明存在 k ? [?1, 0] ,使得不等式 f (k ? cos x) ? f (k ? cos x) 对任意 的 x ? R 恒成立。

例 33. 已知函数 f ( x) ? 1 x 3 ? 1 ( p ? 1) x 2 ? qx ( p, q 为常数)
3 2

(Ⅰ)若 f ( x)在( x1 , x2 )上单调递减,在 ??, x1 )和( x2 ,??)上单调递增,且 (

x2 ? x1 ? 1, 求证 : p 2 ? 2( p ? 2q); (Ⅱ)若 f (x) 在 x ? 1 和 x ? 3 处取得极值,且在 x ? ?? 6,6?时,函数 y ? f (x) 的图象在直线 l : 15x ? y ? c ? 0 的下方,求 c 的取值范围?

-8-

五年高考
(2012 年江苏省 16 分)若函数 y ? f (x) 在 x ? x 0 处取得极大值或极小值,则称 x 0 为函数

y ? f (x) 的极值点。(参照题型 2)
已知 a,b 是实数,1 和 ?1 是函数 f ( x) ? x 3 ? ax 2 ? bx 的两个极值点. (1)求 a 和 b 的值; (2)设函数 g ( x) 的导函数 g ?( x) ? f ( x) ? 2 ,求 g ( x) 的极值点; (3)设 h( x) ? f ( f ( x)) ? c ,其中 c ? [?2 , ,求函数 y ? h( x) 的零点个数. 2]

(2011 年江苏省 16 分)已知 a,b 是实数,函数 f ( x) ? x ? ax, g ( x) ? x ? bx,
3 2

f ?(x) 和

g ?(x ) 是 f ( x), g ( x) 的导函数,若 f ?( x) g ?( x) ? 0 在区间 I 上恒成立,则称 f (x) 和 g (x) 在
区间 I 上单调性一致(参照题型 1) (1)设 a ? 0 ,若函数 f (x) 和 g (x) 在区间 [?1,??) 上单调性一致,求实数 b 的取值范围; (2)设 a ? 0, 且 a ? b ,若函数 f (x) 和 g (x) 在以 a,b 为端点的开区间上单调性一致,求 |a-b|的最大值。

-9-

(2010 年江苏省 16 分)

(2009 年江苏省 16 分) (本小题满分 16 分) 设 a 为实数,函数 (1)若 (2)求

f ( x) ? 2 x 2 ? ( x ? a ) | x ? a | .

f (0) ? 1 ,求 a 的取值范围; f ( x) 的最小值; f ( x), x ? (a, ??) ,直接写出(不需给出演算步骤)不等式 h( x) ? 1 的解集. ....

(3)设函数 h( x) ?

(2008 年江苏省 16 分) 若 f1 ( x) ? 3
x? p1

, f 2 ( x) ? 2 ? 3

x? p2

? f1 ( x), f1 ( x) ? f 2 ( x) , x ? R, p1 , p2为常数且 f ( x) ? ? ? f 2 ( x), f1 ( x) ? f 2 ( x)

(1)求 f ( x) ? f1 ( x) 对所有实数 x 成立的充要条件(用 p1 , p2 表示) (2)设 a, b 为两实数, a ? b 且 p1 , p2 ? (a, b) 若 f (a) ? f (b) 求证: f (x) 在区间 ?a, b? 上的单调增区间的长度和为 。 n ? m)

b?a (闭区间 ?m, n ? 的长度定义为 2

五种题型参考答案
- 10 -

1、解: (Ⅰ) f ' ( x) ? x2 ? 2bx ? 2 .

∵ x ? 2 是 f (x) 的一个极值点,

3 . 2 2 令 f ' ( x) ? 0 ,则 x ? 3x ? 2 ? 0 ,解得 x ? 1 或 x ? 2 . ∴函数 y ? f ( x) 的单调递增区间为 (??, 1) , (2, +?) .
2 ∴ x ? 2 是方程 x ? 2bx ? 2 ? 0 的一个根,解得 b ?

(Ⅱ)∵当 x ? (1, 2) 时 f ' ( x) ? 0 , x ? (2,3) 时 f ' ( x) ? 0 , ∴ f ( x ) 在(1,2)上单调递减, f ( x ) 在(2,3)上单调递增. ∴ f (2) 是 f ( x ) 在区间 [1,3]上的最小值,且 f (2) ? 只需 f (2) ? a ?
2

2 ?a. 3

若当 x ? [1, 3] 时,要使 f ( x ) ? a ?
2

2 恒成立, 3

2 2 2 2 , 即 ? a ? a ? ,解得 0 ? a ? 1 . 3 3 3 ? f (0) ? b ? 2 ?a ? ?3 2、 (Ⅰ)f ?( x) ? 3x 2 ? 2ax ? a . 解: 由题意知 ? , ? 得 . ?b ? 2 ? f ?(?1) ? 3 ? 2a ? a ? 6 ∴ f ( x) ? x 3 ? 3x 2 ? 3x ? 2 . 2 (Ⅱ) f ?( x) ? 3x 2 ? 2ax ? a ? 0 . ∵ a ? 3 ,∴ ? ? 4a ? 12a ? 0 .

? a ? a 2 ? 3a ? a ? a 2 ? 3a 或x ? , 3 3 ? a ? a 2 ? 3a ? a ? a 2 ? 3a 由 f ?( x) ? 0 解得 . ?????10 ?x? 3 3 ? a ? a 2 ? 3a ? a ? a 2 ? 3a ∴ f (x) 的单调增区间为: (??, )和( ,??) ; 3 3 ? a ? a 2 ? 3a ? a ? a 2 ? 3a f (x) 的单调减区间为: ( , ) .??12 分 3 3 4 x( x ? 1) ? 2 x 2 2 x 2 ? 4 x ?( x) ? 3、解:(1)法一:(导数法) f ? ? 0 在 x ? [0,1] 上恒成立. ( x ? 1)2 ( x ? 1)2 ∴ f ( x ) 在[0,1]上增,∴ f ( x ) 值域[0,1]。 ?0, x ? 0 2 ? 2x ? ? ? 2 , x ? (0,1] , 复合函数求值域. 法二: f ( x) ? x ?1 ? 1 1 ? ? x x2 ? 2 x 2 2( x ? 1)2 ? 4( x ? 1) ? 2 2 ? ? 2( x ? 1) ? ? 4 用双勾函数求值域. 法三: f ( x) ? x ?1 x ?1 x ?1 (2) f ( x ) 值域[0,1], g ( x) ? ax ? 5 ? 2a(a ? 0) 在 x ? [0,1] 上的值域 [5 ? 2a,5 ? a] . ?5 ? 2a ? 0 5 由条件,只须 [0,1] ? [5 ? 2a,5 ? a] ,∴ ? ? ?a?4. 2 ?5 ? a ? 1
由 f ?( x) ? 0 解得 x ? 特别说明:要深刻理解本题的题意及子区间的解题思路,联想 2008 年全国一卷第 21 题,那 是单调区间的子区间问题; 4、解: (Ⅰ) f ( x) ? 3x ? 2ax ∴ ?
/ 2

? f / (1) ? ?3 ?b ? 1 ? a



解得 ?

?a ? ?3 ?b ? ?2

(Ⅱ)由(Ⅰ)知, f ( x ) 在 [?1, 0] 上单调递增,在 [0, 2] 上单调递减,在 [2, 4] 上单调递 减又 f (?1) ? ?4, f (0) ? 0,{ f ( x)}min ? f (2) ? ?4,{ f ( x)}max ? f (4) ? 16
- 11 -

∴ f ( x ) 的值域是 [?4,16]

t 2 x ? (t ? 1) x ? 3 x ? [1, 4] 2 ∴要使 f ( x) ? g ( x) 恒成立,只需 h( x) ? 0 ,即 t ( x2 ? 2x) ? 2 x ? 6 2x ? 6 , 解得 t ? ?1 ; (1)当 x ? [1, 2) 时 t ? 2 x ? 2x (2)当 x ? 2 时 t ? R ; 2x ? 6 (3)当 x ? (2, 4] 时 t ? 2 解得 t ? 8 ;综上所述所求 t 的范围是 (??, ?1] ? [8, ??) x ? 2x
(Ⅲ)令 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ? ? 特别说明:分类与整合,千万别忘了整合即最后要写“综上可知” ,分类一定要序号化; 5、解: (Ⅰ)? f ( x) ? ax3 ? 2ax2 ? b,? f ' ( x) ? 3ax2 ? 4ax ? ax(3x ? 4) 令 f ' ( x) =0,得 x1 ? 0, x2 ? 因为 a ? 0 ,所以可得下表:

4 ? ? ?2,1? 3
0 0 极大

x
f ' ( x)

??2,0?
+ ↗

? 0,1?


f ( x)

因此 f (0) 必为最大值,∴ f(0) 5 因此 b ? 5 , ? f (?2) ? ?16a ? 5, f (1) ? ?a ? 5,? f (1) ? f (?2) , ?
2 即 f (?2) ? ?16a ? 5 ? ?11,∴ a ? 1 ,∴ f ( x) x ? 2 x ? 5. ? 3
2 2 ? (Ⅱ)∵ f ?( x) ? 3x ? 4 x ,∴ f ?( x) tx ? 0 等价于 3x ? 4 x ? tx ? 0 , 令

g (t ) ? xt ? 3x 2 ? 4x ,则问题就是 g(t ) ? 0 在 t ? [?1,1] 上恒成立时,求实数 x 的取值范围,
为此只需 ?

