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一次函数(正比例函数)的图像与性质




次函数(正比例函数)的图像与性质

一、选择题 1、 (2012 年江西南昌十五校联考)如图,是某复印店复印收费 y(元)与复印面数(8 开纸) x(面)的函数图象,那么从图象中可看出,复印超过 100 面的部分,每面收费( A、0.4 元 B、0.45 元 C、约 0.47 元 D、0.5 元 )

答案:A 2、 (2012 年上海黄浦二模)下列函数中,y 随 x 的增大而减小的是( )

1 A . y ? x; 3 B 答案:

1 B .y?? x; 3

3 C.y? ; x

3 D.y?? . x

3、 (2012 年浙江丽水一模)在平面直角坐标系中,已知直线 y ? ?

3 x ? 3 与 x 轴、y 轴 4

分别交于 A、B 两点,点 C(0,n)是 y 轴上一点.把坐标平面沿直线 AC 折叠,使点 B 刚好 落在 x 轴上,则点 C 的坐标是( ) A.(0, 答案:B 4、(2012 年吴中区一模)表示一次函数 y=kx+b(k>0,b<0)的图像是( ▲ )

3 ) 4

B.(0,

4 ) 3

C.(0,3)

D.(0,4)

答案:C 5、(2012 温州市泰顺九校模拟) 直线 y=2x 与 x 轴正半轴的夹角为 ? ,那么下列结论正 确的是( ) A. tan ? =2 答案:A B. tan ? =

1 2

C. sin ? =2

D. cos ? =2

1

6、(2012 温州市泰顺九校模拟)爷爷每天坚持体育锻炼,某天他慢跑离家到中山公园,打了一会

儿太极拳后搭公交车回家。 下面能反映当天小华的爷爷离家的距离 y 与时间 x 的函数关系的 大致图象是( )

答案:C 7. (2012 年宿迁模拟)如图,点 A 的坐标为 (1,0),点 B 在直线 y=-x 上运动, 当线段 AB 最短时,点 B 的坐标为( A. (0,0) B. (- )

1 1 , ) 2 2
第 1 题图

C. ( 答案:D.

2 2 ,- ) 2 2

D. (

1 1 ,- ) 2 2

8、(2012 苏州市吴中区教学质量调研)表示一次函数 y=kx+b(k>0,b<0)的图像是(

)

答案:C 9、 (2012 年中考数学新编及改编题试卷)一次函数 y ? (k ? 3) x ? 2 ,若 y 随 x 的增大而增 大,则 k 的值可以是( (A)1 答案:D 10、 (2012 深圳市龙城中学质量检测)王芳同学为参加学校组织的科技知识竞赛,她周末到 新华书店购买资料.如图,是王芳离家的距离与时间的函数图象.若黑点表示王芳家的 位置,则王芳走的路线可能是 (B)2 ) (C)3 (D)4

2

A.

B .

C

D

答案:B 11(杭州市 2012 年中考数学模拟) 如图,一只蚂蚁从 O 点出发,沿着扇形 OAB 的边缘匀 速爬行一周,设蚂蚁的运动时间为,蚂蚁到 O 点的距离 为 S ,则 S 关于的函数图象大致为 .. ( ) A S S S S

O 答案:C

B

O A.

t O B.

t

O C.

t

O D.

t

12. (2012 年广东模拟)如右图,在平面直角坐标系 xOy 中,点 A 的坐标为( ? 3 ,1) , 点 B 是 x 轴上的一动点,以 AB 为边作等边三角形 ABC . 当 C ( x, y ) 在第一象限内时,下 列图象中,可以表示 y 与 x 的函数关系的是( )答案 A

A. B. C. D. 13、 (2012 年上海市黄浦二模)若将直线 y ? 2 x ? 1 向上平移 3 个单位,则所得直线的表达 式为 ▲ .

答案: y ? 2 x ? 2 14、 (2011 年上海市浦东新区中考预测)已知一次函数 y ? x ? b 的图像经过第一、三、四 象限,则 b 的值可以是( (A)-1; ) (C)1; (D)2.

