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不等式线性规划知识点梳理及经典例题及解析


线性规划讲义
【考纲说明】
(1)了解线性规划的意义、了解可行域的意义; (2)掌握简单的二元线性规划问题 的解法. (3)巩固图解法求线性目标函数的最大、最小值的方法; (4)会用画网格的方法求解整数线性规划问 题. (5)培养学生的数学应用意识和解决问题的能力.

【知识梳理】

简单的线性规划问题 一、知识点 1. 目标函数: P =2x+y是一个含有两个变 量 x 和y 的 函数,称为目标函数. 2.可行域:约束条件所表示的平面区域称为可行域. 3. 整点:坐标为整数的点叫做整点. 4.线性规划问题:求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题,通常称为线性规划问题.只含有两个 变量的简单线性规划问题可用图解法来解决. 5. 整数线性规划:要求量取整数的线性规划称为整数线性规划. 二、疑难知识导析 线性规划是一门研究如何使用最少的人力、物力和财力去最优地完成科学研究、工业设计、经济管理中实际问题的专 门学科.主要在以下两类问题中得到应用:一是在人力、物力、财务等资源一定的条件下,如何使用它们来完成最多 的任务;二是给一项任务,如何合理安排和规划,能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务. 1.对于不含边界的区域,要将边界画成虚线. 2.确定二元一次不等式所表示的平面区域有多种方法,常用的一种方法是“选点法”:任选一个不在直线上的点,检 验它的坐标是否满足所给的不等式,若适合,则该点所在的一侧即为不等式所表示的平面区域;否则,直线的另一侧 为所求的平面区域.若 直 线 不 过 原点,通 常 选 择 原 点 代入检验. 3. 平 移 直 线 y=-kx +P时,直线必须经过可行域. 4.对于有实际背景的线性规划问题, 可行域通常是位于第一象限内的一个凸多边形区域, 此时变动直线的最佳位置一 般通过这个凸多边形的顶点. 5.简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解, 无论此类题目是以什么实际问题提出, 其求解 的格式与步骤是不变的:(1)寻找线性约束条件,线性目标函数;(2)由二元一次不等式表示的平面区域做出可行 域;(3)在可行域内求目标函数的最优解.

积储知识: 一. 1.点 P(x0,y0)在直线 Ax+By+C=0 上,则点 P 坐标适合方程,即 Ax0+By0+C=0 2. 点 P(x0,y0)在直线 Ax+By+C=0 上方(左上或右上),则当 B>0 时,Ax0+By0+C>0;当 B<0 时,Ax0+By0+C<0 3. 点 P(x0,y0)在直线 Ax+By+C=0 下方(左下或右下),当 B>0 时,Ax0+By0+C<0;当 B<0 时,Ax0+By0+C>0 注意: (1)在直线 Ax+By+C=0 同一侧的所有点,把它的坐标(x,y)代入 Ax+By+C,所得实数的符号都相同, (2)在直线 Ax+By+C=0 的两侧的两点,把它的坐标代入 Ax+By+C,所得到实数的符号相反,

1

即:1.点 P(x1,y1)和点 Q(x2,y2)在直线 Ax+By+C=0 的同侧,则有(Ax1+By1+C)Ax2+By2+C)>0 ( 2.点 P(x1,y1)和点 Q(x2,y2)在直线 Ax+By+C=0 的两侧,则有(Ax1+By1+C) Ax2+By2+C)<0 ( 二.二元一次不等式表示平面区域: ①二元一次不等式 Ax+By+C>0 或<0) ( 在平面直角坐标系中表示直线 Ax+By+C=0 某一侧所有点组成的平面区域. 不 . 包括边界; ②二元一次不等式 Ax+By+C≥0(或≤0)在平面直角坐标系中表示直线 Ax+By+C=0 某一侧所有点组成的平面区域 且包括边界; 注意:作图时,不包括边界画成虚线;包括边界画成实线. 三、判断二元一次不等式表示哪一侧平面区域的方法: 方法一:取特殊点检验; “直线定界、特殊点定域 原因:由于对在直线 Ax+By+C=0 的同一侧的所有点(x,y),把它的坐标(x,y)代入 Ax+By+C,所得到的实数的符号都 相同,所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x0,y0),从 Ax0+By0+C 的正负即可判断 Ax+By+C>0 表示直线哪一侧的 平面区域.特殊地, 当 C≠0 时,常把原点作为特殊点,当 C=0 时,可用(0,1)或(1,0)当特殊点,若点坐标 代入适合不等式则此点所在的区域为需画的区域,否则是另一侧区域为需画区域。 方法二:利用规律: 1.Ax+By+C>0,当 B>0 时表示直线 Ax+By+C=0 上方(左上或右上), 当 B<0 时表示直线 Ax+By+C=0 下方(左下或右下); 2.Ax+By+C<0,当 B>0 时表示直线 Ax+By+C=0 下方(左下或右下) 当 B<0 时表示直线 Ax+By+C=0 上方(左上或右上)。 四、线性规划的有关概念: ①线性约束条件: ②线性目标函数: ③线性规划问题: ④可行解、可行域和最优解:

【经典例题】
一.建构数学

?4 x ? y ? 10 ?4 x ? 3 y ? 20 ? 1.问题:在约束条件 ? 下,如何求目标函数 P ? 2 x ? y 的最大值? ?x ? 0 ?y ? 0 ?
首先,作出约束条件所表示的平面区域,这一区域称为可行域,如图(1)所示. 其次,将目标函数 P ? 2 x ? y 变形为 y ? ?2 x ? P 的形式,它表示一条直线,斜率为,且在 y 轴上的截距为 P .