?3x 2 ? 5x ? 0 ? g (?1) ? 0 ,即 ? 2 , 1 ? g( ) ? 0 ? x ? x?0 解得 0 ? x ? 1 ,所以所求实数 x 的取值范围是[0,1].

6、11 ( 说明:通过此题旨在提醒同学们“导数等于零”的根不一定都是极值点,但极值 点一定是“导数等于零”方程的根; )

3 3 ? x 2 ,∴由 2 ? x 2 ? 3 有 x ? ? a ,即切点坐标为 ( a, a ) , (?a,?a) 2 a a ∴切线方程为 y ? a ? 3( x ? a) ,或 y ? a ? 3( x ? a) ,整理得 3x ? y ? 2a ? 0 或 3x ? y ? 2a ? 0
7、解:∵ f ?( x) ? ∴

| ?2 a ? 2 a | 3 ? (?1)
2 2

?

2 10 3 3 ,解得 a ? ?1 ,∴ f ( x) ? x ,∴ g ( x) ? x ? 3bx ? 3 。 (1)∵ 5

g ?( x) ? 3x 2 ? 3b , g (x) 在 x ? 1 处有极值,∴ g ?(1) ? 0 ,即 3 ? 12 ? 3b ? 0 ,解得 b ? 1 , 3 ∴ g ( x) ? x ? 3x ? 3
(2) ∵函数 g (x) 在区间 [?1,1] 上为增函数,∴ g ?( x) ? 3x ? 3b ? 0 在区间 [?1,1] 上恒
2 2 2

成立,∴ b ? 0 ,又∵ b ? mb ? 4 ? g ( x) 在区间 [?1,1] 上恒成立,∴ b ? mb ? 4 ? g (1) ,
2 即 b ? mb ? 4 ? 4 ? 3b ,∴ m ? b ? 3 在 b ? (??,0] 上恒成立,∴ m ? 3 ∴ m 的取值范围

- 12 -

是 ?3,??? 8 解: (1)由题意 f ?( x) ? x 2 ? (k ? 1) x ∵ f (x) 在区间 (2,??) 上为增函数, ∴ f ?( x) ? x 2 ? (k ? 1) x ? 0 在区间 (2,??) 上恒成立 即 k ? 1 ? x 恒成立,又 x ? 2 ,∴ k ? 1 ? 2 ,故 k ? 1 ∴ k 的取值范围为 k ? 1

x 3 (k ? 1) 2 1 ? x ? kx ? , 3 2 3 2 h?( x) ? x ? (k ? 1) x ? k ? ( x ? k )(x ? 1) 令 h ?( x) ? 0 得 x ? k 或 x ? 1 由(1)知 k ? 1 , ①当 k ? 1 时, h?( x) ? ( x ? 1) 2 ? 0 , h(x) 在 R 上递增,显然不合题意?②当 k ? 1 时, h(x) , h ?(x ) 随 x 的变化情况如下表: x (??, k ) k (k ,1) 1 (1,??) ? — h ?(x ) ? 0 0 极大值 ↘ 极小值 ↗ h(x) ↗ 3 2 k ?1 k k 1 ? ? ? 2 6 2 3 k ?1 ? 0 ,欲使 f (x) 与 g (x) 的图象有三个不同的交点,即方程 h( x) ? 0 有三个 由于 2 ?k ? 1 k3 k2 1 ? ? ? 0 ,即 (k ? 1)(k 2 ? 2k ? 2) ? 0 ∴ ? 2 不同的实根,故需 ? , 6 2 3 k ? 2k ? 2 ? 0 ?
(2)设 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ? 解得 k ? 1 ? 3 综上,所求 k 的取值范围为 k ? 1 ? 3
2 9、解: (1) f ?( x) ? 3ax ? 6 x, f ?( x) ? 0得x1 ? 0或x 2 ?

2 ,当 a>0 时, a

2 2 (?? ,0)递增, (0, )递减 , ( ,?? ) 递增; a a 2 2 当 a<时, (?? , )递减 , ( ,0)递减 , (0,?? ) 递减。 a a
(2)当 a>0 时

x
f ?(x ) f (x)

(??,0)
+ 增

0 0 极大值

2 ( 0, ) a
- 减

2 a
0 极小值

2 ( ,?? ) a
+ 增

此时,极大值为 f (0) ? 1 ? 当 a<0 时

3 2 4 3 , 极小值为 f ( ) ? ? 2 ? 1 ? . ????7 分 a a a a
2 a
0 极小值

x
f ?(x ) f (x)

2 (?? , ) a
- 减

2 ( ,0 ) a
+ 增

0 0 极大值

(0,??)
- 减

此时,极大值为 f ( ) ? ?

2 a

4 3 3 ? 1 ? , 极小值为 f (0) ? 1 ? . 因为线段 AB 与 x 轴有公 2 a a a
- 13 -

2 (a ? 3)( a ? 4)( a ? 1) ? 0, 解得 a ? [?1,0) ? [3,4] a a3 10、解: (Ⅰ) f ?( x) ? 3x 2 ? 2ax ? 4 1 1 2 3 2 (Ⅱ)由 f ?(?1) ? 0得a ? ,? f ( x) ? x ? x ? 4 x ? 2. f ?( x) ? 3 x ? x ? 4 ,由 2 2 4 4 50 9 f ?( x) ? 0 得 x ? 或 x= ?1又 f ( ) ? ? , f (?1) ? , f (?2) ? 0, f (2) ? 0, ? f ( x) 在 3 3 27 2 9 50 [-2,2]上最大值 ,最小值 ? 2 27
共点所以 f (0) ? f ( ) ? 0即 (Ⅲ) f ?( x) ? 3x 2 ? 2ax ? 4 , 由题意知 ? f ?(?2) ? 0, ?
? ?4a ? 8 ? 0, ? f ?(2) ? 0, ? ?8 ? 4a ? 0, ? ?2 ? a ? 2. ? ? ??6 ? a ? 6, 2a ??2 ? ? 2, ? 6 ?
2

11、解: (I)设切点 P ( x? , y ? ) ? 因为存在极值点,所以 ? ? 4a
2

f ?( x) ? 3x 2 ? 2ax ? b | x?x? ? 0 , ? 3x? ? 2ax? ? b ? 0 ,

? 12b ? 0 ,即 a 2 ? 3b 。 (II)因为 x ? ?1 , x ? 3 是方程

f ?( x) ? 3x 2 ? 2ax ? b ? 0 的根, 所以 a ? 3, b ? ?9 ,? f ( x) ? x 3 ? 3x 2 ? 9 x ? c 。 2 ? f ?( x) ? 3x ? 6x ? 9 ? 3( x ? 1)(x ? 3) ,? f ?( x) ? 0, x ? 3, x ? ?1 ; 在 ? f ?( x) ? 0,?1 ? x ? 3 ? f (x) 在 x ? ?1 处取得极大值, x ? 3 处取得极小值. ? 函数图 像与 x 轴有 3 个交点,? ? f (?1) ? 0 ,? c ? (?5,27)
? ? f (3) ? 0
3

