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第六届中国东南地区数学奥林匹克试题


第六届中国东南地区数学奥林匹克试题
一、解答题 1、在一个圆周上给定十二个红点;求 n 的最小值,使得存在以红点为顶点的 n 个三角形,满足:以红
点为端点的每条弦,都是其中某个三角形的一条边.

2、设 x, y, z ? R? , a ? x( y ? z)2 ,
求证: a2 ? b2 ? c2 ? 2(ab ? bc ? ca) .

b ? y( z ? x)2 ,

c ? z ( x ? y)2 ;

3、在凸五边形 ABCDE 中,已知 AB ? DE, BC ? EA, AB ? EA ,且 B, C, D, E
四点共圆. 证明: A, B, C , D 四点共圆的充分必要条件是 AC ? AD .

4、试求满足方程 x2 ? 2xy ? 126 y 2 ? 2009 的所有整数对 ( x, y ) .

以下是答案 一、解答题 1、解:设红点集为: A ? ? A1 , A2 ,? , A12 ? ,过点 A1 的弦有 11 条,而任一个含顶点 A1 的三角形,
恰含两条过点 A1 的弦,故这 11 条过点 A1 的弦,至少要分布于 6 个含顶点 A1 的三角形中; 同理知,过点 A i (i ? 2,3,?,12) 的弦,也各要分布于 6 个含顶点 Ai 的三角形中,这样就需要

12 ? 6 ? 72 个三角形,而每个三角形有三个顶点,故都被重复计算了三次,因此至少需要

72 ? 24 个三角 3

形. 再说明,下界 24 可以被取到.不失一般性,考虑周长为 12 的圆周,其十二等分点为红点,以红点为

2 端点的弦共有 C12 ? 66 条.若某弦所对的劣弧长为 k ,就称该弦的刻度为 k ;于是红端点的弦只有 6 种刻

度,其中,刻度为 1, 2,?,5 的弦各 12 条,刻度为 6 的弦共 6 条;
12

11 10 9 8 7

1 2 3 4

6

5

如果刻度为 a, b, c ( a ? b ? c )的弦构成三角形的三条边,则必满足以下两条件之一: 或者 a ? b ? c ;或者 a ? b ? c ? 12 ; 于是红点三角形边长的刻度组 ? a, b, c ? 只有如下 12 种可能: ?1,1,2? , ? 2,2,4? , ?3,3,6? ,

? 2,5,5? , ?1,2,3? , ?1,3,4? , ?1,4,5?, ?1,5,6?, ?2,3,5?, ?2,4, 6? , ?3,4,5? , ? 4,4,4? ;
下面是刻度组的一种搭配:取 ?1,2,3? , ?1,5,6? , ? 2,3,5? 型各六个,? 4,4,4? 型四个;这时恰好得到 66 条弦,且其中含刻度为 1, 2,?,5 的弦各 12 条,刻度为 6 的弦共 6 条; 今构造如下:先作 ?1,2,3? , ?1,5,6? , ? 2,3,5? 型的三角形各六个, ? 4,4,4? 型的三角形 三个,再用三个 ? 2,4,6? 型的三角形来补充.

?1, 2,3? 型六个:其顶点标号为: ?2,3,5?,?4,5,7?,?6,7,9?,?8,9,11?,?10,11,1?,?12,1,3? ; ?1,5,6? 型六个:其顶点标号为: ?1,2,7?,?3,4,9?,?5,6,11?,?7,8,1?,?9,10,3?, ?11,12,5? ; ? 2,3,5? 型六个:其顶点标号为: ?2,4,11?,?4,6,1?,?6,8,3?,?8,10,5?,?10,12,7?, ?12,2,9? ; ? 4,4,4? 型三个:其顶点标号为: ?1,5,9?,?2,6,10?,?3,7,11? ;

? 2,4,6? 型三个:其顶点标号为: ?4,6,12?,?8,10,4?,?12,2,8? .
(每种情况下的其余三角形都可由其中一个三角形绕圆心适当旋转而得) . 这样共得到 24 个三角形,且满足本题条件,因此, n 的最小值为 24 .

2、证明:先证 a , b , c 不能构成三角形的三边.因为

b ? c ? a ? ?( y ? z)( z ? x)( x ? y), c ? a ? b ? ?( z ? x)( x ? y)( y ? z) , a ? b ? c ? ?( x ? y)( y ? z)( z ? x) .
所以 ( b ? c ? a )( c ? a ? b )( a ? b ? c )

? ? ( y ?z ) ( z ? x) ( x ? ?y ) ( y? z ) ( z ? x) ( ? x ?
于是

2

y ), ?

0

2( a b? b c ? c) a? (2 a? 2 b? 2 c ) ?
( a ? b ? c )( b ? c ? a )( c ? a ? b )( a ? b ? c ) ? 0 ,



. a2 ? b2 ? c2 ? 2 ( a b? b c ? ) c a

3、证明:必要性:若 A, B, C , D 共圆,则由
得 ?BAC ? ?EDA ,?ACB ? ?DAE ,所以 ?ABC ? ?DEA ,故得 AC ? AD ; AB ? DE, BC ? EA ,

C ? A D 充分性: 记 BCDE 所共的圆为 ? O , 若A

, 则圆心 O 在 CD 的中垂线 AH 上, 设点 B 关于 AH

的对称点为 F ,则 F 在 ? O 上,且因 AB ? EA ,即 DE ? DF ,所以 E , F 不共点,且 ?AFD ≌ ?ABC , 又由 AB ? DE, BC ? EA ,知 ?AED ≌ ?CBA ,因此,

?AED ≌ ?DFA ,故由 ?AED ? ?DFA ,得 AEFD 共圆,即点 A 在 ? DEF 上,也即点 A 在 ? O 上,
从而 A, B, C , D 共圆.
A E B H C D F

4、解: 设整数对 ( x, y ) 满足方程 x2 ? 2xy ? 126 y 2 ? 2009 ? 0 …(1) ,将其看作
2 2 2 2 关于 x 的一元二次方程,其判别式 ? ? 4 y ? 4 ? 126 y ? 2009 ? 500(4 ? y ) ? 36 的值

?

?

应为一完全平方数; 若 y 2 ? 42 ,则 ? ? 0 ; 若 y 2 ? 42 ,则 y 2 可取 0,12 , 22 , 32 ,相应的 ? 值分别为 8036,7536,6036 和 3536 ,它们皆不为平 方数;
2 2 2 因此,仅当 y 2 ? 42 时, ? ? 500 4 ? y ? 36 ? 6 为完全平方数.

?

?

若 y ? 4 ,方程(1)化为 x 2 ? 8 x ? 7 ? 0 , 解得 x ? 1 或 x ? 7 ; 若 y ? ?4 ,方程(1)化为 x 2 ? 8x ? 7 ? 0 ,解得 x ? ?1 或 x ? ?7 . 综上可知,满足原方程的全部整数对为: ? x, y ? ? ?1,4? , ? 7,4? , ? ?1, ?4? , ? ?7, ?4? .


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