平移直线 y ? ?2 x ? P ,当它经过两直线 4 x ? y ? 10 与 4 x ? 3 y ? 20 的交点 A( ,5) 时,直线在 y 轴上的截距最

5 4

2

大,如图(2)所示. 因此,当 x ?

5 5 5 , y ? 5 时,目标函数取得最大值 2 ? ? 5 ? 7.5 ,即当甲、乙两种产品分别生产 t 和 5t 时,可 4 4 4
5 4

获得最大利润 7.5 万元. 这类求线性目标函数在线性约束条件下的最 大值或最小值问题,通常称为线性规划问题.其中 ( ,5) 使目标函 数取得最大值,它叫做这个问题的最优解.对于只含有两个变量的简单线性规划问题可用图解法来解决. 说明:平移直线 y ? ?2 x ? P 时,要始终保持直线经过可行域(即直线与可行域有公共点) . 二.数学运用

? x ? 4 y ? ?3 ? 例 1.设 z ? 2 x ? y ,式中变量 x, y 满足条件 ?3 x ? 5 y ? 25 ,求 z 的最大值和最小值. ?x ? 1 ?
解:由题意,变量 x, y 所满足的每个不等式都表示一个平面区域,不等式组则表示这些平面区域的公共区域.由图 知,原点 (0, 0) 不在公共区域内,当 x ? 0, y ? 0 时, z ? 2 x ? y ? 0 ,即点 (0, 0) 在直线 l0 : 2 x ? y ? 0 上, 作一组平行于 l0 的直线 l : 2x ? y ? t , t ? R , 可知:当 l 在 l0 的右上方时,直线 l 上的点 ( x, y ) 满足 2 x ? y ? 0 ,即 t ? 0 , 而且,直线 l 往右平移时, t 随之增大. 由图象可知, 当直线 l 经过点 A(5, 2) 时,对应的 t 最大, 当直线 l 经过点 B(1,1) 时,对应的 t 最小, 所以, zmax ? 2 ? 5 ? 2 ? 12 , zmin ? 2 ?1 ? 1 ? 3 .

y

x ?1
C
A x ? 4y ? 3 ? 0 B
3x ? 5 y ? 25 ? 0

O

x

? x ? 4 y ? ?3 ? 例2.设 z ? 6 x ? 10 y ,式中 x, y 满足条件 ?3 x ? 5 y ? 25 ,求 z 的最大值和最小值. ?x ? 1 ?
解:由引例可知:直线 l0 与 AC 所在直线平行, 则由引 例 的解题过程知, 当 l 与 AC 所在直线 3x ? 5 y ? 25 ? 0 重合时 z 最大,此时满足 条件的最优解有无数多个, 当 l 经过点 B(1,1) 时,对应 z 最小, ∴ zmax ? 6 x ? 10 y ? 50 , zmin ? 6 ?1 ? 10 ?1 ? 16 .

3

?2 x ? y ? 3 ? 0 ? 例 3.已知 x, y 满足不等式组 ?2 x ? 3 y ? 6 ? 0 ,求使 x ? y 取最大值的整数 x, y . ?3x ? 5 y ? 15 ? 0 ?
解:不等式组的解集为三直线 l1 : 2 x ? y ? 3 ? 0 , l 2 : 2 x ? 3 y ? 6 ? 0 , l3 : 3x ? 5 y ? 15 ? 0 所围成的三角形内部

y (不含边界) ,设 l1 与 l 2 , l1 与 l3 , l 2 与 l3 交点分别为 A, B, C ,则 A, B, C 坐标分别为 A( l1

15 3 , ) , B(0, ?3) , 8 4

75 12 ,? ) , 19 19 作一组平行线 l : x ? y ? t 平行于 l0 : x ? y ? 0 , C(
当 l 往 l0 右上方移动时, t 随之增大,

A
O

l3

C
B

x
l2

63 ∴当 l 过 C 点时 x ? y 最大为 ,但不是整数解, 19 75 又由 0 ? x ? 知 x 可取 1, 2,3 , 19 当 x ? 1 时,代入原不等式组得 y ? ?2 , ∴ x ? y ? ?1; 当 x ? 2 时,得 y ? 0 或 ?1 , ∴ x ? y ? 2 或 1 ; 当 x ? 3 时, y ? ?1 , ∴ x ? y ? 2 , ?x ? 2 ?x ? 3 故 x ? y 的最大整数解为 ? 或? . ? y ? 0 ? y ? ?1

例 4.投资生产 A 产品时,每生产 100 吨需要资金 200 万元,需场地 200 平方米,可获利润 300 万元;投资生产 B 产 品时,每生产 100 米需要资金 300 万元,需场地 100 平方米, 可获利润 200 万元.现某单位可使用资金 1400 万元, 场地 900 平方米,问:应作怎样的组合投资,可使获利最大? 分析:这是一个二元线性规划问题,可先将题中数据整理成下表,以方便理解题意: 资 金 场 地 利 润 (百万元) (平方米) (百万元) A 产品 2 2 3 B 产品 3 1 2 限 制 14 9 然后根据此表数据,设出未知数,列出约束条件和目标函数,最后用图解法求解