12 解: (Ⅰ)设 f ( x) ? ax ? bx ? cx ? d (a ? 0)
2
3 2

? 其图像关于原点对称,即 d ? 0, 则 f ( ? x) ? ? f ( x) 得 ?ax ? bx ? cx ? d ? ?ax ? bx 2 ? cx ? d ∴ b ? 0 3 ?1? 2 3 有 f ( x) ? ax ? cx 由 f ?( x) ? 3ax ? c , 依题意得 f ? ? ? ? 0 ∴ a ? c ? 0 4 ?2? 1 ?1? 1 ① , f ? ? ? a ? c ? ?1 ② 由①②得 a ? 4, c ? ?3 故所求的解析式为: 2 ?2? 8 1 1 f ( x) ? 4 x 3 ? 3x .(Ⅱ)由 f ?( x) ? 12 x2 ? 3 ? 0 解得: x ? 或 x ? ? , 2 2 1 ? (1, ? ?) ? ( , ? ?) ∴ x ? (1, ? ?) 时,函数 f ( x ) 单调递增;设 ? x1, y1 ? , ? x2 , y2 ? 是 2 x ? (1, ? ?) 时,函数 f ( x ) 图像上任意两点,且 x2 ? x1 ,则有 y2 ? y1 ∴过这两点的直线的 y ? y1 ?0. 斜率 k ? 2 x2 ? x1
3

13、解: (1)? f ' ( x) ? 3ax2 ? b的最小值为? 12,?b ? ?12, 且a ? 0.

(3' ) 又直线
(6' )

6x ? y ? 7 ? 0的斜率为? 6,因此f ' (1) ? 3a ? b ? ?6, ? a ? 2, b ? ?12.
3 2

(2)由(1)知 f ( x) ? 2x ? 12x,? f ' ( x) ? 6x ? 12 ? 6( x ? 2 )(x ? 2 ) ,列表如下: x 2 (??,? 2 ) ? 2 (? 2 , 2 ) ( 2 ,??) + 0 0 + f′ - f(x) 极大值 极小值

- 14 -

所以,函数 f(x)的单调增区间是 (??,? 2 ) 和 ( 2 ,??)
? f (?1) ? 10, f ( 2 ) ? ?8 2 , f (3) ? 18, f ( x)在x ? ? 2上的极大值是 (? 2 ) ? 8 2 , f f ( x)在x ? 2上的极小值是 ( 2 ) ? ?8 2. f ?当m ? 8 2 , 或m ? ?8 2时, 方程有一根 当m ? 8 2 , 或m ? ?8 2时, 方程有二根 ; ; 当 ? 8 2 ? m ? 8 2时, 方程有三根 . (12' )

14、解: (1)由 f (0) ? 1 得 c=1 f ' ( x) ? 3ax2 ? b, ? ∴ f ( x) ? x 3 ? 3 x ? 1

? f ' (?1) ? 3a ? b ? 0 ,得 a ? 1, b ? ?3 ? f (?1) ? ?a ? b ? 1 ? 3

(2) f ' ( x) ? 3( x ? 1)(x ? 1) 得 x ? ?1 ,x ? 1 时取得极值.由 ? 1 ? (t , t ? 3) ,1 ? (t , t ? 3)

x 1 x ? M 时, g ' ( x) ? 0 , ∴ g (x) 在 M 上递减. 又 g (?2) ? , g (?1) ? ?3 ∴函数 2 f ( x) g ( x) ? , x ? M 的零点有且仅有 1 个 x 15、解: (I) f ?( x) ? 3kx2 ? 6(k ? 1) x 又? f ?(4) ? 0,? k ? 1(II) ? f ?(t ) ? 3t 2 ? 12t ? ?1 ? t ? 0时f ?(t ) ? 0;0 ? t ? 1时f ?(t ) ? 0 。 8a ? 25 8a ? 25 15 f (?1) ? ?5, f (1) ? ?3, ? f (t ) ? ?5 ? 2 x 2 ? 5 x ? a ? ? ? ?5解得 a ? ? 8 8 8 2 ? 3a ? 2b ? 1 ? 0, 解 16、解: (Ⅰ) f ?( x) ? 3ax ? 2bx ? 1 , 依题意 f ?(1) ? f ?(2) ? 0 ,即 ?
x x
?12a ? 4b ? 1 ? 0,

1 ' 得 ? 2 ? t ? ?1. ∴ M ? (?2,?1) . g ( x) ? f ( x) ? x 2 ? 1 ? 3 , g ( x ) ? 2 x ? 2 ,∴当

1 3 1 3 , b ? ∴ f ( x) ? ? x 3 ? x 2 ? x (Ⅱ)由(Ⅰ)知,曲线 y ? f (x) 与 6 4 6 4 1 3 g ( x) ? ?3x ? m(?2 ? x ? 0) 有两个不同的交点,即 x 3 ? x 2 ? 2 x ? m ? 0 在 ?? 2,0? 上 6 4 1 3 3 2 1 2 3 有两个不同的实数解。设 ? (x) ? x ? x ? 2 x ? m ,则 ? ?( x) ? x ? x ? 2 , 由 6 4 2 2 ? ?(x) ? 0 的 x ? 4 或 x ? ?1 ,当 x ? (?2,?1) 时 ? ?( x) ? 0 ,于是 ? (x) 在 ?? 2,?1? 上递增; 当 x ? (?1,0) 时 ? ?( x) ? 0 ,于是 ? (x) 在 ?? 1,0? 上递减. 依题意有
得a ? ?
? 13 3 ?? (?2) ? 0 ? . 13 13 ∴实数 m 的取值范围是 0 ? m ? ? ? ?0?m? 12 ?? (?1) ? 0 ? ? m ? 12 12 ? ? ( 0) ? 0 ? m?0 ? ? ? ? ? m?? 1

17、解: (Ⅰ)由题意:

a n ?1 a n?1 5 5 (Ⅱ)由(Ⅰ)知: ? ? ∴ a n ?1 ? a n ?1 ? a n , 2 an an 2 5 1 1 bn ? a n ?1 ? 2a n ? a n ? a n ?1 ? 2a n ? (a n ? 2a n ?1 ) ? bn ?1 (n ? 1) ,数列 {bn } 满足: 2 2 2 1 (Ⅲ)令 b0 ? a1 ? 3a0 ? 1 ,故 bn ? ( ) n , 2 1 1 1 1 1 S n ? ? 2 ? ( ) 2 ? 3 ? ( ) 3 ? ? ? (n ? 1)( ) n ?1 ? n ? ( ) n 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 S n ? ( ) 2 ? 2 ? ( ) 3 ? 3 ? ( ) 4 ? ? (n ? 1)( ) n ? n ? ( ) n ?1 ,相减得: 2 2 2 2 2 2
- 15 -

1 1 1 1 1 1 1 1 S n ? ? ( ) 2 ? ( ) 3 ? ? ? ( ) n ? n ? ( ) n ?1 ? 1 ? ( ) n ? n( ) n ?1 2 2 2 2 2 2 2 2 n 1 n 1 n ? 1 ? ( ? 1) ? ( ) ∴ S n ? 2 ? (n ? 2) ? ( ) 2 2 2 18、解: (Ⅰ) m ? 0 , y ? f (x) 与 x 轴交点为 (0,0) , (? 3t ,0) , (Ⅱ)

?? x 3 ? 3t 2 x,0 ? x ? 3t ? ,当 0 ? x ? 3t 时,由 g ( x) ?| x ? 3t x |?| x | ? | x ? 3t |? ? ? x 3 ? 3t 2 x, x ? 3t ?
3 2 2 2

得 (舍) ∴ g (x) 在 ?0, t ? 上单调递增, t , 3t , 在 g ( x) ? ?3( x ? t )(x ? t ) ? 0 , x ? t 或 x ? ?t

?

?

上单调递减。 当 x ? 3t 时,由 g ?( x) ? 3( x 2 ? t 2 ) ? 0 得 g (x) 在

y ? g (x) 在 ?0,??? 上的图像。

? 3t,???上单调递增。如图所示,为
3 2 3

∵当 0 ? x ? 3t 时,g ( x)极大 ? g (t ) ? 2t 3 , ∴当 x ? 3t 时, x ? 3t x ? 2t ? x ? 2t 由 故 g (t ) 的最大值 F (t ) 的情形如下:当 0 ? 2t ? 1 时, F (t ) ? g (1) ? 1 ? 3t 2 时, F (t ) ? g (t ) ? 2t
3

当 1 ? 2t ? 2

当 t ? 1 时, F (t ) ? g (1) ? 3t 2 ? 1
1 ? 2 ?1 ? 3t ,0 ? t ? 2 ? ∴ 1 ? F (t ) ? ?2t 3 , ? t ? 1 2 ? ?3t 2 ? 1, t ? 1 ? ?