(B)0;

答案:A 15、 (盐城市亭湖区 2012 年第一次调研考试)一次函数 y=2x+3 的图象沿 y 轴向下平移 2 个单位, 所得图象的函数解析式是( ) A、 y=2x-3 B、 y=2x+2 答案 C 16、 (2012 年香坊区一模)早 7 点整芳芳以 50 米/分的速度步行去上学, 妈妈同时骑自行 车向相反方向去上班,10 分钟时接到芳芳的电话,立即原速返回并前往学校,恰与芳芳 同时到达.如图表示她们离家的距离 y(米)与时间 x(分)间的函数关系,则下列结论错
3

C、 y=2x+1

D、 y=2x

误的是(

)

(A)妈妈骑车的速度为 250 米/分 (B)芳芳早晨上学步行的距离 l25 米 (C)芳芳早晨上学的时间为 25 分钟 (D)在 7 点 l6 分 40 秒时妈妈与芳芳途中相遇 答案:D

二、填空题 1、 (2012 年中考数学新编及改编题试卷)直线 y ? ? x 与双曲线 y ? 部分) 在同一直角坐标系内。 ① 直线 y ? ? x 至少向上平移

2 (只在第一象限内的 x
个单位才能与双曲线

y?

2 有交点; x 2 上的一个动 x 圆⊙P,⊙P 在运动过程中圆上的点与直线 y ? ? x
的最近距离为 .

② 现有一个半径为 1 且圆心 P 在双曲线 y ?

y

y?
· P

2 x

答案: 2 2

1

o
y ? ?x
第1题

x

3a ? 2? 在直线 y ? x 上,则 a= 2、 (2012 年山东泰安模拟)若 P?? 7,
答案: -3 3、 [河南开封 2012 年中招第一次模拟]写出一个具体的 y 随 x 的增大而减小的一次函数解析 式 。 答案: (答案不唯一)如 y=-x+1 4、(徐州市 2012 年模拟)如果正比例函数 y ? kx 的图象经过点(1,-2) ,那么 k 的值等于 .答案:-2,
4

5、(2012 年普陀区二模)已知正比例函数 y ? ( k ? 1) x ,函数值 y 随自变量 x 的值增大而减 小,那么 k 的取值范围是 ▲ . 答案: k < 1 ;

三、解答题
1、 (2012年上海青浦二模)写出一条经过第一、二、四象限,且过点(0,3)的直线的解析 式 答案: y ? ? x ? 3 (答案不唯一) 2、 (2012 年上海黄浦二模)若将直线 y ? 2 x ? 1 向上平移 3 个单位,则所得直线的表达式为 . 答案: y ? 2 x ? 2

3、在函数 y ? 答案: x ? 2

2 ? x 中,自变量 x 的取值范围是
1 x

4、 如图, 点 A,B 为直线 y ? x 上的两点, 过 A,B 两点分别作 y 轴的平行线交双曲线 y ? ( x> 0 )于 C,D 两点. 若 BD ? 2 AC ,
2 2 则 4OC ? OD 的值为

.

答案:6

5、 ( 2012 昆山一模)设函数 y= ▲ .

2 1 1 与 y= x -1 的图象的交点为 (a ,b),则 ? 的值为 x a b

答案: 6、 (2012 年浙江金华五模)直线 y ? 2 x 经过点(-1, b ) ,则 b = ▲ . 答案:-2 7、(2011 学年度九年级第二学期普陀区期终调研)已知正比例函数 y ? ( k ? 1) x ,函数值 y 随自变量 x 的值增大而减小,那么 k 的取值范围是 答案: k < 1 .

5

三、解答题 1、(2012 年春期福集镇青龙中学中考模拟)(本小题满分 9 分)

k 在第一象限的图象交于点 B ,且点 B 的横坐 x 3 标为 1,过点 B 作 y 轴的垂线, C 为垂足,若 S ?BCO ? ,求一次函数和反比例函数的解析 2
如图,一次函数 y ? x ? b 与反比例函数 y ? 式.