解:设生产 A 产品 x 百吨,生产 B 产品 y 米,利润为 S 百万元,

?2 x ? 3 y ? 14 ?2 x ? y ? 9 ? 则约 束条件为 ? ,目标函数为 S ? 3x ? 2 y . x?0 ? ?y ? 0 ?
作出可行域(如图) ,

3 S 3 S 3 S x ? ,它表示斜率为 ? ,在 y 轴上截距为 的直线,平移直线 y ? ? x ? ,当它经 2 2 2 2 2 2 13 5 S 13 5 过直线与 2 x ? y ? 9 和 2 x ? 3 y ? 14 的交点 ( , ) 时, 最大,也即 S 最大.此时, S ? 3 ? ? 2 ? ? 14.75 . 4 2 2 4 2
将目标函数变形为 y ? ?

4

因此, 生产 A 产品 3.25 百吨,生产 B 产品 2.5 米,利润最大为 1475 万元. 说明: (1)解线性规划应用题的一般步骤:①设出未知数;②列出约束条件(要注意考虑数据、变量、不等式的实际 含义及计量单位的统一) ;③建立目标函数;④求最优解. 一、对于有实际背景的线性规划问题,可行域通常是位于第一象限内的一个凸多边形区域,此时变动直线的最 佳位置一般通过这个凸多边形的顶点. 三、画区域 1. 用不等式表示以 A(1 , 4) , B(?3 , 0) , C (?2 , ? 2) 为顶点的三角形内部的平面区域. 分析:首先要将三点中的任意两点所确定的直线方程写出,然后结合图形考虑三角形内部区域应怎样表示。 解:直线 AB 的斜率为: k AB ? 4 ? 0 ? 1 ,其方程为 y ? x ? 3 . 1 ? (?3) 可求得直线 BC 的方程为 y ? ?2 x ? 6 .直线 AC 的方程为 y ? 2 x ? 2 . ?ABC 的内部在不等式 x ? y ? 3 ? 0 所表示平面区域内,同时在不等式 同时又在不等式 2 x ? y ? 2 ? 0 所表示 2 x ? y ? 6 ? 0 所表示的平面区域内, 区域内(如图) .
? x ? y ? 3 ? 0, 所以已知三角形内部的平面区域可由不等式组 ?2 x ? y ? 6 ? 0, 表示. ? ?2 x ? y ? 2 ? 0 ?

的平面

说明:用不等式组可以用来平面内的一定区域,注意三角形区域内部不包括边界线. 2 画出 2 x ? 3 ? y ? 3 表示的区域,并求所有的正整数解 ( x , y) . 解:原不等式等价于 ?

? y ? 2 x ? 3, 而求正整数解则意味着 x , y 还有限制条件,即求 ? y ? 3.

? x ? 0, y ? 0, ? x ? z, y ? z, ? . ? y ? 2 x ? 3, ? ? y ? 3. ?
依照二元一次不等式表示的平面区域, 知 2 x ? 3 ? y ? 3 表示的区域如下图: 对于 2 x ? 3 ? y ? 3 的正整数解,容易求 得,在其区域内的整数解为 (1 , 1) 、 (1 , 2) 、 (1 , 3) 、 (2 , 2) 、 (2 , 3) . 3 设 x ? 0 , y ? 0 , z ? 0 ; p ? ?3x ? y ? 2 z , q ? x ? 2 y ? 4 z , x ? y ? z ? 1 ,用图表示出点 ( p , q) 的范围. 分析:题目中的 p , q 与 x , y , z 是线性关系. 可借助于 x , y , z 的范围确定 ( p , q) 的范围.
x? (8 ? q ? 6 p ), ?3x ? y ? 2 z ? ? p, ? 27 ? 解:由 ? x ? 2 y ? 4 z ? q, 得 ? 1 ? (14 ? 5q ? 3 p ), ?y ? ? x ? y ? z ? 1, 27 ? ? 1 ? ? z ? 27 (5 ? 4 p ? 3q ), ? ? 1

5

?6 p ? q ? 8 ? 0, ? 由 x ? 0 , y ? 0 , z ? 0 得 ?3 p ? 5q ? 14 ? 0, 画出不等式组所示平面区域如图所示. ?3 p ? 4q ? 5 ? 0, ?
说明:题目的条件隐蔽,应考虑到已有的 x , y , z 的取值范围.借助于三元一次方程组分别求出 x , y , z ,从而 求出 p , q 所满足的不等式组找出 ( p , q) 的范围. 4、已知 x,y,a,b 满足条件: x ? 0, y ? 0, a ? 0, b ? 0 ,2x+y+a=6,x+2y+b=6 (1)试画出( x, y )的存在的范围; (2)求 2 x ? 3 y 的最大值。 四、画区域,求面积 例 3 求不等式组 ?

? y ? x ?1 ?1 ? 所表示的平面区域的面积. ? y ? ? x ?1 ?