19、解:⑴f '(x)=3x +2bx+c,由题知 f '(1)=0 ? 3+2b+c=0,f(1)=-1 ? 1+b+ 3 2 2 c+2=-1∴b=1,c=-5,f(x)=x +x -5x+2,f'(x)=3x +2x-5
2

5 ,1]为减函数,f (x)在(1,+∞)为增函数∴b=1,c=-5符合题意 3 k ?2 3 2 ⑵即方程: x 2 ? x ? 5 ? 恰有三个不同的实解:x +x -5x+2=k(x≠0) x
f(x)在[- 即当 x≠0时,f (x)的图象与直线 y=k 恰有三个不同的交点,由⑴知 f (x)在 [??, ? ] 为 增函数,f (x)在 [? ,1] 为减函数,f (x)在(1,+∞)为增函数,又 f (? ) ? -1,f (2)=2∴ ?1? k ? 20、解: (1)由题意

5 3

5 3

5 3

229 ,f (1)= 27

229 且 k≠2 27

以 f ?(1 ? 2 ) ? 0 ? 1 ? 此时当 x ? 1?

?

f ?( x) ? x 2 ? 2 x ? a ? 当 x ? 1? 2 时, f (x) 取得极值, ? 所
2

?

2

? 21? 2 ? a ? 0

?

?

?即

a ? ?1

2 时, f ?( x) ? 0 ,当 x ? 1? 2 时, f ?( x) ? 0 ,

f (1 ? 2 ) 是函数 f (x) 的最小值。 1 3 1 x ? x 2 ? 3 x ? b ? 0 , b ? x 3 ? x 2 ? 3 x ??8 分 (2)设 f ( x) ? g ( x) ,则 3 3 1 3 2 2 2 G 设 F ( x) ? x ? x ? 3x , ( x) ? b F ?( x) ? x ? 2 x ? 3 , F ?( x) ? x ? 2x ? 3 ? 0 解得 x ? ?1 令 3 或 x ? 3 列表如下: 3 x (3,4) (?1,3) (?3,?1) ?3 ?1 4
- 16 -

F ?(x ) F (x)

?
?9

0
5 3

__

0

+

?9

?

? 函数 F (x) 在 (?3,?1) 和 (3,4) 上是增函数,在 (?1,3) 上是减函数。 5 当 x ? ?1 时, F (x ) 有极大值 F ( ?1) ? ;当 x ? 3 时, F (x ) 有极小值 F (3) ? ?9 3 ? 函数 f (x) 与 g (x) 的图象有两个公共点,? 函数 F (x) 与 G (x) 的图象有两个公共点 20 5 20 5 ?? ?b? ? b ? (? , ) ? ?? 9? 或 b ? ?9 3 3 3 3 3 2 2 21、解:(1)由 f ( x) ? kx ? x ? x ? 5 知 f ?( x) ? 3kx ? 2x ? 1 ,? f (x) 在 R 上单调递增, 1 ? f ?( x) ? 0 恒成立,? 3k ? 0 且 ? ? 0 ,即 k ? 0 且 4 ? 12k ? 0 ,? k ? . 3 2 2 2 a ?c ?b ac 1 ? ? ? ,? 0 ? B ? , (2)? a 2 ? c 2 ? b 2 ? ac ,由余弦定理: cos B ? 3 2ac 2ac 2
(3) ? f (x) 在 R 上单调递增,且 f m ? sin 2 B ? cos( A ? C ) ? f (2 m ? 33 ) , 4

20 3

?

?

33 4 1 33 33 29 ? sin 2 B ? cos( A ? C ) ? ? ? sin 2 B ? cos B ? ? cos 2 B ? cos B ? ? (cos B ? ) 2 ? 7 ? 8 , 4 4 4 2 2 故 m ? 2 m ? 8 ,即 ( m ? 1) ? 9 , ? 3 ? m ? 1 ? 3 ,即 0 ? m ? 4 ,即 0 ? m ? 16 .
所以

m ? sin 2 B ? cos( A ? C ) ? 2 m ?

22、解: (1)由题意得: f '( x) ? 3ax2 ? 2bx ? c ? 3a( x ?1)( x ? 3),(a ? 0) ∴ (??,1) 上 f '( x) ? 0 ;在 (1,3) 上 f '( x) ? 0 ;在 (3, ??) 上 f '( x) ? 0 在 因此 f ( x ) 在 x0 ? 1 处取得极小值 ?4 ∴a ? b ? c ? ?4 ① f '(1) ? 3a ? 2b ? c ? 0 ② f '(3) ? 27a ? 6b ? c ? 0 ③ , ,

? a ? ?1 ? 3 2 由① ③ ② 联立得: ?b ? 6 ,∴ f ( x) ? ? x ? 6 x ? 9 x ? c ? ?9 ?
, (2)设切点 Q (t , f (t )) , y ? f (t ) ? f (t )( x ? t )

y ? (?3t 2 ? 12t ? 9)( x ? t ) ? (?t 3 ? 6t 2 ? 9t ) ? (?3t 2 ? 12t ? 9) x ? t (3t 2 ?12t ? 9) ? t (t 2 ? 6t ? 9) ? (?3t 2 ? 12t ? 9) x ? t (2t 2 ? 6t ) 过 (?1, m) m ? (?3t 2 ? 12t ? 9)(?1) ? 2t 3 ? 6t 2 g (t ) ? 2t 3 ? 2t 2 ?12t ? 9 ? m ? 0 2 2 令 g '(t ) ? 6t ? 6t ?12 ? 6(t ? t ? 2) ? 0 , 求得: t ? ?1, t ? 2 ,方程 g (t ) ? 0 有三个根。 ? g (?1) ? 0 ??2 ? 3 ? 12 ? 9 ? m ? 0 ?m ? 16 需: ? ?? ?? ? g (2) ? 0 ?m ? ?11 ?16 ? 12 ? 24 ? 9 ? m ? 0 故: ?11 ? m ? 16 ;因此所求实数 m 的范围为: (?11,16)
2 23、解: (1)∵函数 f ( x ) 在 x ? 2 时取得一个极值,且 f ?( x) ? 3x ? 2ax ? 4 ,

- 17 -

? f ?(2) ? 12 ? 4a ? 4 ? 0 ,? a ? 2 ? f ?( x) ? 3x2 ? 4x ? 4 ? (3x ? 2)( x ? 2) . 2 2 2 ? x ? ? 或 x ? 2 时, f ?( x ) ? 0, x ? ? 或 x ? 2 时, f ?( x) ? 0, ? ? x ? 2 时, 3 3 3 2 2 f ?( x) ? 0 , ? f ( x) 在 (??, ? ],[2, ??) 上都是增函数,在 [ ? , 2] 上是减函数. 3 3 2 ∴使 f ( x ) 在区间 [t , 2] 上是单调函数的 t 的取值范围是 [? , 2) 3 (2)由(1)知 f ( x) ? x3 ? 2x2 ? 4x .设切点为 P( x0 , y0 ) ,则切线的斜率
2 3 2 2 k ? f ?( x0 ) ? 3x0 ? 4x0 ? 4 ,所以切线方程为: y ? ( x0 ? 2x0 ? 4x0 ) ? (3x0 ? 4x0 ? 4)( x ? x0 ) . 将点 A(2, c) 代人上述方程,整理得: 3 2 2x0 ? 8x0 ? 8x0 ? 8 ? c ? 0 . ∵经过点 A(2, c)(c ? ?8) 可作曲线 y ? f ( x) 的三条切线,∴方程 3 2 3 2 2x0 ? 8x0 ? 8x0 ? 8 ? c ? 0 有三个不同的实根. 设 g ( x0 ) ? 2x0 ? 8x0 ? 8x0 ? 8 ? c ,则 2 2 2 g ?( x0 ) ? 6 x0 ? 16 x0 ? 8 ? 0 ? x0 ? 或x0 ? 2 , g ( x0 ) 在 (??, ) 上单调递增,在 3 3 2 ? 2 280 ? g极大 ? g ( ) ? 0, ( , 2) 上单调递减,在 (2, ??) 上单调递增, 故 ? ? c ? ?8 . 得: ? 3 3 27 ? g极小 ? g (2) ? 0, ?