解:∵一次函数 y ? x ? b 过点 B ,且点 B 的横坐标为 1,

( 1,b ? 1 ) ………………………………………………2 分 ∴ y ? 1 ? b, 即B
3 轴,且 S ?BCO ? , B C? y 2 1 1 3 ? ?O C ? B C ? 1 ? (? b 1 ?) , ? 2 2 2

(第 22 题)

解得 b ? 2 , ∴ B ?1 , 3? ……………………………………………………5 分 ∴一次函数的解析式为 y ? x ? 2.……………………………………… 7 分 又∵ y ?

k 过点 B , x

k ? 3 ? ,k ?3 ………………………………………………………………… . 8分 1 3 ∴反比例函数的解析式为 y ? . ……………………………………………9 分 x
2、 (2012 苏州市吴中区教学质量调研)已知集合 B 中的数与集合 A 中对应的数之间的关系是 某个一次函数,若用 y 表示集合 B 中的数,用 x 表示集合 A 中的数,求 y 与 x 之间的函数 关系式,并在集合 B 中写出与集合 A 中-2,-1,2,3 对应的数值.

6

答案:

注:对 1 组给 1 分.
? 3 ? 0 ? , B 点坐标为 ? 0, 3(西城 2012 年初三一模).已知:如图, A 点坐标为 ? ? , 3? . ? 2 ? B 两点的直线解析式; (1)求过 A, (2)过 B 点作直线 BP 与 x 轴交于点 P ,且使 OP ? 2OA ,求 ?ABP 的面积.
y B A 1 O 1 x

答案:1) y ? 2 x ? 3 ; (2)设 P 点坐标为 ? x , 0 ? ,依题意得 x ? ?3 ,所以 P 点坐标分别为
P 0 ?, P2 ? ?3, 0? . 1 ? 3,
S?ABP1 ? 1 ?3 27 1 ? 3? 9 27 9 ? ? ? ? 3? ? 3 ? , S?ABP2 ? ? ? 3 ? ? ? 3 ? ,所以 ?ABP 的面积为 或 2 ?2 4 2 ? 2? 4 4 4 ?

4 河南省信阳市二中) . (9 分)如图,一次函数 y = kx+1 与反比例函数 y =

m 的图象交于点 x

P,点 P 在第一象限,PA⊥x 轴于点 A,PB⊥y 轴于点 B,一次函数的图象分别交 x 轴、y 轴 于点 C、D,且 S△PBD = 4S△DOC , AO =2. (1)求反比例函数与一次函数的解析式; (2)根据图象写出当 x>0 时,反比例函数的值小于一次函数的值的 x 的取值范围. y B .解: (1)∵y = kx+1 交 y 轴于点 D. ∴D(0,1) ∵PA⊥x 轴 , PB⊥y 轴, ∴四边形 OAPB 为矩形.
7

P

D ………… 1 分 C O A x

∠BOA=90° ………… 2 分

∴BP = OA = 2 ∴BP∥CA ∴∠BPC =∠PCA ∵∠BDP =∠CDO ∴△BDP∽△ODC ∵S△PBD = 4S△DOC ∴
CO BP ? OD DB ? 1 2

………… 3 分

………… 4 分

∵AO = BP = 2 ∴CO =

1 BP = 1 2

∴C(-1,0) ∴一次函数解析式为:y = x+1 ∵OD = 1 ∴BD = 2 ∴BO = 3 ∴P(2,3) ∴m=xy=2×3=6 ∴y= ………… 6 分 ………… 5 分

6 x

…………

7分

(2)若反比例函数值小于一次函数的值则 x>2. ………… 9 分 5、 (2012 广西贵港) (本题满分 8 分)

k2 ( x ? 0) 的图象相交于 A, B 两点, x 且与坐标轴的交点为 (?6,0) ,(0,6) ,点 B 的横坐标为 ? 4 . y
如图所示, 一次函数 y ? k1 x ? b 与反比例函数 y ? (1)试确定反比例函数的解析式; (2)求△AOB 的面积; (3)直接写出不等式 k1 x ? b ? A 6

k2 的解. x

B

答案: 解: (1)设一次函数解析式为 y ? kx ? b ,根据与 坐标轴的交点坐标可求得 ?