分析 :关键是能够将不等式组所表示的平面区域作出来,判断其形状进而求出其面 积.而要将平面区域作出来的关键又是能够对不等式组中的两个不等式进行化简和变形, 如何变形?需对绝对值加以讨论.
解:不等式 y ? x ? 1 ? 1 可化为 y ? x( x ? ?1) 或 y ? ? x ? 2( x ? ?1) ; 不等式 y ? ? x ? 1可化为 y ? ? x ? 1( x ? 0) 或 y ? x ? 1( x ? 0) . 在平面直角坐标系内作出四条射线:

AB:y ? x( x ? ?1) , AC:y ? ? x ? 2( x ? ?1) DE:y ? ? x ? 1( x ? 0) , DF:y ? x ? 1( x ? 0) 则不等式组所表示的平面区域如图,由于 AB 与 AC 、 DE 与 DF 互相垂直,所以平面区域是一个矩形.
根据两条平行线之间的距离公式可得矩形的两条边的长度分别为 五、求最值 一、与直线的截距有关的最值问题

3 2 2 3 和 .所以其面积为 . 2 2 2

z ? Ax ? By ? C
(?1 , 2)

y
B

A

(2 , 4)

1.如图 1 所示,已知 ? ABC 中的三顶点 A(2 , 4) , B( ?1 , 2) , C(1 , 0) , 点 P( x , y ) 在 ? ABC 内部及边界运动,请你探究并讨论以下问题: ① z ? x ? y 在 点 A 处有最大值 6 ,在边界 BC 处有最小值 1 ; ② z ? x ? y 在 点 C 处有最大值 1 ,在 点 B 处有最小值 ?3

0

C (1 , 0) (图 1)

x

y
B

A

y
(2 , 4)

x ? y ? ?3 A

(2 , 4)

(?1 , 2)

x? y ?6

(?1 , 2)

B

x ? y ?1

0

C (1 , 0)
x ? y ?1

x

0

C (1 , 0)

x

( 图2 ) 2 x ? y ? 12 ? 0, ? 2 若 x 、 y 满足条件 ?3x ? 2 y ? 10 ? 0, z ? x ? 2 y 的最大值和最小值. 求 ? ? x ? 4 y ? 10 ? 0. ?

分析:画出可行域,平移直线找最优解.
解:作出约束条件所表示的平面区域,即可行域,如图所示.

6

1 z 1 1 x ? z ,它表示斜率为 ? ,纵截距为 的平行直线系,当它在可行域内 2 2 2 2 滑动时,由图可知,直线 l 过点 A 时, z 取得最大值,当 l 过点 B 时, z 取得最小值.
作直线 l : x ? 2 y ? z ,即 y ? ? ∴

zmax ? 2 ? 2 ? 8 ? 18



zmin ? ?2 ? 2 ? 2 ? 2

注: z ? Ax ? By 可化为 y ? ?

z A z A x ? 表示与直线 y ? ? x 平行的一组平行线,其中 为截距,特别注意:斜率 B B B B

范围及截距符号。即注意平移直线的倾斜度和平移方向。 变式:设 x,y 满足约束条件 ? x ? 4 y ? ?3

? ?3x ? 5 y ? 25 ? x ?1 ?

分别求:(1)z=6x+10y,(2)z=2x-y,(3)z=2x-y,的最大值,最小值。 二、与直线的斜率有关的最值问题

z?

y ? y0 表示定点 P(x0,y0)与可行域内的动点 M(x,y)连线的斜率. x ? x0

? x ? y ? 2 ≤ 0, y 例 2 设实数 x,y 满足 ? x ? 2 y ? 4 ≥ 0, ,则 z ? 的最大值是__________. ? x ?2 y ? 3 ≤ 0, ?

解析:画出不等式组所确定的三角形区域 ABC, z ?

y y?0 表示两点 O(0,,P( x,y ) 确定的直线的斜率,要求 z 0) ? x x?0

的最大值,即求可行域内的点与原点连线的斜率的最大值. 可以看出直线 OP 的斜率最大,故 P 为 x ? 2 y ? 4 ? 0 与 2 y ? 3 ? 0 的交点,

y
B

A

3 ? 3? , 即 A 点.∴ P ? 1 ? .故答案为 . 2 ? 2?
3.如图 1 所示,已知 ? ABC 中的三顶点 A(2 , 4) , B( ?1 , 2) , C(1 , 0) ,

(2 , 4)

(?1 , 2)

0 点 P( x , y ) 在 ? ABC 内部及边界运动,请你探究并讨论以下问题:

C (1 , 0) (图 1)

x

y ?1 2y ? 3 若目标函数是 z ? 或z? ,你知道其几何意义吗?你能否借助其几何 x x ?1
三、与距离有关的最值问题

意义求得 zmin 和 z max ?

z ? ( x ? x0 ) 2 ? ( y ? y0 ) 2 或z ? ( x ? x0 ) 2 ? ( y ? y0 ) 2 或z ? x 2 ? y 2 ? Ax ? By ? C(配方) 的结构表示定点 Q (x0,y0)
到可行域内的动点 N(x,y)的距离的平方或距离。 1.已知 x ? y ? 5 ? 0 , x ? y ? 10 ? 0 .求 x ? y 的最大、最小值.
2 2
2 2 分析:令 z ? x 2 ? y 2 ,目标函数是非线性的.而 z ? x ? y ?