24、 (1) 解: 根据导数的几何意义知 f ( x) ? g`( x) ? x2 ? ax ? b 由已知-2, 是方程 x ? ax ? b ? 0 4
2

的两个实根由韦达定理, ?

(2) g ( x) 在区间 ? ?1,3? 上是单调递减函数,所以在 ? ?1,3? 区间上恒有
2
2

??2 ? 4 ? ?a ??2 ? 4 ? ?b

∴?

?a ? ?2 , f ( x) ? x 2 ? 2 x ? 8 ?b ? 8
n

0 3 2

f ( x) ? g`( x) ? x ? ax ? b ? 0 ,即 f ( x) ? x ? ax ? b ? 0 在 ? ?1,3? 区间上恒成立

? f (?1) ? 0 ?a ? b ? 1 ?a ? b ? 1 2 2 即可,也即 ? 而 a ? b 可视为平面区域 ? 内的 ? f (3) ? 0 ?b ? 3a ? 9 ?b ? 3a ? 9 ?a ? ?2 2 2 点到原点距离的平方由图知当 ? 时, a ? b 有最小值 13; ?b ? 3 1 3 2 25、解: (1)? f ( x ) ? x ? ax ? bx ? f ?( x) ? x 2 ? 2ax ? b 由题意得 3 11 ? 1 ? 2a ? 4 ? ?4 ? 11 ? a ? ?1, b ? 3 ?( x) ? ?4且f (1) ? ? ? ?1 f 3 ? ?a ?b ? ? 3 ?3 1 ? f ( x) ? x 3 ? x 2 ? 3x f ?( x) ? ( x ? 1)(x ? 3) 令 f ?( x) ? 0得x1 ? ?1, x2 ? 3 3
这只需满足 ? 由此可知

x f ?(x )
f (x)

(??,?1)
+ ↗

-1 0 极大值

(?1,3)


3 0 极小值-9

(3,??)
+ ↗

5 3



?当x ? ?1 时 f (x) 取极大值

5 3
P

y

1

- 18 O 1 x

(2)? y ? f ( x)在[?1,2] 上是减函数

? f ?( x) ? x 2 ? 2ax ? b ? 0在[?1,2] 上恒成立 ? f ?(?1) ? 0 ?1 ? 2a ? b ? 0 ? 2a ? b ? 1 ? 0 ?? ?? 即? ? f ?(2) ? 0 ?4 ? 4a ? b ? 0 ?4a ? b ? 4 ? 0
作出不等式组表示的平面区域如图

3 1 ,2) 时 z ? a ? b 取最小值 2 2 26、解:(I)由图象在 (2, f (2)) 处的切线与 x 轴平行, 知 f ?(2) ? 0 ,∴ n ? ?3m ① ????3 分 又 n ? m ,故 n ? 0 , m ? 0 . ???? 4 分 (II)令 f ?( x) ? 3mx2 ? 2nx ? 3mx2 ? 6mx ? 0 , 得 x ? 0或 x ? 2 ???????? 6 分 易证 x ? 0 是 f (x) 的极大值点, x ? 2 是极小值点(如图). ???? 7 分 令 f ( x) ? f (0) ? 0 ,得 x ? 0 或 x ? 3 . ????????????????8 分 分类:(I)当 0 ? m ? 3 时, f ( x) max ? f (0) ? 0 ,∴ m ? n 2 ? 0 . ② 1 由①,②解得 m ? ,符合前提 0 ? m ? 3 . 9 4 2 2 (II)当 m ? 3 时, f ( x) max ? f (m) ? m 4 ? m 2 n ,∴ m ? m n ? m ? n . ③
当直线 z ? a ? b 经过点 P (? 由①,③得

m 3 ? 3m 2 ? 9m ? 1 ? 0 . 记 g (m) ? m3 ? 3m 2 ? 9m ? 1,

∵ g ?(m) ? 3m 2 ? 6m ? 9 ? 3(m ? 1) 2 ? 6 ? 0 , ∴ g (m) 在 R 上是增函数,又 m ? 3 ,∴ g (m) ? g (3) ? 26 ? 0 , ∴ g (m) ? 0 在 3, ?? 上无实数根.综上, m 的值为 m ? 27、解:(1)由 f ? x ? ?

?

?

1 . 9

x ? x 即 ax2 ? ?b ?1? x ? 0 有唯一解? b ? 1 ax ? b 2 1 x 2x ? 1 ? a ? ? f ? x? ? 又 f ? 2? ? 2 ? 1 ax ? 1 2 x ?1 x ? 2 2 2 1 1 1 1 3 xn?1 ? ? ? ? ? (2)由 xn ? f ? xn?1 ? ? 又 x1 ? f ?1? ? 1 3 xn xn ?1 2 x1 2 xn?1 ? 1 2 ?1? 3 1 1 3 2 1 n?2 ? xn ? ? 数列 ? ? 是以首项为 ,公差为 ? ? ? ? n ?1? ? ? 2 2 xn 2 n?2 2 2 ? xn ?

2 2 1 1 ? ? 4( ? ) n?2 n?3 n?2 n?3 ? Sn ? y1 ? y2 ? y3 ? ... ? yn = x1 x2 ? x2 x3 ? ?? ? xn xn?1
(3)由 y n ? x n ? x n ?1 ?

1 ? 4 ?? 1 1 ? ? 1 1 ? 1 ?? ?1 ? 1 ? 4 ?? ? ? ? ? ? ? ? ... ? ? ? ?? ? 4 ? 3 ? n ? 3 ? ? 3 ? ? ? n ? 2 n ? 3 ?? ?? 3 4 ? ? 4 5 ?
28、解: (Ⅰ) f ?( x ) ? 1 ?

a ,由导数的几何意义得 f ?(2) ? 3 ,于是 a ? ?8 .由切点 x2 P(2, f (2)) 在直线 y ? 3x ? 1 上可得 ?2 ? b ? 7 ,解得 b ? 9 .
- 19 -

所以函数 f ( x ) 的解析式为 f ( x ) ? x ? (Ⅱ)解: f ?( x ) ? 1 ?

8 ?9. x

a . x2 当 a ? 0 时,显然 f ?( x) ? 0 ( x ? 0 ) .这时 f ( x ) 在 (??, 0) , (0, ??) 上内是增函数.
当 a ? 0 时,令 f ?( x) ? 0 ,解得 x ? ? a . 当 x 变化时, f ?( x ) , f ( x ) 的变化情况如下表:

x f ?( x ) f ( x)

(??, ? a )
+ ↗

? a
0 极大值

(? a ,0)
- ↘

(0, a )
- ↘ 0

a
极小值

( a , ??)
+ ↗

所以 f ( x ) 在 (??, ? a ) , ( a , ??) 内是增函数,在 (? a ,0) , (0, ??) 内是减函数. (Ⅲ)解:由(Ⅱ)知, f ( x ) 在 [ ,1] 上的最大值为 f ( ) 与 f (1) 的较大者,对于任意的

1 4

1 4

39 ? 1 ? ? 4a 1 1 ? f ( ) ? 10 ?b ? a ? [ , 2] ,不等式 f ( x) ? 10 在 [ ,1] 上恒成立,当且仅当 ? 4 ,即 ? , 4 4 2 ? f (1) ? 10 ?b ? 9 ? a ? ? 7 1 7 对任意的 a ? [ , 2] 成立.从而得 b ? ,所以满足条件的 b 的取值范围是 (??, ] . 4 2 4
科网 29、解: (Ⅰ ∵ f ? (1)=0∴(an+2-an+1)-(3a n+1-4an)=0 ) 即 an+2-2an+1=2(an+1-2an) 又 a2-2a1=4 n-1 ∴数列{an+1-2an}是以 2 为公比,以 4 为首项的等比数列。∴an+1-2an=4×2

a an ?1 an a ? n ?1 且 1 ? 1 ∴数列{ n }是首项为 1,公差为 1 的等差数列, n ?1 2 2n 2 2 a a ∴ n = 1 +(n-1)×1=n∴ an ? n ? 2 n n 2 2 2 n n (Ⅱ)由 3n bn ? (?1) n an ,? bn ? (?1) n( ) 3
=2
n+1



2 2 2 2 3 2 n 令 Sn=|b1|+|b2|+?+|bn|= +2( ) +3( ) +?+n( ) 3 3 3 3 2 2 2 2 3 2 n 2 n+1 Sn=( ) +2( ) +?+(n-1)( ) +n( ) 3 3 3 3 3 2 2 n [1-( ) ] 3 1 2 2 2 2 3 2 n 2 n+1 3 2 n+1 2 n 2 n+1 得 Sn= +( ) +( ) +?+( ) -n( ) = -n( ) =2[1-( ) ]-n( ) 3 3 3 3 3 3 2 3 3 3 1- 3

2 n ?1 2 n 2 n+1 * ∴ Sn=6[1-( ) ]-3n( ) < m ? 3n( ) 要使得|b1|+|b2|+?+|bn|<m 对于 n∈N 3 3 3
恒成立,只须 m ? 6 ,所以实数 m 的取值范围是 m ? 6 .
3 2

2 30、解: (1)? f ( x) ? 1 x ? ax ? bx ? 1, ? f ?( x) ? x ? 2ax ? b, 由题意

? f ?(1) ? 1 ? 2a ? b ? 1, ? b ? 2a. ① ? f ( x)有极值,?方程f ?( x) ? x 2 ? 2ax ? b ? 0有两个不等实根 .