?6

O

x

? B(?4,2) ……………2 分 ?8 ?y ? ……………3 分 x

?k ? 1 ,? y ? x ? 6 ……1 分 ?b ? 6

8

?y ? x ? 6 ? (2)由 ? 8 可得 A(?2,4) ……………4 分 y?? ? x ?
∴ S ?AOB ? 6 ? 6 ? 2 ? 6 ? 2 ? 6 …………6 分 (3) ? 4 ? x ? ?2 ……………8 分

6(柳州市 2012 年中考数学模拟试题) ( 6 分)如图,直线 y ?

1 x ? 1 分别交 x 轴, y 轴于点 2 k A ,C ,点 P 是直线 AC 与双曲线 y ? 在第一象限内的交点, PB ? x 轴,垂足为点 B , x △ APB 的面积为 4. (1)求点 P 的坐标; y
(2)求双曲线的解析式及直线与双曲线另一交点 Q 的坐标.

P A

C O
B

x

Q
1 答案: 解: (1)y ? x ? 1 , 令x ? 0, 则 y ? 1; 令 y ? 0, 则 x ? ?2 , 2

0? ,点 C 的坐标为 ? 0, 1? . ? 点 A 的坐标为 ? ?2,
点 P 在直线 y ?

1 ? 1 ? x ? 1 上,可设点 P 的坐标为 ? m, m ? 1? , 2 ? 2 ?



S△ APB ?

1 1 ?1 ? AB PB ? 4, ? ? 2 ? m ? ? m ? 1? ? 4 . 2 2 ?2 ?
点 P 在第一象限,? m ? 2 . ? 点 P 的

2 即: m ? 4m ? 12 ? 0 ,? m1 ? ?6,m2 ? 2 .

坐标为 ? 2, 2? . (2) 点 P 在双曲线 y ?

k 4 上,? k ? xy ? 2 ? 2 ? 4 .? 双曲线的解析式为 y ? . x x

? y? ? ? 解方程组 ? ?y ? ? ?

4 ? x1 ? 2 ? x2 ? ?4 x 得? ,? 1 y1 ? 2 ? y2 ? ?1 ? x ?1 2

?1? . ? 直线与双曲线另一交点 Q 的坐标为 ? ?4,
9

7、 (2012 年上海市黄浦二模)已知一次函数 y ? x ? 1 的图像和二次函数 y ? x 2 ? bx ? c 的 图像都经过 A、B 两点,且点 A 在 y 轴上,B 点的纵坐标为 5. (1)求这个二次函数的解析式; (2)将此二次函数图像的顶点记作点 P,求△ABP 的面积; (3)已知点 C、D 在射线 AB 上,且 D 点的横坐标比 C 点的横坐标大 2,点 E、F 在这个二 次函数图像上,且 CE、DF 与 y 轴平行,当 CF ∥ ED 时,求 C 点坐标. 答案: (1)A 点坐标为(0,1)…………………………………………………………(1 分) 将 y =5 代入 y ? x ? 1 ,得 x =4 ∴B 点坐标为(4,5)…………………………………………………………………(1 分) 将 A、B 两点坐标代入 y ? x ? bx ? c
2

解得 ?

?b=-3 ? c=1

∴二次函数解析式为 y ? x 2 ? 3x ? 1 ……………………………………………(2 分)

3 5 , ? )…………………………………………………(1 分) 2 4 3 5 抛物线对称轴与直线 AB 的交点记作点 G,则点 G( , ) 2 2
(2)P 点坐标为( ∴PG=

5 5 15 ? (? ) ? , 2 4 4
?S
APG

∴S

ABP

?S

BPG

?

