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2012年12月浙江省温岭中学高二月考理科数学试题(选修2-1)


温岭中学高二月考数学试题
命题:王玉龙 审题:瞿永刚

一、选择题(每小题只有一个正确选项,每小题 3 分,共 30 分)
1.抛物线y 2 ? ?4 x的焦点坐标是 ) ( 1 1 A.(?1,0) B.( ,0) C.(0, ) 16 16 1 ) 16 )

D.(0,?

2.设集合M ? {x | ?1 ? x ? 3}, N ? x | x( x ? 3) ? 0},那么“ ? M”是“ ? N”的( a a A.充分而不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要
3.双曲线方程为 x 2 ? 2 y 2 ? 1, 则它的焦点坐标为 ( 2 5 6 A.( ? ,0) B.( ? ,0) C.( ? ,0) 2 2 2 ) D.( ? 3 ,0)

4.双曲线 A.4

x2 y2 ? ? 1(a ? 0)的渐近线方程为 x ? 2 y ? 0, 则a的值为( 3 9 a2 B.3 C.2 D.1

)

x2 y2 5.已知椭圆 ? ? 1,长轴在 轴上,若焦距为,则m ? ( y 4 10 ? m m ? 2 A.4 B.5 C.7 D.8

)

6.b ? ac是a, b, c成等比数列的 ) ( A.充分而不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要
1 x2 y2 7.直线 l过M (1, )与椭圆 ? ? 1相交于 A、B两点,若 AB中点恰好为 M,则直线 l的 4 4 3 斜率为 ( ) 1 A.3 B. C. ? 4 D. ? 3 4

8.已知抛物线 2 ? 4 x的焦点为 ,准线与 轴的交点为 ,N为抛物线上一点,且 y F x M 3 | NF |? | MN |, 则?NMF ? ( ) 2 ? ? ? 5? A. B. C. D. 6 4 3 12
9.若点 P为有公共焦点的椭圆 C1和双曲线 C 2的一个交点, F1 , F2 分别是它们的左、右焦 点, 1 1 设椭圆的离心率 e1 , 双曲线的离心率为 e2 , 若PF1 ? PF2,则 2 ? 2 ? ( ) e1 e2 A.1 B.2 C.3 D.4

10.设F1 , F2 分别为双曲线

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0)的左、右焦点,若在双 曲线上存在点 P, a2 b2 满足 | PF2 |?| F1 F2 |, 且F2 到直线 PF1的距离等于实轴长,则 该双曲线的渐近线方程 为( ) A.3 x ? 4 y ? 0 B.3x ? 5 y ? 0 C .5 x ? 4 y ? 0 D.4 x ? 3 y ? 0

二、填空题(每小题 3 分,共计 21 分)
11.椭圆 x2 y2 ? ? 1上一点 A到下焦点 F1的距离为 2,则 A到上焦点 F2的距离为 _______ . 4 9 x2 ? y 2 ? 1的离心率是 __________ _______ . 4

12.双曲线

13.抛物线 2 ? 4x的准线方程为 y __________ _________ .
14 .设命题 (1) p ? q; p : 若a ? b, 则 (2) p ? q; 1 1 ? ; a b (3)?p; a ? 0 ? ab ? 0, 给出下列四个复合命题 : b (4)?q,其中真命题的个数有 _______ 个. q:

15.若方程 9 ? x 2 ? x ? b ? 0有两个不等实根,则实 b的取值范围是 数 __________ . ____
x2 y2 16.设F1 , F2 是椭圆C: 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0)的左右焦点,过点 1的直线l与C交于A, B两点. F a b 若AB ? AF2 , | AB |:| AF2 |? 3 : 4,则椭圆的离心率为 __________ .
17.设O为坐标原点, F1 , F2 是双曲线 x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0)的焦点,若在双曲线上 存在点 P, a2 b2 满足 ?F1 PF2 ? 60?, | OP |? 7a,则该双曲线的渐近线 方程为 __________ _______ .

三、解答题(共 5 小题,共计 49 分)
18. (本小题 分)已知 :| x ? 4 |? 6, q : x 2 ? 2x ? 1 ? m2 ? 0(m ? 0), 若?p是?q的必要不充 7 p 分条件,求实数 的取值范围 m .

19. (本小题 10分)圆 C的圆心为 C (?3,6)且和直线 x ? y ? 1相切, (1)求圆 C的方程; (2)直线 l : y ? x ? m交圆 C于A、B两点,若 ?ACB ? 120 ?,求 m.