?

x 2 ? y 2 可看做区

?

2

域内的点到原点距离的平方.问题转化为点到直线的距离问题.

7

解:由 ?

? x ? y ? 5 ? 0, 2 2 得可行域(如图所示)为 z ? x ? y ? x ? y ? 10 ? 0, ?

?

x2 ? y2

? ,而
2

(0 , 0) 到 x ? y ? 5 ? 0 , x ? y ? 10 ? 0 的距离分别为
最小值分别是 50 和

5 10 和 . 所以 z 的最大、 2 2

25 . 2

? x ? y ? 2 ≥ 0, ? 2 2 2.已知 ? x ? y ? 4 ≥ 0,求 z ? x ? y ? 10 y ? 25 的最小值 ?2 x ? y ? 5 ≤ 0, ?
2 2 解析:作出可行域如图 3,并求出顶点的坐标 A(1,3) B(3,1) C(7,9) 、 、 .而 z ? x ? ( y ? 5) 表示可行域内任

一点 x,) ( y 到定点 M 0, 的距离的平方, M 作直线 AC 的垂线, ( 5) 过 易知垂足N在线段 AC 上, z 的最小值是 MN 故

2

?

9 . 2

【课堂练习】
? x?0 ? 1. (安徽 11)若 x, y 满足约束条件: ? x ? 2 y ? 3 ;则 x ? y 的取值范围为 _____ ?2 x ? y ? 3 ?
2. 北京 2.设不等式组 ? 2 的概率是 (A)

?0 ? x ? 2, ,表示平面区域为 D,在区域 D 内随机取一个点,则此点到坐标原点的距离大于 ?0 ? y ? 2

? 4

(B)

? ?2
2
x

(C)

? 6

(D)

4 ?? 4


?x ? y ? 3 ? 0 ? 3.福建 9.若直线 y ? 2 上存在点 ( x, y ) 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 3 ? 0 ,则实数 m 的最大值为( ?x ? m ?
3 D.2 2 ? y?2 ? 4.广东 5. 已知变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 4 ,则 z ? 3x ? y 的最大值为( ? x ? y ?1 ?
A. B.1 C.

1 2

)

( A) 12

( B) 11

(C ) ?

( D ) ??

8

5.江苏 14. (2012 年江苏省 5 分) 已知正数 a , , 满足: c ? 3a ≤ b ≤ 4c ? a , ln b ≥ a ? c ln c ,则 b c 5 c

b 的取值范围是 a



6.江西 8.某农户计划种植黄瓜和韭菜,种植面积不超过 50 计,投入资金不超过 54 万元,假设种植黄瓜和韭菜的产 量、成本和售价如下表 年产量/亩 黄瓜 韭菜 4吨 6吨 年种植成本/亩 1.2 万元 0.9 万元 每吨售价 0.55 万元 0.3 万元 )

为使一年的种植总利润 (总利润=总销售收入 总种植成本) 最大, 那么黄瓜和韭菜的种植面积 (单位: 分别为 亩) ( A.50,0 B.30,20 C.20,30 D.0,50

? x-y ? 10 ? 7 辽宁 8. 设变量 x,y 满足 ?0 ? x +y ? 20 ,则 2 x +3 y 的最大值为 ?0 ? y ? 15 ?
A.20 B.35 C.45 D.55

?x ? y ?1 ? 0 ? ? 8.全国卷大纲版 13.若 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 3 ? 0 ,则 z ? 3x ? y 的最小值为 ? ?x ? 3y ? 3 ? 0 ?



9 山东 10 陕西 14. 设函数 f ( x) ? ?

?ln x, x ? 0 , D 是由 x 轴和曲线 y ? f ( x) 及该曲线在点 (1, 0) 处的切线所围成的封 ??2 x ? 1, x ? 0


闭区域,则 z ? x ? 2 y 在 D 上的最大值为

11 四川 9、某公司生产甲、乙两种桶装产品。已知生产甲产品 1 桶需耗 A 原料 1 千克、 B 原料 2 千克;生产乙产品 1 桶需耗 A 原料 2 千克, B 原料 1 千克。每桶甲产品的利润是 300 元,每桶乙产品的利润是 400 元。公司在生产这两 种产品的计划中,要求每天消耗 A 、 B 原料都不超过 12 千克。通过合理安排生产计划,从每天生产的甲、乙两种产 品中,公司共可获得的最大利润是( ) A、1800 元 B、2400 元 C、2800 元 D、3100 元

? x, y ? 0 ? 12 新课标(14) 设 x, y 满足约束条件: ? x ? y ? ?1 ;则 z ? x ? 2 y 的取值范围为 ? x? y ?3 ?
13 浙江 21.(本小题满分 14 分)已知 a>0,b ? R,函数 f ? x ? ? 4ax3 ? 2bx ? a ? b . (Ⅰ)证明:当 0≤x≤1 时,

9

(ⅰ)函数 f ? x ? 的最大值为|2a-b|﹢a; (ⅱ) f ? x ? +|2a-b|﹢a≥0; (Ⅱ) 若﹣1≤ f ? x ? ≤1 对 x ? [0,1]恒成立,求 a+b 的取值范围.