15 .…………………………………………………(2 分) 2

(3)设 C 点横坐标为 a 则 C 点坐标为 (a, a ? 1) ,D 点坐标为 (a ? 2, a ? 3) ,…………………………(1 分) E 点坐标为 (a, a ? 3a ? 1) ,F 点坐标为 (a ? 2, a ? a ?1) ,…………………(1 分)
2 2

由题意,得 CE= ?a ? 4a ,DF= a ? 4 ,
2 2

∵且 CE、DF 与 y 轴平行,∴CE∥DF,又∵ CF ∥ ED , ∴四边形 CEDF 是平行四边形,∴ CE ? DF ,…………………………………(1 分) ∴ ?a ? 4a ? a ? 4 ,解得 a1 ? 1 ? 3 , a2 ? 1 ? 3 (舍) ,…………………(1 分)
2 2

∴C 点坐标为( 1 ? 3 , 2 ? 3 ).………………………………………………(1 分) 8、 (2012 年上海市黄浦二模)如图 9,已知 ?ABC 中,?C ? 90? , AC ? BC , AB ? 6 , , M 是 OB 边上的点,且 MN ∥ O 是 BC 边上的中点, N 是 AB 边上的点(不与端点重合)
10

延长 CA 与直线 MN 相交于点 D ,G 点是 AB 延长线上的点, 且 BG ? AN , 联结 MG , AO , 设 AN ? x , BM ? y . (1)求 y 关于 x 的函数关系式及其定义域; (2)联结 CN ,当以 DN 为半径的 D 和以 MG 为半径 的 M 外切时,求 ?ACN 的正切值; (3)当 ?ADN 与 ?MBG 相似时,求 AN 的长.

C
O
A

M
B

N C
图9

G

C
O
A
备用图 a

D

O
B A
备用图 b

B

MB BN 答案:解: (1)∵ MN ∥ AO ,∴ ,……………………………………(2 分) ? BO AB
∵ ?C ? 90? , AC ? BC , AB ? 6 ,∴ BC ? 3 2 , ∵ O 是 BC 边上的中点,∴ BO ? ∵ AN ? x , BM ? y ,∴

3 2 ,………………………………………(1 分) 2

y 3 2 2

?

2 ?6 ? x? 6? x ,∴ y ? ? 0 ? x ? 6 ? .………(2 分) 4 6

(2)∵以 DN 为半径的

D 和以 MG 为半径的 M 外切,

∴ DN ? MG ? DM ,又 DN ? MN ? DM ,∴ MG ? MN ,…………………(1 分) ∴ ?MNG ? ?G , 又 ?MNG ? ?AND ,∴ ?AND ? ?G , ∵ AC ? BC ,∴ ?CAB ? ?CBA ,∴ ?DAN ? ?MBG , 又 AN ? BG ,∴ ?AND ≌ ?BGM , ∴ DN ? MG ? MN ,…………………(1 分) ∵ ?ACB ? 90? ,∴ CN ? DN ,∴ ?ACN ? ?D , …………………………(1 分)

CO 1 (1 分) ? , AC 2 1 ∵ MN ∥ AO ,∴ ?CAO ? ?D ,∴ ?CAO ? ?ACN ,∴ tan ?ACN ? ,…(1 分) 2
∵ ?ACB ? 90? , AC ? BC , O 是 BC 边上的中点,∴ tan ?CAO ? (3)∵ ?DAN ? ?MBG ,当 ?ADN 与 ?MBG 相似时, ①若 ?D ? ?BMG 时,过点 G 作 GE ? CB ,垂足为点 E . ∴ tan ?BMG ?

2 GE 1 x ,………………………(1 分) ? ,∴ BM ? BE ,∴ y ? 2 ME 2

11

又y?

2 ?6 ? x? 4

,∴ x ? 2 .………………………………………………………(1 分)

②若 ?D ? ?G 时,过点 M 作 MF ? AB ,垂足为点 F . ∴ tan ?G ? 又y?

2y 1 ,∴ BF ? BG ,∴ x ? ,……………………………………(1 分) 2 2
,∴ x ?