3

?? ? 4a2 ? 4b ? 0,

?a2 ? b ? 0.
- 20 -



由①、②可得, a2 ? 2a ? 0. (2)存在 a ? ? 8 .

?a ? ?2或a ? 0. 故 a ? (??,?2) ? (0,??)

3

由(1)可知 f ?( x) ? x 2 ? 2ax ? b, 令f ?( x) ? 0 ,

? x1 ? ? a ? a 2 ? 2a , x2 ? ? a ? a 2 ? 2a .

x
f ?(x) f (x)

(??, x1 )
+ 单调增

x1
0 极大值

( x1 , x 2 )
- 单调减

x2
0 极小值

( x 2 ? ?)
+ 单调增

? x ? x 2时, f ( x)取极小值 , 则f ( x 2 ) ?
2 ? x2 ? 0或x2 ? 3ax2 ? 6a ? 0 .

1 3 2 x 2 ? ax 2 ? 2ax 2 ? 1 ? 1 , 3
若x2 ? 0, 即 ? a ? a 2 ? 2a ? 0, 则a ? 0(舍).

2 2 若x2 ? 3ax2 ? 6a ? 0, 又f ?( x2 ) ? 0,? x2 ? 2ax2 ? 2a ? 0,? ax2 ? 4a ? 0.

? a ? 0,

? x2 ? 4,

??a ? a 2 ? 2a ? 4

? a ? ? 8 ? ?2. 3

8 ? 存在实数 a ? ? , 使得函数 f ( x) 的极小值为 1. 3 ?d ? 0 ?d ? 0 1 ? 2 ?? ? f (0) ? 0, f '(1) ? 0 , ? 1 31、 (1)f '( x) ? ax ? x ? c , 解: , ?c ? 1 ? a , 即 a? ?c ?0 ? ? 2 ? 2 ? 2
从而 f '( x) ? ax ?
2

? 1 1 ? x ? ? a 。? f '( x) ? 0 在 R 上恒成立,? ? , 1 1 2 2 ? ? ? 4 ? 4a ( 2 ? a ) ? 0 ?

a?0

?a ? 0 ? ?? 1 2 即 ,解得 a ?( a ? 4 ) ? 0 ?

1 1 ? ,c ? ,d ? 0 。 4 4 1 2 1 1 3 2 b 1 (2)由(1)知, f '( x) ? x ? x ? ,? h( x) ? x ? bx ? ? , 4 2 4 4 2 4 1 2 1 1 3 2 b 1 ∴不等式 f ' ( x) ? h( x) ? 0 化为 x ? x ? ? x ? bx ? ? ? 0 , 4 2 4 4 2 4 1 b 1 2 即 x ? ( ? b) x ? ? 0 ,∴ ( x ? )( x ? b) ? 0 2 2 2 1 1 (a)若 b ? ,则不等式 f ' ( x) ? h( x) ? 0 解为 ? x ? b ; 2 2 1 (b)若 b ? ,则不等式 f ' ( x) ? h( x) ? 0 解为空集; 2 1 1 (c)若 b ? ,则不等式 f ' ( x) ? h( x) ? 0 解为 b ? x ? 。 2 2 1 2 1 1 (3)g ( x) ? f '( x) ? mx ? x ? ( ? m) x ? 。 该抛物线开口向上,对称轴为 x ? 1 ? 2m 。 4 2 4 1 2 1 1 若 1 ? 2m ? m ,即 m ? ?1 时, g ( x) ? x ? ( ? m) x ? 在[m,m+2]上为增函数。 4 2 4 ? m ? ?1 1 2 1 1 ? 当 x ? m 时, g ( x) min ? m ? ( ? m) m ? 由已知得 ? 1 m ? ( 1 ? m)m ? 1 ? ?5 ,解 ?4 4 2 4 ? 2 4 得 m ? ?3 。 2 若 m ? 1 ? 2m ? m ? 2 ,即 ?1 ? m ? 1 时,当 x ? 1 ? 2m 时, g ( x)min ? ?m ? m 。
2

- 21 -

由已知得 ?

??1 ? m ? 1
2 ??m ? m ? ?5

,无解。

若 1 ? 2m ? m ,即 m ? ?1 时, g ( x) ? 当 x ? m ? 2 时, g ( x) min

1 2 1 1 x ? ( ? m) x ? 在[m,m+2]上为减函数。 4 2 4 3 3 1 1 1 1 ? (m ? 2) 2 ? ( ? m)(m ? 2) ? ? ? m 2 ? m ? 。 4 2 4 4 2 4

?m ? ?1 ? 由已知得 ? 3 2 3 ,解得 m ? 2 2 ? 1 。 1 ? ? 4 m ? 2 m ? 4 ? ?5 ? 综上所述,存在实数 m ? ?3 或 m ? 2 2 ? 1 ,使函数 g ( x) ? f ' ( x) ? mx 在区间[m,m+2] 上有最小值-5。 32、解: (Ⅰ)当 a ? 1 时, f ( x) ? ? x( x ?1)2 ? ? x3 ? 2 x2 ? x ,得 f (2) ? ?2 ,且

f ?( x) ? ?3x2 ? 4x ?1 , f ?(2) ? ?5 . 2 ? 所以,曲线 y ? ? x( x ? 1) 在点 (2, 2) 处的切线方程是 y ? 2 ? ?5( x ? 2) ,整理得 5x ? y ? 8 ? 0 . 2 3 2 2 2 2 (Ⅱ)解: f ( x) ? ? x( x ? a) ? ? x ? 2ax ? a x f ?( x) ? ?3x ? 4ax ? a ? ?(3x ? a)( x ? a) . a 令 f ?( x) ? 0 ,解得 x ? 或 x ? a .由于 a ? 0 ,以下分两种情况讨论. 3 (1)若 a ? 0 ,当 x 变化时, f ?( x ) 的正负如下表: a? a ? ?a ? x a (a,∞) ? ? ,a ? ? ?∞, ? 3? 3 ?3 ? ?
f ?( x )
?
0

?

0

?

a 4 3 ?a? ?a? 处取得极小值 f ? ? ,且 f ? ? ? ? a ; 3 27 ?3? ?3? 函数 f ( x) 在 x ? a 处取得极大值 f ( a ) ,且 f (a) ? 0 . (2)若 a ? 0 ,当 x 变化时, f ?( x ) 的正负如下表:
因此,函数 f ( x) 在 x ?

a ? a? ?a ? ? ? a, ? ? , ∞? 3 ? 3? ?3 ? ? ? f ?( x ) 0 0 ? 因此,函数 f ( x) 在 x ? a 处取得极小值 f ( a ) ,且 f (a) ? 0 ; a 4 3 ?a? ?a? 函数 f ( x) 在 x ? 处取得极大值 f ? ? ,且 f ? ? ? ? a . 3 27 ?3? ?3? a 2 2 (Ⅲ)证明:由 a ? 3 ,得 ? 1 ,当 k ?? ?1 0? 时, k ? cos x ≤ 1, k ? cos x ≤1 . , 3 2 2 由(Ⅱ)知, f ( x) 在 ? ?∞, 上是减函数,要使 f (k ? cos x) ≥ f (k ? cos x) , x ? R 1?

x

? ?∞,a?

a

只要 k ? cos x ≤ k ? cos x( x ?R) 即 cos x ? cos x ≤ k ? k ( x ?R)
2 2 2 2
2



设 g ( x) ? cos2 x ? cos x ? ? cos x ? 1 ? ? 1 ,则函数 g ( x) 在 R 上的最大值为 2 . ? ? 2? 4 ? 2 要使①式恒成立, 必须 k ? k ≥ 2 , k ≥ 2 或 k ≤ ?1 . 即 所以, 在区间 ? ?1 0? 上存在 k ? ?1 , , 使得 f (k ? cos x) ≥ f (k ? cos x) 对任意的 x ? R 恒成立.
2 2

- 22 -

33、解: (1)? f ( x) ?