14 重庆 10.设点集为 A ? ?( x, y ) ( y ? x)( y ? ) ? 0 ? , B ? ( x, y ) ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 1 , A ? B 所表示的平面图形 则
2 2

? ?

1 x

? ?

?

?

的面积为 (A)

3 ? 4

(B) ?

3 5

(C) ?

4 7

(D)

? 2

【课后作业】
(1)选择题: 1.以下四个命题中,正确的是( ) A.原点与点(2,3)在直线 2x+y-3=0 的同侧 B.点(3,2)与点(2,3)在直线 x-y=0 同侧 C.原点与点(2,1)在直线 2y-6x+1=0 异侧 D.原点与点(2,1)在直线 2y-6x+1=0 同侧 2.不等式 x+3y-1<0 表示的平面区域在直线 x+3y-1=0 的( ) A.右上方 B.右下方 C. 左下方 D.左上方 3.在坐标平面上,不等式组 ?

? y ? x ?1 所表示的平面区域的面积为( ? y ? ?3 x ? 1
C.



A. 2 (2)填空题:

B.

3 2

3 2 2

D.2

? x? y ?5 ? 4.若 x、y 满足条件 ? 2 x ? y ? 6 ,则目标函数 z=6x+8y 的最大值为 ? x ? 0, y ? 0 ?
5.若实数 x、y 满足 ?

,最小值为



?4 ? x ? 2 y ? 6 ,则 x+y 的范围是 ?2 ? 2 x ? y ? 8



10

6.非负实数 x、y 满足 ?

?2 x ? y ? 4 ? 0 ,则 x+3y 的最大值是 ? x? y ?3? 0



? x? y?2?0 y ? 7.设实数 x、y 满足条件 ? x ? 2 y ? 4 ? 0 ,则 的最大值是 x ? 2y ? 3 ? 0 ? ?x ? y ? 1 ? 0 ? 8.设实数 x、y 满足条件 ? y ? 1 ? 0 ,那么 2x-y 的最大值为( ?x ? y ? 1 ? 0 ?




A. 2 B. 1 C . -2 D. -3 9.已知变量 x、y 满足约束条件 1≤x+y≤4,-2≤x-y≤2。若目标函数 z=ax+y(其中 a>0)仅在点(3,1)处取得 最大值,则 a 的取值范围是 。

? x ? 2 y ? 10 ? 2x ? y ? 3 ? 10 . 设 D 是 不 等 式 组 ? 表 示 的 平 面 区 域 , 则 D 中 的 点 P ( x,y ) 到 直 线 x+y=10 距 离 的 最 大 值 ? 0? x?4 ? y ?1 ?
是 。 (3)解答题: 11.某电视机厂计划在下一个生产周期内生产两种型号的电视机,每台 A 型、B 型电视机所得的利润分别为 6 和 4 个 单位,而生产一台 A 型、B 型电视机所耗原料分别为 2 和 3 个单位;所需工时分别为 4 和 2 个单位。如果允许使用的 原料为 100 个单位,工时为 120 个单位,且 A、B 型电视机的产量分别不低于 5 台和 10 台,那么生产两种类型电视机 各多少台,才能使利润最大?

12.制定投资计划时,不仅要考虑可能获得的赢利,而且要考虑可能出现的亏损。某投资人打算投资甲、乙两个项目, 根据预测,甲、乙项目可能的最大赢利率分别为 100%和 50%,可能的最大亏损率分别为 30%和 10%,投资人计 划投资金额不超过 10 万元,要求确保可能的资金亏损不超过 1.8 万元,问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万 元,才能使可能的赢利最大?

11

【参考答案】
【课上练习】 1.【解析】 x ? y 的取值范围为 [?3,0] 约束条件对应 ?ABC 边际及内的区域: A(0,3), B(0, ), C (1,1) 则 t ? x ? y ? [?3, 0]

3 2

2.【解析】题目中 ?

?0 ? x ? 2 表示的区域如图正方形所示,而动点 D 可以存在的位置为正 ?0 ? y ? 2

1 2 ? 2 ? ? ? 22 4 ?? 4 方形面积减去四分之一圆的面积部分,因此 P ? ,故选 D。 ? 2? 2 4
【答案】D 3.考点:线性规划。 难度:中。 分析:本题考查的知识点为含参的线性规划,需要画出可行域的图形,含参的直线要能画出大致图像。

(0,3)

y ? 2x (m,3 ? m)
(3,0)

3 (0, ) 2
解答:可行域如下:

?x ? y ? 3 ? 0 ? 所以,若直线 y ? 2 x 上存在点 ( x, y ) 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 3 ? 0 , ?x ? m ?
则 3 ? m ? 2 ,即 m ? 1 。
m

4.【解析】选 B

约束条件对应 ?ABC 边际及内的区域: A(2, 2), B(3, 2), C ( , )

5 3 2 2

12

则 z ? 3x ? y ?[8,11]