2 ?6 ? x? 4

6 .………………………………………………………(1 分) 5
6 . 5

综上所述,当 ?ADN 与 ?MBG 相似时, AN 的长为 2 或

(以上各题,若有其他解法,请参照评分标准酌情给分) 9、 (2012 年上海市静安区调研)20 个集装箱装满了甲、乙、丙三种商品共 120 吨,每个 集装箱都只装载一种商品,根据下表提供的信息,解答以下问题: 商品类型 每个集装箱装载量(吨) 每吨价值(万元) 甲 8 12 乙 6 15 丙 5 20

(1)如果甲种商品装 x 个集装箱,乙种商品装 y 个集装箱,求 y 与 x 之间的关系式; (2)如果其中 5 个集装箱装了甲种商品,求每个集装箱装载商品总价值的中位数. 答案: 解: (1)丙种商品装( 20 ? x ? y ) 个集装箱,…………………………………………(1 分) ∴ 8x ? 6 y ? 5(20 ? x ? y) ? 120,……………………………………(4 分) ∴ y ? 20 ? 3x .………………………………………………(1 分) (2)当 x ? 5 时, y ? 20 ? 3 ? 5 ? 5 , 20 ? x ? y ? 20 ? 5 ? 5 ? 10 .………(1 分) ∴甲、乙、丙三种商品装载集装箱个数分别是 5、5、10, 相应的每个集装箱装载商品总价值分别为 96、90、100 万元.………(1 分) 20 个集装箱装载商品总价值从小到大排列后第 10、11 个分别是 96、100 万元. ……………………………………………………………………………(1 分)

96 ? 100 ? 98 (万元) .……(1 分) 2 10、 (2012 年上海市静安区调研)如图,一次函数 y ? x ? 1 的图像与 x 轴、 y 轴分别相 交于点 A、B.二次函数的图像与 y 轴的正半轴相交于点 C,与这个一次函数的图像相交于
∴每个集装箱装载商品总价值的中位数是 点 A、D,且 sin ?ACB ?

10 . 10
C
12

y

(1) 求点 C 的坐标;

(2) 如果∠CDB=∠ACB,求 这个二次函数的解析式.

答案:解: (1)A( ? 1 ,0) ,OA=1,………………………………………………(1 分) 在 Rt△AOC 中,∵ sin ?ACB ?
AO 10 ,AC= 10 ,…………………(2 分) ? AC 10

∴OC= AC 2 ? AO 2 ? 10 ? 1 ? 3 ,∴点 C 的坐标(0,3) .………………(1 分) (2)当点 D 在 AB 延长线上时,∵B(0,1) ,∴BO=1,∴ AB ? AO 2 ? BO 2 ? 2 , ∵∠CDB=∠ACB ,∠BAC=∠CAD,∴△ABC∽△ACD.…………………(1 分) ∴

AD AC AD 10 ,∴ ,∴ AD ? 5 2 .………………(1 分) ? ? AC AB 10 2
DE AE AD , ? ? OB AO AB

过点 D 作 DE⊥ y 轴,垂足为 E,∵DE//BO,∴ ∴ DE ? AE ?
5 2 2

.…………(1 分) ? 5 .∴OE=4,∴点 D 的坐标为(4,5)

?0 ? a ? b ? 3, 设二次函数的解析式为 y ? ax 2 ? bx ? 3 ,∴ ? ……………(1 分) ?5 ? 16a ? 4b ? 3,

1 ? a?? , ? 1 5 ? 2 ∴二次函数解析式为 ∴? y ? ? x 2 ? x ? 3 .…………………(1 分) 5 2 2 ?b ? . ? 2 ?
当点 D 在射线 BA 上时,同理可求得点 D(–2,–1) ,………………(2 分) 二次函数解析式为 y ? x 2 ? 4 x ? 3 .…………………………………(1 分) 评分说明:过点 C 作 CG⊥AB 于 G,当点 D 在 BG 延长线上或点 D 在射线 GB 上时,可用 锐角三角比等方法得 CG= 2 (1 分) ,DG=3 2 (1 分) ,另外分类有 1 分其余同上.

13


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