20.(本小题 分)已知抛物线 2 ? 4 x,直线AB过(4,0),交抛物线于 , B两点, 10 y A (1)求证:OA ? OB. (2)在x轴上是否存在一定点 ,使得?AMB M 恒被x轴平分?若存在,求出 的坐标; M 若不存在,说明理由 .

21. (本小题 10分)已知 A、B分别是直线 y ?

3 3 x和y ? ? x上的两个动点,线段 AB的长 3 3

为2 3 , P是AB的中点. (1)求点 P的轨迹 C的方程; (2)过点 Q(1,0)任意作直线 l(与坐标轴不垂直), 设l与(1)中轨迹 C交于 M , N两点,与 y轴 交于 R点,若 RM ? ? MQ, RN ? ? NQ , 求证 : ? ? ?为定值

x2 y2 22.(本小题12分)如图,椭圆 C: 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0)的一个焦点为 F (1,0), 且过点 (2,0). a b ( I )求椭圆 C的方程; ( II )若AB是垂直于 x轴的动弦,直线 l : x ? 4与x轴交于点 N,直线 AF与BN交于点 M . (1)求证:点 M恒在椭圆 C上; )求?AMN面积的最大值 . (2

y A

l

O B

F M

N x

温岭中学高二月考数学试题参考答案
命题:王玉龙 审题:瞿永刚

考号__________得分______

一、选择题
1 A 2 B 3 C 4 C 5 D 6 B 7 D 8 A 9 B 10 D

二、填空题 11_____4__________12.____
5 ___________13._______ x ? ?1 _____. 2 5 _______. 3

14._____2__________15.__ ( ?3 2 ,?3] ________16.______ 17._____ 2 x ? y ? 0 __. 三、解答题

18. (本小题 分)已知 :| x ? 4 |? 6, q : x 2 ? 2x ? 1 ? m2 ? 0(m ? 0), 若?p是?q的必要不充 7 p 分条件,求实数 的取值范围 m .

解:p : ?6 ? x ? 4 ? 6即 ? 2 ? x ? 10 方法一: q : [ x ? (1 ? m)][x ? (1 ? m)] ? 0即 : 1 ? m ? x ? 1 ? m 由于?p是?q的必要不充分条件,故 p是q的充分不必要条件, ?? 2 ? 1 ? m 故? 得m ? 9 ? 10 ? 1 ? m

?(?2) 2 ? 2(?2) ? 1 ? m 2 ? 0 方法二:根分布知识, 直接有: 2 得m ? 9 ? 2 ? 10 ? 2 ? 10 ? 1 ? m ? 0

19. (本小题 10分)圆 C的圆心为 C (?3,6),且和直线 x ? y ? 1相切, (1)求圆 C的方程; (2)直线 l : y ? x ? m交圆 C于A、B两点,若 ?ACB ? 120 ?,求 m.

解:建议分值 4 ? 6分配 ?5 2 2 故圆方程为:x ? 3) 2 ? ( y ? 6) 2 ? 50 ( r 5 2 (2)显然 C到直线 AB距离为 ? 2 2 | ?3 ? 6 ? m | 5 2 则 ? 得m ? 14或5 2 2 (1)r ? | ?3 ? 6 ? 1 |

20.(本小题 分)已知抛物线 2 ? 4 x,直线AB过(4,0),交抛物线于 , B两点, 10 y A (1)求证:OA ? OB. (2)在x轴上是否存在一定点 ,使得?AMB M 恒被x轴平分?若存在,求出 的坐标; M 若不存在,说明理由 .

建议 4 ? 6分配 解:(1)设直线 AB方程为 x ? my ? 4, A( x1 , y1 ), B( x 2 , y 2 ) ? x ? my ? 4 由? 2 得 y 2 ? 4my ? 16 ? 0 ? y ? 4x 则y1 ? y 2 ? 4m,y1 y 2 ? ?16 y2 y2 则OA ? OB ? x1 x 2 ? y1 y 2 ? 1 ? 2 ? y1 y 2 ? 0 4 4 故OA ? OB (2)假设存在满足题意的点 M (a,0),则必有 k MA ? k MB ? 0恒成立 . y y2 即: 1 ? ?0 x1 ? a x 2 ? a 即: y1 ( x 2 ? a ) ? y 2 ( x1 ? a ) ? 0 y2 y2 即: y1 ? 2 ? y 2 ? 1 ? a ( y1 ? y 2 ) ? 0 4 4 得(?4 ? a ) ? 4m ? 0恒成立 故a ? ?4即存在定点 M (4,0)符合题意 .