7 5.【答案】 ? e, ? 。
【考点】可行域。 【解析】条件 5c ? 3a ≤ b ≤ 4c ? a , ln b ≥a ?c lnc 可化为: c

? a b ?3 ? ? ? 5 ? c c ?a b ? ? ?4 。 ?c c a ?b ? ? ec ?c


a b =x,y = ,则题目转化为: c c

?3 x ? y ? 5 ?x ? y ? 4 y ? 已知 x,y 满足 ? ,求 的取值范围。 x x ?y ? e ? x > 0,y > 0 ?
作出( x,y )所在平面区域(如图) 。求出 y =e x 的切 线的斜率 e ,设过切点 P ? x0,y0 ? 的切线为 y =ex ? m ? m ? 0 ? , 则

y0 ex0 ? m m = =e ? ,要使它最小,须 m=0 。 x0 x0 x0



y 的最小值在 P ? x0,y0 ? 处,为 e 。此时,点 P ? x0,y0 ? 在 y =e x 上 A, B 之间。 x

? y =4 ? x ?5 y =20 ? 5 x y 当( x,y )对应点 C 时, ? ?? ? y =7 x ? =7 , x ? y =5 ? 3x ?4 y =20 ? 12 x
∴ ∴

y 的最大值在 C 处,为 7。 x

y b 7 7 的取值范围为 ? e, ? ,即 的取值范围是 ? e, ? 。 a x 6.B 【解析】本题考查线性规划知识在实际问题中的应用,同时考查了数学建模的思想方法以及实践能力.设黄瓜和 韭菜的种植面积分别为 x,y 亩,总利润为 z 万元,则目标函数为

z ? (0.55 ? 4 x ? 1.2 x) ? (0.3 ? 6 y ? 0.9 y) ? x ? 0.9 y .线性约束

13

? x ? y ? 50, ? x ? y ? 50, ?4 x ? 3 y ? 180, ?1.2 x ? 0.9 y ? 54, ? ? 条件为 ? 即 ? 作出不等式组 ? x ? 0, ? x ? 0, ? y ? 0. ? y ? 0. ? ?
A ? 0 , 5 ?0 B? , 3 0?, 2 C , 0 ?

? x ? y ? 50, ?4 x ? 3 y ? 180, ? 表示的可行域,易求得点 ? ? x ? 0, ?y ? 0 ?

?. 0 , 4 5

平移直线 z ? x ? 0.9 y , 可知当直线 z ? x ? 0.9 y 经过点 B ? 30, 20 ? ,即 x ? 30, y ? 20 时,z 取得最大值,且 zmax ? 48 (万 元).故选 B. 【点评】解答线性规划应用题的一般步骤可归纳为: (1)审题——仔细阅读,明确有哪些限制条件,目标函数是什么? (2)转化——设元.写出约束条件和目标函数; (3)求解——关键是明确目标函数所表示的直线与可行域边界直线斜率间的关系; (4)作答——就应用题提出的问题作出回答. 体现考纲中要求会从实际问题中抽象出二元线性规划.来年需要注意简单的线性规划求最值问题. 7.【命题意图】本题主要考查简单线性规划,是中档题.

【解析】作出可行域如图中阴影部分所示,由图知目标函数过点 A ? 5,15 ? 时, 2 x +3 y 的最大值为 55,故选 D.

8.答案: ?1 【命 题意图】本试题考查了线性规划最优解的求解的运用。常规题型,只要正确作图,表示出区域,然后借助于直 线平移法得到最值。 【解析】利用不等式组,作出可行域,可知区域表示的为三角形,当目标函数过点 (3, 0) 时,目标函数最大 ,当目标 函数过点 (0,1) 时最小为 ?1 。

]

9.解析:作出可行域,直线 3x ? y ? 0 ,将直线平移至点 (2,0) 处有最大值, 点 ( ,3) 处有最小值,即 ?

1 2

3 ? z ? 6 .答案应选 A。 2

10.【答案】2 【解析】当 x ? 2 时, f ?x ? ?
'

1 ' , f ?1? ? 1 ,∴曲线在点 (1, 0) 处的切线为 y ? x ? 1 x

则根据题意可画出可行域 D 如右图: 目标函数 y ?

1 1 x? z, 2 2

14

当 x ? 0 , y ? ?1 时,z 取得最大值 2 11.[答案]C [解析]设公司每天生产甲种产品 X 桶,乙种产品 Y 桶,公司共可获得 利润为 Z 元/天,则由已知,得 Z=300X+400Y

? X ? 2Y ? 12 ?2 X ? Y ? 12 ? 且? ?X ? 0 ?Y ? 0 ?
画可行域如图所示, 目标函数 Z=300X+400Y 可变形为 Y= ?

3 z x? 4 400

这是随 Z 变化的一族平行直线

解方程组 ?

?2x ? y ? 12 ?x ? 2 y ? 12

?x ? 4 ?? 即 A(4,4) ? Z max ? 1200 ? 1600 ? 2800 ?y ? 4

[点评]解决线性规划题目的常规步骤:一列(列出约束条件) 、二画(画出可行域) 、三作(作目标函数变形式的平行 线) 、四求(求出最优解). 12.【解析】 z ? x ? 2 y 的取值范围为

[? 3 , 3 ]