1 3 1 x ? ( p ? 1) x 2 ? qx ,? f ' ( x) ? x 2 ? ( p ? 1) x ? q 3 2 又 x1,x2 是函数 f(x)的两个极值点,则 x1,x2 是 x 2 ? ( p ? 1) x ? q ? 0 的两根,

? x1 ? x 2 ? 1 ? p, x1 x 2 ? q.......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... 2分 .. ? ( x1 ? x 2 ) 2 ? ( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 ? (1 ? p ) 2 ? 4q,......... .......... .......... 4分 ..... ? x 2 ? x1 ? 1? ( x 2 ? x1 ) 2 ? 1,? (1 ? p ) 2 ? 4q ? 1 即p 2 ? 2 p ? 4q ? 0,? p 2 ? 2( p ? 2q )
' ? (2)由题意, ? f (1) ? 0 即? p ? q ? 0

? ' ? f (3) ? 0 ?

? p ? ?3 ?? .......... .......... .......... 分 7 ? ?3 p ? q ? ?6 ?q ? 3

? f ( x) ?

1 3 x ? 2 x 2 ? 3 x, 3

1 3 x ? 2 x 2 ? 12x ? c,? F ' ( x ) ? x 2 ? 4 x ? 12 3 令F ' ( x ) ? 0,? x 2 ? 4 x ? 12 ? 0 ? x1 ? ?2, x 2 ? 6 令F ( x ) ? f ( x ) ? (15x ? c ) ? 当x ? ( ?6,?2)时,F ' ( x ) ? 0, F ( x )在[ ?6,?2]上递增, 当x ? ( ?2,6)时,F ' ( x ) ? 0, F ( x )在[ ?2,6]上递减
40 ? c.......... .......... .......... .......... .......... .......... ...... 分 10 3 40 40 令F (?2) ? 0, 即 ? c ? 0,? c ? .......... .......... .......... .......... .......... 11 ... 分 3 3 40 ? 所求c的取值范围为 ( ,??)......... .......... .......... .......... .......... ......... 分 12 3 ? F ( x) max ? F (?2) ?

五年高考参考答案
(2012 年江苏省 16 分) 【答案】解: (1)由 f ( x) ? x 3 ? ax 2 ? bx ,得 f' ( x) ? 3 x 2 ? 2ax ? b 。 ∵1 和 ?1 是函数 f ( x) ? x 3 ? ax 2 ? bx 的两个极值点,

- 23 -

∴ f' (1) ? 3 ? 2a ? b =0 , f' (?1) ? 3 ? 2a ? b =0 ,解得 a =0,b = ? 3 。 (2)∵ 由(1)得, f ( x) ? x 3 ? 3x , ∴ g ?( x) ? f ( x) ? 2=x 3 ? 3 x ? 2= ? x ? 1?
2

? x ? 2 ? ,解得 x1 =x2 =1,x3 = ? 2 。

∵当 x < ?2 时, g ?( x) < 0 ;当 ?2 < x < 1 时, g ?( x) > 0 , ∴ x = ? 2 是 g ( x) 的极值点。 ∵当 ?2 < x < 1 或 x > 1 时, g ?( x) > 0 ,∴ x =1 不是 g ( x) 的极值点。 ∴ g ( x) 的极值点是-2。 (3)令 f ( x)=t ,则 h( x) ? f (t ) ? c 。 先讨论关于 x 的方程 f ( x)=d 根的情况: d ? ? ?2, 2? 当 d =2 时,由(2 )可知, f ( x)= ? 2 的两个不同的根为 I 和一 2 ,注意 到 f ( x) 是奇函数,∴ f ( x)=2 的两个不同的根为一和 2。 当

d <2







f (? 1) ? d =f (2)? d =2? d > 0



f (1) ? d =f (?2) ? d = ? 2 ? d < 0 ,
∴一 2 , -1,1 ,2 都不是 f ( x)=d 的根。 由(1)知 f' ( x)=3 ? x ? 1?? x ? 1? 。 ① 当 x ? ? 2, ? ? 时 , f' ( x) > 0 ? , 于 是 f ( x) 是 单 调 增 函 数 , 从 而

f ( x) > f (2)=2 。
此时 f ( x)=d 在 ? 2, ? ? 无实根。 ? ② 当 x ? ?1 2 ? 时. f' ( x) > 0 ,于是 f ( x) 是单调增函数。 , 又∵ f (1) ? d < 0 , f (2) ? d > 0 , y =f ( x) ? d 的图象不间断, ∴ f ( x)=d 在(1 , 2 )内有唯一实根。 同理, f ( x)=d 在(一 2 ,一 I )内有唯一实根。

, ③ 当 x ? ? ?1 1? 时, f' ( x) < 0 ,于是 f ( x) 是单调减两数。
又∵ f (?1) ? d > 0 , f (1) ? d < 0 , y =f ( x) ? d 的图象不间断, ∴ f ( x)=d 在(一 1,1 )内有唯一实根。

- 24 -

因此,当 d =2 时, f ( x)=d 有两个不同的根 x1,x2 满足 x1 =1,x2 =2 ;当

d <2 时

f ( x)=d 有三个不同的根 x3,x1,x5 ,满足 xi < 2,i =3, 4, 5 。
现考虑函数 y ? h( x) 的零点: ( i )当 c =2 时, f (t )=c 有两个根 t1,t2 ,满足 t1 =1,2 =2 。 t 而 f ( x)=t1 有三个不同的根, f ( x)=t2 有两个不同的根,故 y ? h( x) 有 5 个 零点。 ( 11 ) 当 c < 2 时 , f (t )=c 有 三 个 不 同 的 根 t3,t4,t5 , 满 足

ti < 2,i =3, 4, 5。
而 f ( x)=ti ? i =3, 4, 5 ? 有三个不同的根,故 y ? h( x) 有 9 个零点。 综上所述, c =2 时, 当 函数 y ? h( x) 有 5 个零点; c < 2 时, 当 函数 y ? h( x) 有 9 个零点。 【考点】函数的概念和性质,导数的应用。 【解析】 (1)求出 y ? f (x) 的导数,根据 1 和 ?1 是函数 y ? f (x) 的两个极值点代入列方 程组求解即可。 (2)由(1)得, f ( x) ? x 3 ? 3x ,求出 g ?( x) ,令 g ?( x)=0 ,求解讨论即可。 (3)比较复杂,先分 d =2 和 d < 2 讨论关于 x 的方程 f ( x)=d 根的情况;再考 虑函数 y ? h( x) 的零点。 (2011 年江苏省 16 分) 解析:(1)考察单调性概念、导数运算及应用、含参不等式恒成立问题,中档题; (2)综合 考察分类讨论、线性规划、解二次不等式、二次函数、含参不等式恒成立问题、导数及其应 用、化归及数形结合的思想,难题。 ( 1 ) 因 为 函 数 f (x) 和 g (x) 在 区 间 [?1,??) 上 单 调 性 一 致 , 所 以 ,

?x ?[?1, ??), f ' ( x) g ' ( x) ? 0, 即 ?x ?[?1, ??), x2 +a)(2x+b)? 0, ? a ? 0,??x ?[?1, ??), 2x+b ? 0, (3
即? a ? 0,??x ?[?1, ??), b ? ?2x,?b ? 2;
- 25 -

( 2 ) 当 b ? a 时 , 因 为 , 函 数 f (x) 和 g (x) 在 区 间 ( b,a ) 上 单 调 性 一 致 , 所 以 ,

?x ? (b, a), f ' ( x) g ' ( x) ? 0,


?x ? (b, a), x2 +a)(2x+b)? 0, (3

? b ? a ? 0,??x ? (b, a), 2 x ? b ? 0



??x ? (b, a), a ? ?3x2 , ?b ? a ? ?3b2 , 设 z ? a ? b ,考虑点(b,a)的可行域,函数 y ? ?3x 2 的斜率为 1 的切线的切
点设为 ( x0 , y0 ) 则 ?6 x0 ? 1, x0 ? ? , y0 ? ?