21. (本小题 10分)已知 A、B分别是直线 y ?

3 3 x和y ? ? x上的两个动点,线段 AB的长 3 3

为2 3 , P是AB的中点. (1)求点 P的轨迹 C的方程; (2)过点 Q(1,0)任意作直线 l(与坐标轴不垂直), 设l与(1)中轨迹 C交于 M , N两点,与 y轴 交于 R点,若 RM ? ? MQ, RN ? ? NQ , 求证 : ? ? ?为定值

解:建议分值 4 ? 6分配 3 3 (1)设A(a, a ), B (b,? b), P ( x, y ) 3 3 3 3 2 ?| AB |? 2 3 ,? (a ? b) 2 ? ( a? b) ? 12 3 3 ( a ? b) 2 2 即(a ? b) ? ? 12 .........( 1) 3 a?b ? x? ? 2 ? a ? b ? 2x x2 ? 而? 代入 (1)可得 ? y2 ? 1 3 3 得? a? b ?a ? b ? 2 3 y 9 ? 3 y? 3 ? 2 ? x2 即P的轨迹方程为 ? y2 ? 1 9 (2)设直线 l方程为 x ? my ? 1, 设M ( x1 , y1 ), N ( x 2 , y 2 ), R(0, y 3 ) 1 显然 y 3 ? ? , m x ? my ? 1 ? ? 由? x 2 得(m 2 ? 9) y 2 ? 2my ? 8 ? 0 ? y2 ? 1 ?9 ? ? 2m ?8 ? y1 ? y 2 ? 2 , y1 y 2 ? 2 m ?9 m ?9 由RM ? ? MQ得: 1 , y1 ? y 3 ) ? ? (1 ? x1 ,0 ? y1 ) (x 得y1 ? y 3 ? ??y1 y 得? ? ?1 ? 3 y1 y 同理 ? ? ?1 ? 3 y2 y ? y2 1 1 故? ? ? ? ?2 ? y 3 ( ? ) ? ?2 ? y 3 ? 1 y1 y 2 y1 y 2 1 ? 2m ? ?2 ? (? ) ? m ?8 9 ?? 4

x2 y2 22.(本小题12分)如图,椭圆C: 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0)的一个焦点为 (1,0), 且过点( 2,0). F a b ( I )求椭圆C的方程; ( II )若AB 是垂直于x轴的动弦,直线 : x ? 4与x轴交于点N,直线AF 与BN 交于点M . l (1)求证:点M恒在椭圆C上; )求?AMN 面积的最大值 (2 .

建议分值分配 2 ? 4 ? 6

y A

l

解: )椭圆方程为: (I 2 x y2 ? ?1 4 3

( II )(1)设A( x0 , y 0 ),则 B( x0 ,? y 0 ) M y0 B 则AF方程为: y ? ( x ? 1) x0 ? 1 ? y0 BN方程为: y ? ( x0 ? 4) x0 ? 4 5x ? 8 3 y0 联立方程可解得 M ( 0 , ) 2 x0 ? 5 2 x0 ? 5 5x ? 8 2 3 y0 2 ( 0 ) ( ) 2 2 2 2 x0 ? 5 2 x0 ? 5 (5 x0 ? 8) 2 ? 12 y 0 25 x0 ? 80 x0 ? 64 ? 36 ? 9 x0 而 ? ? ? ?1 2 4 3 4(2 x0 ? 5) 2 16 x0 ? 80 x0 ? 100 故点 M恒在椭圆 C上.

O

F

N x

(2)设直线 AM的方程为 x ? my ? 1, 代入 则y A ? y M ? ?

x2 y2 ? ? 1得(3m 2 ? 4) y 2 ? 6my ? 9 ? 0 4 3

6m 9 , y A yM ? ? 2 2 3m ? 4 3m ? 4 1 3 故S ?AMN ? (x N ? x F ) | y A ? y M |? ? ( y A ? yM ) 2 ? 4 y A yM 2 2 2 3 36 m 36 m2 ? 1 ? ? ? 18 2 (3m 2 ? 4) 2 (3m 2 ? 4) 3m 2 ? 4 t 1 设 m 2 ? 1 ? t (t ? 1),则 S ?AMN ? 18 ? 2 ? 18 1 3t ? 1 3t ? t 1 1 ? 3t ? 在[1,?? )上为增函数,故当 t ? 1时,t ? 的最小值为 4 3 t t 1 9 ? ( S ?AMN ) min ? 18 ? ? 4 2


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