约束条件对应四边形 OABC 边际及内的区域: O(0,0), A(0,1), B(1, 2), C (3,0) 则 z ? x ? 2 y ?[?3,3] 13.【解析】本题主要考察不等式,导数,单调性,线性规划等知识点及综合运用能力。 (Ⅰ) (ⅰ) f ? ? x ? ? 12ax 2 ? 2b . 当 b≤0 时, f ? ? x ? ? 12ax 2 ? 2b >0 在 0≤x≤1 上恒成立, 此时 f ? x ? 的最大值为: f ?1? ? 4a ? 2b ? a ? b ? 3a ? b =|2a-b|﹢a; 当 b>0 时, f ? ? x ? ? 12ax 2 ? 2b 在 0≤x≤1 上的正负性不能判断, 此时 f ? x ? 的最大值为:
?b ? a,b ? 2a =|2a-b|﹢a; f max ? x ? ? max{ f (0),() ? max{(b ? a),(3a ? b) ? ? f 1} } b ?3a ? b, ? 2a

综上所述:函数 f ? x ? 在 0≤x≤1 上的最大值为|2a-b|﹢a; (ⅱ) 要证 f ? x ? +|2a-b|﹢a≥0,即证 g ? x ? =﹣ f ? x ? ≤|2a-b|﹢a. 亦即证 g ? x ? 在 0≤x≤1 上的最大值小于(或等于)|2a-b|﹢a,

15

∵ g ? x ? ? ?4ax3 ? 2bx ? a ? b ,∴令 g ? ? x ? ? ?12ax 2 ? 2b ? 0 ? x ? 当 b≤0 时, g ? ? x ? ? ?12ax 2 ? 2b <0 在 0≤x≤1 上恒成立, 此时 g ? x ? 的最大值 为: g ? 0 ? ? a ? b ? 3a ? b =|2a-b|﹢a; 当 b<0 时, g ? ? x ? ? ?12ax 2 ? 2b 在 0≤x≤1 上的正负性不能判断,
g max ? x ? ? max{g ( b ),() g 1} 6a

b . 6a

4 b ? max{ b ? a ? b,b ? 2a} 3 6a ?4 b b ? a ? b, ? 6a ? b ? ? 3 6a b ? 6a ?b ? 2a, ?

≤|2a-b|﹢a; 综上所述:函数 g ? x ? 在 0≤x≤1 上的最大值小于(或等于)|2a-b|﹢a. 即 f ? x ? +|2a-b|﹢a≥0 在 0≤x≤1 上恒成立. (Ⅱ)由(Ⅰ)知:函数 f ? x ? 在 0≤x≤1 上的最大值为|2a-b|﹢a, 且函数 f ? x ? 在 0≤x≤1 上的最小值比﹣(|2a-b|﹢a)要大. ∵﹣1≤ f ? x ? ≤1 对 x ? [0,1]恒成立, ∴|2a-b|﹢a≤1. 取 b 为纵轴,a 为横轴. 则可行域为: ? 作图如下: 由图易得:当目标函数为 z=a+b 过 P(1,2)时,有 zmax ? 3 . ∴所求 a+b 的取值范围为: (?1,3]. .
? b ? 2a ? b ? 2a 和? ,目标函数为 z=a+b. ?b ? a ? 1 ?3a ? b ? 1

16

【答案】(Ⅰ) 见解析;(Ⅱ) (?1, 3 ]. . 14.【解析】选 D 由对称性:

1 1 y ? x, y ? , ( x ? 1)2 ? ( y ? 1) 2 ? 1 围成的面积与 y ? x, y ? , ( x ? 1)2 ? ( y ? 1) 2 ? 1 x x
围成的面积相等 得: A ? B 所表示的平面图形的面积为 y ? x, ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 1
2 2

围成的面积既 【课后作业】 一、选择题 1.C; 2.C;

1 ? ? ? R2 ? 2 2

? y ? x ?1 ? y ? x ?1 ? y ? x ?1 3 ? ? 3.B 解析: ? ? ? y ? ?3x ? 1 或 ? y ? 3x ? 1 画出可行域,是两个三角形∴所求面积为 。 y ? ?3 x ? 1 2 ? ? x?0 ? x?0 ? ?
2. 填空题: 4。最大值为 40,最小值为 0; 5.2.8≤x+y≤5.2 6.最大值为 9。 7.最大值为

3 。 2

8.最大值为 1。 9.解析:由约束条件可知可行域,区域为矩形的内部及其边界, (3,1)为其中一个顶点,z 最大时,即平移 y=-ax 时,使直线在 y 轴上的截距最大,∴-a<-1∴a>1。 10.解析:画出可行域为一个四边形,到直线 x+y=10 距离最远的点应该是直线 2x+3y=3、y=1 的交点,即点(1,1) , 它到 x+y=10 的距离是 4 2 。 三、解答题

17

? 2 x ? 3 y ? 100 ?4 x ? 2 y ? 120 ? 11.解析:设生产 A 型 x 台,B 型 y 台,依题意得约束条件为: ? 而目标函数为:z=6x+4y。画出可行 x?5 ? ? y ? 10 ?
域和直线 3x+2y=0 并平移可得最优解为:x=y=20。 12.解析:设投资人分别用 x 万元、y 万元投资甲、乙两个项目,由题意知

? x ? y ? 10 ?0.3x ? 0.1y ? 1.8 ? ,目标函数为 z=x+0.5y,画出可行域和直线 x+0.5y=0 并平移得到最优点是直线 x+y=10 与直线 ? x?0 ? ? y?0 ?
0.3x+0.1y=1.8 的交点(4,6)此时 z=7(万元) 。

18


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