1 6

1 1 1 1 , ? zmax ? ? ? (? ) ? ; 12 12 6 6

当 a ? b ? 0 时 , 因 为 , 函 数 f (x) 和 g (x) 在 区 间 ( a, b ) 上 单 调 性 一 致 , 所 以 ,

?x ? (a, b), f ' ( x) g ' ( x) ? 0,


?x ? (a, b), x2 +a)(2x+b)? 0, (3

? b ? 0,??x ? (a, b), 2 x ? b ? 0



??x ? (a, b), a ? ?3x2 ,
1 1 ? a ? ?3a 2 ,?? ? a ? 0, ? (b ? a) max ? ; 3 3
当 a ? 0 ? b 时 , 因 为 , 函 数 f (x) 和 g (x) 在 区 间 ( a, b ) 上 单 调 性 一 致 , 所 以 ,

?x ? (a, b), f ' ( x) g ' ( x) ? 0,
2 (3 即 ?x ? (a, b),(2x+b)(3x +a) 0, ? b ? 0, 而 x=0 时, x +a)(2x+b)=ab<0,不符合 ?
2

题意, 当

a?0?b













?x ? (a,0), 2x(3x2 +a) 0, ??x ? (a,0), 3x2 +a ? 0,?3a2 ? a ? 0, ?
1 1 ?? ? a ? 0,? b ? a ? 3 3 1 综上可知, a ? b max ? 。 3
(2010 年江苏省 16 分)

- 26 -

(2009 年江苏省 16 分) 【解析】本小题主要考查函数的概念、性质、图象及解一元二次不等式等基础知识,考查灵 活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力。满分 16 分 (1)若

f (0) ? 1 ,则 ?a | a |? 1 ? ?
2

?a ? 0
2 ?a ? 1

? a ? ?1
2 ? f (a), a ? 0 ?2a , a ? 0 ? ? 2 ?? a ? ? 2a ,a ? 0 ? f ( 3 ), a ? 0 ? ? ? 3

(2)当 x ? a 时, f ( x) ? 3x ? 2ax ? a , f ( x) min
2

2 2 当 x ? a 时, f ( x) ? x ? 2ax ? a , f ( x) min ? ?

2 ? f (?a), a ? 0 ??2a , a ? 0 ? ?? 2 ? 2a , a ? 0 ? f (a), a ? 0 ?

- 27 -

综上 f ( x)min

??2a 2 , a ? 0 ? ? ? 2a 2 ,a ? 0 ? ? 3
2 2

(3)x ? (a, ??) 时,h( x) ? 1 得 3x ? 2ax ? a ? 1 ? 0 ,? ? 4a2 ?12(a2 ?1) ? 12 ? 8a2 当a ? ?

6 6 时, ? ? 0, x ? (a, ??) ; 或a ? 2 2

当?

? a ? 3 ? 2a 2 a ? 3 ? 2a 2 6 6 )( x ? )?0 时,△>0,得: ?( x ? ?a? ? 3 3 2 2 ? ?x ? a

讨论得:当 a ? (

2 6 , ) 时,解集为 (a, ??) ; 2 2

当 a ? (?

6 2 a ? 3 ? 2a 2 a ? 3 ? 2a 2 ,? ) 时,解集为 (a, ] ?[ , ??) ; 2 2 3 3

a ? 3 ? 2a 2 2 2 当 a ? [? , ] 时,解集为 [ , ??) . 2 2 3
(2008 年江苏省 16 分) 解析: (I) f ( x) ? f1 ( x) 恒成立 ? f1 ( x) ? f2 ( x) ? 3
x? p1

? 2?3

x ? p2

?3

x ? p1 ? x ? p2

2 ? 2 ? x ? p1 ? x ? p2 ? log3

(?)

2 若 p1 ? p2 ,则 (?) ? log3 ? 0 ,显然成立;若 p1 ? p2 ,记 g ( x) ? x ? p1 ? x ? p2

p1 ? p2 ( x ? p2 ) ? ? 当 p1 ? p2 时, g ( x) ? ? ?2 x ? p1 ? p2 ( p2 ? x ? p1 ) ? p2 ? p1 ( x ? p1 ) ?

,所以 g ( x)min ? p1 ? p2 ,故只需

p1 ? p 2 ( x ? p ) 1 ? ? ( p1 ? p2 ? log2 ; 当 p1 ? p2 时 , g ( x) ? ?2 x ? p1 ? p 2 p ?1 x ? p ) 3 ? p ?p (x ? p ) 2 2 1 ?
2 g ( x)m i ? p ? p ,故只需 p2 ? p1 ? log3 。 n 2 1

2

, 所 以

(II) 1 如果 p1 ? p2 ? log3 ,则 f ( x) ? f1 ( x) 的图象关于直线 x ? p1 对称,
0

2

因为 f (a) ? f (b) ,所以区间 ? a, b? 关于直线 x ? p1 对称。 因为减区间为 ? a, p1 ? ,增区间为 ? p1 , b? ,所以单调增区间的长度和为
2 20 如果 p1 ? p2 ? log3 ,结论的直观性很强。

b?a 。 2

- 28 -

- 29 -


相关文章:
2013函数题型分类(新整理)+5年高考+参考答案(详解)
2013函数题型分类(新整理)+5年高考+参考答案(详解)2013函数题型分类(新整理)+5年高考+参考答案(详解)隐藏>> 函数综合题分类复习题型一:关于函数的单调区间(若单...
2013 高考整理
2013函数题型分类(新整理... 29页 7下载券 2013各地高考理综化学部... 35页...unless 5.(2013 江西卷)She says that she’ll have to close the shop _...
高三函数经典题型(含详解答案)
2013函数题型分类(新整理... 29页 7下载券 经典三角比及三角函数高... 50页...2014高三数学函数专题经... 10页 免费 2009年浙江高考数学理科... 9页 免费...
广东省新高考4年题型分类整理剖析
广东省直试题分类整理 4页 5财富值 2013年广东省陆丰...广东省新高考 4 年(2007-2010)文科数学知识分类汇编...函数问题, 就主要考查利用导数解决函数问题,较难。...
2014新课标新题型含答案免费(2013新课标英语真题整理)
2​0​1​4​新​​型​改​编​自​2​0​1​3​新​课​标​英​语​真​​。​适​合​高​三​复...
近五年高考语文新课标全国卷知识点分类整理
五年高考语文新课标全国卷知识点分类整理_高考_...年 2012 年 2013 年 2014 年 2015 年 2016 年 ...(2 小题) 同上同上 实词解释、断句、概括和分析...
近5年高考数学理科试卷(全国卷1)分类汇编--函数 (解析版)(大题版)(2011年2012年2013年2014年2015年)
5年高考数学理科试卷(全国卷1)分类汇编--函数 (解析版)(大题版)(2011年2012年2013年2014年2015年)_数学_高中教育_教育专区。2011 (21) (本小题满分 12 ...
2013年高考字音的最新整理(经典)
2013年高考字音的最新整理(经典)_高考_高中教育_教育...2014年高考语文新课标I卷... 2014年高考语文北京卷...2013年高考字音字形题汇... 5页 免费喜欢此文档的...
2013年高考真题解析分类汇编(理科数学)2:函数(含答案)
2013 高考试题解析分类汇编(理数)2:函数(答案)...2,0] () 5. (2013 年高考新课标Ⅱ卷数学(理)...log3 4 . 【解答】原方程整理后变为 3 ? 2 ?...
新整理初中函数的知识点归纳
新整理初中函数的知识点归纳 隐藏>> 初中函数知识点归纳一 坐标平面的有关知识:特殊点坐标特征: 坐标平面点(x,y),横在前来纵在后; (+,+),(-,+),(-,-...
更多相关标签:
托福阅读题型详解 | 2016托业新题型参考书 | 平行四边形题型整理 | 语文各类题型整理 | 托福阅读题型分类 | 二次函数题型分类总结 | 公务员面试题型分类 | 雅思听力题型分类 |